2009-2010学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2009-2010学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）如果是二次根式，那么a应满足的条件是（）A．a≥0 B．a＞0 C．a≥1 D．a≠12．（3分）反比例函数y＝的图象经过点（﹣3，4），则函数的图象在（）A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限3．（3分）已知一组数据：2，5，2，3，4，这组数据的中位数是（）A．2 B．3 C．2.5 D．44．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝3，则BC的长为（）A．2 B． C． D．25．（3分）已知点A（2，y1）、B（3，y2）都在反比例函数y＝的图象上，则（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．y1≤y26．（3分）把方程x2﹣4x+1＝0配方后所得到的方程是（）A．（x﹣2）2+1＝0 B．（x﹣4）2+5＝0 C．（x﹣2）2﹣3＝0 D．（x﹣2）2+5＝07．（3分）下列命题中，真命题是（）A．两条对角线相等的四边形是矩形 B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形8．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD于点E，∠AOB＝45°，则∠BAE的大小为（）A．15° B．22.5° C．30° D．45°9．（3分）“水立方”的游泳池长为50m，宽为25m，深为3m．现以xm3/min的速度向池中注水，注满水池需ymin，则y与x函数关系的大致图象为（）A． B． C． D．10．（3分）如图，已知▱ABCD中，点M是BC的中点，且AM＝6，BD＝12，AD＝4，则该平行四边形的面积为（）A．24 B．36 C．48 D．72二、填空题（共8小题，满分25分）11．（3分）计算：＝．12．（3分）若关于x的一元二次方程x2+mx﹣2m＝0的一根为1，则m的值是．13．（3分）小张和小李去练习射击，第一轮10发子弹打完后，两人的成绩如图所示．根据图中的信息，小张和小李两人中成绩较稳定的是．14．（3分）已知函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而增大，那么k的取值范围是．15．（3分）如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是．（填一个即可）16．（3分）如图，A是反比例函数y＝图象上任意一点，AC⊥x轴于点C，△AOC的面积为3，则k＝．17．（3分）下列各数：①；②+1；③；④1﹣；⑤，其中与﹣1的乘积是有理数的是（填序号）．18．（4分）如图所示，直线y＝x+1与y轴相交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1，记作第一个正方形；然后延长C1B1与直线y＝x+1相交于点A2，再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2，记作第二个正方形；同样延长C2B2与直线y＝x+1相交于点A3，再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3，记作第三个正方形；…，依此类推，则第n个正方形的边长为．三、解答题（共7小题，满分45分）19．（8分）计算：（1）+﹣；（2）2（3+1）÷20．（8分）解方程：（1）3x2﹣4x＝1（2）x（x﹣4）＝8﹣2x21．（8分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为3，4，5；（3）在图3中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，．22．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BM平分∠ABC交AC于点M，ME⊥AB于点E，MF⊥BC于点F．试判断四边形EBFM的形状，并加以证明．23．（6分）2010年5月1日，第41届世界博览会在上海举行，开幕初期连续八天的每日入园人数统计如下表：（1）根据以上统计图分析，入园人数的中位数是，众数是，平均数是．（2）根据入园人流量，请你估计，在184天会期中世博会将接待多少名参观者？（3）为了分散热门场馆管人流，减少排队时间，并最大限度满足参观者的需求，组织者为参观者提供热门场馆分时预约服务，如果每天发放的预约卷29万张，你认为能满足参观者的需求吗？如果你上组织者，你认为每天发放多少张预约卷更合适？请说明你的理由．24．（7分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝2，∠C＝60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，连接EF．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）若点G是BC边上的一个动点，当点G在什么位置时，四边形DEGF是矩形？并求出这个矩形的周长；（3）在BC上能否找到另外一点G′，使四边形DEG′F的周长与（2）中矩形DEGF的周长相等，请简述你的理由．25．（4分）如图，已知直线y＝x与双曲线y＝交于A、B两点，且点A的横坐标为．（1）求k的值；（2）若双曲线y＝上点C的纵坐标为3，求△AOC的面积；（3）在坐标轴上有一点M，在直线AB上有一点P，在双曲线y＝上有一点N，若以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点P的坐标．

2009-2010学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）如果是二次根式，那么a应满足的条件是（）A．a≥0 B．a＞0 C．a≥1 D．a≠1【分析】根据二次根式有意义的条件被开方数为非负数可得出关于a的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：a﹣1≥0，解得a≥1．故选：C．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，属于基础题，注意掌握二次根式的被开方数为非负数．2．（3分）反比例函数y＝的图象经过点（﹣3，4），则函数的图象在（）A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限【分析】当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．【解答】解：由题意知，k＝（﹣3）×4＝﹣12＜0，∴函数的图象在第二、四象限．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的性质：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．3．（3分）已知一组数据：2，5，2，3，4，这组数据的中位数是（）A．2 B．3 C．2.5 D．4【分析】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．【解答】解：数据按从小到大的顺序排列为2，2，3，4，5，所以中位数是3．故选：B．【点评】本题考查中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．4．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝3，则BC的长为（）A．2 B． C． D．2【分析】在直角△ACB中，已知AC，AB，根据勾股定理即可求BC＝．【解答】解：在直角△ACB中，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，∵AC＝1，BC＝3，∴BC2＝9﹣1＝8，BC＝＝．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的运用，本题中确定AB是直角边并正确利用勾股定理求解是解题的关键．5．（3分）已知点A（2，y1）、B（3，y2）都在反比例函数y＝的图象上，则（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．y1≤y2【分析】根据反比例函数的比例系数的符号可得在同一象限内函数的增减性，进而可得y1与y2的大小．【解答】解：由题意得点A和点B在同一象限，∵比例系数为3，2＜3，∴y随x的增大而减小，∴y1＞y2，故选：A．【点评】考查反比例函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：反比例函数的比例系数大于0，在每个象限内，y随x的增大而减小．6．（3分）把方程x2﹣4x+1＝0配方后所得到的方程是（）A．（x﹣2）2+1＝0 B．（x﹣4）2+5＝0 C．（x﹣2）2﹣3＝0 D．（x﹣2）2+5＝0【分析】为了配成完全平方的形式，在方程的左边加上4，同时为了等式成立，再减去4，配成带有完全平方的形式．【解答】解：x2﹣4x+1＝0，x2﹣4x+4﹣4+1＝0，（x﹣2）2﹣3＝0．故选：C．【点评】本题考查的是用配方法解一元二次方程，为了配成完全平方的形式，要加上一次项系数一半的平方，为了保持等式成立再减去这个数，配成含有完全平方的形式．7．（3分）下列命题中，真命题是（）A．两条对角线相等的四边形是矩形 B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形【分析】根据矩形、菱形、平行四边形、等腰梯形的判定即可求出答案．【解答】解：A，错误，等腰梯形的对角线相等，但不是矩形；B，错误，筝形的对角线互相垂直，但不是菱形；C，正确；D，错误，一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可以是平行四边形．故选：C．【点评】本题考查了特殊四边形的判定方法．8．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BD于点E，∠AOB＝45°，则∠BAE的大小为（）A．15° B．22.5° C．30° D．45°【分析】易证∠BAE＝∠ADE，根据矩形对角线相等且互相平分的性质，可得∠OAB＝∠OBA，在Rt△ABD中，已知∠OBA即可求得∠ADB的大小，【解答】解：∠BAE+∠ABD＝90°，∠ADE+∠ABD＝90°，∠BAE＝∠ADE∵矩形对角线相等且互相平分∴∠OAB＝∠OBA＝＝67.5°，∴∠BAE＝∠ADE＝90﹣67.5°＝22.5°，故选：B．【点评】本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质，考查了等腰三角形底角相等的性质，本题中计算∠OAB的值是解题的关键．9．（3分）“水立方”的游泳池长为50m，宽为25m，深为3m．现以xm3/min的速度向池中注水，注满水池需ymin，则y与x函数关系的大致图象为（）A． B． C． D．【分析】先根据题意列出关于x、y的函数关系式，根据此关系式及函数自变量的取值范围进行选择即可．【解答】解：∵“水立方”的游泳池长为50m，宽为25m，深为3m，∴此游泳池的体积为：V＝50×25×3＝3250m3，∵以xm3/min的速度向池中注水，注满水池需ymin，则y与x函数关系式为y＝（x＞0），∴此函数图象为双曲线，且x＞0，故选：B．【点评】本题考查的是反比例函数的图象，根据题意列出反比例函数的关系式得出函数自变量的取值范围是解答此题的关键．10．（3分）如图，已知▱ABCD中，点M是BC的中点，且AM＝6，BD＝12，AD＝4，则该平行四边形的面积为（）A．24 B．36 C．48 D．72【分析】由平行四边形的性质，可得△BOM∽△AOD，可得出OB⊥OM，进而可求解其面积．【解答】解：AM、BD相交于点O，在平行四边形ABCD中，可得△BOM∽△AOD，∵点M是BC的中点，即＝，、∴＝＝，∵AM＝6，BD＝12，∴OM＝2，OB＝4，在△BOM中，22+42＝，∴OB⊥OM∴S△ABD＝BD•OA＝×12×4＝24，∴SABCD＝2S△ABD＝48．故选：C．【点评】本题主要考查平行四边形的性质，能够运用相似三角形求解一些简单的计算问题．二、填空题（共8小题，满分25分）11．（3分）计算：＝3．【分析】根据算术平方根概念的性质化简即可求出结果．【解答】解：＝＝3．故填3．【点评】本题主要考查了算术平方根概念的运用，其中利用了．12．（3分）若关于x的一元二次方程x2+mx﹣2m＝0的一根为1，则m的值是1．【分析】把方程的根代入方程可以求出字母系数的值．【解答】解：把1代入方程有：1+m﹣2m＝0m＝1．故答案为：1．【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值．13．（3分）小张和小李去练习射击，第一轮10发子弹打完后，两人的成绩如图所示．根据图中的信息，小张和小李两人中成绩较稳定的是小张．【分析】观察图象可得：小张的成绩较集中，波动较小，即方差较小；故小张的成绩较为稳定．【解答】解：从图看出：小张的成绩波动较小，说明它的成绩较稳定．故填小张．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．14．（3分）已知函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而增大，那么k的取值范围是k＜3．【分析】利用反比例函数的增减性可得出k﹣3＜0，再求解即可得出k的取值范围．【解答】解：∵函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而增大，∴k﹣3＜0，即k＜3．故答案为：k＜3．【点评】本题考查反比例函数的性质：①当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；②当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大；15．（3分）如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是BE＝DF．（填一个即可）【分析】要使四边形AECF也是平行四边形，可增加一个条件：BE＝DF．【解答】解：使四边形AECF也是平行四边形，则要证四边形的两组对边相等，或两组对边分别平行，如果BE＝DF，则有：∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠CBE，∵AD＝BC，BE＝DF，∴△ADF≌△BCE，∴CE＝AF，同理，△ABE≌△CFD，∴CF＝AE，∴四边形AECF是平行四边形．故答案为：BE＝DF．【点评】本题考查了平行四边形的判定，是开放题，答案不唯一，本题利用了平行四边形和性质，通过证△ADF≌△BCE，△ABE≌△CFD，得到CE＝AF，CF＝AE利用两组对边分别相等来判定平行四边形．16．（3分）如图，A是反比例函数y＝图象上任意一点，AC⊥x轴于点C，△AOC的面积为3，则k＝﹣6．【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|．【解答】解：由于点A是反比例函数图象上一点，则S△AOB＝|k|＝3；又由于函数图象位于二象限，则k＝﹣6．【点评】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．17．（3分）下列各数：①；②+1；③；④1﹣；⑤，其中与﹣1的乘积是有理数的是②⑤（填序号）．【分析】﹣1分别于各项相乘可得出乘积是有理数的项．【解答】解：①×（﹣1）＝2﹣，不是有理数；②（+1）×（﹣1）＝2﹣1＝1，是有理数；③×（﹣1）＝1﹣，不是有理数；④（1﹣）（﹣1）＝2﹣3，不是有理数；⑤×（﹣1）＝﹣1，是有理数．故与﹣1的乘积是有理数的是②⑤．故答案为：②⑤．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，难度不大，关键是掌握二次根式乘除的法则．18．（4分）如图所示，直线y＝x+1与y轴相交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1，记作第一个正方形；然后延长C1B1与直线y＝x+1相交于点A2，再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2，记作第二个正方形；同样延长C2B2与直线y＝x+1相交于点A3，再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3，记作第三个正方形；…，依此类推，则第n个正方形的边长为2n﹣1．【分析】解题的关键是求出第一个正方体的边长，然后依次计算n＝1，n＝2…总结出规律．【解答】解：根据题意不难得出第一个正方体的边长＝1，那么：n＝1时，第1个正方形的边长为：1＝20n＝2时，第2个正方形的边长为：2＝21n＝3时，第3个正方形的边长为：4＝22…第n个正方形的边长为：2n﹣1故答案为：2n﹣1【点评】解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．三、解答题（共7小题，满分45分）19．（8分）计算：（1）+﹣；（2）2（3+1）÷【分析】（1）先将二次根式化为最简，然后再进行同类二次根式的合并即可．（2）先进行二次根式的乘法运算，然后再进行二次根式的除法运算．【解答】解：（1）原式＝2+﹣＝2﹣；（2）原式＝（6+2）÷＝6+．【点评】本题考查二次根式的混合运算，难度不大，注意在掌握运算法则的基础上细心运算．20．（8分）解方程：（1）3x2﹣4x＝1（2）x（x﹣4）＝8﹣2x【分析】综合所学解法分析，（1）运用公式法求解；（2）运用因式分解法求解，可运用提取公因式法分解，也可整理后运用十字相乘法分解．【解答】解：（1）3x2﹣4x＝1，3x2﹣4x﹣1＝0，x＝，x1＝，x2＝．（2）x（x﹣4）＝8﹣2x，x2﹣4x+2x﹣8＝0，x2﹣2x﹣8＝0，（x﹣4）（x+2）＝0，∴x1＝4，x2＝﹣2．【点评】此题考查选择适当的方法解一元二次方程的能力，属基础题．21．（8分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为3，4，5；（3）在图3中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，．【分析】（1）由正方形的面积为5，可知：正方形的变长为，1×2的长方形方格的对角线长是，从而作出面积为5的正方形；（2）根据勾股定理可知：以3，4，5为三边所构成的三角形为直角三角形，故以3和4为两直角边作直角三角形即可；（3）根据1×2的对角线为，3×2的对角线为，可作出变长为2，，的三角形．【解答】解：如图所示：【点评】本题主要考查勾股定理在作图中的应用．22．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BM平分∠ABC交AC于点M，ME⊥AB于点E，MF⊥BC于点F．试判断四边形EBFM的形状，并加以证明．【分析】由角平分线的性质可得ME＝MF，因为有三个角是直角的四边形是矩形，由一组邻边相等的矩形是正方形，据此判断．【解答】解：四边形EBFM是正方形．理由：∵BM平分∠ABC交AC于点M，ME⊥AB于点E，MF⊥BC于点F，∴ME＝MF，∵∠ABC＝90°，∠MEB＝90°，∠MFB＝90°，∴四边形EBFM是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），∴四边形EBFM是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）．【点评】此题主要考查角平分线的性质和正方形的判定，灵活掌握定理是关键．23．（6分）2010年5月1日，第41届世界博览会在上海举行，开幕初期连续八天的每日入园人数统计如下表：（1）根据以上统计图分析，入园人数的中位数是30，众数是24、34，平均数是29.5．（2）根据入园人流量，请你估计，在184天会期中世博会将接待多少名参观者？（3）为了分散热门场馆管人流，减少排队时间，并最大限度满足参观者的需求，组织者为参观者提供热门场馆分时预约服务，如果每天发放的预约卷29万张，你认为能满足参观者的需求吗？如果你上组织者，你认为每天发放多少张预约卷更合适？请说明你的理由．【分析】（1）根据平均数，中位数，众数的概念计算；（2）用184×八天的平均入园人数可；（3）根据中位数和平均数的意义回答．【解答】解：（1）八天的数据按从小到大顺序排列为24，24，27，29，31，33，34，34∴中位数＝（29+31）÷2＝30，数据24、34各出现2次，众数是24、34，平均数＝（24+24+27+29+31+33+34+34）÷8＝29.5；（2）184×29.5＝5428；（3）因为从平均数、中位数、众数中，平均数最大．所以每天发放的预约卷29万张，能满足参观者的需求；从样本看，超过30的占一半，每天发放30万张预约卷更合适．【点评】本题考查的是平均数、众数和中位数的定义及条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，要学会根据统计量的意义分析解决问题．24．（7分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝2，∠C＝60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，连接EF．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）若点G是BC边上的一个动点，当点G在什么位置时，四边形DEGF是矩形？并求出这个矩形的周长；（3）在BC上能否找到另外一点G′，使四边形DEG′F的周长与（2）中矩形DEGF的周长相等，请简述你的理由．【分析】（1）由已知可得四边形ABCD为等腰梯形，△ABD为等腰三角形，∠C＝60°，可知∠BAD＝∠ADC＝120°，又AE⊥BD，故∠EAD＝∠BAD＝60°，BE＝DE，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，故∠BDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°，可证AE∥DF，而E、F两点为BD、CD边的中点，可证EF∥BC∥AD，故四边形AEFD是平行四边形；（2）延长AE交BC于G，可证G点为BC的中点，此时四边形DEGF是矩形，解Rt△DEF，可求DE，DF，根据矩形的性质求周长；（3）当CG′＝CF＝1时，△G′EF与△DEF关于直线EF轴对称，可满足题意．【解答】（1）证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝2，∴四边形ABCD为等腰梯形，∠C＝60°，∴∠BAD＝∠ADC＝120°，又∵△ABD为等腰三角形，AE⊥BD，∴∠EAD＝∠BAD＝60°，BE＝DE，在Rt△ADE中，∠ADE＝90°﹣∠EAD＝30°，∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°，∴AE∥DF，∵E、F两点为BD、CD边的中点，∴EF∥BC∥AD，∴四边形AEFD是平行四边