专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷1（共228题）

专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷1（共7套）（共228题）专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设y=f(x)在点x=1处可导，且=2，则f(1)=()A、2B、1C、D、0标准答案：A知识点解析：由于y=f(x)在点x=1处可导，则y=f(x)在点x=1处必连续，所以有f(1)==2．2、若函数y=f(x)有f’(x0)=，则当△x→0时，该函数在x=x0处的微分dy是()A、与△x等价的无穷小B、与△x同阶的无穷小C、比△x低阶的无穷小D、比△x高阶的无穷小标准答案：B知识点解析：按照微分定义，在x=x0处，dy=f’(x0)△x=△x，当△x→0时，dy与△x为同阶无穷小，故选B．3、设函数y=3x+1，则y’’=()A、0B、1C、2D、3标准答案：A知识点解析：因为y=3x+1，故y’=3，y’’=0．4、设函数f(x)满足f’(sin2x)=cos2x，且f(0)=0，则f(x)=()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：f’(sin2x)=cos2x=1－sin2x，令μ=sin2x，故f’(μ)=1一μ，所以f(μ)=μ一μ2+C，由f(0)=0，得C=0，所以f(x)=x—x2．5、设f(ex)=，则f’(x)=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：令t=ex，则x=lnt，代入原函数得f(t)=．(ln2t)’=，故选A．6、曲线y=x3(x一4)的拐点个数为()A、1个B、2个C、3个D、0个标准答案：B知识点解析：因y=x4一4x3，于是y’=4x3一12x2，y’’=12x2一24x=12x(x一2)，令y’’=0，得x=0，x=2；具有下表：由表知，函数曲线有两个拐点为(0，0)，(2，一16)．7、设函数f(x)=(1+x)ex，则函数f(x)()A、有极小值B、有极大值C、既有极小值又有极大值D、无极值标准答案：A知识点解析：因f(x)=(1+x)ex，且处处可导，于是，f’(x)=ex+(1+x)．ex=(x＋2)ex，令f’(x)=0得驻点x=一2；又x＜一2时，f’(x)＜0；x＞－2时，f’(x)＞0；从而f(x)在x=一2处取得极小值，且f(x)只有一个极值．8、设两函数f(x)及g(x)都在x=a处取得极大值，则函数F(x)=f(x)g(x)在x=a处()A、必取极大值B、必取极小值C、不可能取极值D、是否取极值不能确定标准答案：D知识点解析：(1)f(x)=(1一x2)3和g(x)=都在x=0处取得极大值，但f(x)．g(x)=一1在x=0不取极值；(2)f(x)=一x3和g(x)=一x4都在x=0取得极大值，但f(x)g(x)=x6在x=0取极小值，针对不同情形，F(x)在x=a处是否取极值不能确定，故选D．9、下列函数在给定区间满足拉格朗日定理条件的有()A、y=｜x｜，[一1，1]B、y=cosx，[0，π]C、y=，[一1，1]D、y=，[一2，2]标准答案：B知识点解析：A选项中，函数在x=0处不可导；C选项中，函数在x=0处不可导；D选项中，函数在x=±1处不连续；B选项中，函数在[0，π]连续，在(0，π)可导，符合拉格朗日中值定理条件，故选B．10、设x=x0为y=f(x)的驻点，则y=f(x)在x0处不一定()A、连续B、可导C、取得极值D、曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线平行于x轴标准答案：C知识点解析：驻点是导数为零的点，所以A、B项正确，由导数的几何意义可知D项正确，驻点不一定是极值点，故选C．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)11、曲线y=x+cosx在点(0，1)处的切线的斜率k=________．标准答案：1知识点解析：因为y=x+cosx，所以y’=1一sinx，y’(0)=1，即所求的切线斜率k=1．12、设f(x)=，而h(t)满足条件h(0)=3，h’(t)=sin2(t＋)，则f[h(t)]｜t=0=________．标准答案：知识点解析：f[h(t)]｜t=0=f’[h(t)]．h’(t)｜t=0=f’[h(0)]．sin2，f’(x)=．13、设y=22arccosx，则dy=________．标准答案：知识点解析：由y=22arccosx，则y’=一22arccosx．2．ln2，所以dy=一ln2．dx．14、当x=1时，f(x)=x3+3px+q取到极值(其中q为任意常数)，则p=_________．标准答案：一1知识点解析：f’(x)=3x2+3p，在x=1处可导，则f’(1)=3+3p=0，所以p=一1．15、设函数f(x)=x2＋px＋q，有ξ∈(a，b)满足[a，b]上的拉格朗日中值定理，则ξ=_________．标准答案：知识点解析：由拉格朗日中值定理得f’(ξ)==b+a+p，即有2ξ+p=b+a+p，故ξ=．三、简单解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)16、设f(x)=讨论f(x)在x=0处的连续性和可导性．标准答案：因=1．故=1=f(0)，f(x)在x=0处连续，又故f(x)在x=0处连续、可导，且f’(0)=0．知识点解析：暂无解析17、设y=ex．cos3x．lnx，求y’．标准答案：对y=ex．cos3x．lnx两边取对数得lny=x+3ln(cosx)＋ln(lnx)，两边对x求导得，解得y’=．知识点解析：暂无解析18、设y=y(x)是由方程2y—x=(x—y)ln(x—y)确定的隐函数，求dy．标准答案：利用一阶微分的形式不变性得2dy—dx=(dx—dy)ln(x—y)+(x—y)．(dx—dy)，所以[3+ln(x—y)]dy=[2+ln(x—y)]dx，因此dy=dx．知识点解析：暂无解析19、设函数y=f(x)由方程xef(y)=ey所确定，其中f具有二阶导数，且f’≠1，求．标准答案：方程两边先取对数再求导得：lnx+f(y)=y，方程两边对x求导可得：+f’(y)y’=y’，再对x求导，一+f’’(y)(y’)2+f’(y)y’’=y’’，代y’并解出：y’’=一．知识点解析：暂无解析20、设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f’(x)=ef(x)，f(2)=1，计算f(n)(2)．标准答案：对f’(x)=ef(x)两边求导数得f’’(x)=ef(x)．f’(x)=e2f(x)，两边再求导数得f’’’(x)=e2f(x)．2f’(x)=2e3f(x)，两边再求导数得f(4)(x)=2e3f(x)．3f’(x)=3！e4f(x)．由以上导数规律可得f(n)(x)=(n一1)！enf(x)，所以f(n)(2)=(n一1)！en．知识点解析：暂无解析21、设函数y=alnx+bx2+5x在x=1处取极值且x=为其拐点横坐标，求a，b之值．标准答案：y’=＋2bx+5，y’’=+2b，又有已知条件可得y’(1)=a+2b+5=0，y’’()=—4a+2b=0，联立解得a=一1，b=一2．知识点解析：暂无解析22、设f(x)在[a，b]上二阶可导，且恒有f’’(x)＜0，证明：若方程f(x)=0在(a，b)内有根，则最多有两个根．标准答案：按题意，不需要证明根的存在性，只需证明f(x)=0若在(a，b)内有根，则最多有两个根．用反证法，设f(x)在(a，b)内有三个根x1，x2，x3，且设a＜x1＜x2＜x3＜b，即有f(x1)=f(x2)=f(x3)=0，现分别在区间[x1，x2]与[x2，x3]上应用罗尔定理，有f’(ζ1)=0，ζ1∈(x1，x2)；f’(ζ2)=0，ζ2∈(x2，x3)，又f’(x)在[ζ1，ζ2]上也显然满足罗尔定理条件，于是有f’’(ζ)=0，ζ∈(ζ1，ζ2)(a，b)，这与假设f’’(x)＜0矛盾，故f(x)=0在(a，b)内最多有两个根．知识点解析：暂无解析23、设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)．证明：若f(x)不恒为常数，则至少ξ∈(a，b)，有f’(ξ)＞0．标准答案：因为f(a)=f(b)，且f(x)不恒为常数．所以至少存在x0∈(a，b)，使f(x0)≠f(a)，则f(x0)＞f(a)或f(x0)＜f(a)．不妨设f(x0)＜f(a)，则在[x0，b]上用拉格朗日中值定理得．至少存在ξ∈[(x0，b)∈(a，b)，有f’(ξ)=＞0．对于f(x0)＞f(a)情形同理可证．知识点解析：暂无解析24、求证方程3x一1一∫0xdt=0在区间(0，1)内有唯一根．标准答案：设f(x)=3x一1一∫0xdt，f(x)在[0，1]内连续，f(0)=一1，f(1)=3—1一∫01，因为f(0)．f(1)＜0，所以，由零点定理可知，存在一点ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=0，又f’(x)=3一＞0。则f(x)是单调增加的，故存在唯一的ξ∈(0，1)使得f(ξ)=0，即结论得证．知识点解析：暂无解析已知函数f(x)在区间[0，1]上连续，在区间(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，证明：25、存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1一ξ；标准答案：设F(x)=f(x)一1+x，0≤x≤1，则F(x)在区间[0，1]上连续．因为F(0)=一1＜0，F(1)=1＞0，所以由零点定理，存在ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，即f(ξ)=1一ξ；知识点解析：暂无解析26、存在两个不同的η，ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1．标准答案：由题设，函数f(x)在区间[0，ξ]上连续，在区间(0，ξ)内可导，于是由拉格朗日中值定理，存在η∈(0，ξ)(0，1)，使得f’(η)=．同样，由题设，函数f(x)在区间[ξ，1]上连续，在区间(ξ，1)内可导，于是由拉格朗日中值定理，存在ζ∈(ξ，1)(0，1)，使得f’(ζ)=．因为η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，于是存在两个不同的η，ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1．知识点解析：暂无解析27、证明对任意常数a＜b，都有sinb一sina≤b一a．标准答案：sinb—sina≤b—a≤1．令f(x)=sinx，则f(x)在[a，b]上满足拉格朗日中值定理，所以，存在ξ∈(a，b)，使=f’(ξ)=cosξ≤1．知识点解析：暂无解析28、一艘轮船甲以20海里／小时的速度向东行驶，同一时间另一艘轮船乙在其正北82海里处以16海里／小时的速度向南行驶，问经过多少时间后，两船相距最近?标准答案：设经过t小时两船相距S海里，则S=，即S2=(82—16t)2+(20t)2，所以(S2)’=2．(82—16t)．(一16)+2．20t．20，令(S2)’=0，得驻点t=2，即经过两小时后两船相距最近．知识点解析：暂无解析29、将长为a的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁丝各长多少时，正方形与圆形面积之和最小．标准答案：设正方形长度为x，则圆形周长为a一x．那么正方形边长为，则圆形半径为．它们的面积之和S=，S’=，令S’=0，则有唯一驻点x=，即当x=时，S取得最小值．因此，．知识点解析：暂无解析专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷第2套一、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)1、设y＝xsinx，求y’．标准答案：y’＝x’sinx＋x(sinx)’＝sinx＋xcosx知识点解析：暂无解析2、设y＝xex，求y”．标准答案：y＝xex，则y’＝xex＋ex＝(x＋1)ex，y”＝ex＋(x＋1)ex(x＋2)ex知识点解析：暂无解析3、设y＝y(x)满足2y＋sin(x＋y)＝0，求y’．标准答案：将2y＋sin(x＋y)＝0两边对省求导，得2y’＋cos(x＋y)．(1＋y’)＝0．解得y’＝．知识点解析：暂无解析4、设y＝x3／cosx，求dy．标准答案：由商的导数运算法则可得因此知识点解析：暂无解析5、求．标准答案：所给极限为“0／0”型，由洛必达法则可得知识点解析：暂无解析6、求．标准答案：所给极限为“0／0”型，由洛必达法则可得知识点解析：暂无解析7、求．标准答案：所给极限为“0／0”型．利用洛必达法则，有知识点解析：暂无解析8、求函数y＝x－lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．标准答案：y＝x－lnx的定义域为(0，＋∞)，y’＝1－1／x．当x＝1时，y’＝0；当x＞1时，y’＞0，函数y＝x－lnx单调增加．当0＜x＜1时，y’＜0，函数y＝x－lnx单调减少．曲线y＝x－lnx在点(1，1)处的切线方程为y－1＝0．知识点解析：暂无解析9、求函数f(x)＝x3－3x＋5的极大值与极小值．标准答案：f’(x)＝3x2－3．令f’(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1．又f”(x)＝6x，可知f”(－1)＝－6＜0，f”(1)＝6＞0．故x＝－1为f(x)的极大值点，极大值f(－1)＝7；x＝1为f(x)的极小值点，极小值f(1)＝3．知识点解析：暂无解析10、求函数f(x)＝x3－3x＋1的单调区间和极值．标准答案：函数的定义域为(－∞，＋∞)，f’(x)＝3x2－3．令f’(x)＝0，得驻点x1＝－1，x2＝1，列表得函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)．函数f(x)的单调减区间为[－1，1]．f(－1)＝3为极大值，f(1)＝－1为极小值．注意如果将(－∞，－1]写成(－∞，－1)，将[1，＋∞)写成(1，＋∞)，将[－1，1]写成(－1，1)也对．知识点解析：暂无解析设抛物线y＝1－x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为S(x)．11、写出S(x)的表达式；标准答案：由解得x＝±1，则A、B两点坐标分别为A(－1，0)和B(1，0)，AB＝2．S(x)＝(2＋2x)(1－x2)／2＝(1＋x)(1－x2)．知识点解析：暂无解析12、求S(x)的最大值．标准答案：S’(x)＝－3x2－2x＋1，令S’(x)＝0，即(3x－1)(x＋1)＝0，得x1＝1／3，x2＝－1(舍去)．S”(x)｜x＝1／3＝(－6x－2)｜x＝1／3＝－4＜0，则S(1／3)＝32／27为极大值．根据实际问题，S＝32／27为最大值．知识点解析：暂无解析13、求函数f(x)＝x2－2／x的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．标准答案：f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．f’(x)＝2x＋2／x2，f’(x)＝2－4／x3．令f’(x)＝0得x＝－1；令f”(x)＝0，得x＝．列表：函数f(x)的单调减少区间为(－∞，－1)；单调增加区间为(－1，0)∪(0，＋∞)；极小值为f(－1)＝3．曲线y＝－f(x)的凹区间为(－∞，0)∪(，＋∞)；凸区间为(0，)；拐点为(，0)．知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)14、设函数f(x)可导，且＝2，则f’(1)＝()·A、2B、1C、1／2D、0标准答案：C知识点解析：由于f(x)可导，由导数定义可得因此，f’(1)＝1／2，可知应选C．15、设y＝3＋x2，则y’＝()．A、2xB、3＋2xC、3D、x2标准答案：A知识点解析：由导数的基本公式及四则运算法则，有y’＝(3＋x2)’＝3’＋(x2)’＝2x．故选A．16、设y＝3＋sinx，则y’＝()．A、－cosxB、cosxC、1－cosxD、1＋cosx标准答案：B知识点解析：由导数四则运算法则，有y’＝(3＋sinx)’＝3’＋(sinx)’＝cosx，故选B．17、设f(x)＝sin2x，则f’(0)等于()．A、－2B、－1C、0D、2标准答案：D知识点解析：由复合函数链式法则可知f’(x)＝(sin2x)’＝cos2x·(2x)’＝2cos2x，因此f’(0)＝2，应选D．18、设函数f(x)＝＋e，则f’(1)＝()．A、2＋eB、1＋eC、1／2D、－1／2标准答案：C知识点解析：由导数的加法运算法则，可得f’(x)＝(x1／2)＋e’＝x1／2／2＋0＝f’(1)＝1／2．故选C．19、设y＝2x，则dy等于()．A、x．2x－1dxB、2x－1dxC、2xdxD、2xln2dx标准答案：D知识点解析：由微分的基本公式可知dy＝d2x＝2xln2dx，因此选D．20、设y＝2x3，则dy＝()．A、2x2dxB、6x2dxC、3x2dxD、x2dx标准答案：B知识点解析：由微分基本公式及四则运算法则可求得．也可以利用dy＝y’dx求得y’＝(2x3)’＝2(x3)’＝6x2，因此dy＝6x2dx，故选B．21、设y＝e－5x，则dy＝()．A、－5e－5xdxB、－e－5xdxC、e－5xdxD、5e－5xdx标准答案：A知识点解析：由于y＝e－5x，y’＝－5e－5x，从而dy＝y’dx＝－5e－5xdx．故选A．22、设y＝lnx，则y”等于()．A、1／xB、1／x2C、－1／xD、－1／x2标准答案：D知识点解析：由于y＝lnx，可得知y’＝1／x，y”＝1／x2，因此选D．23、设f’(x0)＝0，则x＝x0()．A、为f(x)的驻点B、不为f(x)的驻点C、为f(x)的极大值点D、为f(x)的极小值点标准答案：A知识点解析：由函数f(x)的驻点的定义可知，当f’(x0)＝0时，x0为f(x)的驻点，因此选A．24、设函数f(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导，f’(x)＞0．若f(a)．f(b)＜0，则y＝f(x)在(a，b)()．A、不存在零点B、存在唯一零点C、存在极大值点D、存在极小值点标准答案：B知识点解析：由于f(x)在[a，b]上连续，f(a)．f(b)＜0，由闭区间上连续函数的零点定理可知，y＝f(x)在(a，b)内至少存在一个零点．又由于f’(x)＞0，可知f(x)在(a，b)内单调增加，因此f(x)在(a，b)内如果有零点，则至多存在一个．综合上述f(x)在(a，b)内存在唯一零点，故选B．三、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)25、设函数f(x)满足，则f’(0)＝________．标准答案：－1／2知识点解析：所给问题为导数定义的问题．因此，f’(0)＝－1／2．26、设y＝3x，则y’＝________．标准答案：3xln3知识点解析：由导数基本公式可知，y＝3x时，y’＝3xln3．27、设y＝(x＋3)2，则y’＝________．标准答案：2(x＋3)知识点解析：由复合函数求导链式法则可知，y’＝[(x＋3)2]’＝2(x＋3)．(x＋3)’＝2(x＋3)．28、)设y＝x3＋x2＋3，则y’｜＝________．标准答案：5知识点解析：由导数的基本公式及四则运算法则，有y’＝(x3)’＋(x2)’＋3’＝3x2＋2x，y’｜x＝1＝3＋2＝5．29、设y＝ex／x，则y’＝________．标准答案：ex(x－1)／x2知识点解析：30、设y＝5＋lnx，则dy＝________．标准答案：(1／x)dx知识点解析：由于y’＝(5＋lnx)’＝5’＋(1nx)’＝1／x，dy＝y’dx＝(1／x)dx．31、设y＝2ex－1，则y”＝________·标准答案：2ex－1知识点解析：y’＝(2ex－1)’＝2(ex－1)’＝2ex－1·(x－1)’＝2ex－1，y”＝(y’)’＝(2ex－1)’＝2ex－1．32、设y＝f(x)可导，点x0＝2为f(x)的极小值点，且f(2)＝3，则曲线y＝f(x)在点(2，3)处的切线方程为________．标准答案：y＝3知识点解析：由于y＝f(x)可导，点x0＝2为f(x)的极小值点，由极值的必要条件可知f’(2)＝0．曲线y＝f(x)在点(2，3)处的切线方程为y－3＝f’(2)(x－2)＝0，即y＝3为所求切线方程．33、已知曲线y＝x2＋x－2的切线l斜率为3，则l的方程为________．标准答案：y＝3(x－1)＝3x－3知识点解析：y＝x2＋x－2，y’＝2x＋1．当y’＝3时，由2x＋l＝3解得x＝1．当x＝1时，)，y＝12＋1－2＝0，因此，l的切点为(1，0)，l的方程为y＝3(x－1)＝3x－3．34、函数y＝x／lnx的单调增加区间是________．标准答案：x＞e(或x≥e，或(e，－∞)，或[e，＋∞))知识点解析：y＝x／lnx的定义域为x＞0，且x≠1，有y’＝(lnx－1)／ln2x令y’＝0得x＝e，当x＞e时，y’＞0，y单调增加．因此答案为x＞e(或x≥e，或(e，－∞)，或[e，＋∞))．35、设y＝2x2＋ax＋3在点x＝1取得极小值，则a＝________．标准答案：－4知识点解析：由于y’＝4x＋a，令y’＝0得Y的驻点x＝－a／4．由题设知－a／4＝1，因此a＝－4．又由于y”＝4＞0，可知x＝1为y的极小值点．故a＝－4．36、曲线y＝x／(2＋x)的竖直渐近线为________·标准答案：x＝－2知识点解析：求曲线的竖直渐近线，只需求函数极限为∞的情形，对于分式，如果分子不为0，只需找分母为零的点，可知x＝－2·＝∞，从而知曲线的竖直渐近线为x＝－2．专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷第3套一、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)1、计算∫sin3xdx．标准答案：∫sin3xdx＝(1／3)∫sin3xd(3x)＝－cos3x／3＋C．知识点解析：暂无解析2、计算．标准答案：＝ln｜ex－1｜＋C知识点解析：暂无解析3、计算．标准答案：设＝t，则x＝t2，dx＝2tdt．知识点解析：暂无解析4、计算∫xcosx2dx．标准答案：∫xcosx2dx＝(1／2)∫cosx2dx2＝sinx2／2＋C．知识点解析：暂无解析5、计算标准答案：＝∫cos(lnx)d(lnx)＝sin(lnx)＋C．知识点解析：暂无解析6、计算∫arcsinxdx．标准答案：设u＝arcsinx，v’＝1，则u’＝，v＝x∫arcsinxdx＝xarcsinx－＝xarcsinx＋∫(1－x2)－1／2d(1－x2)／2＝xarcsinx＋＋C．知识点解析：暂无解析7、计算∫1e(1＋lnx)／xdx．标准答案：知识点解析：暂无解析8、计算标准答案：知识点解析：暂无解析9、求∫012／(x＋1)dx．标准答案：∫012／(x＋1)dx＝2∫011／(x＋1)d(x＋1)＝2ln(x＋1)｜01＝2ln2．知识点解析：暂无解析10、计算∫01arctanxdx．标准答案：∫01arctanxdx＝xarctanx｜01－∫01x／(1＋x2)dx＝π／4－(1／2)∫01d(1＋x2)／(1＋x2)＝π／4－ln(1＋x2)／2｜01＝π／4－ln2／2．知识点解析：暂无解析11、设l是曲线y＝x2＋3在点(1，4)处的切线，求由该曲线，切线l及Y轴围成的平面图形的面积S．标准答案：y＝x2＋3，y’＝2x．切点(1，4)，y’(1)＝2．故切线l的方程为y＝2x＋2．S＝∫01[(x2＋3)－(2x＋2)]dx＝(1／3x3－x2＋x)｜01＝1／3．知识点解析：暂无解析12、求曲线y＝ex及直线x＝1，x＝0，y＝0所围成的平面图形D(如图所示)的面积A．标准答案：A＝∫01exdx＝ex｜01＝e－1知识点解析：暂无解析13、求平面图形绕X轴旋转一周所得旋转体的体积Vx．标准答案：Vx＝∫01π(ex)2dx＝π∫01e2xdx＝π／2e2x｜01＝π(e2－1)／2．知识点解析：暂无解析14、求曲线y＝x3与直线y＝x所围图形(如图中阴影部分所示)的面积S．标准答案：由对称性知S＝2∫01(x－x3)dx＝2(x2／2一x4／4)｜01＝1／2．知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)15、设f(x)为可导函数，则[∫f(x)dx]’为()．A、f(x)B、f(x)＋CC、f’(x)D、f’(x)＋C标准答案：A知识点解析：由不定积分的性质“先积分后求导，作用抵消”可知应选A．16、∫(3／x)dx＝()．A、－3／x2＋CB、－3ln｜x｜＋CC、3／x2＋CD、3ln｜x｜＋C标准答案：D知识点解析：由不定积分公式及性质可知，∫(3／x)dx＝3∫(1／x)dx＝3ln｜x｜＋C，故选D．17、∫(e2＋2)dx等于()．A、ex＋CB、ex＋2x＋CC、ex＋x2＋CD、(ex＋2)2＋C标准答案：B知识点解析：由不定积分的基本公式及运算法则可得∫(ex＋2)dx＝∫exdx＋∫2dx＝ex＋2x＋C，因此选B．18、∫(2x＋1)dx＝()．A、2x2＋x＋CB、x2＋x＋CC、2x2＋CD、x2＋C标准答案：B知识点解析：∫(2x＋1)dx＝2∫xdx＋∫dx＝x2＋x＋C，因此选D．19、∫xcosx2dx＝()．A、－2sinx2＋cB、－sinx2／2＋CC、2sinx2＋CD、sinx2／2＋C标准答案：D知识点解析：∫xcosx2dx＝∫cosx2dx2／2＝sinx2／2＋C，因此选D．20、dx)∫0xt2dt＝()．A、x2B、2x2C、xD、2x标准答案：A知识点解析：由可变上限积分求导公式可知(d／dx)∫0xt2dt＝x2，故选A．21、设f(x)为连续函数，F(x)＝∫0xf(2t)dt，则F’(x)等于()．A、f(2x)B、2f(x)C、－f(2x)D、－2f(x)标准答案：A知识点解析：由可变上限积分求导公式可知F’(x)＝{∫0xf(2t)dt}’＝f(2x)因此选A．22、(d／dx)∫12arctanxdx等于()．A、arctan2－arctan1B、arctan2C、arctan1D、0标准答案：D知识点解析：由于定积分∫12arctanxdx存在，它表示一个确定的数值，其导数为零，因此选D．23、∫0π／4cos2xdx等于()．A、－1／2B、0C、1／4D、1／2标准答案：D知识点解析：∫0π／4cos2xdx＝(1／2)sin2x｜0排序4＝1／2，因此选D．24、8)∫0x(1／2)cosxdx＝()．A、－1／2B、0C、1／2D、1标准答案：B知识点解析：∫0π(1／2)cosxdx＝(1／2)∫0πcosxdx＝(1／2)sinx｜0π＝0，因此选25、∫01e－xdx等于()．A、e－1B、e－1－1C、－e－1D、1－e－1标准答案：D知识点解析：∫01e－xdx＝－∫01e－xd(－x)＝－e－x｜01＝1－e－1，因此选D.26、∫1＋∞e－xdx＝()．A、－eB、－e－1C、e－1D、e标准答案：C知识点解析：所给问题为反常积分问题，由定义可知因此选C．三、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)27、设x2为f(x)的一个原函数，则f(x)＝________．标准答案：2x知识点解析：由原函数的概念可知f(x)＝(x2)’＝2x．28、＝________·标准答案：2arcsinx＋C知识点解析：由不定积分的基本公式及运算法则，有29、∫dx／(2＋x)＝________．标准答案：ln｜2＋x｜＋C知识点解析：＝ln｜2＋x｜＋C30、设函数f(x)＝，则f’(0)＝________．标准答案：1知识点解析：由可变上限积分求导公式可知f’(0)＝1．31、∫－11xcosx2dx＝________．标准答案：0知识点解析：由于积分区间为对称区间，被积函数为奇函数，可知∫－11xcosx2＝0．32、∫－11(sinx／cos2x)dx＝________．标准答案：0知识点解析：积分区间为对称区间，被积函数为奇函数，可知∫－11(sinx／cos2x)dx＝0．33、＝________．标准答案：(e－1)／2知识点解析：34、∫0π／2sinxcosxdx＝________．标准答案：1／2知识点解析：∫0xπ／2sinxcosxdx＝∫0π／2sinxdsinx＝(1／2)sin2x｜0π／2＝1／2．35、反常积分∫0xx－4／3dx＝________．标准答案：3知识点解析：由反常积分的定义可知36、若反常积分∫0＋∞k／(1＋x2)dx＝1，其中k为常数，则k＝________．标准答案：2／π知识点解析：所给问题为计算反常积分的反问题，由于因此，应有kπ／2＝1，故k＝2／π．专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷第4套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、计算∫(x＋e－x)dx．标准答案：∫(x＋e－x)dx＝x2／2－∫e－xd(－x)＝x2／2－e－x＋C．知识点解析：暂无解析2、计算∫ex／(ex－1)dx标准答案：＝ln(1＋ex)＋C．知识点解析：暂无解析3、计算∫sin5xdx．标准答案：∫sin5xdx＝∫sin5xd(5x)／5＝－cos5x／3＋C．知识点解析：暂无解析4、计算∫x(1＋x2)2dx．标准答案：∫x(1＋x2)2dx＝(1／2)∫(1＋x2)2d(1＋x2)＝(1／6)(1＋x2)＋C．知识点解析：暂无解析5、计算∫(1＋lnx)／xdx标准答案：知识点解析：暂无解析6、已知sinx是f(x)的一个原函数，求∫xf’(x)dx．标准答案：由于sinx是f(x)的一个原函数，因此有f(x)＝(sinx)’＝cosx．由分部积分公式有∫xf’(x)dx＝xf(x)－∫f(x)dx＝Xcosx－sinx＋C．知识点解析：暂无解析7、标准答案：知识点解析：暂无解析8、计算标准答案：解法1令t＝，则x＝t2，dx＝2tdt．当x＝1时，t＝1；当x＝4时，t＝2．于是解法2知识点解析：暂无解析9、计算∫1exlnxdx．标准答案：∫1exlnxdx＝(1／2)x2lnx｜1e－∫1e(1／2)x2(1／x)dx＝e2／2－x2／4｜1e＝(e2＋1)／4．知识点解析：暂无解析10、计算标准答案：令t＝，则x＝t2，dx＝2tdt．当x＝0时，t＝0；当x＝1时，t＝1．＝2(tet｜01－∫01etdt)＝2(e－e2｜01)＝2．知识点解析：暂无解析11、求由曲线y＝x2(x≥0)，直线y＝1及y轴围成的平面图形的面积．标准答案：y＝x2(x≥0)，y＝1及y轴围成的平面图形D如图所示，其面积为S＝∫01(1－x2)dx＝(x－x3／3)｜01＝2／3．知识点解析：暂无解析设曲线x＝，y＝2及x＝0所围成的平面图形为D．12、求平面图形D的面积S．标准答案：平面图形D如图所示．解法l由解得x＝．于是S＝解法2S＝知识点解析：暂无解析13、求平面图形D绕Y轴旋转一周生成的旋转体体积V．标准答案：V＝π∫02x2dy＝π∫02ydy＝π．y2／2｜02＝2π．知识点解析：暂无解析由曲线y＝x2，直线y＝a，x＝0及x＝1所围成的图形如图中阴影部分所示，其中0≤a≤1．14、求图中阴影部分的面积4．标准答案：由解得x＝知识点解析：暂无解析15、问a为何值时，A的取值最小，并求出此最小值．标准答案：A’(a)＝2a1／2－1，令A’(a)＝0，得唯一驻点a＝1／4．A"(a)＝2a1／2－1，A"(1／4)＝2＞0a＝1／4为A的极小值点．由于驻点唯一，可知a＝1／4也是最小值点．最小值为A(1／4)＝1／4．知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)16、)设函数f(x)＝sinx，则不定积分∫f’(x)dx等于()．A、sinx＋CB、cosx＋CC、－sinx＋CD、－cosx＋C标准答案：A知识点解析：由不定积分性质∫f’(x)dx＝f(x)＋C，可知应选A．17、下列函数中为f(x)＝e2x的原函数的是()．A、exB、e2x／2C、e2xD、2e2x标准答案：B知识点解析：由不定积分概念可知，若f(x)的原函数为F(x)，则∫f(x)dx＝F(x)＋C，又∫f(x)dx＝∫e2xdx＝(1／2)∫e2xd2x＝e2x／2＋C，可知e2x／2为e2x的一个原函数，因此选B．18、∫e－2xdx等于()．A、2e－2x＋CB、e－2x／2＋CC、－2e－2x＋CD、－e－2x／2＋C标准答案：D知识点解析：∫e－2xdx＝∫e－2x．(－1／2)d(－2x)＝－e－2x／2＋C，因此选D．19、(d／dt)＝()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由变限积分求导公式可得因此选B．20、(d／dx)∫12sinxdx等于()．A、0B、cos2－cos1C、sin1－sin2D、sin2－sin1标准答案：A知识点解析：由于定积分∫12sinxdx存在，它表示一个确定的数值，其导数为零，因此选A．21、设f(x)为连续函数，则(d／dx)∫abf(x)dx等于()．A、f(b)－f(a)B、f(b)C、－f(a)D、0标准答案：D知识点解析：由于定积分∫abf(x)dx存在，它表示一个确定的数值，其导数为零，因此选D．22、∫－11(3x2＋sin5x)dx＝()．A、－2B、－1C、1D、2标准答案：D知识点解析：由于积分区间为对称区间，sin5x为奇函数，因此∫－11sin5xdx＝0，由于3x2为偶函数，因此∫－113x2dx＝2∫013x2dx＝2x3｜01＝2．故∫－11(3x2＋sin5x)dx＝∫－113x2dx＋∫－11sin5xdx＝2，因此选D．23、若∫01(2x＋k)dx＝1．则常数k＝()．A、－2B、－1C、0D、1标准答案：C知识点解析：∫01(2x＋k)dx＝∫012xdx＋∫01kdx＝x2｜01＋kx｜01＝1＋k．由题设有1＋k＝1．因此k＝0．24、设0＜a＜b，则∫ab(lnx／x)dx等于()．A、(ln2a－ln2b)／2B、(ln2b－ln2a)／2C、(ln2a－ln2b)D、(ln2b－ln2a)标准答案：B知识点解析：∫ab(lnx／x)dx＝∫ablnxdlnx＝(1／2)ln2x｜ab＝(ln2b－ln2a)．因此选三、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)25、∫(1／x2)dx＝________．标准答案：－1／x＋C知识点解析：由不定积分基本公式可知∫(1／x2)dx＝∫x2dx＝1／(－2＋1)x－2＋1＋C＝－1／x＋C．26、∫(x2－1)dx＝________．标准答案：(1／3)x3－x＋C知识点解析：∫(x2－1)dx＝∫x2dx－∫dx＝(1／3)x3－x＋C．27、∫(1－2x)dx＝________．标准答案：－x2＋C知识点解析：∫(1－2x)dx＝∫dx－∫2xdx＝－x2＋C．28、∫dx／(3－x)＝________．标准答案：－ln｜3－x｜＋C知识点解析：＝－ln｜3－x｜＋C29、∫cos(x＋2)dx＝________．标准答案：sin(x＋2)＋C知识点解析：∫cos(x＋2)dx＝∫cos(x＋2)d(x＋2)＝sin(x＋2)＋C．30、(d／dx)(t3＋t)dt＝________．标准答案：x3＋x知识点解析：由可变上限积分求导公式可知(d／dx)∫0x(t3＋t)＝x3＋x31、)∫－π／4π／4(sinx＋cosx)dx＝________．标准答案：知识点解析：积分区间为对称区间，被积函数中的sinx为奇函数，因此∫－π／4π／4sinxdx＝0，又cosx为偶函数，因此∫－π／4π／4cosxdx＝2∫0π／4cosxdx＝2sinx∫0π／4＝．故原式＝．32、∫012exdx＝________．标准答案：2(e－1)知识点解析：∫012exdx＝2∫01exdx＝2ex｜01＝2(e－1)．33、∫0πcos(x／2)dx＝________．标准答案：2知识点解析：∫0πcos(x／2)dx＝2∫0πcos(x／2)d(x／2)＝2sin(x／2)｜0π＝2．34、定积分＝________．标准答案：－e知识点解析：令t＝1／x，dt＝－1／x2dx．当x＝1／2时，t＝2；当x＝1时，t＝1．因此35、反常积分∫e＋∞1／xlnx＝________．标准答案：＋∞或者发散知识点解析：由反常积分的定义可知因此，答案为＋∞或者发散．36、∫0＋∞1／(1＋x2)dx＝________．标准答案：π／2知识点解析：所给问题为反常积分问题，由定义可知∫0＋∞1／(1＋x2)dx＝因此，答案为π／2．专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷第5套一、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)1、设y＝x－1／x，求dy．标准答案：y＝x－1／x，则y’＝x’－(1／x)’＝1＋1／x2，dy＝y’dx＝(1＋1／x2)dx．知识点解析：暂无解析2、设y＝lnsinx，求y’．标准答案：y＝lnsinx，则y’＝1／sinx．(sinx)’＝cosx／sinx．知识点解析：暂无解析3、设(t为参数)，求．标准答案：知识点解析：暂无解析4、求．标准答案：所给极限为“0／0”型，由洛必达法则可得知识点解析：暂无解析5、计算．标准答案：知识点解析：暂无解析6、求极限标准答案：所给极限为“0／0”型．利用洛必达法则，有知识点解析：暂无解析7、求曲线y＝1／x2＋2在点(1，3)处的切线方程．标准答案：曲线方程为y＝1／x2＋2，点(1，3)在曲线上．因此所求曲线方程为y－3＝－2(x－1)，或写为2x＋y－5＝0．如果f’(x0)≠0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的法线方程为y－f(x0)＝－1／f’(x0)(x－x0)如果f’(x0)＝0，则y＝f(x0)为曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的水平切线．知识点解析：暂无解析8、设曲线方程为y＝ex＋x，求y’｜x＝0以及该曲线在点(0，1)处的法线方程．标准答案：y’＝ex＋1，y’｜x＝0＝2．曲线在点(0，1)处的法线方程为y－1＝－(x－0)／2，即x＋2y－2＝0．知识点解析：暂无解析9、求f(x)＝x3－3x的极大值与极小值．标准答案：f’(x)＝3x2－3，由f’(x)＝3x2－3＝0得驻点x1＝－1，x1＝1；又f”(x)＝6x，则f”(－1)＝－6＜0，f”(1)＝6＞0，故f(－1)＝2为极大值f(1)＝－2为极小值．知识点解析：暂无解析10、求函数f(x)＝(x2－1)3＋3的单调区间和极值．标准答案：函数的定义域为(－∞，＋∞)，f’(x)＝6x(x2－1)2．令f’(x)＝0，得x1＝0，x2＝－1，x3＝1，列表得函数f(x)的单调减区间为(－∞，0]，函数f(x)的单调增区间为[0，＋∞)；f(x)＝2为极小值．知识点解析：暂无解析11、证明：当x＞1时，x＞1＋lnx．标准答案：设f(x)＝x－1－lnx，则f(x)的定义域为(0，＋∞)．f’(x)＝1－1／x，令y’＝0得x＝1．当x＞1时，f’(x)＝1－1／x>0．可知f(x)单调增加．由于f(1)＝0，可知当x＞1时，f(x)＞f(1)＝0，从而x－1－lnx＞0，即X＞1＋lnx．F(x)＝f(x)－g(x)．若F(x0)≥0，且F(x)可导，当x＞x0时，F’(x)＞0，则表明此时，F(x)为单调增加函数．因此F(x)≥F(X0)≥0，即有f(x)≥g(x)．知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)12、设f’(x0)＝1，则等于()．A、2B、1C、1／2D、0标准答案：A知识点解析：由于f(x)在x＝x0处可导，由导数定义可知故选A．13、已知f(x)在x＝1处可导，且f’(1)＝3，则等于()．A、0B、1C、3D、6标准答案：C知识点解析：所给问题为导数定义的问题，由导数定义可知＝f’(1)＝3．故选C．14、设y＝x2－e2，则y’等于()．A、2x－2eB、2x－e2C、2x－eD、2x标准答案：D知识点解析：由导数的基本公式及四则运算法则，有y’＝(x2)’－(e2)’＝2x．故选D．15、设y＝－2ex，则y’＝()．A、exB、2exC、－exD、－2ex标准答案：D知识点解析：由导数的基本公式及四则运算法则，有y’＝(－2ex)’＝－2(ex)’＝－2ex，故选D．16、设y＝1＋sin(x／3)，则)y’(0)等于()．A、1B、1／3C、0D、－1／3标准答案：B知识点解析：由复合函数链式法则及四则运算法则，有y’(0)＝1／3．故选B．17、设y＝3－x，则y’等于()．A、－3－xln3B、－3x／ln3C、3x／ln3D、3－xln3标准答案：A知识点解析：由复合函数链式法则可知(3－x)’＝3－x·ln3·(－x)’＝－3－xln3，因此选A．18、设函数f(x)＝cos2x，则f’(x)＝()．A、2sin2xB、－2sin2xC、sin2xD、－sin2x标准答案：B知识点解析：由复合函数求导法则，可得f’(x)＝－sin2x·(2x)’＝－2sin2x．故选B．19、设y＝sinx＋cosx，则dy等于()．A、(cosx＋sinx)dxB、(－cosx＋sinx)dxC、(cosx－sinx)dxD、(－cosx－sinx)dx标准答案：C知识点解析：由微分的基本公式及四则运算法则可得dy＝d(sinx＋cosx)＝dsinx＋dcosx＝cosxdx－sinxdx＝(cosx－sinx)dx，因此选C．20、设y＝e－3x，则dy等于()．A、e－3xdxB、－e－3xdxC、－3e－3xdxD、3e－－3xdx标准答案：C知识点解析：y’＝(e－3x)’＝e－3x．(－3x)’＝－3e－3x，dy＝y’dx＝－3e－3xdx．故选C．21、)设函数f(x)＝xsinx，则，f’(π／2)＝()．A、1／2B、1C、π／2D、2π标准答案：B知识点解析：f’(x)＝(xsinx)’x’sinx＋x(sinx)’＝sinx＋xcosxf’(π／2)＝1，故选B．22、曲线y＝x3＋1在点(1，2)处的切线的斜率为()．A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：点(1，2)在曲线y＝x3＋1上，y’＝3x2，y’｜x＝1＝3．由导数的几何意义可知，所求切线的斜率为3，因此选C．23、函数f(x)＝x3－12x＋1的单调减区间为()．A、(－∞，＋∞)B、(－∞，－2)C、(－2，2)D、(2，＋∞)标准答案：C知识点解析：f(x)＝x3－12x＋1，f’(x)＝3x2－12＝3(x2－4)，可知当x2－4＜0，即－2＜x＜2时f’(x)＜0，因此f(x)在(－2，2)内单调减少，故选C．24、设f(x)在点x0处取得极值，则()．A、f’(x0)不存在或f’(x0)＝0B、f’(x0)必定不存在C、f’(x0)必定存在且f’(x0)＝0D、f’(x0)必定存在，不一定为零标准答案：A知识点解析：如果f(x)在点x0处可导，且f(x)在点x0处取得极值，由极值的必要条件可知f’(x0)＝0．又如y＝｜x｜在点x＝0处取得极小值，但在点x＝0处不可导．由此可知应选A．三、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)25、设y＝3x，则y’＝________．标准答案：3xln3知识点解析：由导数基本公式可知，y＝3x时，y’＝3xln3．26、设)y＝(2＋x)100，则y’＝________．标准答案：100(2＋x)99知识点解析：y’＝100(2＋x)100－1·(2＋x)’＝100(2＋x)99．27、设y＝x／(1＋x)，则y’＝________·标准答案：1／(1＋x)2知识点解析：28、设y＝x2＋ex，则dy＝________．标准答案：(2x＋ex)dx知识点解析：y＝x2＋ex，y’＝2x＋ex，dy＝y’dx＝(2x＋ex)dx．29、设y＝ex＋1，则dy＝________．标准答案：ex＋1dx知识点解析：由于y＝ex＋1，y’＝ex＋1，从而dy＝ex＋1dx．30、设y＝ex，则y”＝________．标准答案：ex知识点解析：y＝ex，y’＝ex，y”＝ex．31、设y＝e－x，则y”＝________．标准答案：e－x知识点解析：y’＝(e－x)’＝e－x．(－x)’＝－e－x．y”＝(－e－x)’＝－e－x·(－x)’＝e－x．32、函数y＝xlnx的单调增加区间是________．标准答案：x＞1／e(或x≥1／e，或(1／e，＋∞)，或[1／e，＋∞))知识点解析：y＝xlnx的定义域为x＞0．y’＝lnx＋x．1／x＝1＋lnx．令y’＝0得x＝1／e．当x＞1／e时，y’＞0，y单调增加．因此答案为x＞1／e(或x≥1／e，或(1／e，＋∞)，或[1／e，＋∞))33、函数f(x)＝x3／3－3x2＋9x在区间[0，4]的最大值点x＝________．标准答案：4知识点解析：由于f’(x)＝x2－6x＋9＝(x－3)2＝0，得函数的唯一驻点x＝3．又f(3)＝9，f(0)＝0，f(4)＝28／3，可知f(x)在[0，4]上的最大值点为x＝4．34、曲线y＝x3／3－x2＋1的拐点坐标(x0，y0)＝________．标准答案：(1，1／3)知识点解析：由于y’＝x2－2x，y”＝2x－2，令y”＝0，得x＝1．当x＜1时，y”＜0；当x＞1时，y”＞0．当x＝1时，y＝1／3．因此，拐点坐标为(1，1／3)．35、曲线y＝x2－ex的拐点坐标为________．标准答案：(0，－1)知识点解析：由于y’＝x－ex，y”＝1－ex，令y”＝0，得x＝0，此时对应y＝－1．当x＜0时，y”＞0；当x＞0时，y”＜0．可知曲线的拐点坐标为(0，－1)．36、曲线y＝x／(x2＋1)－3的水平渐近线为________．标准答案：y＝－3知识点解析：由于＝－3，可知曲线的水平渐近线为y＝－3．专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设函数f(x)在x=0处连续，且=1，则A、f(0)=0且f－’(0)存在B、f(0)=1且f－’(0)存在C、f(0)=0且f＋’(0)存在D、f(0)=1且f＋’(0)存在标准答案：C知识点解析：因为f(x)在x=0处连续，且=1，所以f(0)=0．从而有=f＋’(0)，故选C．2、设f(x)=e2+，则f’(x)=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：f’(x)=(e2)’+．3、设函数f(x)=xsinx，则f’()=()A、B、1C、D、2π标准答案：B知识点解析：因为f’(x)=sinx+xcosx，所以=1．4、函数f(x)=在x=0处()A、连续且可导B、连续且不可导C、不连续D、不仅可导，导数也连续标准答案：B知识点解析：因为=0=f(0)，所以函数在x=0处连续；又因不存在，所以函数在x=0处不可导．5、设y=x2+2x一1(x＞0)，则其反函数x=φ(y)在y=2处导数是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：y=x2+2x一1(x＞0)，y’=2x+2，y=2时，x=1或x=一3(舍)，y’(1)=4，所以x=φ(y)在y=2处的导数为φ’(2)=，故选A．6、已知f(x)在x=0的某个邻域内连续，且f(0)=0，=2，则在点x=0处f(x)()A、不可导B、可导且f(0)≠0C、取得极大值D、取得极小值标准答案：D知识点解析：因为＞0，由极限的保号性知，存在x=0的某个邻域使＞0，因此在该邻域内有f(x)＞f(0)，所以f(x)在x=0处取极小值，故选D．7、函数y=ex+arctanx在区间[一1，1]上()A、单调减少B、单调增加C、无最大值D、无最小值标准答案：B知识点解析：因y’=ex+＞0处处成立，于是函数在(－∞，+∞)内都是单调增加的，故在[一1，1]上单调增加，在区间端点处取得最值．8、设函数f(x)满足关系式f’’(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，则()A、f(0)是f(x)的极大值B、f(0)是f(x)的极小值C、点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D、f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：由f’(0)=0及f’’(x)+[f’(x)]2=x知f’’(0)=0且f’’(x)=x一[f’(x)]2，又x，f’(x)可导，所以f’’(x)可导，于是f’’’(x)=1—2f’(x)f’’(x)，f’’’(0)=1＞0，而f’’’(0)=，故f’’(x)在x=0左、右两侧异号，故选C．9、设f(x)在[0，a]上二次可微，且xf’(x)一f(x)＜0，则在区间(0，a)内是()A、单调减少B、单调增加C、有增有减D、不增不减标准答案：A知识点解析：在区间(0，a)内单调减少．10、点(0，1)是曲线y=ax3+bx2+c的拐点，则有()A、a=1，b=一3，c=1B、a≠0，b=0，c=1C、a=1，b=0，c为任意D、a、b为任意，c=1标准答案：B知识点解析：(0，1)在曲线上，所以c=1，y’=3ax2+2bx，y’’=6ax+2b，(0，1)为拐点，所以y’’(0)=0，得a≠0，b=0，故选B．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)11、设f’(x)=g(x)，则[f(sin2x)]=________．标准答案：g(sin2x)sin2x知识点解析：[f(sin2x)]=f’(sin2x)．(sin2x)’=2sinxcosxf’(sin2x)=sin2xg(sin2x)．12、设y=(3x+1)27，则y(27)=________．标准答案：327．27！知识点解析：对于形如y=(ax+b)n的函数，其k阶导为y(k)=ak(ax+b)n－k，对于此题n=k=27，a=3，b=1，所以y(27)=27！．327．13、若f’(x0)=1，f(x0)=0，则=_________．标准答案：一1知识点解析：=－f’(x0)=－1．14、函数F(x)=∫1x(2－)dt(x＞0)的单调递减区间是_________．标准答案：0＜x＜知识点解析：由F(x)=∫1x(2一)dt(x＞0)，则F’(x)=2一．令F’(x)=0，得时，F’(x)＜0，F(x)单调递减．15、设点(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点，且f’’(x0)≠0，则f’’(x0)必定_________．标准答案：不存在知识点解析：拐点是二阶导数为0的点或是二阶导数不存在的点．三、简单解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)16、当h→0，f(x0+3h)一f(x0)+2h是h的高阶无穷小量，求f’(x0)．标准答案：因为h→0，f(x0+3h)－f(x0)+2h是h的高阶无穷小量，即所以，3f’(x0)+2=0，即f’(x0)=．知识点解析：暂无解析17、求曲线处的切线方程．标准答案：则根据点斜式求得切线方程为y=a+[x一a[一1)]=x－+2a．知识点解析：暂无解析18、设f(x)在x=1处有连续导数，且f’(1)=2，求．标准答案：知识点解析：暂无解析19、设y=y(x)由所确定，求．标准答案：，由隐函数求导知识点解析：暂无解析20、计算lnl．01的近似值．标准答案：由微分定义可知f(x+△x)=f(x)+f’(x)△x，令f(x)=lnx，则ln1．01=f(1．01)=f(1)+f’(1)．0．01=0+1．0．01=0．01．知识点解析：暂无解析给定曲线y=。21、求曲线在横坐标为x0的点处的切线方程；标准答案：由y’=可知曲线y=在横坐标为x0的点处的切线方程为知识点解析：暂无解析22、求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度．标准答案：由切线方程y一(x—x0)分别令y=0，x=0可求得该切线在x轴，y轴上的截距分别为设该切线被两坐标轴所截线段长度为L，则L2=X2＋Y2=．令=0，得驻点x0=．由此可知，L2在x0=处取得极小值，即最小值，知识点解析：暂无解析23、设f(x)在[a，b]上可导，且f(a)=f(b)=0，证明：至少存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)+f’(ξ)=0．标准答案：因[exf(x)]’=exf(x)+exf’(x)=ex[f(x)+f’(x)]，故设F(x)=exf(x)，显然F(x)在[a，b]上连续且可导，F(a)=F(b)=0．由罗尔定理，至少存在ξ∈(a，b)，使F’(ξ)=0．即eξ[F(ξ)+f’(ξ)]=0，eξ＞0，则f(ξ)+f’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析24、设f(x)在[0，c]上有定义，f’(x)存在且单调减少，f(0)=0，证明对于0≤a≤b≤a+b≤c，恒有f(a+b)≤f(a)+f(b)．标准答案：在[0，a]上用拉格朗日中值定理得f(a)一f(0)=f’(ξ)(a一0)，(0＜ξ＜a)即有f(a)=af’(ξ)，(0＜ξ＜a)再对f(x)在[b，a+b]上应用拉格朗日中值定理得f(b+a)=f(b)+f’(η)a，(b＜η＜a+b)因为f’(x)单调减少，且ξ＜a≤b＜η，则有f’(ξ)＞f’(η)，而a≥0，故af’(ξ)≥af’(η)，于是f(a+b)≤f(b)+af’(ξ)=f(b)+f(a)．知识点解析：暂无解析25、证明：当0＜x＜，sinx+tanx＞2x．标准答案：设f(x)=sinx+tanx一2x，f’(x)=cosx+sec2x一2，f’’(x)=一sinx+2sec2xtanx=sinx(2sec3x一1)＞0，x∈(0，)，因此f’(x)单调增加，故f’(x)＞f’(0)=0，因此f(x)单调增加，故f(x)＞f(0)=0，即sinx+tanx＞2x,x∈(0，)．知识点解析：暂无解析26、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，=1，证明至少存在一个ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=1．标准答案：令F(x)=f(x)一x，则有F(0)=f(0)一0=0，F(1)=f(1)一1=一1＜0，＞0．又F(x)在[，1]上连续，故由零点定理知，存在η∈(，1)，使F(η)=0，在[0，η]上利用罗尔定理知，至少存在ξ∈(0，η)(0，1)，使F’(ξ)=0，f’(ξ)=1．知识点解析：暂无解析27、设一物体下端为直圆柱，上端为半球形，如果此物体的体积为V，问这物体的尺寸各是多少时，才能使其表面积最小?标准答案：设底面半径为r，圆柱高为h，则V=πr2h+πr3，S=3πr2+2πrh，经验证其为极小值点，在此问题中也为最小值点，r代入h中解得h=，所以底面半径和直圆柱的高均为时，S有最小值．知识点解析：暂无解析专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷第7套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设f(x)在x0处不连续，则()A、f’(x0)必存在B、f’(x0)必不存在C、f(x)必存在D、f(x)必不存在标准答案：B知识点解析：f(x)在x0处不连续，是指连续性的三要素之一不满足，因此C、D都不对，由于可导必连续，则不连续必不可导，所以A不对，故选B．2、设函数f(x)=｜x3一1｜φ(x)，其中φ(x)在x=1处连续，则φ(1)=0是f(x)在x=1处可导的()。A、充分必要条件B、充分但非必要条件C、必要但非充分条件D、既非充分又非必要条件标准答案：A知识点解析：由φ(1)=0可知即f＋’(1)=f－’(1)=0，所以，f’(1)=0．设f(x)在x=1处可导，因为f(1)=0，所以(x2+x+1)φ(x)=3φ(1)，3、设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则=()A、一2f’(0)B、一f’(0)C、f’(0)D、0标准答案：B知识点解析：由于f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则=f’(0)一2f’(0)=一f’(0)．4、若f(x一1)=x2一1，则f’(x)等于()A、2x+2B、x(x+1)C、x(x一1)D、2x一1标准答案：A知识点解析：因f(x一1)=x2一1=(x—1)(x一1+2)，故f(x)=x2+2x，则f’(x)=2x＋2．5、函数y=f(x)可导，则y=f｛f[f(x)]｝的导数为()A、f’｛[f(x)]｝B、f’｛f’[f’(x)]｝C、f’｛f[f(x)]｝f’(x)D、f’｛f[f(x)]｝f’[f(x)]f’(x)标准答案：D知识点解析：y’(x)=(f{f[f(x)]})’=f’{f[f(x)]}f’[f(x)]f’(x)，故选D．6、设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f’(x)＜0，则下列结论成立的是()A、f(0)＜0B、f(1)＞0C、f(1)＞f(0)D、f(1)＜f(0)标准答案：D知识点解析：因f’(x)＜0，x∈(0，1)，可知f(x)在[0，1]上是单调递减的，故f(1)＜f(0)．7、设函数f(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导，f’(x)＞0，若f(a)．f(b)＜0，则y=f(x)在(a，b)()A、不存在零点B、存在唯一零点C、存在极大值点D、存在极小值点标准答案：B知识点解析：由题意知，f(x)在(a，b)上单调递增，且f(a)．f(b)＜0，则由零点定理以及单调性可得y=f(x)在(a，b)内存在唯一零点．8、曲线y=()A、没有渐近线B、仅有水平渐近线C、仅有铅直渐近线D、既有水平渐近线，又有铅直渐近线标准答案：D知识点解析：因=1，所以y=1为水平渐近线，又因=∞，所以x=0为铅直渐近线．9、下列函数在给定区间满足罗尔定理条件的有()A、f(x)=B、y=C、y=xex，[0，1]D、y=x2一1，[一1，1]标准答案：D知识点解析：A选项中，函数在x=5处不连续；B选项中，函数在x=1处不连续；C选项中，y(0)≠y(1)；D选项中，函数在[一1，1]连续，在(一1，1)可导，y(－1)=y(1)，符合罗尔定理条件，故选D．10、要制作一个有盖铁桶，其容积为V，要想所用铁皮最省，则底面半径和高的比例为()A、1：2B、1：1C、2：1D、标准答案：A知识点解析：设底面半径为r，高为h，则有V=πr2h，S=2πrh＋2π