云南专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷1（共210题）

云南专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷1（共9套）（共210题）云南专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷第1套一、解答题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)1、讨论函数f(x)=max{x，x4}在(-∞，+∞)内的不可导点的个数。标准答案：故f(x)在x=1处也不可导。故函数f(x)在(-∞，+∞)内的不可导点的个数为2。知识点解析：暂无解析2、求曲线y=3x2-4x+5在点(1，4)处的切线方程和法线方程。标准答案：由y=3x2-4x+5得y’=6x-4。由导数的几何意义可知曲线在点(1，4)处的切线斜率为y’(1)=2。又切线过点(1，4)，所以切线方程为y=4=2(x-1)，即2x-y+2=0。又知法线的斜率为-1/y’(1)=-1/2，从而可得法线方程为y-4=-1/2(x-1)，即x+2y-9=0。知识点解析：暂无解析3、求经过点(0，4)，且与曲线y=2/x相切的直线方程。标准答案：设切点为(x0，2/x0)，因为==-2/x02，所以曲线在点(x0，2/x0)处的切线方程为y-2/x0=-2/x02(x-x0)。把(0，4)代入上式，解得x0=1，故所求直线方程为y-2=-2(x-1)，即2x+y-4=0。知识点解析：暂无解析4、求曲线y=e-x上通过原点的切线方程及与直线x+y=2垂直的法线方程。标准答案：y’=-e-x，曲线y=e-x上任一点(x0，)处的切线方程为y-=-(x-x0)。因为切线过原点，则将x=0，y=0代入得x0=-1，则切点为(-1，e)，故过原点的切线方程为y=-ex。又曲线y=e-x上任一点(x0，)处的法线方程为y-=(x-x0)，因为所求法线与x+y=2垂直，故有·(-1)=-1，得x0=0，则y0=1，从而所求法线方程为y=x+1。知识点解析：暂无解析5、已知曲线y=ax4+bx3+x2+3在点(1，6)处与直线y=11x-5相切，求a，b。标准答案：曲线过点(1，6)，即点(1，6)满足曲线方程，所以6=a+b+4，①又y’=4ax3+3bx2+2x，且曲线在点(1，6)处与y=11x-5相切，所以y’｜x=1=ta+3b+2=11②联立①②解得a=3，b=-1。知识点解析：暂无解析6、设y=x3+ln3x+ln5，求y’。标准答案：y’=3x2log3x+x3·1/xln3+0=3x2log3x+x2/ln3。知识点解析：暂无解析7、设y=cos/(x2-1)，求y’。标准答案：y’=[(x2-1)·(cosx)’-cosx·(x2-1)’]/(x2-1)=[-(x2-1)sinx-2xcosx]/(x2-1)2知识点解析：暂无解析8、设y=arctanx+5sinx，求y’标准答案：y’=(arctanx+5sinx)’=1/(1+x2)+5sinxln5·(sinx)’=1/(1+x2)+5sinxcosx·ln5。知识点解析：暂无解析9、设y=cos3(1-2x)，求y’。标准答案：y’=3cos2(1-2x)·[cos(1-2x)]’=3cos2(1-2x)[-sin(1-2x)]·(-2)=6sin(1-2x)cos2(1-2x)。知识点解析：暂无解析10、已知f(x)=(1/4)ln[(x2-1)/(x2+1)]，求f’(2)。标准答案：f’(x)=(1/4)·[(x2+1)/(x2-1)]·[2x(x2+1)-(x2-1)2x]/(x2+1)2=x/[(x2-1)(x2+1)]=x/(x4-1)，f’(2)=2/15。知识点解析：暂无解析11、设函数f(x)=[x/(1-sinx)]+(1/2)x2，求f’(π)。标准答案：由f(x)=[x/(1-sinx)]+(1/2)x2可得f’(x)=[(1-sinx+xcosx)/(1-sinx)2]+x，则f’(π)=(1-sinπ+πcosπ)/(1-sinπ)2+π=1-π+π=1。知识点解析：暂无解析12、已知y=arccos，求y’。标准答案：知识点解析：暂无解析13、设f(x)=x2，g(x)=ln(1/x)，求f’[g’(x)]。标准答案：因为f’(x)=2x，g’(x)=[1/(1/x)]·(-1/x2)=-1/x，所以f’[g’(x)]=f’(-1/x)=-2/x。知识点解析：暂无解析14、设f(1/x)=x2+1/x+1，求f’(-1)。标准答案：令1/x=t，则x=1/t，f(t)=1/t2+t+1，f’(t)=-2/t3+1，f’(-1)=(-2)/(-1)3+1=3。知识点解析：暂无解析15、设f(x)=(x985-1)g(x)，其中g(x)可导，且g(1)=1，求f’(1)。标准答案：由f(x)=(x985-1)g(x)可得f’(x)=985x984g(x)+(x985-1)g’(x)。又g(1)=1，且g’(1)存在，因此f’(1)=985g(1)+(1-1)g’(1)=985。知识点解析：暂无解析16、已知y=，其中f具有一阶连续导数，求y’。标准答案：知识点解析：暂无解析17、已知y=f(2x)，f’(x)=arctanx2，计算(dy/dx)｜x=1/2。标准答案：令y=f(u)，u=2x，则dy/dx=f’(u)·(du/dx)=arctanu2·2=2arctan(2x)2，所以(dy/dx)｜x=1/2=2arctan1=π/2。知识点解析：暂无解析18、设y=+ex+(1-x)/(1+x)，求y″。标准答案：y=+ex+(1-x)/(1+x)=x1/2+ex+2/(1+x)-1，y’=(1/2)x-1/2+ex-2/(1+x)2，y″=(-1/4)x-3/2+ex+4/(1+x)3知识点解析：暂无解析19、求函数y=ln(x+)的二阶导数y”(1)。标准答案：知识点解析：暂无解析20、求函数y=excosx的n阶导数。标准答案：知识点解析：暂无解析21、设y=(x+2)(2x+3)2(3x+4)3，求y(6)。标准答案：因为y=(x+2)(2x+3)2(3x+4)3，x的最高次项为2233x6，故y(6)=22336!=77760。知识点解析：暂无解析22、设函数f(x)在(-∞，+∞)内n阶可导，且f’(x)=ef(x)，f(2)=1，计算f(n)(2)。标准答案：对f’(x)=ef(x)两边对x求导数得f″(x)=ef(x)·f’(x)=e2f(x)，上式两边再对x求导数得f’’’(x)=e2f(x)·2f’(x)=2e3f(x)，上式两边再对x求导数得f(4)(x)=2e3f(x)·3f’(x)=3!e4f(x)。由以上求导规律可得fn(x)=(n-1)!enf(x)，所以f(n)(2)=(n-1)!en。知识点解析：暂无解析23、设y=y(x)是由方程y3=x+arccosy所确定的函数，求dy/dx。标准答案：方程两边对x求导得3y2(dy/dx)=1-(dy/dx)，整理可得dy/dx=。知识点解析：暂无解析云南专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共24题，每题1.0分，共24分。)1、函数y=(2/3)x-的驻点和极值点的个数分别是()A、1个驻点，2个极值点B、2个驻点，1个极值点C、1个驻点，1个极值点D、2个驻点，2个极值点标准答案：A知识点解析：y=(2/3)x-，x∈R，y’=(2/3)(1-)，令y’=0，得驻点x=1，且y在x=0处不可导。当x＜0时，y’＞0，当0＜x＜1时，y’＜0，当x＞1时，y’＞0，所以x=0和x=1是函数的极值点。因此y=(2/3)x-有1个驻点，2个极值点。2、设函数y=f(x)的导数y’=f’(x)的图形如图2-1所示，则下列结论正确的是()。A、x=-1是f(x)的驻点，但不是极值点B、x=-1为f(x)的极大值点C、x=0是f(x)的极小值点D、x=-1为f(x)的极小值点标准答案：D知识点解析：从图形上可知，f’(-1)=0，因而x=-1为f(x)的驻点。当x＜-1时，f’(x)＜0；当x＞-1时，f’(x)＞0。所以x=-1是y=f(x)的极小值点，故选D。3、设函数f(x)满足关系式f”(x)+[f’(x)]2=-2，且f’(0)=0，则()A、f(0)是f(x)的极大值B、f(0)是f(x)的极小值C、点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D、f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点标准答案：A知识点解析：由f’(0)=0及f”(x)4+[f’(x)]2=-2知f(0)=-2＜0，所以x=0是f(x)的极大值点，且(0，f(0))不是f(x)的拐点。4、设函数f(x)在点x0的某个邻域内可导，且f(x0)为f(x)的一个极大值，则[(x0+8h)-f(x0)]/4h()A、-2B、0C、1D、2标准答案：B知识点解析：因为f(x)在点x0处可导且取得极大值，于是f’(x0)=0，故5、设两个函数f(x)及g(x)都在点x=a处取得极大值，则函数F(x)=f(x)g(x)在点x=a处()A、必取极大值B、必取极小值C、不可能取极值D、是否取极值不能确定标准答案：D知识点解析：A、B项反例：f(x)=1-x2和g(x)=-1/(1-x2)都在点x=0处取得极大值，但f(x)·g(x)=-1在点x=0处不取极值；C项反例：f(x)=-x2和g(x)=-x4都在点x=0处取得极大值，但f(x)g(x)=x6在点x=0处取极小值。针对不同情形，F(x)在点x=a处是否取极佰不能确定，故选D。6、设x=x0为y=f(x)的驻点，则y=f(x)在x0处不一定()A、连续B、可导C、取得极值D、有平行于x轴的切线标准答案：C知识点解析：驻点是导数为零的点，所以A、B项一定成立，由导数的几何意义可知D项成立。驻点不一定是极值点，故选C。7、若x=x0为函数y=f(x)的极大值点，则下列结论正确的是()A、f(x0)比任何点的函数值都大B、不可能存在比f(x0)大的极小值C、x0也可能是区间的端点D、以上说法都不对标准答案：D知识点解析：由题意可知在x0的某个去心邻域内，有f(x)＜f(x0)．极值是局部概念，可能存在比f(x0)大的极小值。但极值点不可能在区间端点取到，故选D。8、设f(x)在[0，a]上有一阶连续导数，且xf’(x)-f(x)＜0，则f(x)/x在区间(0，a)内()A、单调递减B、单调递增C、有增有减D、不增不减标准答案：A知识点解析：在区间(0，a)内，(f(x)/x)’=[xf’(x)-f(x)]/x2＜0，故f(x)/x在区间(0，a)内单调递减。9、设y=f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，若存在唯一点x0∈(a，b)，使f’(x0)=0，且在x0左右两侧f’(x)异号，则点x=x0必为f(x)的()A、极值点且为最值点B、极值点但不是最值点C、最值点但非极值点D、以上都不对标准答案：A知识点解析：根据题意知，x=x0为极值点，又f(x)在(a，b)内可导，且存在唯一极值点，所以x0也为f(x)的最值点。10、设f(x)为偶函数，且二阶可导，f″(0)≠0，则下列结论正确的是()A、x=0不是f(x)的驻点B、x=0不是f(x)的极值点C、x=0是f(x)的极值点D、(0，f(0))是f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：由于f(x)为偶函数，因此有f(x)=f(-x)，则f’(x)=-f’(-x)，f’(0)=-f’(0)，得f’(0)=0。故x=0为f(x)的驻点，又f(0)≠0，所以x=0是f(x)的极值点，且(0，f(0))不是f(x)的拐点。11、设f(x)在(-∞，+∞)内可导，且对任意的x1，x2，当x1＞x1时，都有f(x1)＞f(x2)，则()A、对任意的x，f’(x)＞0B、对任意的x，f’(-x)≤0C、函数f(-x)单调递增D、函数-f(-x)单调递增标准答案：D知识点解析：取f(x)=x3，有f’(x)=3x2，f’(0)=0，f’(-x)=3x2≥0，f(-x)=-x3单调递减，排除A，B，C，故选D。D项证明如下：令F(x)=-f(-x)，当xi＞x2，则-x1＜-x2，f(-x1)＜f(-x2)。所以F(x1)=-f(-xi)＞-f(-x2)=F(x2)，故-f(-x)单调递增。12、函数f(x)=x3+ax2+bx+c，其中a，b，c为实数，当a2-3b＜0时，f(x)是()A、增函数B、减函数C、常数函数D、单调性与a、b取值有关的函数标准答案：A知识点解析：f(x)=x3+ax2+bx+c，x∈R，f’(x)=3x2+2ax+b。当a2-3b＜0时，对于f’(x)=0，由判别式△=4(a2-3b)＜0，可知该方程无解，因此f’(x)＞0恒成立，所以f(x)为增函数。13、已知f(x)在x=0的某邻域内连续，且f(0)=0，f(x)/(1-cosx)=1，则f(x)在点x=0处()A、不可导B、可导且f’(0)≠0C、取得极大值D、取得极小值标准答案：D知识点解析：因为[f(x)/(1-cosx)]＞0，在点x=0的某个去心邻域内有1-cosx＞0，则f(x)＞0=f(0)，所以f(x)在点x=0处取极小值，故选D。14、设函数y=f(x)具有二阶导数，且f’(x)＜0，f”(x)＜0，又△y=f(x+△x)-f(x)，dy=f″(x)△x，则当△x＞0时，有()A、△y＞dy＞0B、△y＜dy＜0C、dy＞△y＞0D、dy＜△y＜0标准答案：B知识点解析：由于f’(x)＜0，△x＞0，可知dy=f’(x)Ax＜0。因此应排除A、C项。由于f”(x)＜0，f’(x)＜0，因此曲线弧f(x)单调下降且为凸的，由曲线弧f(x)的图形可知△y＜dy，故选B。15、曲线y=x3-6x2+3x+4的拐点为()A、(2，-6)B、(-2，-34)C、(2，6)D、(1，2)标准答案：A知识点解析：y’=3x2-12x+3，y”=6x-12，令y”=0，得x=2，此时y=-6。当x＞2时，y”＞0；当x＜2时，y”＜0，故曲线的拐点为(2，-6)。16、曲线y=ex/(1+x)()A、有一个拐点B、有两个拐点C、有三个拐点D、无拐点标准答案：D知识点解析：函数y的定义域为x≠-1。因为y’=xe/(1+x)2，y”=[ex(1+x2)]/(1+x)3，所以y”在定义域内恒不等于0，且无二阶不可导点，所以曲线无拐点。17、曲线y=(x+3)5+3的凸区间为()A、(-∞，-3)B、(-3，+∞)C、(-∞，3)D、(3，+∞)标准答案：A知识点解析：y’=5(x+3)4，y”=20(x+3)3，令y”＜0，得x＜-3，所以曲线的凸区间为(-∞，-3)，故选A。18、曲线y=(2-x)-1/3在(2，+∞)内()A、单调递增且为凸的B、单调递增且为凹的C、单调递减且为凸的D、单调递减且为凹的标准答案：A知识点解析：y’=(1/3)(2-x)-4/3，y”=(4/9)(2-x)-7/3，在(2，+∞)上，y’＞0，y”＜0，故曲线在(2，+∞)内是单调递增且为凸的。19、函数y=2+cos(x/2)在区间(π，2π)内的图形是()A、凹的B、凸的C、既有凹的又有凸的D、直线标准答案：A知识点解析：y=2+cos(x/2)，y’=(-1/2)sin(x/2)，y”=(-1/4)cos(x/2)，当x∈(π，2π)时，y”＞0，从而函数y的图形在(π，2π)内为凹的。故选A。20、若曲线f(x)在(a，b)内任意一点的切线总位于曲线弧上方，则该曲线在(a，b)内是()A、凹的B、凸的C、单调上升D、单调下降标准答案：B知识点解析：由凹凸性的定义可知答案选B。21、若点(0，1)是曲线y=ax3+bx2+c的拐点，则有()A、a=1，b=-3，c=1B、a≠0，b=0，c=1C、a=1，b=0，c为任意实数D、a、b为任意实数，c=1标准答案：B知识点解析：因为(0，1)在曲线上，所以c=1；又y’=3ax2+2bx，y”=6ax+2b，(0，1)为拐点，所以y”(0)=2b=0，得b=0；当a=0时，y=c=1无拐点，所以a≠0，故选B。22、曲线y=1+[ln(1+x)/(x+1)]()A、有水平渐近线，无垂直渐近线B、无水平渐近线，有垂直渐近线C、既有水平渐近线，又有垂直渐近线D、既无水平渐近线，也无垂直渐近线标准答案：C知识点解析：对于y=1+[ln(1+x)/(x+1)]，因为[1+ln(1+x)/(x+1)]=1+/(1+x)=1，故曲线有水平渐近线y=1；又[1+ln(1+x)/(x+1)]=-∞，故曲线有垂直渐近线x=-1。23、曲线y=xsin(1/x)()A、仅有水平渐近线B、仅有垂直渐近线C、既有水平渐近线，又有垂直渐近线D、既无水平渐近线，又无垂直渐近线标准答案：A知识点解析：由于xsin(1/x)=[sin(1/x)/(1/x)]=1，xsin(1/x)=0，因此曲线y=xsin(1/x)只有水平渐近线。24、曲线y=[(x+xsinx)/(x2-1)]的水平渐近线是()A、y=2B、y=-2C、y=1D、y=-1标准答案：D知识点解析：[(x+xsinx)/(x2-1)]=[(1/x+sinx/x)/(1-1/x2)-1]=-1，所以曲线的水平渐近线为y=-1。云南专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设函数y=f(x)在点x0处可导，当自变量x由x0增加到x0+△x时，记△y为f(x)的增量，dy为f(x)的微分，则()A、-1B、0C、1D、∞标准答案：B知识点解析：由微分定义得△y=f(x+△x)-f(x)=dy+0(△x)，其中0(△x)是△x→0时△x的高阶无穷小，于是。2、函数f(x)在点x=x0处连续是它在点x=x0处可微的__________条件。()A、必要不充分B、充分不必要C、充分必要D、无关标准答案：A知识点解析：函数在点x=x0处可微必连续，但连续不一定可微，所以f(x)在点x=x0处连续是它在点x=x0处可微的必要不充分条件。3、设函数y=π3-x，则dy=()A、π3-xlnπdxB、-π3-xlnπdxC、π3-xdxD、-π3-xdx标准答案：B知识点解析：因为y=π3-x，y’=-π3-xlnπ，所以dy=-π3-xlnπdx。4、已知y=，则dy｜x=4=()A、e2/4B、(e2/4)dxC、e2/2D、(e2/2)dx标准答案：B知识点解析：5、下列等式中不正确的是()A、d[1/(1+x2)]=arctanxdxB、(1/2)d(sin2x)=cos2xdxC、D、标准答案：A知识点解析：1/(1+x2)dx=d(arctanx)，所以A项错误。6、已知y=y(x)是由方程x2y-lny-e=0确定的函数，则dy=()A、-[(1-x2y)/2xy]dxB、[(1-x2y)/2xy2]dxC、-[2xy2/(1-x2y)]dxD、[2xy2/(1-x2y)]dx标准答案：D知识点解析：方程两边对x求导得2xy+x2(dy/dx)-1/(1/y)·(dy/dx)=0，整理得(dy/dx)=2xy2/(1-x2y)，则dy=[2xy2/(1-x2y)]dx。二、填空题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)7、设函数f(x)=ln(5x+2)，则=__________。标准答案：20/(5x+2)知识点解析：8、设函数f(x)在x=x0处可导，且f’(x0)≠0，则=__________。标准答案：1/[3f’(x0)]知识点解析：9、若f’(x0)=1，f(x0)=0，则hf(x0-1/h)=__________。标准答案：-1知识点解析：10、若h→0时，f(x0-3h)-f(x0)+2h是h的高阶无穷小量，则f’(x0)=__________。标准答案：2/3知识点解析：由题意知[f(x0-3h)-f(x0)+2h]/h=-3[f(x0-3h)-f(x0)]/(-3h)+2=-3f(x0+2=0，即f’(x0)=2/3。11、设f(x)在x=0处可导，且f’(0)≠0，，则k=__________。标准答案：1/3知识点解析：12、设f(x)=f(x)在点x=1处可导，则a=__________，b=__________。标准答案：-π/4，π/4知识点解析：f(x)在x=1处可导，则f(x)在x=1处连续，则f(x)=f(x)=f(1)，即(ax2+b)=a+b=xcos[(π/2)x]=0=f(1)，所以a+b=0，从而b=-a。又f(x)在x=1处可导，则必有f’-(1)=f’+(1)，故2a=-π/2，则a=-π/4，b=π/4。13、设f(x)=在点x=1处可导，则a=__________，b=__________。标准答案：2e，1-e知识点解析：所以2e=a，即a=2e，b=1-e。14、设函数f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，f’(0)=1，若F(x)=在点x=0处连续，则常数A=__________。标准答案：3知识点解析：15、设函数f(x)=，则f’(0)=__________。标准答案：1知识点解析：16、已知函数y=x3-3x+b与x轴相切，则b2=__________。标准答案：4知识点解析：设曲线y与x轴的切点坐标是(x0，0)，在切点处有y’(x0)=3x02-3=0，即x021。又因为x03-3x0+b=0，所以b=x0(3-x02)=2x0，故b2=4x02=4。17、设曲线y=f(x)和y=x2-x在点(1，0)处有相同的切线，则f(x)在该点处的切线斜率为__________。标准答案：1知识点解析：因为曲线y=f(x)和y=x2-x在点(1，0)处有相同的切线，所以f’(1)=(x2-x)’｜x=1=(2x-1)｜x=1=1，即f(x)在该点处的斜率为1。18、已知曲线y=x2+x-2的切线x的斜率为3，则ι的方程为__________。标准答案：3x-y-3=0知识点解析：设切点为(x0，y0)。由于y’=2x+1，切线ι的斜率为3，则有y’(x0)=2x0+1=3，解得x0=1，则y0=0。因此切线Z的方程为y-0=3(x-1)，即3x-y-3=0。19、若y=x2与y=x3在某点处的切线平行，则该点的横坐标为x=__________。标准答案：0或2/3知识点解析：设y=x2与y=x3在x=x0处的切线平行，则有2x0=3x02，即x0(3x0-2)=0，解得x0=0或2/3。20、若函数f(x)=lg(ex+2)，则[f(0)]’=__________。标准答案：0知识点解析：f(0)=lg3是一个常数，所以[f(0)]’=0。21、已知y=ln[tan(x/2)]，则y’=__________。标准答案：cosx知识点解析：y’=[1/tan(x/2)]·[tan(x/2)]’=[1/tan(x/2)]·sec2(x/2)·(1/2)=cscx。22、设y=sinx4，则dy/dx=__________。标准答案：4x3cosx4知识点解析：dy/dx=cosx4·(x4)’=4x3cosx4。23、设f(x)=x/sinx，则f’(-π/2)=__________。标准答案：-1知识点解析：由于f’(x)=[(x)’sinx-x(sinx)’]/sin2x=(sinx-xcosx)/sin2x，所以f’(-π/2)=-1。云南专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷第4套一、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、证明：若f(x)为可导的奇函数，则其导函数f’(x)为偶函数。标准答案：因为f(x)为奇函数，则f(x)=-f(-x)。知识点解析：暂无解析2、已知g(x)=且f’(x)=1/[lna·f(x)]，其中a＞0且a≠1，证明：g’(x)=2g(x)。标准答案：知识点解析：暂无解析二、选择题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)3、在区间[-1，1]上，下列函数不满足罗尔中值定理条件的是()A、B、f(x)=ln(1+x2)C、f(x)=D、f(x)=1/(1+x2)标准答案：C知识点解析：f(x)=在[-1，0)上无意义，所以f(x)=在[-1，1]上不满足罗尔中值定理的条件。4、下列函数在给定区间上满足罗尔中值定理条件的是()A、y=(1-x2)/(1+x2)，[-1，1]B、y=xe-x，[-1，1]C、y=1/(1+x)，[-1，1]D、y=lnx2，[-1，1]标准答案：A知识点解析：B选项中，y(-1)≠y(1)。C选项中，函数在x=-1处无定义。D选项中，函数在x=0处无定义。A选项中，函数在[-1，1]上连续，在(-1，1)内可导，y(-1)=y(1)，符合罗尔中值定理的条件，故选A。5、函数f(x)=x再在区间[0，3]上满足罗尔中值定理结论中的ξ=()A、2B、3C、0D、1标准答案：A知识点解析：6、设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则曲线y=f(x)在(a，b)内平行于x轴的切线()A、不存在B、只有一条C、至少有一条D、有两条以上标准答案：C知识点解析：由罗尔中值定理结论和其几何意义即得C项正确。7、函数y=cos3x在区间[0，(2/3)π]上满足罗尔中值定理结论中的ξ=()A、0B、π/4C、π/2D、π/3标准答案：D知识点解析：由于函数y=cos3x在[0，(2/3)π]上满足罗尔中值定理的条件，因此必存在ξ∈(0，(2/3)π)，使得y’｜x=ξ=-3sin3x｜x=ξ=-3sin3ξ=0，解得ξ=π/3。8、函数f(x)=x(x-1)(x-3)(x-5)，则方程f’(x)=0实根的个数为()A、2B、3C、4D、5标准答案：B知识点解析：易知f(x)在[0，5]上连续，在(0，5)内可导，且f(0)=f(1)=f(3)=f(5)=0，即f(x)在[0，1]，[1，3]，[3，5]上均满足罗尔中值定理的条件，可知存在ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，3)，ξ3∈(3，5)，使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=f’(ξ3)=0。又知f(x)为四次多项式，f’(x)为三次多项式，故f’(x)最多有3个零点，综上可得f’(x)=0的实根个数为3个，故选B。9、下列函数在给定区间上满足拉格朗日中值定理条件的是()A、y=sinx，[0，π/2]B、y=，[-2，2]C、y=，[0，2]D、y=[-1，1]标准答案：A知识点解析：B选项中，函数在x=1处导数不存在。C选项中，函数在(1，2]上无定义。D选项中，函数在x=0处不连续。A选项中，函数在[0，π/2]上连续，在(0，π/2)内可导，符合拉格朗日中值定理的条件，故选A。10、函数f(x)=ln2x在[1/2，e/2]上满足拉格朗日中值定理结论中的ξ=()A、1/2B、e/2C、(e-1)/2D、2/(e-1)标准答案：C知识点解析：f’(x)=2/2x=1/x，f(x)在[1/2，e/2]上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在一点ξ∈(1/2，e/2)。使f’(ξ)=[f(e/2)-f(1/2)]/(e/2-1/2)=2/(e-1)=1/ξ，解得ξ=(e-1)/2。11、当x→0时，函数sinx+cosx-1是函数x3的()A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶但非等价无穷小D、等价无穷小标准答案：B知识点解析：[(sinx+cosx-1)/x3]=[(cosx-sinx)/3x2]=∞，所以当x→0时，sinx+cosx-1是x3的低阶无穷小。12、下列极限不能用洛必达法则求解的是()A、(1-e2x)/tanxB、(2x2-x-1)/(1-x)C、D、ex/xm(m＞0)标准答案：C知识点解析：C项中分子的极限(-x-1)=1≠0，分母极限(x-1)=0，不是未定式，所以不能用洛必达法则求解。故选C。13、极限(tanx-x)/x3=()A、1/3B、1/2C、1/4D、2标准答案：A知识点解析：[(tanx-x)/x3]=4[(sec2x-1)/3x2]=(tan2x/3x2)=(x2/3x2)=1/3。14、极限(ex-e-x)/x=()A、0B、1C、2D、+∞标准答案：D知识点解析：[(ex-e-x)/x]=(ex+e-x)=+∞。15、若a＞0，则极限[ln(xlnx)/xa]=()A、1B、-1C、∞D、0标准答案：D知识点解析：16、设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，且f’(x)＜0，f”(x)＜0，则下列结论成立的是()A、f(0)＜0B、f’(0)＜f’(1)C、f(1)＞f(0)D、f(1)＜f(0)标准答案：D知识点解析：由f’(x)<0，x∈(0，1)，可知f(x)在[0，1]上是单调递减的，故f(1)＜f(0)。由f”(x)＜0可知f’(x)在[0，1]上是单调递减的，故f’(1)＜f’(0)。17、以下说法正确的是()A、函数f(x)的导数不存在的点一定不是f(x)的极值点B、若x=x0为函数f(x)的驻点，则x=x0必为f(x)的极值点C、若函数f(x)在点x0处有极值，且f’(x0)存在，则必有f’(x0)=0D、若函数f(x)在点x0处连续，则f’(x0)一定存在标准答案：C知识点解析：导数为零的点称为驻点，但驻点不一定是极值点。极值点可能是驻点，也可能是不可导点。可导一定连续，连续不一定可导。故只有C项正确。18、函数y=x-ln(1+x2)的极值()A、为1-ln2B、为-1-ln2C、不存在D、为0标准答案：C知识点解析：y=x-ln(1+x2)，x∈R，y’=1-2x/(1+x2)=(x-1)2/(1+x2)0≥0，等号仅在x=1处成立，故函数单调递增，因此函数y=x-ln(1+x2)的极值不存在。19、函数y=x+1/(1+x)的单调递减区间为()A、(-∞，-2)B、(0，+∞)C、(-2，-1)，(-1，0)D、(-2，0)标准答案：C知识点解析：函数的定义域为(-∞，-1)(-1，+∞)，y’=1-1/(1+x)2=[x(x+2)]/(1+x)2。当y’＜0时，解得-2＜x＜0且x=-1，因此函数f(x)的单调递减区间为(-2，-1)，(-1，0)。20、设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，f’(x)＞0。若f(a)·f(b)＜0，则y=f(x)在(a，b)内()A、不存在零点B、存在唯一零点C、存在极大值点D、存在极小值点标准答案：B知识点解析：由题意知f(x)在(a，b)内单调递增，且f(a)·f(b)＜0，则由零点定理以及单调性可得y=f(x)在(a，b)内存在唯一零点。21、设函数f(x)=(1+x)ex，则函数f(x)()A、只有极小值没有极大值B、只有极大值没有极小值C、既有极小值又有极大值D、无极值标准答案：A知识点解析：f’(x)=ex-(1+x)ex=(x+2)ex，令f’(x)=0，得唯一驻点x=-2，又x＜-2时，f’(x)＜0。x＞-2时，f’(x)＞0。从而f(x)在点x=2处取得极小值，且f(x)只有极小值，没有极大值。22、函数y=arctanx-arccosx在区间[-1，1]上()A、单调递减B、单调递增C、无最大值D、无最小值标准答案：B知识点解析：y’=1/(1+x2)+＞0在-1＜x＜1时成立，于是函数在[-1，1]上单调递增，在区间端点处取得最值。23、下列函数在给定区间上为单调函数的是()A、f(x)=x3，[-1，1]B、f(x)=x2-x，[-1，1]C、f(x)=sinx，[0，π]D、f(x)=｜cosx｜，[0，π]标准答案：A知识点解析：A选项中函数在[-1，1]上是单调递增的。B选项中，y’=2x-1，令y’=0得x=1/2，当-1＜x＜1/2时，y’＜0；当(1/2)＜x＜1时，y’＞0，故函数在(-1，1/2)内是减函数，在(1/2，1)内是增函数。C选项中，函数在(0，π/2)内是增函数，在(π/2，π)内是减函数。D选项中，函数在(0，π/2)内是减函数，在(π/2，π)内是增函数，故选项B、C、D在给定区间上均不是单调的，选A。三、解答题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)24、已知下列命题：命题A：函数f(x)在点x0处可导；命题B：函数f(x)在点x0处可微；命题C：函数f(x)在点x0处连续；命题D：函数f(x)在点x0处极限存在；命题E：函数f(x)在点x0处有定义。试给出以上五个命题之间的相互推导关系。标准答案：注：命题D和命题E之间没有任何关系，即函数在一点处有无极限与函数在该点处有无定义没有任何关系。知识点解析：暂无解析云南专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷第5套一、解答题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)1、设函数y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex-xy2=0所确定，求dy/dx。标准答案：对方程两端关于x求导，得cos(x2+y2)·(2x+2y·(dy/dx))+ex-y2-x·2y·(dy/dx)=0。整理得dy/dx=[y2-ex-2xcos(x2+y2)]/[2ycos(x2+y2)-2xy]。知识点解析：暂无解析2、设s=s(t)是由方程sin(ts)+ln(s-t)=t确定的函数，求(ds/dt)｜t=0。标准答案：sin(ts)+ln(s-t)=t两边对t求导，得cos(ts)·(s+f·ds/dt)+[1/(s-t)]·(ds/dt-1)=1。而当t=0时，s=1，代入上式得(ds/dt)｜t=0=1。知识点解析：暂无解析3、已知由方程x2+xy+y2=4所确定的隐函数为y=y(x)，求dy/dx与d2y/dx2。标准答案：方程两端对x求导，得2x+y+x(dy/dx)+2y(dy/dx)=0，解得dy/dx=-(2x+y)/(x+2y)，从而d2y/dx2=[(2+dy/dx)(x+2y)-(2x+y)(1+2(dy/dx))]/(x+2y)2=-[6(x2+xy+y2)]/(x+2y)3=-24/(x+2y)3。知识点解析：暂无解析4、设y=xx+xa+ax+aa(x＞0，a＞0且a≠1)，求dy/dx。标准答案：由于(xx)’=(exlnx)’=exlnx(xlnx)’=exlnx(1+lnx)=(1+lnx)xx，(xa)’=axa-1，(ax)’=axlna，(aa)’=0，故dy/dx=(1+lnx)xx+axa-1+axlna。知识点解析：暂无解析5、求函数y=的导数。标准答案：知识点解析：暂无解析6、求幂指函数y=(lnx)x的导数。标准答案：b=(lnx)x两端取对数得lny=xln(lnx)，上式两端对x求导数得(1/y)y’=ln(lnx)+[x(1/lnx)]·(1/x)=ln(lnx)+1/lnx，于是y’=(lnx)x[ln(lnx)+1/lnx]。知识点解析：暂无解析7、设y=(1+x)1/cosx，求y’。标准答案：因为y=(1+x)1/cosx=e[ln(1+x)/cosx]，所以知识点解析：暂无解析8、已知y=，求y’。标准答案：等式两边取对数，得lny=2ln(x+2)+(1/2)ln(x-3)-3ln(1-x)-x，知识点解析：暂无解析9、设y=y(x)由所确定，求dy/dx。标准答案：知识点解析：暂无解析10、设y=y(x)由所确定，求dy/dx。标准答案：dx/dt=5t4，dy/dt=lnt+t·(1/t)=lnt+1，故dy/dx=(1+lnt)/5t4。知识点解析：暂无解析11、设y=y(x)由所确定，求dy/dx。标准答案：dx/dt=3cost,dy/dt=-2sintcostdy/dx=-2sintcost/3cost=(-2/3)sint。知识点解析：暂无解析12、设y=y(x)由方程所确定，求(dy/dx)｜x=1。标准答案：dx/dt=2et+2tet=2(t+1)et，dy/dt=3t2-3，dy/dx=(3t2-3)/[2(t+1)et]=3(t-1)/2et。当x=1时，t=0，所以(dy/dx)｜x=1=[3(t-1)/2et]｜t=0=-3/2。知识点解析：暂无解析13、设函数y=y(x)参数方程所确定，求d2y/dx2。标准答案：dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=(3t2+2t)/[1-1/(1+t)]=(t+1)(3t+2)=3t2+5t+2，d2y/dx2=[(d/dt)(dy/dx)]/(dx/dt)=(6t+5)/[1-1/(1+t)]=[(6t+5)(t+1)]/t。知识点解析：暂无解析14、求曲线在t=0的对应点处的切线方程和法线方程。标准答案：将t=0代入方程，得切点(2，1)。又dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=-e-t/2et=-1/2e2t，故曲线在t=0的对应点处的切线斜率k切=(-1/2e2t)｜t=0=-1/2，法线斜率k法=2，所以所求切线方程为y-1=(-1/2)(x-2)，即x+2y-4=0，法线方程y-1=2(x-2)，即2x-y-3=0。知识点解析：暂无解析15、求曲线y+2exy=2在点(0，0)处的切线方程。标准答案：曲线方程两边对x求导，得y’+2(y+xy’)exy=0，所以y’=-2yexy/(1+2xexy)，因为y’｜(0，0)=0，所以曲线在点(0，0)处的切线方程为y=0。知识点解析：暂无解析16、设y=cosx/(3+sinx)(0＜x＜π)，求其反函数x=φ(y)在y=0处的导数。标准答案：y’=[-sinx(3+sinx)-cos2x]/(3+sinx)2=[(-3sinx-1)/(3+sinx)2](0＜x＜π)，令y=0得x=π/2，y’(π/2)=-1/4，所以x=φ(y)在y=0处的导数为1/[y’(π/2)]=-4。知识点解析：暂无解析17、设函数f(x)=求f(x)的导数。标准答案：当x＞0时，f’(x)=cosx；当x＜0时，f’(x)=2x。当x=0时，f(0)在x=0处的导数不存在。所以f(x)在x=0处的导数不存在。知识点解析：暂无解析18、已知函数y=y(x)由方程ey=sin(x+y)确定，求dy。标准答案：将ey=sin(x+y)两边对x求导得ex·y’=cos(x+y)·(1+y’)，知识点解析：暂无解析19、设y=y(x)是由方程2y-x=(x-y)ln(x-y)确定的隐函数，求dy。标准答案：利用一阶微分形式的不变性得2dy-dx=(dx-dy)ln(x-y)+(x-y)·[1/(x-y)](dx-dy)，所以[3+ln(x-y)]dy=[2+ln(x-y)]dx，因此dy=[(2+ln(x-y))/(3+ln(x-y))]dx。知识点解析：暂无解析求下列函数的微分：20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、标准答案：知识点解析：暂无解析22、标准答案：知识点解析：暂无解析23、y=log2(1+x2)标准答案：dy=[1/(1+x2)ln2](1+x2)’dx=[2x/(1+x2)ln2]dx。知识点解析：暂无解析云南专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、曲线y=的垂直渐近线为()A、x=1B、y=0C、y=1D、x=0标准答案：D知识点解析：因为，所以x=0为曲线的垂直渐近线。2、曲线y=(1/x)+ln(1+ex)的水平和垂直渐近线的总条数为()A、0B、1C、2D、3标准答案：C知识点解析：因为y=[1/x+ln(1+ex)]=+∞，y=+ln[(1/x)+ln(1+ex)]=0，所以y=0是曲线的水平渐近线。因为y=[1/x+ln(1+ex)]=∞，所以x=0是曲线的垂直渐近线。综上所述，曲线y=1/x+ln(1+ex)有水平与垂直渐近线共2条。3、要制作一个圆柱形有盖铁桶，其容积为V，要想所用铁皮最省，则底面半径和高的比例为()A、1：2B、1：1C、2：1D、标准答案：A知识点解析：设圆柱形铁桶的底面半径为r，高为h，则有V=πr2h，铁皮的表面积S=2πrh+2πr2=2V/r+2πr2，S’(r)=-2V/r2+4πr=(4πr3-2V)/r2，令S’(r)=0，得r=，由于驻点唯一，且实际问题最值一定存在，所以r=必是最小值点，此时h=，则r：h=1:2。二、填空题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)4、函数f(x)=x3-(3/2)x2在区间[0，3/2]上满足罗尔中值定理结论的ξ__________。标准答案：1知识点解析：f’(x)=3x2-3x=3x(x-1)，因为f(x)在[0，3/2]上满足罗尔中值定理的条件，故存在一点ξ∈(0，3/2)，使得3ξ(ξ-1)=0，解得ξ=1。5、函数f(x)=sin2x在区间[-π/4，π/4]上满足罗尔中值定理结论的ξ=__________。标准答案：0知识点解析：f’(x)=sin2x，因为函数在[-π/4，π/4]上满足罗尔中值定理的条件，故存在一点ξ∈(-π/4，π/4)，使得sin2ξ=0，所以ξ=0。6、函数f(x)=e2x在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理结论的ξ=__________。标准答案：(1/2)ln[(e2-1)/2]知识点解析：f’(x)=2e2x，f(x)在[0，1]上满足拉格朗日中值定理的条件，则至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f(1)-f(0)=f’(ξ)(1-0)，所以ξ=(1/2)ln[(e2-1)/2]。7、函数f(x)=(x-1)/x在[1，2]上满足拉格朗日中值定理结论的ξ=__________。标准答案：知识点解析：f’(x)=1/x2，f(x)在[1，2]上满足拉格朗日中值定理的条件，则至少存在一点ξ∈(1，2)，使得f(2)-f(1)=f’(ξ)(2-1)，即1/ξ2=1/2-0，解得ξ=。8、设函数f(x)=x2+px+q，则函数在[a，b]上满足拉格朗日中值定理结论的ξ=__________。标准答案：(a+b)/2知识点解析：f’(x)=2x+p，由拉格朗日中值定理得存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)=(b2+pb+q-a2-pa-q)/(b-a)=b+a+p，即有2ξ+p=b+a+p，故ξ=(a+b)/2。9、如果f(x)=c2+kx+3在区间[-1，3]上满足罗尔中值定理的条件，则k=__________。标准答案：-2知识点解析：f(x)=x2+kx+3在[-1，3]上连续，在(-1，3)内可导，若f(x)在[-1，3]上满足罗尔中值定理的条件，则f(-1)=f(3)，即4-k=12+3k，解得k=-2。10、已知当x→0时，sinx-x是atanx3的等价无穷小，则a=__________。标准答案：-1/6知识点解析：11、(x2-1)/e2x=__________。标准答案：0知识点解析：[(x2-1)/e2x]=(2x/2e2x)=(2/4e2x)=0。12、ln(cosx)/x2=__________。标准答案：-1/2知识点解析：13、f(x)=ln(1+x2)的单调递增区间为__________。标准答案：(0，+∞)知识点解析：f(x)=ln(1+x2)的定义域为(-∞，+∞)，f’(x)=2x/(1+x2)，令f’(x)＞0得x＞0，所以f(x)的单调递增区间为(0，+∞)。14、f(x)=arctanx2的单调递减区间为__________。标准答案：(-∞，0)知识点解析：f(x)的定义域为(-∞，+∞)，f’(x)=2x/(1+x4)，令f’(x)<0得x＜0，所以f(x)的单调递减区间为(-∞，0)。15、f(x)=x2-3x2+6x-2在[-1，1]上的最大值为__________。标准答案：2知识点解析：f’(x)=3x2-6x+6=3[(x-1)2+1]＞0，函数在R上单调递增，故f(x)在[-1，1]上的最大值为f(1)=1-3+6-2=2。16、点(1，3)是曲线y=ax3+bx2+1的拐点，则a=__________，b=__________。标准答案：-1，3知识点解析：由已知得y’=3ax2+2bx，y″=6ax+2b，因为点(1，3)是曲线y=ax3+bx2+1的拐点，则有y(1)=a+b+1=3，y″(1)=6a+2b=0，解得a=-1，b=3。17、已知函数f(x)=e-xln(ax)在x=1/2处取得极值，则正数a=__________。标准答案：2e2知识点解析：f(x)=e-xln(ax)，a＞0，x＞0，f’(x)=-e-xln(ax)+e-x·(1/x)，又x=1/2为函数f(x)的极值点，所以f(1/2)=0，从而得a=2e2，经验证，当a=2e2时，在x=1/2两侧邻域内f’(x)异号，即x=1/2是函数的极值点。18、当x=1时，f(x)=x3+3px+q取到极值(其中q为任意常数)，则p=__________。标准答案：-1知识点解析：f’(x)=3x2+3p，f(x)在点x=1处取得极值，则f’(1)=3+3p=0，所以P=-1。19、若f(x)=xex，则f(n)(x)的极小值点为__________。标准答案：x=-(n+1)知识点解析：f’(x)=ex+xex=(x+1)ex，f″(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex，f?(x)=ex+(x+2)ex=(x+3)ex，…，f(n)(x)=(x+n)ex，令(f(n)(x))’=f(n+1)(x)=(x+n+1)ex=0，则x=-(n+1)，显然当x＞-(n+1)时，f(n+1)(x)＞0；当x＜-(n+1)时，f(n+1)(x)＜0，因此f(n)(x)的极小值点为x=-(n+1)。20、函数y=x3-12x在区间[-3，33上的最小值为__________。标准答案：-16知识点解析：令y’=3x2-12=0，解得x=2或x=-2。又y(-3)=9，y(-2)=16，y(2)=-16，y(3)=9，比较可得y在[-3，3]上的最小值为-16。21、函数y=(x-2)2(x+1)2/3在区间[-2，2]上的最大值是__________，最小值是__________。标准答案：16，0知识点解析：由于y’=[2(x-2)(4x+1)]/[3(x+1)1/3]，因此函数y在区间(-2，2)内有驻点x=-1/4、不可导点x=-1，依次求出函数在驻点、不可导点及区间端点处的值为y(-1/4)=(-9/4)2(3/4)2/3，y(-1)=0，y(-2)=16，y(2)=0，通过比较这些值的大小可知，函数y在[-2，2]上的最大值为y(-2)=16，最小值为y(-1)=y(2)=0。22、若函数f(x)在[0，1]上满足f”(x)＞0，则f’(0)，f’(1)，f(1)-f(0)的大小顺序为__________。标准答案：f’(1)＞f(1)-f(0)＞f’(0)知识点解析：f″(x)＞0，则f’(x)在[0，1]上单调递增。又由拉格朗日中值定理得f(1)-f(0)=f’(ξ)(1-0)=f’(ξ)，ξ∈(0，1)，故有f’(1)＞f’(ξ)>f’(0)，即f’(1)＞f(1)-f(0)＞f’(0)。23、曲线f(x)=arctanx+2x+3，则其拐点坐标为__________。标准答案：(0，3)知识点解析：函数的定义域为(-∞，+∞)，f’(x)=[1/(1+x2)]+2，f″(x)=-2x/(1+x2)2，令f″(x)=0，得x=0，f(0)=3，又当x＜0时，f(x)＞0；当x＞0时，f(x)＜0，故点(0，3)是其拐点。24、设点(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点，且函数f(x)存在二阶导数，则f”(x0)=__________。标准答案：0知识点解析：拐点为二阶导数为0的点或是二阶不可导点，又由题意可知函数在x=x0处二阶可导，故f″(x0)=0。云南专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷第7套一、证明题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、欲做一个容积为Vm3的无盖圆柱形储粮桶，底面用铝制，侧壁用木板制，已知每平方米铝的价格是木板的价格的5倍，问怎样设计圆柱形桶的尺寸，才能使费用最少?标准答案：设储粮桶的底面半径为rm，高为hm，木板的单价为a元/m2，则有V=πr2h，记制作储粮桶的费用为S(r)。则S(r)=5a·πr2+a·2πr·h=5a·πr2+a·2πr·V/πr2=a(5πr2+2V/r)，r＞0，S’=a(10πr-2V/r2)，令S’=0得r=由于驻点唯一，且实际问题存在最值，所以S在r=处取得最小值，此时h=5，因此当储粮桶底面半径为m，高为5m时，所用材料费用最少。知识点解析：暂无解析2、设有底面为等边三角形的直三棱柱，体积为V，要使其表面积为最小，问底面三角形的边长应为多少?(提示：直三棱柱的体积V=S·h，其中S为底面积，h为高)标准答案：设底面三角形的边长为x，直三棱柱高为y，则V=x2y，y=，表面积知识点解析：暂无解析3、要做一个圆锥形的漏斗，其母线长20cm，要使其体积为最大，问其高应为多少?(提示：圆锥的体积V=(1/3)S·h，其中S为底面积，h为高)标准答案：知识点解析：暂无解析4、设一物体下端为直圆柱，上端为半球体，如果此物体的体积为V，这个物体的尺寸是多少时，才能使其表面积最小?(提示：球的表面积S=4πr2，球的体积V=(4/3)πr3，其中r为球的半径)标准答案：设圆柱底面半径为r，高为h，则该物体的体积V=πr2h+(2/3)πr2，表面积S=3πr2+2πrh，h=V/πr2-(2/3)r，代入S得S=(5/3)πr2+2V/r，所以S’=(10/3)πr-2V/r2，令S’=0得唯一驻点r=，此时h=，由于驻点唯一，且该实际问题最值一定存在，故r=也为最小值点，所以直圆柱的底面半径和高均为，表面积取得最小值。知识点解析：暂无解析5、一艘轮船甲以20海里/时的速度向东行驶，同一时间另一艘轮船乙在其正北82海里处以16海里/时的速度向南行驶，问经过多少时间后，两船相距最近?标准答案：设经过t小时两船相距S海里，如图2-1所示，则S=，即S2=(82-16t)2+(20t)2，所以(S2)’=2·(82-16t)·(-16)+2·20t·20，令(S2)’=0，得驻点t=2，由于驻点唯一，实际问题最值存在，故t=2也为最小值点，故经过两小时后两船相距最近。知识点解析：暂无解析二、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)6、求曲线f(x)=的单调区间和极值。标准答案：x=1为函数的驻点，x=0与x=2为导数不存在的点。令f’(x)＞0，解得0＜x＜1或x＞2；令f’(x)＜0，解得x＜0或1＜x＜2，所以f(x)的单调递增区间为(0，1)和(2，+∞)，单调递减区间为(-∞，0)和(1，2)；极大值为f(1)=1，极小值为f(0)=f(2)=0。知识点解析：暂无解析7、求函数f(x)=log4(4x+1)-(1/2)x-log42的单调区间和极值。标准答案：f(x)的定义域为(-∞，+∞)，f’(x)=4xxln4/(4x+1)ln4-1/2=(4x-1)/2(4x+1)。令f’(x)=0，解得x=0，当x＜0时，f’(x)＜0；当x＞0时，f’(x)＞0。所以f(x)在区间(-∞，0)内单调递减，在(0，+∞)内单调递增；f(0)=0是f(x)的极小值。知识点解析：暂无解析8、求函数y=e2x/x的单调区间和凹凸区间。标准答案：函数y的定义域为(-∞，0)(0，+∞)，且y’=(2xe2x-e2x)/x2=(2x-1)e2x/x2。令y’=0，得x=1/2，当x＞1/2时，y’＞0；当x＜1/2且x≠0时，y’＜0，故y=e2x/x的单调递增区间为(1/2，+∞)，单调递减区间为(-∞，0)，(0，1/2)。又因为y″=(4x2-4x+2)e2x/x3=4[(x-1/2)2+1/4]e2x/x3，所以当x＞0时，y″＞0；当x＜0时，y″＜0，故函数y=e2x/x的凹区间为(0，+∞)，凸区间为(-∞，0)。知识点解析：暂无解析9、已知函数f(x)=x-4lnx，求f(x)的单调区间、极值和凹凸区间。标准答案：函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f’(x)=1-4/x=(x-4)/x。令f’(x)=0，解得驻点x=4。当0＜x＜4时，f’(x)＜0；当x＞4时，f’(x)＞0，f”(x)=4/x2＞0恒成立，因此函数f(x)的单调增加区间是(4，+∞)，单调减少区间是(0，4)；f(x)在x=4处取得极小值，极小值为f(4)=4-8ln2；曲线f(x)的凹区间为(0，+∞)。知识点解析：暂无解析10、求曲线y=x4-2x3+1的凹凸区间和拐点。标准答案：函数y=x4-2x3+1的定义域为(-∞，+∞)。且y’=4x3-6x2，y”=12x2-12x=12x(x-1)，令y”=0，得x1=0，x2=1。当x＜0或x＞1时，y”＞0；当0＜x＜1时，y”＜0。当x=0时，y=1；当x=1时，y=0，所以曲线y的凹区间是(-∞，0)，(1，+∞)，凸区间为(0，1)，点(0，1)和点(1，0)是这条曲线的两个拐点。知识点解析：暂无解析11、求曲线f(x)=x+2x/(x2-1)的凹凸区间和拐点。标准答案：函数f(x)的定义域为x≠±1，f’(x)=1+[2(x2-1)-4x2]/(x2-1)2=(x4-4x2-1)/(x2-1)2。令f”(x)=0，得x=0，此时y=0。当x＞1或-1＜x＜0时，f(x)＞0；当0＜x＜1或x＜1时，f″(x)＜0，所以曲线f(x)的凹区间为(-1，0)，(1，+∞)；凸区间为(0，1)，(-∞，-1)，拐点为(0，0)。知识点解析：暂无解析12、求函数y=x2+2/x的极值、单调区间、凹凸区间、拐点和渐近线。(只考虑水平和垂直渐近线)标准答案：函数的定义域为(-∞，0)(0，+∞)，y’=2x-2/x2=2(x3-1)/x2，令y’=0，得x=1。当x＞1时，y’＞0；当x＜1且x≠0时，y’＜0，所以函数y=x2+2/x在点x=1处取得极小值，且极小值为y(1)=3；函数的单调增加区间为(1，+∞)，单调减少区间为(-∞，0)，(0，1)。因为y″=2(x3+2)/x3，令y”=0，得x=，此时y=0。当x＜时，y”＞0；当＜x＜0时，y”＜0；当x＞0时，y”＞0，所以点(，0)是拐点。函数的凹区间为(-∞，)，(0，+∞)；凸区间为(，0)。又因为(x2+2/x)=∞，(x2+2/x)=∞，所以曲线y=x2+2/x有垂直渐近线x=0，没有水平渐近线。知识点解析：暂无解析13、已知点(1，1)是曲线y=ae1/x+bx2的拐点，求常数a，b的值。标准答案：由题意知ae+b=1，①又因为y’=(-a/x2)e1/x+2bx，y”=(2a/x3)e1/x+(a/x4)e1/x+26，点(1，1)是曲线的拐点，且函数在该点处二阶可导。所以y”｜x=1，即2ae+ae+2b=3ae+2b=0，②由①和②解得a=-2/e，b=3。知识点解析：暂无解析14、设x=±1是f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点，求曲线f(x)的拐点。标准答案：f’(x)=3x2+2ax+b，由于x=±1是f(x)的两个极值点，则，解得a=0，b=-3，故f’(x)=3x2-3，f″(x)=6x，当x＞0时，f(x)＞0；当x＜0时，f”(x)＜0，且x=0时，f(0)=0，所以f(x)的拐点为(0，0)。知识点解析：暂无解析15、设函数y=alnx+6x2+5x在x=1处取得极值且x=1/2为其拐点的横坐标，求a，b的值。标准答案：由题意知y的定义域为(0，+∞)，y’=a/x+2bx+5，y”=-a/x2+26，又由已知条件可得y’(1)=a+2b+5=0，y″(1/2)=-4a+2b=0，联立解得a=-1，b=-2。知识点解析：暂无解析16、试确定常数a，b，c，使曲线y=ax2+bx+cex有拐点(1，e)，且在该点处的切线与直线x+y=0平行。标准答案：已知直线的斜率k=-1，由条件y(1)=e，y’(1)=-1，y”(1)=0即可确定待定常数。又y’=2ax+b+cex，y”=2a+cex，由以上条件可得方程组解得a=-1-e，b=-1，c=2(1+1/e)。知识点解析：暂无解析17、设f(x)=ax3-3ax2+b(a＞0)在区间[-1，3]上的最大值为1，最小值为-3，试求常数a和b的值。标准答案：f’(x)=3ax2-6ax，令f’(x)=0，解得驻点x1=0，x2=2，因此函数在[-1，3]上的最值可能在x=0，由于a＞0，因此f(0)=f(3)=b为函数f(x)在[-1，3]上的最大值，f(-1)=f(2)=-4a+b为f(x)在[-1，3]上的最小值，即有b=1，-4a+b=-3，解得b=1，a=1。知识点解析：暂无解析18、设函数f(x)满足df(x)/de-x=x，求曲线y=f(x)的凹凸区间。标准答案：由题意得df(x)=xde-x=-xe-xdx，即f’(x)=-xe-x，f″(x)=(x-1)e-x，故f(x)在(-∞，+∞)内二阶可导，当x＞1时，f″(x)＞0；当x＜1时，f(x)＜0，所以曲线y=f(x)的凹区间为(1，+∞)，凸区间为(-∞，1)。知识点解析：暂无解析19、已知f(x)=sinx/[x(x-1)]，求曲线f(x)的水平渐近线和垂直渐近线。标准答案：因为[sinx/x(x-1)]，所以y=0为曲线的水平渐近线；因为[(sinx/x·1/(x-1))]=-1，[sinx/x(x-1)]，所以x=1为曲线的垂直渐近线。知识点解析：暂无解析20、设k＞0，求函数f(x)=ln(1+2x)+kx2-2x的极值，并判断是极大值还是极小值。标准答案：函数f(x)的定义域为(-1/2，+∞)。f’(x)=2/(1+2x)+2kx-2=[4kx2+(2k-4)x]/(1+2x)=[2kx(2x+(k-2)/k)]/(1+2k)，令f’(x)=0，解得x=0或x=(2-k)/2k。f″(x)=2k-4/(1+2x)2，故x=0时，f″(0)=2k-4；x=(2-k)/2k时，f″[(2-k)/2k]=k(2-k)，当2k-4＞0，即k＞2时，f(0)>0，x=0为极小值点，极小值f(0)=0；f″[(2-k)/2k]＜0，x=(2-k)/2k为极大值点，极大值f[(2-k)/2k]=ln(2/k)+(k2-4)/4k；当2k-4＜0，即0＜k＜2时，f″(0)＜0，x=0为极大值点，极大值f(0)=0；f″[(2-k)/2k]＞0，x=(2-k)/2k为极小值点，极小值f[(2-k)/2k]=ln(2/k)+(k2-4)/4k；当k=2时，f’(x)=8x2/(1+2x)≥0，函数f(x)不存在极值。知识点解析：暂无解析已知函数y=x3/(x-1)2，求：21、函数的单调区间及极值；标准答案：所给函数的定义域为(-∞，1)(1，+∞)。y’=[x2(x-3)]/(x-1)3，令y’=0，得驻点x=0及x=3。y″=6x/[(x-1)4]，令y″=0，得x=0。列表讨论如下：由上表可知函数的单调递增区间为(-∞，1)，(3，+∞)，单调递减区间为(1，3)；极小值为y｜x=3=27/4；知识点解析：暂无解析22、函数的凹凸区间及拐点；标准答案：由上表可知函数的凸区间是(-∞，0)，凹区间(0，1)，(1，+∞)，拐点为点(0，0)；知识点解析：暂无解析23、函数图形的垂直渐近线。标准答案：由x3/(x-1)2=+∞知，x=1是函数图形的垂直渐近线。知识点解析：暂无解析云南专升本数学（一元函数微分学）模拟试卷第8套一、选择题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)1、设函数f(x)可导，则y=f{f[f(x)]}的导数为()A、f’[f(x)]B、f’{f’[f’(x)]}C、f’{f[f(x)]}f’(x)D、f’{f[f(x)]}f’[f(x)]f’(x)标准答案：D知识点解析：y’={f{f[f(x)])}’=f’{f[f(x)])f’[f(x)]f’(x)，故选D。2、若函数f(x)=5x，则f’(x)=()A、5x-1B、x5x-1C、5xln5D、5x标准答案：C知识点解析：f’(x)=(5n)’=5xln5。3、设f(x)=e2+，则f’(x)=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：f’(x)=(e2)’+()’=1/2。4、设函数f(x)=sin2x+sin2x，则f’(π/2)=()A、0B、-2C、π/2D、2π标准答案：B知识点解析：因为f’(x)=2sinxcosx+2cos2x，所以f’(π/2)=2sin(π/2)cos(π/2)+2cosπ=-2。5、若f(x-1)=x2-1，则f’(x)=()A、2x+2B、x(x+1)C、x(x-1)D、2x-1标准答案：A知识点解析：因为f(x-1)=x2-1=(x-1)(x-1+2)，故f(x)=x2+2x，则f’(x)=2x+2。6、已知f(x)在其定义域内为可导的偶函数，且f’(-3)=-7，则f’(3)=()A、-7B、7C、3D、-3标准答案：B知识点解析：因为f(x)是偶函数，所以f(x)=f(-x)，则f’(x)=f’(-x)，故f’(3)=-f’(-3)=7。7、设函数f(x)可导，则y=f(2/π)的导数y’=()A、(2/x2)f’(2/x)B、(x/2)f’(2/x)C、(-1/x2)f’(2/x)D、(-2/x2)f’(2/x)标准答案：D知识点解析：y=f(2/x)，则y’=f’(2/x)·(2/x)’=(-2/x2)f’(2/x)。8、设函数g(x)可微，h(x)=e3+2g(x)，h’(2)=4，g’(2)=2，则g(2)=()A、ln2-1B、-ln2-1C、-3/2D、3/2标准答案：C知识点解析：由已知条件h(x)=e3+2g(x)可得h’(x)=2e3+2g(x)g’(x)。令x=2，并将h’(2)=4，g’(2)=2代入得4=4e3+2g(2)，从而g(2)=-3/2。9、设函数y=x2+3x+5，则y”=()A、0B、1C、2D、3标准答案：C知识点解析：y’=2x+3，y”=2。10、设y=，则y”=()A、2/xB、1/2x2C、-1/2xD、-1/2x2标准答案：D知识点解析：y″=-1/2x2。11、已知函数．y=ln(1+2x)，则y‴=()A、8/(1+2x)3B、-8/(1+2x)3C、16/(1+2x)3D、-16/(1+2x)3标准答案：C知识点解析：y’=2/(1+2x)，y”=[2(1+2x)-1]’=-2(1+2x)-2·2=-4(1+2x)-2，y?=(-4)·(-2)·(1+2x)-3·2=16(1+2x)-3=16/(1+2x)3。12、已知函数y=cos2x，则y(n)=()A、sin2xB、2nsin[2x+(2/2)π]C、cos2xD、2ncos[2x+(n/2)π]标准答案：D知识点解析：(cos2x)’=-2sin2x=2cos(2x+π/2)，(cos2x)”=-2·2sin2(2x+π/2)=22cos(2x+2π/2)，…，(cos2x)(n)=2ncos(2x+nπ/2)。13、已知函数f(x)=x212+3x210-2x120-5x110+x10-1，则f(211)(2)=()A、2212B、2211C、2．211!D、2．212!标准答案：D知识点解析：因为(xn)(m)=，故f(211)(x)=[212!/(212-211)!]·x+0=212!·x，因此f(211)(2)=2·212!。14、设y=ex+e-x，则y(100)=()A、ex+e-xB、ex-e-xC、-ex+e-xD、-ex-e-x标准答案：A知识点解析：因为(ex)(