陕西专升本（高等数学）模拟试卷1（共198题）

陕西专升本（高等数学）模拟试卷1（共9套）（共198题）陕西专升本（高等数学）模拟试卷第1套一、综合题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、已知，求常数a，b的值．标准答案：因分子极限为0，而比值的极限为1，所以分母极限也一定为0，知识点解析：暂无解析2、设参数方程确定了函数y=f(x)，求标准答案：知识点解析：暂无解析3、求不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析4、设函数z=f(φ(xy)，xy)，其中f具有二阶连续偏导数，φ二阶可导，求标准答案：知识点解析：暂无解析5、设其中f(x)具有二阶导数，且f(0)=0，f’’(0)=2，求F’(0)．标准答案：知识点解析：暂无解析6、设函数z—z(z，y)由方程x2+z2=2yex所确定，求dz标准答案：这是由方程所确定的隐函数求全微分，可有两种方法：知识点解析：暂无解析7、计算二重积分其中D是由直线x=一2，y=0，y=2以及曲线所围成的平面闭区域．标准答案：积分区域D如图所示，D是Y一型的，先x后y积分，得知识点解析：暂无解析8、计算，其中L为沿y=x2从点(0，0)到点(1，1)的一段弧．标准答案：知识点解析：暂无解析9、求幂级数的和函数，指出其收敛域，并数项级数的和?标准答案：知识点解析：暂无解析10、求解微分方程xy’一y=1+x2．标准答案：知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)11、求曲线y=x3一3x+2与它的右极值点处的切线所围成的平面图形的面积A.标准答案：令y’=3x2一3=0，求得驻点为x=±1，所以，右极值点为(1，0)，而曲线在此点的切线为y=0(即x轴)．所以，要求的，面积实际上是曲线y=x3一3x+2与x轴所围成的平面图形的面积，曲线的图形如图所示，要求的面积为知识点解析：暂无解析12、设f(x)在区间[a，b]上可导，且f(a)=f(b)=0，证明：至少存在一点ξ(a，b)，使得f’(ε)=f(ε)．标准答案：令F(x)=e-xf(x)则F(a)=e-af(a)=0F(b)=e-bf(b)=0即有F(a)=F(b)=0由罗尔定理知F(x)在(a，b)内至少存在一点ξ，使得F’(ξ)=0成立，即有：F’(ξ)=e-e(f’(ε)一f(ε))=0成立即有f’(ε)=f(ε)成立．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)13、设函数,则x=0是f(x)的()．A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点标准答案：B知识点解析：所以x=0是f(x)的跳跃间断点．故选B.14、设函数f(x)的一个原函数是，则f’(x)=()。A、B、C、ln｜x｜D、标准答案：D知识点解析：因为f(x)的一个原函数是因此15、设的收敛半径R为()．A、R=2B、R=1C、D、标准答案：D知识点解析：，当2x2＜1时级数收敛，所以故选D.16、设函数在x=0处可导，则a的取值范围是()．A、a=1B、a＞1C、0＜a＜1D、a≤0标准答案：B知识点解析：可以得出a＞0,，当a一1>0即a＞1时极限存在．故选B.17、设直线，则L1与L2的夹角为()．A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：四、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)18、若则f(7)=___________．标准答案：知识点解析：19、曲线的水平渐近线是________，铅直渐近线是_________．标准答案：y=一2，x=0知识点解析：因为所以y=一2是水平渐近线，x=0是铅直渐近线。20、若一平面与a=3i一2j+k和b=i一3j一2k平行，则该平面的一个法向量为____________.标准答案：7i+7j一7k知识点解析：由题可知，求出所确定的平面法向量即可，因故法向量为7i+7j一7k．21、=____________.标准答案：知识点解析：由极根的定义可得22、设函数f(x)连续且满足,则f(x)=_________．标准答案：2xex+2ex知识点解析：两边同时对x求一阶导数得：f’(x)=2ex+f(x)又因为f(0)=2，所以有C=2，所以f(x)=2xex+2ex．陕西专升本（高等数学）模拟试卷第2套一、综合题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、已知极限标准答案：知识点解析：暂无解析2、已知曲线y=ax2+bx2+cx在点(1，2)处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，试求该曲线方程中的a，b，c的值．标准答案：知识点解析：暂无解析3、设函数z=f(xy2，x+y)，其中f(u，v)具有二阶连续偏导数，求标准答案：知识点解析：暂无解析4、设函数f(x)为连续函数，且求f(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析5、一平面过点(1，一2，1)，且平行于向量a={1，2，一3}与b={一1，0，2)，求此平面的方程．标准答案：知识点解析：暂无解析6、求函数z=x2+3xy2一15x一12y的极值．标准答案：在(2，1)处△＜0，A＞0所以(2，1)是极小值点在(1，2)处△＞0所以(1，2)不是极值点在(-2，一1)处△＜0，A＜0所以(-2，一1)是极大值点在(-1，一2)处△＞0所以(-1，一2)不是极值点极大值z(-2，一1)=28极小值z(2，1)=一28知识点解析：暂无解析7、分别用直角坐标和极坐标计算二重积分，其中D={(x，y)｜x2+y2≤x)．标准答案：①利用直角坐标计算：积分区域D如图所示，是一圆盘区域，关于x轴对称，而被积函数关于y是偶函数，所以知识点解析：暂无解析8、计算曲线积分I=∫L(x+ey+1)dx+(xey+y2)dy，其中L是从点(0，0)到(1，1)的任意连续曲线．标准答案：令P=x+ey+1，Q=xey一y2，则P，Q处处有连续的一阶偏导数，且，故由曲线积分与路径无关的条件可知：所给的曲线积分与路径无关．如图所示，选取从O(0，0)到B(1，1)的折线段来做积分(把每段直线段上的积分直接化为定积分来计算)，便得知识点解析：暂无解析9、求幂级数的和函数，指出成立的区间，并求数项级数的和．标准答案：先求收敛半径和收敛区间(这很容易)：，不缺项，R=1当是收敛的交错级数，而当x=1时，是发散的调和级数，所以，收敛区间为x∈[一1，1)．令，两端求导，得，两端再从0到x积分，得但S(0)=0，故要求的和函数为S(x)=一ln(1一x)．知识点解析：暂无解析10、求微分方程y’’一4y’+4y一2x+e2x的通解．标准答案：分两步：第一步，先求对应的齐次方程y’’一4y’+4y=0的通解Y．齐次方程的特征方程为λ2一4λ+4=0，特征根为λ1=λ2=2是二重根，两个线性无关的解为y1=e2x，y2=xex，所以，齐次方程y’’一4y’+4y=0的通解Y为Y=C1y1+C2y2=(C1+C2x)e2x．第二步：再求非齐次方程y’’一4y’+4y=2x+e2x的一个特解y*：非齐次方程y’’一4y’+4y=2x的一个特解非齐次方程y’’一4y’+4y=e2x的一个特解(注意：2是二重根)所以，非齐次方程y’’一4ty’+4y一2x+e2x的一个特解y*为故要求的通解为知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)11、在曲线族y=a(1一x2)(a＞0)中选一条曲线，使这条曲线和它在(一1，0)及(1，0)两点处的法线所围成的图形面积比这族曲线中其他曲线以同样方式围成的面积都小．标准答案：在(1，0)处曲线的法线方程：由对称性，知识点解析：暂无解析12、证明方程在区间(e，e3)内仅有一个实根．标准答案：知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)13、设函数，当x≠0时，F(x)=f(x)，且F(x)在点x=0处连续，则F(0)等于()．A、-1B、0C、1D、2标准答案：C知识点解析：当x≠0时，F(x)=f(x)，所以有：所以为使F(x)在点x=0处连续，则F(0)=1，所以选C.14、设函数f(x)=f(0)+2x+a(x)，且，则f’(0)等于()．A、1B、2C、13D、∝标准答案：B知识点解析：原式变形为：f(x)一f(0)=2x+a(x)，两边取x→0时，即有f’(0)=2，所以选B.15、设．f(x)的一个原函数为e-x，则()．A、lnlnx+CB、C、x+CD、标准答案：D知识点解析：因为f(x)的一个原函数为e-x，所以有所以选D.16、如果级数发散，那么级数()．A、收敛B、发散C、敛散性不定D、上述结论都不正确标准答案：B知识点解析：收敛，矛盾，所以应发散．17、微分方程xy’+(1+x)y=xex的通解是()．A、y=ex+Ce-xB、y=ex+2x+Ce-xC、D、y=2x(ex+Ce-x)标准答案：C知识点解析：四、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)18、已知函数f(x+y,ex-y)=4xyex-y，则函数f(x，y)=_______.标准答案：f(x，y)=(x2一ln2y).y知识点解析：19、曲面在点处的法线方程为______．标准答案：知识点解析：给曲面在点处的法向量为故所求的法线方程为20、设D={(x，y)｜0≤x2+y2≤4}，则二重积分在极坐标系下的二次积分是___________.标准答案：知识点解析：所给区域D是以原点为心，内半径为1而外半径为2的圆环区域，其在极坐标系下的表示为21、若=__________.标准答案：知识点解析：原积分的内层是t的表达式，可记为22、微分方程y’’=y’的通解y=_________.标准答案：C1+C2ex知识点解析：原方程即y’’一y’=0，是一个二阶常系数线性齐次方程，其特征方程为λ2一λ=0，特征根为λ1=0，λ2=1，对应的两个线性无关的解为y1=1和y2=ex，故所求的通解为y=C1y1+C2y2=C1+C2ex(其中C1和C2为任意常数)．陕西专升本（高等数学）模拟试卷第3套一、综合题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、求．标准答案：知识点解析：暂无解析2、设参数方程确定函数y=y(x)，求．标准答案：知识点解析：暂无解析3、求函数的单调区间和极值．标准答案：定义域为(一∞，+∞)，其导数为令f’(x)=0，得驻点x=1，由于x=0，f’(x)不存在，则点x=0，x=1将定义域分成部分区间，可列表讨论如下：如表中所示，f(x)在(一∞，0)与(1，+∞)内单调增加，在(0，1)内单调减少，f(0)=0为极大值；为极小值．知识点解析：暂无解析4、设f(x)的一个原函数为sinx，求∫xf’(x)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析5、已知f(π)=1，且求f(0)．标准答案：知识点解析：暂无解析6、设z=(x2+y2),标准答案：知识点解析：暂无解析7、计算二重积分标准答案：由于内层积分不能积出，因此必须交换积分次序，画出积分区域D如图所示，因此有知识点解析：暂无解析8、计算I=∫L(2xcosy一y2sinx)dx+(2ycosx-x2siny)dy．其中L是x2+y2=a2上从(a，0)到(一a，0)的上半圆周．标准答案：因为故积分与路径无关，可选择从(a，0)到(一a，0)的直线段L1上的积分，L1的方程为y=0，从而知识点解析：暂无解析9、将函数展开成x的幂级数，并指出其收敛区间．标准答案：知识点解析：暂无解析10、设曲线积分∫Lyf(x)dx+[2xf(x)-x2]dy在右半平面x＞0)内与路径无关，其中f(x)在x＞0时有连续的导数，且f(1)=1，求f(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)11、在第一象限内求曲线y=一x2+1上的一点，使该点处的切线与所给的曲线及两坐标轴所围成的平面图形面积最小，并求此最小面积．标准答案：知识点解析：暂无解析12、设a＞b＞0，证明：标准答案：知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)13、若，则k=()．A、1B、一1C、2D、一2标准答案：C知识点解析：所以应选择C,14、设，要使f’(0)存在，则a，b的值应分别为()．A、1，1B、1，0C、0，0D、1，一1标准答案：A知识点解析：15、已知D={(x，y)｜x2+y2≤2x，y≥0}，则=___________．A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：所以应选择B.16、下列级数中绝对收敛的是()．A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：只须判断绝对值级数的收敛性即可．17、直线L的一般式方程化为对称式方程是()．A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：四、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)18、设函数则f(f(1))=______．标准答案：一3知识点解析：由题得f(1)=12+1+2=4所以f(f(1))=f(4)=1—4=一3．19、极限=_______.标准答案：0知识点解析：20、已知a＞0，当x→0时，eax一ax一1与1一cosx是等价无穷小，则常数a=_________．标准答案：a=1知识点解析：又因为a＞0，所以a=1．21、=__________．标准答案：3x2f(x3一2)知识点解析：22、微分方程y’’+y=0的通解y=________．标准答案：C1cosx+C2sinx知识点解析：原方程对应特征方程为：λ2+1=0解得特征根为：λ=±i所以方程通解为：y=C1cosxx+C2sinx陕西专升本（高等数学）模拟试卷第4套一、综合题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、球标准答案：知识点解析：暂无解析2、设(1)当a为何值时，f(x)在x=0点处连续；(2)当a为何值时，点x=0是f(x)的间断点；(3)当a=2时，求f(x)的连续区间．标准答案：(1)f(x)在点x=0处连续必须既左连续又右连续，所以有由得a=1，即当a=1时，f(x)在点x=0处连续．(2)显然当a＞0，a≠1时，点x=0是f(x)的间断点．(3)当a=2时，x=0是f(x)的间断点，所以f(x)的连续区间(一∞，0)U(0，+∞)．知识点解析：暂无解析3、设参数方程标准答案：知识点解析：暂无解析4、计算不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析5、设函数f(x)连续，且标准答案：令u=2x一t，t=2x一u，dt=一du，则知识点解析：暂无解析6、已知z=f(u，v)，u=x+y，n=xy且f(u，v)的二阶导数连续，求标准答案：知识点解析：暂无解析7、计算二重积分标准答案：知识点解析：暂无解析8、求曲线积分其中L是闭曲线x2+y2=a2(a＞0)的正向．标准答案：知识点解析：暂无解析9、求幂级数在收敛区间内的和函数．标准答案：知识点解析：暂无解析10、求方程y’’+2y’=3e-2x+sinx的通解．标准答案：对应齐次方程的特征根为r1=0，r2=一2，故齐次方程的通解为．设y’’+2y’=3e-2x的特解y1*=Axe-2x，则y1*=Ae-2x+Axe-2x(一2)=Ae-2x一2Axe-2xy1*=一2Ae-2x一2Ae-2x一2Axe-2x(一2)=一4Ae-2x+4Axe-2x将和代入方程y’’+2y’=3e-2x，得一4Ae-2x+4Axe-2x+2Ae-2x一4Aze-2x=3e-2x一2Ae-2x=3e-2x又设y2*=Bcosx+Dsinx是y’’+2y’=sinx的特解，则y2*=一Bsinx+Dcosx，y2=一Bcosx—Dsinx将和代入方程y’’+2y’=sinx，得一Bcosx—Dsinx+2(一Bsinx+Dcosx)=sinx(2D—B)cosx一(2B+D)sinx=sinx根据二阶非齐次线性方程解的结构，所给方程的通解为知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)11、求由曲面z=x2+2y2及z=6—2x2一y2所围成的立体体积．标准答案：求投影区域D由x2+2y2=6—2x2一y2，得3x2+3y2=6，即D={(x，y)｜x2+y2≤2}知识点解析：暂无解析12、证明：当x＞0时，ex一1＞(1+x)In(1+x)．标准答案：知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)13、y=ln(x2+2)在x=0处取得其定义域上的()A、极大值但不是最大值B、极大值且是最大值C、极小值但不是最小值D、极小值且是最小值标准答案：D知识点解析：函数的定义域为(一∞，∞)，又令y’=0，得驻点x=0．当一∞＜x＜0时，y’＜0；当0＜x＜+∞时，y’＞0．故x=0是函数y=ln(x2+2)的极小值点．在(一∞，+∞)内函数只有惟一极小值点，所以x=0又是最小值点．故选D。14、=()A、arctanx+CB、C、D、标准答案：C知识点解析：．故选C.15、设a=｜1，2，一3｜，若b平行于a，且，则向量b是()A、±{1，2，一3}B、±{2，4，一6}C、{一2，一4，一6}D、{2，一4，6}标准答案：B知识点解析：故得λ=±2，从而b=±2a一±｜2，2，一6｜，故选B.16、级数的收敛域是()A、[一3，一3)B、[一3，3]C、(一3，3)D、(一3，3]标准答案：A知识点解析：这是调和级数，它是发散的．当x=一3时，级数成为这是莱布尼兹型级数，它是收敛的．综上可知，原幂级数的收敛区间是[一3，3)．故选A.17、方程y’’一4y’一5y=e-x一+sin5x的待定特解形式可设为()A、y=A1e-x+B1sin5xB、y=A1e-x+B1cos5x+B2sin5xC、y=A1ex+B1cos5xD、y=A1xe-x+B1cos5x+B2sin5x标准答案：D知识点解析：方程对应的齐次方程为y’’一4y’一5y=0它的特征方程为r2一4r一5=0，特征值为r1=5，r2=一1因此方程y’’一4y’一5y—e-x+sin5x的通解为y=C1e5x+C2e-x+y10+y20其中y10是y’’一4y’一5y=e-x的特解，且形式为y10=A1xe-x；y20是y’’一4y’一5y—sin5x的特解，且形式为y20=B1cos5x+B2sin5x所以，原方程的特解形式为y10+y20一A1xe+B1cos5x+B2sin5x，故选D.四、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)18、设函数f(x)在点x=x0处可导，且f’(x0)=3，则__________.标准答案：6知识点解析：19、若f’(sin2x)=cos4x，则f(x)=_________．标准答案：知识点解析：20、设函数f(x)=(2x一1)(x一3)(x一7)，则方程f’(x)=0有________个实根．标准答案：2知识点解析：因为f(x)有三个零点，x2=3，x3=7，故在区间，[-3，7]上分别应用罗尔定理，知f’(x)在两个区间内至少各有一个零点，即方程f’(x)=0至少有两个实根。又因为f(x)是三次函数，f’(x)是二次函数，最多有两个零点，从而可确定二次方程f’(x)=0的实根数为2。21、设z=xy，则=_________.标准答案：知识点解析：22、设L为椭圆，其周长为a，则曲线积∮L(3x2+4y2一2)ds=_________．标准答案：10a知识点解析：这是一个对弧长的曲线积分，可利用积分曲线的方程对被积函数进行简化，由于在曲线l上3x2+4y2=12，于是陕西专升本（高等数学）模拟试卷第5套一、综合题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析2、设参数方程确定了函数y=y(x)，求标准答案：知识点解析：暂无解析3、求函数的单调区间和极值．标准答案：当x＜一1时f’(x)＞0，当一1＜x＜5时f’(x)＜0，当x＞5时f’(x)＞0，所以f(x)的单调增区间为(一∞，一1]，[5，+∞)，单调减区间为[一1，5]，f(x)在x=一1处取得极大值，在x=5处取得极小值f(5)=0知识点解析：暂无解析4、求不定积分．标准答案：知识点解析：暂无解析5、设z=f(exsiny，x2+y2)，其中f具有二阶连续的偏导数，求.标准答案：用隐函数求偏导公式知识点解析：暂无解析6、求空间曲线，在点(1，1)处的切线方程和法平面方程．标准答案：曲线方程t=1对应点(1，1，1)知识点解析：暂无解析7、计算二重积分其中积分区域D：x2+y2≤9．标准答案：知识点解析：暂无解析8、计算对坐标的益线积分∮L(x2一xy3)dx+(y2-2xy)dy，其中L是四个顶点分别为(0，0)，(2，0)，(2，2)和(0，2)的正方形区域的正向边界．标准答案：设P(x，y)=x2一xy3Q(x，y)=y2一2xyD：0≤x≤2，0≤y≤2由格林公式知识点解析：暂无解析9、将函数展开为麦克劳林级数．标准答案：知识点解析：暂无解析10、求微分方程y’’一5y’+6y—xe2x的通解．标准答案：所对应齐次方程为y’’一5y’+6y=0特征方程为r2—5r+6=0特征根为r1=2r2=3通解为Y(x)=C1e2x+C2e3x设非齐次方程的特解为y*=x(ax+b)e2x代入方程得一2ax+2a—b=x知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)11、在如xoy面上求一点，使它到x=0，y=0，x+2y一16=0三直线的距离平方和为最小．标准答案：xoy面上点(x，y)到三直线的距离分别为故目标函数由于最小值一定存在，且又有唯一驻点，故其必为最小值点，即即为所求．知识点解析：暂无解析12、试证标准答案：由定积分的比较性质可知，只须证明在(0，e)内知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)13、当x→0时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其余三个更高阶的无穷小量()A、x2B、1一cosxC、D、x—tanx标准答案：D知识点解析：当x→0时A中的x2与自己等价(即x2是x的2阶无穷小)；B中的1一cosx～(即1-cosx是x的2阶无穷小)；C中的是x的2阶无穷小)，从而A、B、C都是x的2阶无穷小；而只有D中的x—tanx是z的3阶无穷小．当x→0时，A中的x2与自己等价(即x2是x的2阶无穷小)；B中的(即1-cosx是x的2阶无穷小)；从而A、B、C都是x的2阶无穷小；而只有D中的x—tanx是x的3阶无穷小(因)，即D是比A、B、C都要高阶的无穷小，故选D.14、设函数，当x≠0时，f(x)一g(x)，若f(x)在x=0处连续，则f(0)=()A、0B、C、D、标准答案：C知识点解析：因f(x)在x=0处连续，所以．而x≠0时，f(x)=g(x)，故故选C.15、设f(x)是连续函数，且则F’(x)=()A、一e-xf(e-x)一f(x)B、一e-xxf(e-x)+f(x)C、e-xf(e-x)一f(x)D、e-xf(e-x)+f(x)标准答案：A知识点解析：16、设D是平面区域a2≤x2+y2≤b2，0＜a＜b，则二重积分=()A、π(a2+b2)B、πa2C、π(b2一a2)D、πb2标准答案：C知识点解析：积分区域D是内半径为a，外半径为b的圆环形，所以，选C.17、直线和平面x一y+2z一8=0的位置关系是()A、平行B、直线在平面内C、斜交D、垂直标准答案：D知识点解析：现在直线L的s={1，一1，2)，平面π的n={1，一1，2)，从而s=n，所以直线L就是平面π的法线，即L⊥π．故选D.四、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)18、设f(x)在点x=0处连续，则x≠0，，则f(0)=________．标准答案：0知识点解析：因f(x)在点x=0处连续，所以19、设则y(n)=______．标准答案：知识点解析：求这类二次分式函数的高阶导数，当分母可分解因式时，应将分式拆分成两个一次分式，再套用高阶导数公式．20、设f(x)是连续函数，=_______．标准答案：0知识点解析：由于x2[f(x)一f(-x)]是奇函数，所以该积分为0．21、已知f(x，y，z)=x2+y2+z2，则gradf(1，一1，2)=_________．标准答案：2i一2j+4k知识点解析：因为gradf={fx’，fy’，fz’)={2x，2y，2z}所以gradf(1，一1，2)={2，一2，4)或2i一2j+4k．22、微分方程的通解是__________．标准答案：y=x(1nCx)2知识点解析：该方程是齐次方程，作变量代换，即y=ux，则陕西专升本（高等数学）模拟试卷第6套一、综合题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设问k为何值时，函数k(x)在定义域内连续．标准答案：知识点解析：暂无解析2、已知当x→∞时，f(x)与为等价无穷小，求．标准答案：知识点解析：暂无解析3、求函数f(x，y，z)=x2yz3的梯度gradf(x，y，z)及其在点(2，一1，1)处方向导数的最大值．标准答案：gradf(x，y，z)={2xyz3，x2z3，3x2yz2}gradf(2，一1，1)={一4，4，一12}．知识点解析：暂无解析4、设z=f(yex，xy2)，其中f具有二阶连续导数，求.标准答案：令yex为第1变量，xy2为第2变量知识点解析：暂无解析5、求曲线的凹凸区间与拐点．标准答案：由上表可见，在区间(一∞，一1)和(0，1)内，曲线上凹，在区间(一1，0)和(1，+∞)内，曲线下凹，点(0，0)为拐点．知识点解析：暂无解析6、求由方程所确定的隐函数z=z(x，y)的全微分．标准答案：知识点解析：暂无解析7、计算，其中区域D={(x，y)｜1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0)．标准答案：知识点解析：暂无解析8、计算曲线积分其中f(s)在(一∞，+∞)内有连续的导数，l为从点到B(1，2)的直线段．标准答案：这是一个单调连通区域，故积分与路径无关，选择从A到B的任一条位于z轴上方的曲线作为积分路径，选择积分路径为折线ACB，其中，注意到知识点解析：暂无解析9、将函数展开为x的幂级数，并写出收敛区间．标准答案：知识点解析：暂无解析10、求微分方程y’’+2y’一3y=e2x的通解．标准答案：该方程的特征方程为r2+2r一3=0，特征根为r=1，一3．因此该方程对应的齐次方程y’’+2y’一3y=0的通解为y=C1ex+C2e-3x．设所给方程的一个特解为y*=ae2x，将其代入原方程有4ae2x+4ae2x一3ae2x=e2x则于是原方程的通解为：．知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)11、在抛物线y=x2(0≤x≤1)上求一点(a，a2)，过此点分别作平行于y轴和x轴的直线x=a，y=a2，设抛物线y=x2与直线x=a和x轴所围成的平面图形的面积为S1，抛物线y=x2与直线y=a2和x=1所围成的平面图形的面积为S2(如图所示)．试求a为何值时，S1+S2为最小．标准答案：知识点解析：暂无解析12、证明：当x＞0时，标准答案：知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)13、如果函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(1一lnx)的定义域为()?A、[1，-ln2]B、[0，1]C、[1，e]D、标准答案：D知识点解析：由1≤1一lnx≤2，得一2≤lnx一1≤一1即一1≤lnx≤0，故，应选择D。14、=()(a≠0)．A、eB、eabC、ebD、eab+c标准答案：B知识点解析：当x→一∞时，此极限为(1∞)型未定式，且与第二个重要极限结构相似，故应利用第二个重要极限计算出结论后再作选择，因为所以应选择B.15、=()．A、1B、一1C、0D、不存在标准答案：A知识点解析：所以应选择A.16、将二重积分化为二次积分，其中D为a≤x≤b,c≤y≤d，则下列式子正确的是()．A、∫aydy∫cdx2y2dyB、∫abdy∫cxx2y2dyC、∫cxdy∫ayx2y2dxD、∫cdy2dy∫abx2dx标准答案：D知识点解析：因为D：a≤x≤b，c≤y≤d为矩形域，所以或∫∫Dx2y2dxdy=∫cdy2dy∫abx2dx故应选择D.17、幂级数的收敛域是()．A、(一9，9)B、(一3，3)C、(一2，4)D、(一2，4]标准答案：C知识点解析：因为所以，原级数的收敛区间是｜x一1｜＜3，即一2＜x＜4，且当x=一2时级数亦发散。故原级数的收敛域是(一2，4)．四、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)18、已知极限，则常数a等于______．标准答案：ln3知识点解析：19、设f’(x0)存在，则极限等于___________．标准答案：3f’(x0)知识点解析：20、曲面ex+y+x2+y2一z2=0在(0，O，1)处的切平面方程是_________．标准答案：x+y一2z=一2知识点解析：F(x)=ex+y+x2+y2一z2，Fx=ex+y+2x，Fy=ex+y+2y，Fz=一2z；Fx｜(0,0,1)=1，Fy｜(0,0,1)=1，Fz｜(0,0,1)=一2切面方程：1.(x一0)+1.(y一0)一2(z一1)=0．即x+y一2z+2=0．21、=_________.标准答案：知识点解析：22、设积分区域D={(x,y)｜0≤y≤x，x2+y2≤2x}，则二重积分等于__________.标准答案：知识点解析：陕西专升本（高等数学）模拟试卷第7套一、综合题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、求极限标准答案：用洛必达法，则知识点解析：暂无解析2、设由参数方程所确定的函数为y=y(x)，求标准答案：知识点解析：暂无解析3、设函数，求f(x)的单调区间和极值，并求曲线y=f(x)的凹凸区间和拐点．标准答案：列表讨论如下：知识点解析：暂无解析4、求不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析5、求曲线y=x3与直线x=2，y=0所围成的平面图形绕y轴旋转一周而成的立体体积．标准答案：平面图形如图所示，曲线y=x3与x=2的交点为(2，8)，故所求旋转体体积为知识点解析：暂无解析6、设，其中f具有二阶连续偏导数，求标准答案：令为第1变量，为第2变量，则知识点解析：暂无解析7、在曲线x=t，y=t2，z=t3上找点，使在该点处的切线平行于平面x+2y+z=4．标准答案：因为,则曲线在对应参数t的点(x，y，z)处切线的方向向量为{1，2t，3t2}，平面的法向量为{1，2，1}．因为直线与平面平行，则{1，2t，3t2){1，2，1)=0即1+4t+3t2=0，解得及t=一1所以曲线上的点为及(一1，1，一1)知识点解析：暂无解析8、计算曲线积分∫L(exsiny-my)dx+(excosy—m)dy，其中L为从A(a，0)O(0，0)的上半圆周，而圆的方程为x2+y2=ax(a＞0)．标准答案：这是一个对坐标的曲线积分，由被积函数的表达式可知，化为定积分计算很困难，而很简单．于是我们想到了格林公式．但积分路径L不封闭，又不能直接使用格林公式，那么添加直线段：y=0，x：0→a，如图所示．知识点解析：暂无解析9、将函数f(x)=ln(1+x一2x2)展开为x=0的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析10、求微分方程y’’+y’一2y=e-x的通解．标准答案：此方程是二阶常系数线性非齐次方程，先求对应齐次方程的通解，再求非齐次方程的一个特解对应齐次方程y’’+y’一2y=0的特征方程r2+r一2=0的特征根为r1=一2，r2=1，所以y’’+y’一2y=0的通解为y=一C1e-2x+C2ex又因f(x)一e-x，设非齐次方程的一个特解为y*=Ae-x则y*’=一Ae-x，y*’’=Ae-x将其代入非齐次方程中，得Ae-x+(一Ae-x)一2Ae-x=e-x即所以，原非齐次方程的通解为知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)11、设函数f(x)在[a，b]上为连续函数，且f(x)＞0求证(1)F’(x)≥2；(2)方程F(x)=0在(a，b)内仅有一个实根．标准答案：知识点解析：暂无解析12、求抛物线y=一x2+4x一3及其在点(0，一3)和(3，0)处的切线所围成的图形的面积．标准答案：∵y’=一2x+4∴曲线在(0，一3)处切线方程为y+3—4(x一0)即y=4x一3知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)13、设函数存在，则a，b的值依次是()A、3，3B、3，4C、4，3D、4，4标准答案：C知识点解析：14、根据定积分的几何意义，下列各式中正确的是()A、B、C、∫0πsinxdx=0D、∫02πsinxdx=0标准答案：D知识点解析：A和B中的两个积分相等(都等于1)，C中的积分等于2，只有D是正确的．15、若平面区域D={(x，y)10≤x≤1，1≤y≤ex)，则二重积分=()A、B、C、eD、1标准答案：B知识点解析：16、幂级数的和函数是()A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：17、设a={2，5，一4}，b={1，2，一2)，则a与b的夹角是()A、0B、C、D、标准答案：D知识点解析：四、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)18、=_________.标准答案：1知识点解析：19、设则f’(1)=__________．标准答案：2知识点解析：20、曲线在点(1，1，1)处的切线方程为__________．标准答案：知识点解析：所给曲线的方程不是参数方程，曲线是空间两张曲面的交线．令y=t，则可将曲线的方程化为参数方程而点，所以，曲线在点t=1处的切向量为T=s={2，1，5}，故切线方程为．而法平面方程为2.(x-1)+1.(y-t)+5.(z-1)=0，即2x+y+5z-8=0．21、函数在点(1，2，3)处的全微分是___________．标准答案：一24dx+12dy+8ln2dz知识点解析：22、设函数f(u)连续，而D：x2+y2≤4，且_______。标准答案：2A知识点解析：首先，由二重积分的可加性，得陕西专升本（高等数学）模拟试卷第8套一、综合题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、求极限：标准答案：知识点解析：暂无解析2、设参数方程标准答案：知识点解析：暂无解析3、试问a为何值时，函数处取得极值，它是极大值还是极小值?并求出此极值．标准答案：f’(x)=acosx+cos3x知识点解析：暂无解析4、设函数，其中函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，求标准答案：令ex+y为第1变量，为第2变量知识点解析：暂无解析5、设函数f(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且f(0)=f’(0)=0，求g’(0)．标准答案：因为f(0)=f’(0)=0，所以知识点解析：暂无解析6、计算不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析7、已知函数f(x)具有二阶连续导数，且满足求∫01x2f’’(2x)dx.标准答案：知识点解析：暂无解析8、计算曲线积分I=∮L(一x2y)dx+xy2dy，其中L是区域D一((x，y)｜x2+y2≤2y)的正向边界曲线．标准答案：知识点解析：暂无解析9、求幂级数26的收敛区间及和函数，并计算级数的和．标准答案：知识点解析：暂无解析10、设，其中f(x)为连续函数，求f(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)11、在曲线y=lnx上求一点(x0，y0)，(2＜x0＜6)使曲线在该点的切线与直线x=2，x=6以及y=lnx所围平面图形面积最小．标准答案：设曲线y=lnx在区间(2，6)内一点为t，过点(t，lnt)的切线方程为令S’(t)=0，得t=4，又当t＜4时，S’(t)＜0，而当t＞4时，S’(t)＞0，所以t=4为极小值点，根据题意也就是最小值点。故曲线y=lnx在区间(2，6)内取点x=4时，该点切线与直线x=2，x=6以及y=1所围平面图形面积最小．知识点解析：暂无解析12、设f(x)在区间[a，b]上可导，且f(a)=f(b)=0，证明：至少存在一点ε∈(a，b)，使得f’(ε)+3ε2f(e)=0．标准答案：设F(x)=exf(x)，则F(x)在f[a，b]上连续，(a，b)内可导，且F(a)=eaf(a)=0，f(a)=eb.f(b)=0由罗尔定理可知，至少存在点ε∈(a，b)，使得F’(ε)=0，即F’(t)=ex2f’(ε)+ex2f’(ε).3ε2=0而ex2≠0，故f’(e)+3ε2f(ε)=0．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)13、下列极限存在的是()．A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：应选择D.14、设则f(x)的间断点为()．A、x=0B、x=1C、x=0和x=1D、不存在标准答案：C知识点解析：的间断点为x=0和x=1，应选择C.15、设=()．A、2B、7C、12D、15标准答案：D知识点解析：故选D.16、设平面2x+5y+3z=3与平面x+ky一2z=10垂直，则k=()．A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：两平面垂直时，两平面的法向量也垂直，所以n1.n2={2，5，3).(1，k，一2)=2+5k一6=0解得所以选择C.17、二元函数的定义域是()．A、{(x，y)｜0≤x≤1，且0≤y≤2}B、{(x，y)｜0≤z≤2，且0≤y≤2}C、{(x，y)｜0≤y≤2，且x≥y}D、{(x，y)10≤y≤2，且y≥x}标准答案：C知识点解析：解得0≤y≤2，且≥y，应选择C.四、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)18、设f(x)的一个原函数为，则∫xf’(x)dx=__________．标准答案：知识点解析：19、=_________．标准答案：∫axf(t)dt+xf(x)知识点解析：因为被积函数中含有变量x，不能直接用变上限定积分的求导公式，但∫axxf(t)dt中积分变量是t，所以X可以提到积分号外面，然后再用乘积的求导法则．即20、由曲线y=4一x2及y=0所围成的图形绕直线x=3旋转一周，所得旋转体的体积V=标准答案：64π知识点解析：如图所示．21、交换积分次序，则=__________.标准答案：知识点解析：由题知，积分区域D为，如图6—21所示，可将积分分为两部分，即22、若L为右图中所示A(0,a)与B之间的一段圆弧，则∫Lxds=__________．标准答案：