经济数学基础（第六版）（上册）课件 第19讲4.5微分方程初步

经济数学基础辅导第19讲顾静相4.5微分方程初步教学要求

了解微分方程的概念，会解简单的一阶微分方程．基本概念

定义4.3含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程．未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程．微分方程中出现的未知函数导数

(或微分)的最高阶数，称为微分方程的阶．基本概念

一阶微分方程的一般形式为

．例如

，都是一阶微分方程．

定义4.3含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程．未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程．微分方程中出现的未知函数导数

(或微分)的最高阶数，称为微分方程的阶．基本概念

定义4.4如果一个函数代入微分方程后，使得方程两端恒等，则此函数称为该微分方程的解．基本概念

定义4.4如果一个函数代入微分方程后，使得方程两端恒等，则此函数称为该微分方程的解．

例如，y=x3+C，y=x3-1都是微分方程

y

=3x2的解．其中，

y=x3+C含有一个任意常数，它称为该微分方程的通解，而

y=x3-1是

C=1时，该微分方程的解，它称为该微分方程的特解．基本概念

为了确定通解中任意常数的值，通常需给出

x=x0

时未知函数对应的值

y=y0，记作

y(x0)

=y0或

．这一条件称为初始条件．可分离变量的微分方程

如果一阶微分方程

F(x,y,y

)=0可以化为

g(y)dy=f

(x)dx(19.1)的形式，则

F(x,y,y

)=0称为可分离变量微分方程．微分方程(19.1)称为变量已分离的微分方程．可分离变量的微分方程

如果一阶微分方程

F(x,y,y

)=0可以化为

g(y)dy=f

(x)dx(19.1)的形式，则

F(x,y,y

)=0称为可分离变量微分方程．微分方程(19.1)称为变量已分离的微分方程．

对变量已分离的微分方程(19.1)，可直接求得其通解．实际上，在(19.1)式两边积分，得

，(19.2)其中

C是任意常数．(19.2)就是微分方程(19.1)的通解表达式．可分离变量的微分方程注意：不定积分

，

分别表示g(y)

和

f

(x)的一个原函数，任意常数

C要单独写出来．例1解微分方程

．可分离变量的微分方程例1解微分方程

．解将原方程改写为：

；分离变量，得：

；两边积分，得：

，即

．可分离变量的微分方程记

，则方程的通解为：

.解将原方程改写为：

；分离变量，得：

；两边积分，得：

，即

．可分离变量的微分方程例2解微分方程

．可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程例2解微分方程

．解分离变量，原微分方程化为：

，两边积分，得：

，即

．由上式解得方程的通解：

.可分离变量的微分方程例3

求微分方程

满足初始条件

的特解．可分离变量的微分方程例3

求微分方程

满足初始条件

的特解．解将原方程化为：

．

分离变量，得：

，两边积分，得：

，

所以，原方程的通解为：

y=Csinx．可分离变量的微分方程由初始条件

，可得

C=3．故所求特解为：

y=3sinx．解将原方程化为：

．

分离变量，得：

，两边积分，得：

，

所以，原方程的通解为：

y=Csinx．一阶线性微分方程

未知函数及其导数都是一次的微分方程，称为一阶线性微分方程．一阶线性微分方程的一般形式为y′+p(x)y=q(x)．

(19.3)如果q(x)0，(19.3)式化为y′+p(x)y=0．

(19.4)称为一阶线性齐次微分方程．当q(x)0时，(19.3)式称为一阶线性非齐次微分方程．一阶线性齐次微分方程的通解

方程

(19.4)

是可分离变量的微分方程．分离变量后，(19.4)式可化为：

，

两边积分，得：

．所以方程

(19.4)

的通解为：

．

(19.5)一阶线性齐次微分方程例4

求下列一阶线性齐次微分方程的通解：

．一阶线性齐次微分方程例5

求一阶线性齐次微分方程=

0

满足初始条件

y(1)

=

1的特解．一阶线性齐次微分方程例4

求下列一阶线性齐次微分方程的通解：

．解

分离变量，得：

，两边积分，得：

，于是，得通解：

．一阶线性齐次微分方程例5

求一阶线性齐次微分方程=

0

满足初始条件

y(1)

=

1的特解．解

分离变量，得：

，

两边积分，得：

，于是，得通解：

．一阶线性齐次微分方程例5

求一阶线性齐次微分方程=

0

满足初始条件

y(1)

=

1的特解．解

分离变量，得：

，

两边积分，得：

，于是，得通解：

．由初始条件

y(1)

=1，可得

C=1．故所求特解为：

．一阶线性非齐次微分方程的常数变易法

一阶线性非齐次微分方程(19.3)的通解可以利用“常数变易法”得到．

首先求得微分方程

(19.3)

对应的一阶线性齐次方程y′+p(x)y=0

的通解

(19.5)，然后将公式

(19.5)

式中的任意常数

C换为待定的函数

C=C(x)，即设方程(19.3)

的通解为：

．

(19.6)一阶线性非齐次微分方程的常数变易法通过推导，得：(C是任意常数)，将上式代入(19.6)式，得：

．(19.7)

可以验证，公式(19.7)就是一阶线性非齐次方程(10.3)的通解，称其为通解公式．

一阶线性非齐次微分方程例6

求微分方程

的通解．一阶线性非齐次微分方程例6

求微分方程

的通解．解先求对应的一阶线性齐次方程：y+2xy=0的通解，得：

．运用“常数变易法”，令原方程的通解为：

，则

．

将

y和

y

代入原方程，得

，即

，积分，得：

．一阶线性非齐次微分方程解先求对应的一阶线性齐次方程：y+2xy=0的通解，得：

．运用“常数变易法”，令原方程的通解为：

，则

．

将

y和

y

代入原方程，得

，即

，积分，得：

．于是原方程的通解为：

．一阶线性非齐次微分方程例7

求微分方程

y

-ycotx=

2xsinx的通解．一阶线性非齐次微分方程例7

求微分方程

y

-ycotx=

2xsinx的通解．解法1

利用“常数变易法”求之，请大家课后练习．解法2用通解公式

(19.7)

求方程的通解，由于

，得