经济数学基础（第六版）（上册）课件 第8讲2.2导数基本公式与运算法则

经济数学基础辅导第8讲顾静相2.2导数基本公式与运算法则教学要求

掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则．四则运算法则

设函数

u(x)，v(x)在点

x

处可导，C

是常数，那么1．加减求导法则：

；即两个函数代数和的导数等于它们导数的代数和．四则运算法则

设函数

u(x)，v(x)在点

x

处可导，C

是常数，那么1．加减求导法则：

，即两个函数代数和的导数等于它们导数的代数和．2．乘法求导法则：

，即两个函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第二个函数的导数乘第一个函数．四则运算法则

设函数

u(x)，v(x)在点

x

处可导，C

是常数，那么1．加减求导法则：

．2．乘法求导法则：

．特别地，如果

v(x)=C，则

；

函数的加减、乘法求导法则也可以推广到有限多个函数的加减、乘积求导的情形．如四则运算法则

设函数

u(x)，v(x)在点

x

处可导，C

是常数，那么3．除法求导法则：

；其中v(x)≠0．即两个函数之商的导数等于分子的导数乘分母，减去分母的导数乘分子，再除以分母的平方．四则运算法则

设函数

u(x)，v(x)在点

x

处可导，C

是常数，那么3．除法求导法则：

；其中v(x)≠0．即两个函数之商的导数等于分子的导数乘分母，减去分母的导数乘分子，再除以分母的平方．特别地，如果

u(x)=C，则

．复合函数求导法则4．复合函数求导法则

定理2.2设函数

在点

x处有导数

，函数

在点

u处有导数

，则复合函数

在该点

x也有导数，且或或．复合函数求导法则

复合函数的求导等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．例1

求函数

的导数．四则运算法则例1

求函数

的导数．解：因为，即所以乘法求导法则四则运算法则例2

求函数

的导数．

t

为常数四则运算法则例2

求函数

的导数．

t

为常数解：等号右边第一项是两个函数的商，用除法求导法则求之；也可以写成

，用乘法求导法则求之．第二项是常数

与对数函数

的乘积，用公式

求之．因为

减法求导法则四则运算法则而除法求导法则四则运算法则而除法求导法则四则运算法则所以例3

求函数

的导数．复合函数求导法则例3

求函数

的导数．解：令

，

，

，则复合函数求导法则例3

求函数

的导数．解：令

，

，

，则利用复合函数求导法则对

u、v、t

求导，最后进行复合．因为，，，复合函数求导法则解：令

，

，

，则

．因为，，，，所以，由复合函数求导公式，得复合函数求导法则例3

求函数

的导数．解：熟练后可直接用复合函数求导法则求之．复合函数求导法则例4

求函数

的导数．复合函数求导法则例4

求函数

的导数．复合函数求导法则解利用对数性质先化简再求导，即

，则

．隐函数求导方法

称由未解出因变量的方程

F(x,y)=0所确定的

y与

x之间的关系为隐函数．例如：，，

．隐函数求导方法

称由未解出因变量的方程

F(x,y)=0所确定的

y与

x之间的关系为隐函数．例如：，，

．

隐函数求导数的方法：方程两端同时对

x

求导，遇到含有

y

的项，先对

y求导，再乘以

y对

x的导数

，得到一个含有

y

的方程式，然后从中解出

y

即可．隐函数求导方法例5求隐函数

的导数．隐函数求导方法例5求隐函数

的导数．隐函数求导法：在该方程两端同时对自变量

x求导，得到一个含有函数

y

的一次方程，再解出

y

．解

因为导数加减运算法则隐函数求导方法隐函数求导法：在该方程两端同时对自变量

x求导，得到一个含有函数

y

的一次方程，再解出

y

．解

因为导数加减运算法则复合、乘法运算法则例5求隐函数

的导数．隐函数求导方法解

因为所以导数加减运算法则复合、乘法运算法则例5求隐函数

的导数．隐函数求导方法例6求曲线

在点

处的切线方程．隐函数求导方法例6求曲线

在点

处的切线方程．解先求由

所确定的隐函数的导数．即在方程等号两边同时对

x求导，得，即，解出

y

，得

．隐函数求导方法解出

y

，得

．在点

M(1,1)处，

．于是，在点

M(1,1)处的切线方程为，即．反函数的求导法则

定理2.3设函数

x=

(y)在某区间内单调、可导且

(y)≠0，则其反函数

y=f(x)在相应区间内也可导，且

，或记作

．即反函数的导数等于直接函数的导数的倒数．反函数的求导法则例7求函数

的导数．反函数的求导法则例7求函数

的导数．解

因为

是

的反函数，且

，

，即．反函数的求导法则例7求函数

的导数．解

因为

是

的反函数，且

，

，即．由导数除法运算法则反函数的求导法则例7求函数

的导数．由导数除法运算法则反函数的求导法则例7求函数

的导数．由导数除法运算法则反函数的求导法则例7求函数

的导数．由得其中，对数求导方法

形如的函数称为幂指函数．

幂指函数如何求导数呢？

一般先对函数的两边取对数，得到一个隐函数，然后在等式两边同时对自变量

x求导，最后解出

y

x．这种方法称为对数求导法．对数求导方法

形如