小升初典型奥数：复杂和差倍问题(讲义)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

复杂和差倍问题复杂和差倍问题【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！2024年9月编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！2024年9月目录导航资料说明第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。第一部分第一部分知识精讲知识清单+方法技巧知识清单+方法技巧一、定义：有的题目需要通过转化而成为和倍、差倍、和差问题，这类问题叫做复杂的和差倍问题。二、解答较复杂的和差倍问题，需要我们从整体上把握住问题的本质，将题目进行合理的转化，从而将较复杂的问题转化为一般和倍、差倍、和差应用题来解决。1、和差问题:已有两个数的和及两个数的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题和差公式:(和-差)÷2=小数(和+差)÷2=大数解答和差问题的关键在于若干个不相等的数的问题化为相等的数的问题。两数和÷份数和＝小数2、和倍问题：小数×倍数＝大数或两数和﹣小数＝大数和倍问题的特点是利用大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数各是多少的应用题，解答和倍应用题的最好助手是，采用画线段图的方法来表示两种量间的数量关系，以便找到解题的途径．3、含义：差倍问题即已知两数之差和两数之间的倍数关系，求出两数．公式：差÷（倍数﹣1）＝小数；小数+差或小数×倍数＝大数．差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到1倍量，再画图确定解题方法．被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然后求出另一个数，最后再写出验算和答题．第二部分第二部分典型例题例题1：少先队员参加植树活动，六年级植树的棵数是五年级的1.5倍，两个年级一共植树120棵。五年级和六年级各植树多少棵？【答案】五年级48棵，六年级72棵。【分析】根据题意可知五年级植树棵数+六年级植树棵数＝120，设五年级植树棵数是x，则六年级植树棵数是1.5x。则x+1.5x＝120，求解x即可求出五年级植树棵数，进而求出六年级植树棵数，据此解答。【解答】解：设五年级植树棵数是x，则六年级植树棵数是1.5x。x+1.5x＝1202.5x＝120x＝120÷2.5x＝481.5x＝1.5×48＝72答：五年级植树48棵，六年级植树72棵。【点评】本题考查了用列方程解决和倍问题的方法。例题2：水果店新进一批香蕉和苹果共216箱，其中香蕉的箱数是苹果的3.5倍，香蕉和苹果各有多少箱？【答案】168箱；48箱。【分析】根据和倍问题公式：“和÷（倍数+1）＝较小数，较小数×倍数＝较大数（或和﹣较小数＝较大数）”，据此代入数据解答即可。【解答】解：216÷（3.5+1）＝216÷4.5＝48（箱）48×3.5＝168（箱）答：香蕉有168箱，苹果有48箱。【点评】熟练掌握和倍问题公式：“和÷（倍数+1）＝较小数，较小数×倍数＝较大数（或和﹣较小数＝较大数）”是解题的关键。例题3：一个养殖场一共养鸡680只，其中母鸡的只数是公鸡的2.4倍。公鸡和母鸡各有多少只？【答案】公鸡200只，母鸡480只。【分析】将公鸡只数看作1份，则母鸡只数有2.4份，合起来共（1+2.4）份，据此先用680只除以（1+2.4），求出公鸡只数，然后用公鸡只数乘2.4，求出母鸡只数即可。【解答】解：680÷（1+2.4）＝680÷3.4＝200（只）200×2.4＝480（只）答：公鸡有200只，母鸡有480只。【点评】解答本题需熟练掌握和倍问题的解答方法，准确分析题意。例题4：学校图书馆有故事书248本，连环画166本．故事书和连环画的总数正好是科技书的3倍．该校有科技书多少本？【答案】见试题解答内容【分析】用故事书的本数加上连环画的本数求出故事书和连环画的总数，除以3即可．【解答】解：（248+166）÷3＝414÷3＝138（本）答：该校有科技书138本．【点评】解答本题的关键是求出故事书和连环画的总数，再根据整数除法的意义求出科技书的本数即可．第三部分第三部分高频真题1．甲乙两个仓库共存放了318吨货，甲仓库比乙仓库多存放28吨货。甲乙两仓库分别存放了多少吨货物？2．小宁和小星共有邮票96枚，小宁给小星10枚后，两人的邮票枚数一样多，两人原来各有邮票多少枚？（先画出线段图，再解答）3．随着网购的发展和普及，快递包裹的数量也急剧上升，各快递公司纷纷引入机器人代替人工分拣包裹。据某快递公司智能中心的工作人员介绍，甲、乙两种型号的机器人一天共可以分拣包裹16万件，甲型号机器人的分拣速度是乙型号机器人分拣速度的3倍。甲型号机器人一天可以分拣多少万件包裹？4．同学们去参加植树活动，五年级去的人数是四年级的1.2倍。若从五年级调10人去四年级，则两个年级植树的人数一样多。原来两个年级各去了多少人？5．把一根长360米的绳子剪成两段，第二段的长度是第一段的2倍。这两段绳子的长度分别是多少？6．学校有月季花与玫瑰花一共264棵。其中月季花的数量比玫瑰花的4倍多4棵。月季花与玫瑰花各有多少棵？7．甲、乙两班共有学生116人，甲班人数比乙班多6人，原来甲班、乙班各有学生多少人？8．光明小学共有学生500人，其中男生比女生多32人，男、女生各有多少人？9．篮球小组和足球小组共有135人，篮球小组人数是足球小组的4倍，篮球小组有多少人？10．把一根长100米的绳子分成三段，使第一段比第二段长3米，第二段比第三段长5米。三段绳子各长多少米？11．花店里有向日葵和百合共76枝，卖掉26枝百合后，向日葵和百合的枝数同样多。花店里原来有向日葵多少枝？有百合多少枝？12．有一个数，如果把它的小数部分扩大到原来的3倍再加上整数部分，这个数就变成了8.8；如果把它的小数部分扩大到原来的7倍再加上整数部分，这个数就变成了11.2。这个数是多少？13．星星超市5月份卖出纯牛奶和酸奶共420箱，其中卖出的纯牛奶箱数比酸奶多2倍，星星超市卖出的纯牛奶和酸奶各多少箱？14．节约用水，人人有责。在一次节水活动中，光明小学四、五、六月份共用水50吨，其中四月份比五月份多用水4吨，六月份比五月份少用水2吨。光明小学四、五、六月份各用水多少吨？（先把下面的线段图补充完整，再解答）四月：五月：六月：15．养鸡场一共养鸡900只，其中母鸡的只数是公鸡的1.5倍。养鸡场养的母鸡和公鸡各有多少只？16．学校买来的篮球和排球一共有117个，其中篮球的个数比排球的2倍还多9个，学校买来篮球和排球各多少个？17．一个双层书架，上层书的本数是下层的4倍，如果从上层搬60本放到下层，那么两层的本数正好相等。原来上、下两层各有图书多少本？（先画线段图表示出条件和问题，再解答）18．功夫熊猫阿宝一天早晨、中午和晚上一共吃了130个包子，中午吃的个数是早晨的2倍，晚上吃的个数比早晨的2倍还多5个。那么阿宝这天晚上吃了多少个包子？19．学校门口放有红、黄、蓝三种颜色的花。其中黄花的盆数最多，既是红花盆数的4倍，也是蓝花盆数的3倍，如果蓝花比红花多20盆，请问：学校门口一共有多少盆花？20．甲、乙两筐苹果，甲筐苹果的个数是乙筐的1.8倍。如果从甲筐取出24个苹果放入乙筐，这时两筐中的苹果个数相等。原来两筐各有多少个苹果？21．2023年12月18日甘肃省积石山县发生6.2级地震后，全国各地为灾区捐款捐物。某公司为灾区捐赠大米和小麦共75万千克，其中捐赠的大米是小麦的1.5倍。（1）捐赠的小麦有多少万千克？（2）捐赠的大米有多少万千克？22．六（1）班的男生人数和女生人数同样多。抽去18名男生和26名女生参加合唱队后，剩下的男生人数是剩余女生人数的3倍。六（1）班原有男、女生各多少人？23．学校体育器材室里足球的数量是篮球的一半，排球的数量是篮球的3倍。借出足球10个、篮球28个后，足球的数量与篮球的数量就相等了。学校体育器材室里原来有篮球多少个？24．养鸡场有公鸡和母鸡一共1500只，其中公鸡只数比母鸡多2倍，则公鸡、母鸡各多少只？25．甲、乙两个数的和是690，若把甲数的最后一个数字去掉，则就与乙数相等。甲、乙两数分别是多少？26．欢欢和乐乐一共得了48颗智慧星，欢欢得到的智慧星颗数是乐乐的5倍。欢欢和乐乐分别得到了多少颗智慧星？27．一台全自动洗衣机的价格是一台饮水机的4倍，一台全自动洗衣机比一台饮水机多960元。一台全自动洗衣机多少元？28．小明和小光一共有邮票56张。小明给小光8张后，两人的邮票数量同样多。两人原来各有邮票多少张？29．饲养场共养480只鸡。母鸡只数比公鸡只数的1.5倍还多30只，公鸡、母鸡各养了多少只？30．小伍和爸爸周末去公园游船，购买两张游船票花了75元。小伍按半价（游船票原价的一半）购买了儿童票，爸爸按游船票原价购买，一张游船票原价多少元？31．在学校举行的“爱心传新疆”活动中，三、四年级学生共捐赠图书640本。已知四年级比三年级多捐赠了80本。三、四年级各捐赠图书多少本？32．小刚有一个书架，共分两层，两层各放了28本书。如果要使上层书的数量是下层书数量的6倍，那么，应该从下层书架拿走多少本放到上层书架？33．姐姐和弟弟一共有故事书72本，组姐送给弟弟6本后，两人的本数同样多。两人原来各有多少本？（先画出示意图，再解答）34．小牛、小羊和小鹿一起称体重，他们一共重252千克，已知小牛的体重是小羊的4倍，小羊和小鹿一样重。你知道他们三个各重多少千克吗？35．4月23日为“世界读书日”。学校为三年级学生准备了文艺书和科技书共432本，其中科技书是文艺书的5倍，科技书和文艺书各多少本？36．小宁和小春共有105本课外读物，小春比小宁少15本。两人各有多少本课外读物？（先根据题意把线段图补充完整，再解答）37．同学们收集动物标本和植物标本共84件，动物标本比植物标本少14件。两种标本各收集了多少件？38．有甲、乙两袋大米，如果向甲袋中倒入5千克，那么两袋一样重，如果向乙袋倒入9千克，那么乙袋是甲袋的3倍。甲、乙两袋大米各有多少千克？39．果园里，桃树比杏树多120棵，桃树的棵数是杏树的3倍，杏树有多少棵？40．六年级学生在学校科技知识竞赛中比五年级多得18分，六年级学生的得分是五年级的1.2倍。五、六年级学生各得了多少分？41．少先队员参加植树活动，五年级植树的棵数是四年级的1.5倍，四、五年级一共植树100棵。五年级植树多少棵？42．陆庄小学图书馆，今年新增了科技书和文艺书共160本，其中科技书是文艺书的3倍。今年新增了多少本科技书？43．一套学生桌椅（一桌一椅）的售价为208元，其中一张学生桌的价钱是一把学生椅的3倍。一张学生桌多少钱？44．为进一步加强学校图书馆建设，推广数字化阅读模式，实验小学在图书馆设立了2台智能电子阅读机。据统计，同学们在近一周在线阅读漫画绘本、寓言故事和科普知识三类图书的点击量共360次，漫画绘本的点击量比科普知识多72次，寓言故事的点击量比科普知识少24次。近一周科普知识的点击量是多少次？45．工厂生产了569个同规格的熊猫玩具，杨明和张强要对这些玩具进行质量检查。检查结束时，杨明比张强少检查45个。杨明检查了多少个熊猫玩具？46．实验小学六年级举行科技创新大赛。六年级同学上交了科技小发明和小制作共210件，其中科技小发明的件数是小制作的2.5倍。六年级同学上交的科技小发明和小制作各多少件？47．新型冠状病毒感染的肺炎是由种新型冠状病毒感染引起的以发热、乏力、干咳为主要表现的急性呼吸道传染病。新型冠状病毒肺炎简称“新冠肺炎”，实验小学五（1）班在“抗击新冠肺炎”宣传活动中，画手抄报和录小视频一共有50件，其中手抄报的件数是小视频的1.5倍。手抄报和小视频各有多少件？48．李紫涵和王晓晓一共有86张卡片，王晓晓给李紫涵8张后，两人的卡片张数就同样多。两人原来各有多少张卡片？（根据题意在线段图上把信息补充完整，再解答）49．欢欢家养鸭和鹅一共154只，卖掉20只鸭后，鸭和鹅的只数同样多。她家原来养鹅多少只？养鸭多少只？50．中国南极科考站总共有5个，分别是长城站、中山站、昆仑站、泰山站以及在建的罗斯海新站。中山站的建筑面积是泰山站的2.7倍，中山站的建筑面积比泰山站多1700平方米。中山站和泰山站的建筑面积各是多少平方米？51．晚会录制期间，海纳酒店和百川酒店某日一共接待了95人，百川酒店接待的人数比海纳酒店的2倍少22，那么海纳酒店和百川酒店分别接待了多少人？（先画出线段图再解答）参考答案与试题解析1．甲乙两个仓库共存放了318吨货，甲仓库比乙仓库多存放28吨货。甲乙两仓库分别存放了多少吨货物？【答案】甲仓库173吨，乙仓库145吨。【分析】根据和差公式：较大数＝（和+差）÷2，较小数＝（和﹣差）÷2即可求出甲乙两个仓库的货物吨数。【解答】解：（318+28）÷2＝346÷2＝173（吨）（318﹣28）÷2＝290÷2＝145（吨）答：甲仓库存放了173吨货物，乙仓库存放了145吨货物。【点评】本题考查了和差问题的应用。2．小宁和小星共有邮票96枚，小宁给小星10枚后，两人的邮票枚数一样多，两人原来各有邮票多少枚？（先画出线段图，再解答）【答案】58枚，38枚。【分析】用总数除以2，加上10，求出小宁的数量，用总数减去小宁的数量，即可求出小星的数量。【解答】解：96÷2+10＝48+10＝58（枚）96﹣58＝38（枚）答：小宁原来有58枚，小星原来有38枚。【点评】本题考查和差问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。3．随着网购的发展和普及，快递包裹的数量也急剧上升，各快递公司纷纷引入机器人代替人工分拣包裹。据某快递公司智能中心的工作人员介绍，甲、乙两种型号的机器人一天共可以分拣包裹16万件，甲型号机器人的分拣速度是乙型号机器人分拣速度的3倍。甲型号机器人一天可以分拣多少万件包裹？【答案】4万件。【分析】因为甲型号机器人的分拣速度是乙型号机器人分拣速度的3倍，所以甲、乙两种型号的机器人一天共可以分拣包裹的件数是乙型号机器人分拣的（3+1）倍，用除法计算即可得解。【解答】解：16÷（3+1）＝16÷4＝4（万件）答：甲型号机器人一天可以分拣4万件包裹。【点评】本题主要考查了和倍问题，关键是得出甲、乙两种型号的机器人一天共可以分拣包裹的件数是乙型号机器人分拣的（3+1）倍。4．同学们去参加植树活动，五年级去的人数是四年级的1.2倍。若从五年级调10人去四年级，则两个年级植树的人数一样多。原来两个年级各去了多少人？【答案】四年级100人，五年级120人。【分析】设四年级去了x人，则五年级人数为1.2x，根据从五年级调10人去四年级，则两个年级植树的人数一样多，即五年级植树人数﹣10＝四年级植树人数+10，列方程解方程即可求解。【解答】解：设四年级去了x人。1.2x﹣10＝x+100.2x＝20x＝1001.2x＝100×1.2＝120答：四年级去了100人，五年级去了120人。【点评】本题考查了差倍问题的应用。5．把一根长360米的绳子剪成两段，第二段的长度是第一段的2倍。这两段绳子的长度分别是多少？【答案】240米和120米。【分析】把第二段的长度看作1份，则第一段的长度占2份，一共是3份，3份是360米，用360除以3即可求出第二段的长度，用第二段的长度乘2即可求出第一段的长度。【解答】解：360÷（1+2）＝360÷3＝120（米）120×2＝240（米）答：这两段绳子的长度分别是240米和120米。【点评】本题主要考查了和倍问题，关键是根据数量和除以数量的倍数和，求出1倍数量是多少，再求出多倍的数量是多少。6．学校有月季花与玫瑰花一共264棵。其中月季花的数量比玫瑰花的4倍多4棵。月季花与玫瑰花各有多少棵？【答案】月季花212棵，玫瑰花52棵。【分析】把玫瑰花的棵数看作1份，则月季花有同样的4份还多4棵，用月季花和玫瑰花的棵数之和减去4即是5份，根据除法的意义求出1份数即是玫瑰花的棵数，用月季花和玫瑰花的棵数之和减去玫瑰花的棵数即是月季花的棵数。据此解答。【解答】解：（264﹣4）÷（1+4）＝260÷5＝52（棵）264﹣52＝212（棵）答：月季花有212棵，玫瑰花有52棵。【点评】本题考查了和倍问题的应用。7．甲、乙两班共有学生116人，甲班人数比乙班多6人，原来甲班、乙班各有学生多少人？【答案】甲班：61人；乙班：55人。【分析】甲、乙两班共有学生116人表示和，甲班人数比乙班多6人表示差；可用和差问题公式“（和+差）÷2＝大数，（和﹣差）÷2＝小数”解答。【解答】解：甲：（116+6）÷2＝122÷2＝61（人）乙：61﹣6＝55（人）答：原来甲班有学生61人，乙班有学生55人。【点评】本题考查的是和差问题，分析题中数量之间的关系，根据数量之间的关系解决问题。8．光明小学共有学生500人，其中男生比女生多32人，男、女生各有多少人？【答案】266人；234人。【分析】根据和差问题的解题公式：（和﹣差）÷2＝小数，即可计算出女生的人数，再用总人数减去女生人数，计算出男生人数。【解答】解：（500﹣32）÷2＝468÷2＝234（人）500﹣234＝266（人）答：男生有266人，女生有234人。【点评】本题解题关键是找出题目中两种量的和与差各是多少，再根据和差问题的解题公式：（和﹣差）÷2＝小数，列式计算。9．篮球小组和足球小组共有135人，篮球小组人数是足球小组的4倍，篮球小组有多少人？【答案】108人。【分析】根据和倍公式：两数和÷份数和＝小数，小数×倍数＝大数，代入数值进行计算即可。【解答】解：135÷（1+4）＝135÷5＝27（人）27×4＝108（人）答：篮球小组有108人。【点评】本题考查和倍问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。10．把一根长100米的绳子分成三段，使第一段比第二段长3米，第二段比第三段长5米。三段绳子各长多少米？【答案】37米；34米；29米。【分析】把第二段绳子增加3米，第三段绳子增加（3+5）米，这时第二段、第三段绳子长度都和第一段绳子长度相等，此时三段绳子总长是（100+3+3+5）米，用“（100+3+3+5）÷3”即可得到第一段绳子的长度。进而求出另外两段的长度。【解答】解：（100+3+3+5）÷3＝111÷3＝37（米）37﹣3＝34（米）34﹣5＝29（米）答：第一段长37米；第二段长34米；第三段长29米。【点评】本题考查和差问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。11．花店里有向日葵和百合共76枝，卖掉26枝百合后，向日葵和百合的枝数同样多。花店里原来有向日葵多少枝？有百合多少枝？【答案】向日葵25枝，百合51枝。【分析】根据题意可知：向日葵和百合枝数和为76，向日葵和百合枝数差为26，根据和差公式直接求解即可。【解答】解：百合：（76+26）÷2＝51（枝）向日葵：（76﹣26）÷2＝25（枝）答：花店里原来有向日葵25枝，百合51枝。【点评】本题考查了和差问题的应用。12．有一个数，如果把它的小数部分扩大到原来的3倍再加上整数部分，这个数就变成了8.8；如果把它的小数部分扩大到原来的7倍再加上整数部分，这个数就变成了11.2。这个数是多少？【答案】7.6。【分析】根据题意，一个数的小数部分分别扩大到原来的7倍、3倍后，再分别加上整数部分，得到11.2和8.8，因为整数部分不变，所以（11.2﹣8.8）的差值是小数部分（7﹣3）倍的差值，用除法计算，即可求出这个数的小数部分；已知小数部分扩大到原来的3倍后加上整数部分是8.8，用8.8减去这个数的小数部分的3倍，即是这个数的整数部分；最后合并整数部分和小数部分，得到原来的小数。【解答】解：小数部分：（11.2﹣8.8）÷（7﹣3）＝2.4÷4＝0.6整数部分：8.8﹣0.6×3＝70.6+7＝7.6，即这个数是7.6。答：这个数是7.6。【点评】这是一道经典的差倍问题，根据题干弄清楚题意即可解答。13．星星超市5月份卖出纯牛奶和酸奶共420箱，其中卖出的纯牛奶箱数比酸奶多2倍，星星超市卖出的纯牛奶和酸奶各多少箱？【答案】315箱，105箱。【分析】假设卖出的酸奶的箱数为1份，根据卖出的纯牛奶箱数比酸奶多2倍，可知卖出纯牛奶的份数为（1+2）份，用总箱数除以总份数，即可求出酸奶的箱数，再用总箱数减去酸奶的箱数，即可求出卖出的纯牛奶的箱数。【解答】解：420÷（1+2+1）＝420÷4＝105（箱）420﹣105＝315（箱）答：星星超市卖出的纯牛奶315箱，卖出酸奶105箱。【点评】本题考查和倍问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。14．节约用水，人人有责。在一次节水活动中，光明小学四、五、六月份共用水50吨，其中四月份比五月份多用水4吨，六月份比五月份少用水2吨。光明小学四、五、六月份各用水多少吨？（先把下面的线段图补充完整，再解答）四月：五月：六月：【答案】；20吨；16吨；14吨。【分析】根据题中的已知条件和所求问题，画线段图表示。用四、五、六月份共用水的总数减去4吨，再加上2吨，即可计算出五月份用水吨数的3倍是多少，用所得的结果再除以3，即可计算出五月份用水的吨数，进而计算出四月，六月用水的吨数。【解答】解：（50﹣4+2）÷3＝48÷3＝16（吨）16+4＝20（吨）16﹣2＝14（吨）答：四月份用水20吨，五月份用水16吨，六月份用水14吨。【点评】本题考查和差问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量和以及数量和所对应的份数关系各是多少，然后根据和差问题的解题方法，列式计算。15．养鸡场一共养鸡900只，其中母鸡的只数是公鸡的1.5倍。养鸡场养的母鸡和公鸡各有多少只？【答案】540只；360只。【分析】把公鸡的只数看作1份，则母鸡的只数是1.5份，根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，计算出公鸡的只数，最后用公鸡的只数乘1.5，计算出母鸡的只数。【解答】解：900÷（1.5+1）＝900÷2.5＝360（只）360×1.5＝540（只）答：养鸡场养母鸡540只，公鸡360只。【点评】本题考查和倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量和以及数量和所对应的份数关系各是多少，然后根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，列式计算。16．学校买来的篮球和排球一共有117个，其中篮球的个数比排球的2倍还多9个，学校买来篮球和排球各多少个？【答案】81个；36个。【分析】设学校买来排球x个，则学校买来篮球（2x+9）个，根据等量关系式：学校买来的篮球个数+排球个数＝117个，列出方程求解即可。【解答】解：设学校买来排球x个，则学校买来篮球（2x+9）个。2x+9+x＝1173x+9﹣9＝117﹣93x÷3＝108÷3x＝36则学校买来篮球：2×36+9＝81（个）答：学校买来篮球81个，排球36个。【点评】解决本题的关键在于根据题干找到本题的等量关系式，再根据等量关系式列出方程。17．一个双层书架，上层书的本数是下层的4倍，如果从上层搬60本放到下层，那么两层的本数正好相等。原来上、下两层各有图书多少本？（先画线段图表示出条件和问题，再解答）【答案】160本书，40本书。【分析】由题意得等量关系式：上层原有书的数量﹣60＝下层原有书的数量+60，设出下层原有书的数量，则上层原有书的数量＝下层原有书的数量×4，列方程解答即可。【解答】解：设原来下层有x本书，则上层原有4x本书。4x﹣60＝x+603x＝120x＝40上层原有书的数量为：40×4＝160（本）。答：上层原有160本书，下层原有40本书。【点评】解决本题的关键是找出等量关系式：上层原有书的数量﹣60＝下层原有书的数量+60，设出下层原有书的数量，用下层书的数量表示出上层书的数量，列方程解。18．功夫熊猫阿宝一天早晨、中午和晚上一共吃了130个包子，中午吃的个数是早晨的2倍，晚上吃的个数比早晨的2倍还多5个。那么阿宝这天晚上吃了多少个包子？【答案】55个。【分析】把早晨吃包子的个数看作“1”份，则中午吃的个数是“2”份，晚上吃的个数比早晨的2倍还多5个；如果晚上吃的个数减少5个，则晚上吃的个数也是“2”份，那么一天吃包子的总数变为：130﹣5＝125（个），是早晨吃的（1+2+2）倍，据此解答即可。【解答】解：早晨吃了：（130﹣5）÷（1+2+2）＝125÷5＝25（个）中午吃了：25×2＝50（个）晚上吃了：25×2+5＝50+5＝55（个）答：阿宝这天晚上吃了55个包子。【点评】本题主要考查和倍问题，关键是理解：早上吃的包子个数的（1+2+2）倍是（130﹣5）个，由此根据已知一个数的几倍是多少，用除法求出早上吃包子的个数，进而得出结论。19．学校门口放有红、黄、蓝三种颜色的花。其中黄花的盆数最多，既是红花盆数的4倍，也是蓝花盆数的3倍，如果蓝花比红花多20盆，请问：学校门口一共有多少盆花？【答案】380盆。【分析】根据题意可知，蓝花与红花的差是20，黄花的朵数是红花的4倍，是蓝花盆数的3倍，由差倍公式解答即可。【解答】解：根据题意和差倍公式可得：红花的朵数是：20÷（4﹣3）×3＝20÷1×3＝20×3＝60（朵）蓝花的朵数是：60+20＝80（朵）黄花的朵数是：60×4＝240（朵）60+80+240＝140+240＝380（朵）答：学校门口一共380盆花。【点评】根据题意，知道黄花与红花与蓝花的差和倍数的关系，直接根据差倍公式求出黄花、红花、蓝花的朵数进而解答即可。20．甲、乙两筐苹果，甲筐苹果的个数是乙筐的1.8倍。如果从甲筐取出24个苹果放入乙筐，这时两筐中的苹果个数相等。原来两筐各有多少个苹果？【答案】108千克；60千克。【分析】假设乙筐苹果的为1份，则甲筐的质量为1.8份，用24千克乘2再除以（1.8﹣1），即可求出乙筐苹果的质量，用乙筐苹果的质量乘1.8，即可求出甲筐苹果的质量。【解答】解：24×2÷（1.8﹣1）＝48÷0.8＝60（千克）60×1.8＝108（千克）答：甲筐有108千克；乙筐有60千克。【点评】本题考查差倍问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。21．2023年12月18日甘肃省积石山县发生6.2级地震后，全国各地为灾区捐款捐物。某公司为灾区捐赠大米和小麦共75万千克，其中捐赠的大米是小麦的1.5倍。（1）捐赠的小麦有多少万千克？（2）捐赠的大米有多少万千克？【答案】（1）30万千克；（2）45万千克。【分析】（1）已知大米和小麦共75万千克，其中捐赠的大米是小麦的1.5倍，根据和倍问题中的较小数＝和÷（倍数+1），用75除以（1.5+1）即可求出捐赠的小麦有多少万千克。（2）求一个数的几倍是多少，用乘法计算，据此用捐赠小麦的重量乘1.5，即可求出捐赠的大米有多少万千克。【解答】解：（1）75÷（1+1.5）＝75÷2.5＝30（万千克）答：捐赠的小麦有30万千克。（2）30×1.5＝45（万千克）答：捐赠的大米有45万千克。【点评】本题考查了和倍问题的应用。22．六（1）班的男生人数和女生人数同样多。抽去18名男生和26名女生参加合唱队后，剩下的男生人数是剩余女生人数的3倍。六（1）班原有男、女生各多少人？【答案】30。【分析】如果把男生再多抽取（26﹣18）人，那么剩下的男女生人数就同样多。又知，抽去18名男生和26名女生参加合唱队后，剩下的男生人数是剩余女生人数的3倍，表明（26﹣18）就是剩下的女生的2倍。剩下的男女生即可求。【解答】解：（26﹣18）÷2＝8÷2＝4（人）26+4＝30（人）答：六（1）班原有男、女生各30人。【点评】明确剩余人数与抽取的人数之间的关系是解决本题的关键。23．学校体育器材室里足球的数量是篮球的一半，排球的数量是篮球的3倍。借出足球10个、篮球28个后，足球的数量与篮球的数量就相等了。学校体育器材室里原来有篮球多少个？【答案】36个。【分析】根据足球的数量是篮球的一半，可知篮球的数量是足球的2倍，根据借出足球10个、篮球28个后，足球的数量与篮球的数量就相等了，可以推算出篮球比足球多的个数，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，计算出足球的个数，再乘2，即可计算出篮球的个数。【解答】解：（28﹣10）÷（2﹣1）＝18÷1＝18（个）18×2＝36（个）答：学校体育器材室里原来有篮球36个。【点评】本题考查差倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量差和数量差所对应的倍数关系各是多少，然后根据差倍问题的解题公式：差÷（倍数﹣1）＝1份数，列式计算。24．养鸡场有公鸡和母鸡一共1500只，其中公鸡只数比母鸡多2倍，则公鸡、母鸡各多少只？【答案】1125只，375只。【分析】公鸡只数比母鸡多2倍，则公鸡只数是母鸡的1+2＝3倍。设母鸡有x只，则公鸡有3x只。公鸡的只数+母鸡的只数＝1500只，据此列方程解答。【解答】解：设母鸡有x只。（1+2）x+x＝15003x+x＝15004x＝1500x＝1500÷4x＝3751500﹣375＝1125（只）答：公鸡有1125只，母鸡有375只。【点评】列方程解含有两个未知数的问题时，设其中的一个未知数是x，用含有x的式子表示另一个未知数，再根据等量关系即可列出方程。本题中，明确公鸡只数是母鸡的3倍是解题的关键。25．甲、乙两个数的和是690，若把甲数的最后一个数字去掉，则就与乙数相等。甲、乙两数分别是多少？【答案】628；62。【分析】由题意可知，甲数一定是一个三位数，且前两位与乙数相同。如果甲数个位为0，则甲数是乙数的10倍。甲数前两位为62，乙数为62，余数是甲数的个位。【解答】解：690÷（10+1）＝690÷11＝62……8答：甲数是628，乙数是62。【点评】本题考查和倍问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。26．欢欢和乐乐一共得了48颗智慧星，欢欢得到的智慧星颗数是乐乐的5倍。欢欢和乐乐分别得到了多少颗智慧星？【答案】40颗；8颗。【分析】利用和倍问题公式：和÷（倍数+1）＝1倍数（乐乐的颗数），再用总颗数减去乐乐的颗数，计算欢欢的颗数即可。【解答】解：48÷（5+1）＝48÷6＝8（颗）48﹣8＝40（颗）答：欢欢得到40颗，乐乐得到8颗。【点评】本题主要考查和倍问题公式的应用。27．一台全自动洗衣机的价格是一台饮水机的4倍，一台全自动洗衣机比一台饮水机多960元。一台全自动洗衣机多少元？【答案】1280元。【分析】一台全自动洗衣机的价格是一台饮水机的4倍，根据整倍数关系可知，一台饮水机的价格为“1”份，则一台全自动洗衣机的价格为“4份”，一台全自动洗衣机比一台饮水机多960元，即洗衣机比饮水机多4﹣1＝3（份），由此求出“1”份是多少，再求出洗衣机（4份）的价格是多少即可。【解答】解：4﹣1＝3（份）一台饮水机：960÷3＝320（元）全自动洗衣机：320×4＝1280（元）答：一台全自动洗衣机1280元。【点评】此题考查差倍问题的简单应用。28．小明和小光一共有邮票56张。小明给小光8张后，两人的邮票数量同样多。两人原来各有邮票多少张？【答案】小光20张；小明36张。【分析】根据题意可知，小明的邮票数量比小光多，小明和小光一共有邮票56张，两人的邮票一样多时，即小明和小光的邮票数量是（56÷2）张，这是小明给小光8张后小光的邮票数，那么减去8就是小光原来的邮票张数；用（56÷2）加上8，即可求出小明原来的邮票张数。【解答】解：56÷2﹣8＝28﹣8＝20（张）56÷2+8＝28+8＝36（张）答：小光原来有邮票20张，小明原来有邮票36张。【点评】本题考查和差问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。29．饲养场共养480只鸡。母鸡只数比公鸡只数的1.5倍还多30只，公鸡、母鸡各养了多少只？【答案】300只；180只。【分析】此题用方程来解，设公鸡养了x只，因为“饲养场共养480只鸡“，所以养了母鸡（480﹣x）只，因为“母鸡只数比公鸡只数的1.5倍还多30只“，所以可得等量关系式为：公鸡的只数×1.5+30＝母鸡的只数，列方程求解。【解答】解：设公鸡养了x只，则母鸡养了（480﹣x）只，由题意列方程得x×1.5+30＝480﹣x2.5x＝450x＝180480﹣x＝480﹣180＝300答：有母鸡300只，公鸡180只。【点评】此含有两个未知数的题中有两个等量：一个来表示另一个未知量，另一个来列方程。30．小伍和爸爸周末去公园游船，购买两张游船票花了75元。小伍按半价（游船票原价的一半）购买了儿童票，爸爸按游船票原价购买，一张游船票原价多少元？【答案】50元。【分析】把一张游船票原价看作单位“1”，则半价的票看作12，所以购买两张游船票花的钱数所对应的分率是（1+【解答】解：75÷(1+＝75÷＝50（元）答：一张游船票原价50元。【点评】本题解题的关键是把一张游船票原价看作单位“1”，再根据分数除法的意义，列式计算。31．在学校举行的“爱心传新疆”活动中，三、四年级学生共捐赠图书640本。已知四年级比三年级多捐赠了80本。三、四年级各捐赠图书多少本？【答案】三年级280本；四年级360本。【分析】根据题意，用三、四年级学生共捐赠图书的本数减去四年级比三年级多捐赠的本数，再除以2，即可求出三年级捐赠图书的本数，用三年级捐赠图书的本数加上80本，即可求出四年级捐赠图书的本数。【解答】解：（640﹣80）÷2＝560÷2＝280（本）280+80＝360（本）答：三年级捐赠图书280本，四年级捐赠图书360本。【点评】此题主要考查了减法、除法的意义的应用，解答此题的关键是求出三年级捐书数量是多少。32．小刚有一个书架，共分两层，两层各放了28本书。如果要使上层书的数量是下层书数量的6倍，那么，应该从下层书架拿走多少本放到上层书架？【答案】20本。【分析】把上下两层的本数相加，再除以（6+1），即可得上层书的数量是下层书数量的6倍时，下层的本数，再用原来下层的本数，减此时的本数，即可得解。【解答】解：（28+28）÷（6+1）＝56÷7＝8（本）28﹣8＝20（本）答：应该从下层书架拿走20本放到上层书架。【点评】本题主要考查了和倍问题，关键是得出上层书的数量是下层书数量的6倍时，下层的本数。33．姐姐和弟弟一共有故事书72本，组姐送给弟弟6本后，两人的本数同样多。两人原来各有多少本？（先画出示意图，再解答）【答案】；42本，30本。【分析】阅读题目信息可知姐姐的故事书比弟弟的多，且一共有72本；两人的故事书一样多时，即姐姐和弟弟的故事书本数是（72÷2）张，这是姐姐给弟弟6本后弟弟的故事书本数，那么减去6本就是弟弟原来的本数；接下来用（72÷2）加6即可得到姐姐原来的本数。【解答】解：示意图如下：72÷2+6＝36+6＝42（本）72÷2﹣6＝36﹣6＝30（本）答：姐姐原来有42本，弟弟原来有30本。【点评】本题解题关键是能够根据题中提供的数学信息正确画出线段图，再借助线段图列式计算。34．小牛、小羊和小鹿一起称体重，他们一共重252千克，已知小牛的体重是小羊的4倍，小羊和小鹿一样重。你知道他们三个各重多少千克吗？【答案】小牛重168千克，小羊重42千克，小鹿重42千克。【分析】小牛、小羊和小鹿一共重252千克，已知小牛的体重是小羊的4倍，小羊和小鹿一样重，则小羊和小鹿的体重为252÷（4+1+1），之后即可求出小牛的体重。【解答】解：252÷（4+1+1）＝252÷6＝42（千克）42×4＝168（千克）答：小牛重168千克，小羊重42千克，小鹿重42千克。【点评】本题关键是理解小羊和小鹿一样重。35．4月23日为“世界读书日”。学校为三年级学生准备了文艺书和科技书共432本，其中科技书是文艺书的5倍，科技书和文艺书各多少本？【答案】360本；72本。【分析】把文艺书的本数看作1份，则科技书的本数是5份，然后根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，列式计算。【解答】解：432÷（5+1）＝432÷6＝72（本）432﹣72＝360（本）答：科技书有360本，文艺书有72本。【点评】本题考查和倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量和以及数量和所对应的份数关系各是多少，然后根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，列式计算。36．小宁和小春共有105本课外读物，小春比小宁少15本。两人各有多少本课外读物？（先根据题意把线段图补充完整，再解答）【答案】小春有45本课外读物，小宁有60本课外读物。【分析】根据题意可得线段图：，由线段图可知，用105减去15，所得的差是小春本数的2倍，然后再除以2，求出小春的本数，然后再用105减去小春的本数就是小宁的本数。【解答】解：（105﹣15）÷2＝90÷2＝45（本）105﹣45＝60（本）答：小春有45本课外读物，小宁有60本课外读物。【点评】本题关键是根据题意画出线段图，根据线段图得出等量关系，然后再进一步解答。37．同学们收集动物标本和植物标本共84件，动物标本比植物标本少14件。两种标本各收集了多少件？【答案】49件，35件。【分析】根据和差公式（和+差）÷2＝大数，（和﹣差）÷2＝小数，代入数值进行计算即可。【解答】解：（84+14）÷2＝98÷2＝49（84﹣14）÷2＝70÷2＝35答：植物标本有49件，动物标本有35件。【点评】本题考查和差问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。38．有甲、乙两袋大米，如果向甲袋中倒入5千克，那么两袋一样重，如果向乙袋倒入9千克，那么乙袋是甲袋的3倍。甲、乙两袋大米各有多少千克？【答案】甲袋7千克，乙袋12千克。【分析】向甲袋中倒入5千克，那么两袋一样重，说明乙袋大米比甲袋大米多5千克；如果向乙袋倒入9千克，那么现在乙袋比甲袋多9+5＝14（千克）大米，又是甲袋大米的3倍，多的14千克，就是3﹣1＝2（个）甲袋大米。甲、乙大米的数量即可求。【解答】解：（9+5）÷（3﹣1）＝14÷2＝7（千克）7+5＝12（千克）答：甲袋大米7千克，乙袋有大米12千克。【点评】明确数量间的倍数关系是解决本题的关键。39．果园里，桃树比杏树多120棵，桃树的棵数是杏树的3倍，杏树有多少棵？【答案】60棵。【分析】用桃树比杏树多的棵数除以（3﹣1），即可求出杏树的棵数。【解答】解：120÷（3﹣1）＝120÷2＝60（棵）答：杏树有60棵。【点评】本题考查差倍问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。40．六年级学生在学校科技知识竞赛中比五年级多得18分，六年级学生的得分是五年级的1.2倍。五、六年级学生各得了多少分？【答案】90分，108分。【分析】根据题干，设五年级学生得了x分，那么六年级得分就是1.2x分，则根据等量关系：六年级得分﹣五年级得分＝18分，列出方程解决问题。【解答】解：设五年级学生得了x分，那么六年级得分就是1.2x分。1.2x﹣x＝180.2x＝18x＝901.2×90＝108（分）答：五年级得分是90分，六年级得分是108分。【点评】解答此题容易找出基本数量关系，由此列方程解决问题。41．少先队员参加植树活动，五年级植树的棵数是四年级的1.5倍，四、五年级一共植树100棵。五年级植树多少棵？【答案】60棵。【分析】设四年级植树x棵，则五年级植树1.5x棵，根据等量关系：四、五年级一共植树100棵，列出方程即可解决问题。【解答】解：设四年级植树x棵，则五年级植树1.5x棵。x+1.5x＝100（1+1.5）x＝1002.5x＝1002.5x÷2.5＝100÷2.5x＝401.5×40＝60（棵）答：五年级植树60棵。【点评】此题是典型的和倍问题，一般都是用倍数的等量关系设出未知数，用和的等量关系列出方程即可解决此类问题。42．陆庄小学图书馆，今年新增了科技书和文艺书共160本，其中科技书是文艺书的3倍。今年新增了多少本科技书？【答案】120本。【分析】根据科技书是文艺书的3倍，将文艺书看成1份，则科技书为3份，总本数除以（3+1）份，即可求出文艺书的本数，再乘3，即可求出科技书的本数。【解答】解：160÷（3+1）×3＝40×3＝120（本）答：今年新增了120本科技书。【点评】本题考查和倍问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。43．一套学生桌椅（一桌一椅）的售价为208元，其中一张学生桌的价钱是一把学生椅的3倍。一张学生桌多少钱？【答案】156元。【分析】设一把学生椅为x元，由“一张学生桌的价钱是一把学生椅的3倍”可知一张学生桌3x元，根据“一套学生桌椅的售价为208元”可列等量关系式：一张学生桌的价钱+一把学生椅的价钱＝208，据此列方程解答。【解答】解：设一把学生椅为x元。3x+x＝2084x＝208x＝5252×3＝156（元）答：一张学生桌156元。【点评】此题主要考查了列方程解应用题，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键。44．为进一步加强学校图书馆建设，推广数字化阅读模式，实验小学在图书馆设立了2台智能电子阅读机。据统计，同学们在近一周在线阅读漫画绘本、寓言故事和科普知识三类图书的点击量共360次，漫画绘本的点击量比科普知识多72次，寓言故事的点击量比科普知识少24次。近一周科普知识的点击量是多少次？【答案】104次。【分析】设近一周科普知识的点击量是x次，则漫画绘本的点击量是（x+72）次，寓言故事的点击量是（x﹣24）次，根据等量关系：漫画绘本的点击量+科普知识的点击量+寓言故事的点击量＝360次，列方程解答即可。【解答】解：设近一周科普知识的点击量是x次，则漫画绘本的点击量是（x+72）次，寓言故事的点击量是（x﹣24）次。x+72+x+x﹣24＝3603x+48＝3603x＝312x＝104答：近一周科普知识的点击量是104次。【点评】本题主要考查了和差问题，关键是根据等量关系列方程。45．工厂生产了569个同规格的熊猫玩具，杨明和张强要对这些玩具进行质量检查。检查结束时，杨明比张强少检查45个。杨明检查了多少个熊猫玩具？【答案】262个。【分析】根据和差公式“（大数﹣小数）÷2”即可求出小数，据此解答。【解答】解：（569﹣45）÷2＝524