【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学下册压轴题攻略（沪教版）专题03 平行四边形 压轴题（七大题型）（解析版）

专题03平行四边形压轴题（七大题型）目录：题型1：平行四边形在平面直角坐标系中的应用题型2：平行四边形与一次函数题型3：平行四边形与反比例函数题型4：旋转问题题型5：存在性问题题型6：动点问题题型7：平行四边形与三角形、特殊三角形的性质与判定综合题型1：平行四边形在平面直角坐标系中的应用1．如图所示，在平面直角坐标系中，，，以，为邻边做平行四边形，其中，，满足．(1)直接写出点坐标；(2)如图2，线段的垂直平分线交轴于点，为的中点，试判断的大小，并说明理由；(3)如图3，点，为轴上的一点，，求点的坐标．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)点F的坐标为或【分析】（1）根据非负数的性质得到，得，得到，过C作轴于E点，根据平行四边形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论；（2）连接，过F作轴于G，轴于K，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，设，根据勾股定理列方程得到，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论；（3）分两种情况：分F在点E的左侧和右侧，作辅助线，构建直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理建立方程求解可得结论．【解析】（1）解：∵．，∴，∴，∴，如图，过C作轴于E点，∵四边形是平行四边形，，，，，，，，故答案为：；（2）解：如图，连接，过F作轴于G，轴于K，∵线段的中垂线交y轴于点E，，∵F为的中点，，，，解得：，，，，，是直角三角形，；（3）解：分两种情况：①当F在点E的左侧时，如图3，过F作于H，，，是等腰直角三角形，，，，设，则，，，，，即，整理得：，解得：或，或（舍去，不符合题意），，，；②当点在点E的右侧时，如图3，过作交延长线于点，，，是等腰直角三角形，，，，设，则，，，，，即，整理得：，解得：或，（舍去，不符合题意）或，，，，综上所述，点F的坐标为或．【点睛】本题考查了四边形的综合题，考查了图形和坐标的性质、非负性、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理逆定理、等知识，解题的关键是恰当地作辅助线，构建直角三角形，并运用方程解决问题．2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形中点的坐标为，点的坐标为，与轴交于点，点是射线上一动点，点是的中点，连接交轴于点，过点作交延长线于点，交于点，连接．

(1)若，求的长．(2)若，求的长．(3)①连接，问直线是否经过一定点，若经过，请求出该定点；若不经过，请说明理由；②连接，，若，求的长．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）根据，是的中点，写出的坐标，设直线的解析式为，代入和的坐标求出完整解析式，代入，求出，根据勾股定理计算即可；（2）延长，过点作于点，根据，推理出平分，，设，，根据，得，推出，，则，根据，，计算即可；（3）①设直线的解析式为，把，代入解析式，得解析式为，则，设直线的解析式为：，把，代入解析式，得直线的解析式为，当，为定值，可得定点；②记，连接、，作关于的对称图形，过点作，点和点关于轴对称，故，根据，得出，，设，则，，，根据的两组底和高相乘，，代入求出的值，根据，，得，求出的值，根据即可得到答案．【解析】（1）∵，是的中点，∴设直线的解析式为：，将、代入得：，解得：，∴直线的解析式为：，∵交延长线于点，∴当时，，∴，∴；（2）如下图，延长，过点作于点，

∵，，∴，∵，∴，∴平分，即，∵，，∴，，，设，，则，，

∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，，，∵，，，∴，，∴，∴，∴，，

，，∴，，∴；（3）①∵设直线的解析式为：，把，代入解析式，得：，得：，∴直线的解析式为：，∴，设直线的解析式为：，把，代入解析式，得：，得：，∴直线的解析式为：，∴，∴，∴当，即，时，等式成立，∴直线经过定点；②记，连接、，∴点和点关于轴对称，∴，又∵，∴，如下图，作关于的对称图形，过点作，

∴，设，则，∵，∴，∵，（的两组底和高相乘）∴，解得：，∵，∴，∵，，∴，∴，解得：，∴．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，结合勾股定理计算、方程求解，综合运用知识点、作出辅助线是解题的关键．题型2：平行四边形与一次函数3．如图，直线的解析表达式为，与轴交于点，直线经过定点，直线与交于点．(1)求直线的函数关系式；(2)若点的横坐标是2，求的面积；(3)若存在点，使以四点为顶点的四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等，试求出点的坐标．【答案】(1)(2)6(3)的坐标为或或【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数解析式，两个一次函数的交点，平行四边形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．（1）设直线的解析式为，把与的坐标代入求出与的值，即可确定出的解析式；（2）先求出点与坐标，再求出的长，最后求出三角形面积即可；（3）分三种情况讨论，分别求出坐标即可．【解析】（1）设直线的解析式为，它经过两点，，解得，直线的关系式为（2）当时，，即点的坐标为当时，，解得，即，（3）分三种情况讨论：①以为对角线，为邻边构成平行四边形，轴，且，而

②以为对角线，为邻边构成平行四边形，轴，，而

③以为对角线，为邻边构成平行四边形，且过，设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为；且过，设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为；相交于轴上的，综上所述，点的坐标为或或4．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的直线交轴于（点在左侧），且面积为．(1)求点的坐标及直线的解析式；(2)如图，设点为线段中点，点为轴上一动点，连接，以为边向左侧作等腰直角，其中，在点的运动过程中，当顶点落在直线上时，求点的坐标；(3)如图，若为线段上一点，且满足，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，；(2)或；(3)或或．【分析】（）利用三角形的面积公式求出点坐标，再利用待定系数法即可；（）分当时，如图，点落在上时，过作直线平行于轴，过，作直线的垂线，垂足分别为，当时两种情况讨论即可；（）利用三角形的面积公式求出点的坐标，求出直线的解析式，作交直线于，此时，当时，即点或，当在第四象限时，由，根据对称性可知，点关于点对称的坐标为．【解析】（1）∵直线与轴交于点，与轴交于点，∴当时，，当时，，则点，，∴∵面积为，∴，∴，∴点，设直线的解析式为，则，解得：，∴直线的解析式为；（2）∵点为线段中点，∴，∵，，∴，设，当时，如图，点落在上时，过作直线平行于轴，过，作直线的垂线，垂足分别为，∵是等腰直角三角形，易证，∴，，∴，∵点在图象上，∴，解得：，∴点，当时，如图，同理：，∵点在直线图象上，∴，解得：∴点，此时与点重合；综上可知，点或；（3）如图，设，∵，∴，∴，解得：，∴点，∴同（）可得：直线解析式为，作交直线与，此时，∴，当时，即点或，∴或，当在第四象限时，由，根据对称性可知，点关于点对称的坐标为，综上可知：或或．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．题型3：平行四边形与反比例函数5．如图，在平面直角坐标系中，点，为的顶点，，点C在x轴上．将沿x轴水平向右平移a个单位得到，A，B两点的对应点，恰好落在反比例函数的图象上．

(1)求a和k的值；(2)作直线l平行于且与，分别交于M，N，若与四边形的面积比为，求直线l的函数表达式；(3)在（2）问的条件下，是否存在x轴上的点P和直线l上的点Q，使得以，四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，点P、Q的坐标分别为或、或、【分析】（1）由题意得，点的坐标分别为：，则，即可求解；（2）证明均为等腰直角三角形，得到点，即可求解；（3）当为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当或是对角线时，同理可解．【解析】（1）解：∵将沿x轴水平向右平移a个单位得到，点，，∴点的坐标为，点的坐标为，∵点，正好落在第一象限反比例函数的图象上．∴，解得：，．（2）由（1）知点的坐标分别为：、，设的解析式为，把代入得，，解得，，∴的解析式为，即直线所在的直线为二四象限的角平分线，∵，则直线和x轴正半轴的夹角为，∵，故设直线l的表达式为：，∵直线，与四边形的面积比为，则，过点作y轴的平行线交直线l于点T，连接，

则均为等腰直角三角形，∵，则，设，则,则，解得：，则，则点，将点M的坐标代入直线l的表达式得：；（3）解：设点P、Q的坐标分别为：，，当为对角线时，由中点坐标公式得：，解得：，则点P、Q的坐标分别为：；当或是对角线时，同理可得：或，解得：或，则点P、Q的坐标分别为：、或、；所以，点P、Q的坐标分别为或、或、【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到三角形相似、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质等，分类求解是解题的关键．6．如图1，已知点，，且a、b满足，平行四边形的边与y轴交于点E，且E为的中点，双曲线上经过C、D两点.

(1)求k的值；(2)点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；(3)以线段为对角线作正方形（如图3），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当T在上运动时，的值是否发生变化，若改变，请求出其变化范围；若不改变，请求出其值.【答案】(1)(2)或或(3)不变，【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，得出A、B两点的坐标，设，由，可知，再根据反比例函数的性质求出t，由D的坐标即可求出反比例函数表达式；（2）由点P在双曲线上，点Q在y轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标．（3）连接，易证，故，，，由此即可得出结论．【解析】（1）解：∵，且，，∴，∴，，∴，，∵E为中点，且横坐标为，根据中点坐标的计算方法，∴，设，由平行四边形的性质知，点A向右平移1个单位向下平移4个单位得到点B，则点D向右平移1个单位向下平移4个单位得到点C，则点，∴，∴，∴，，∵D点在反比例函数的图象上，∴，∴；（2）解：由（1）知：，∴反比例函数的解析式为，∵点P在双曲线上，点Q在y轴上，∴设，，①当为边时：如图1所示：若为平行四边形，∵，，则，解得，此时，；如图2所示，若为平行四边形，∵，，则，解得，此时，；②如图3所示，当为对角线时：，且；∵，，∴，解得，∴，；故点Q的坐标为：或或；（3）解：如图4，连接，∵是线段的垂直平分线，∴，∵四边形是正方形，∴，在与中，，∴，∴，∴，四边形中，，而，∴，∵四边形内角和为，∴，∴，∴．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，中点坐标公式等知识，运用分类讨论是解决第（2）小题的关键，当然除用中点坐标公式外，也可通过构造全等三角形来解决第（1）题和第（2）题．7．如图1，已知点，且a、b满足，平行四边形的边与y轴交于点E，且E为的中点，双曲线经过C和D两点

(1)求k的值；(2)点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形；试求满足要求的所有点P的位置．(3)以线段为对角线作正方形（如图3），点T是边上一动点，是的中点，，交于N，当T在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其范围；若不改变，求出其值并给出你的证明．【答案】(1)8(2)点P的坐标为：或(3)不变，【分析】（1）由平行四边形的性质知，点A向右平移1个单位向下平移4个单位得到点B，则点D向右平移1个单位向下平移4个单位得到点C，则点将点的坐标代入反比例函数表达式，即可求解；（2）分是边和对角线两种情况，利用数形结合的方法，即可求解；（3）连，易证，故，，由此即可得出结论．【解析】（1）由题意得：，解得：，则点A、B的坐标分别为：，设点D的坐标为：，由点E是的中点，由中点坐标公式得：，则点D的坐标为：，由平行四边形的性质知，点A向右平移1个单位向下平移4个单位得到点B，则点D向右平移1个单位向下平移4个单位得到点C，则点将点C、D的坐标代入反比例函数表达式得：，解得：，则点的坐标分别为：；则；（2）∵由（1）知，∴反比例函数的解析式为，∵点双曲线上，点在y轴上，∴设，①当为边时：如图1所示：若为平行四边形，

∵，则，解得，此时；如图2所示，若为平行四边形，

∵，则，解得，此时；②如图3所示，当为对角线时：，且；

∵，∴，解得，∴；故点P的坐标为：或；（3）如图4，连接，

∵是线段的垂直平分线，∴，∵四边形是正方形，∴，在与中，∵∴，∴，∴，四边形中，，而所以，，因为四边形内角和为，所以．∴，∴．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，中点坐标公式等知识，运用分类讨论是解决第（2）小题的关键，当然除用中点坐标公式外，也可通过构造全等三角形来解决第（1）题和第（2）题．题型4：旋转问题8．如图，在三角形中，，，点P为内一点，连接，，，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，．

(1)用等式表示与的数量关系，并证明；(2)当时，①直接写出的度数为________；②若M为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明．【答案】(1)'，证明见解析(2)①；②，理由见解析【分析】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．（1）由得到，由旋转可得，，从而，又，证得，得证；（2）①当时，，又，因此，再根据，得到，从而．②延长到N，使，连接、，易证四边形为平行四边形，因此且，从而，，因此，从而证得，故，在等腰直角中，，因此．【解析】（1），

证明：∵，，∴，∵将线段绕点A逆时针旋转得到，∴，，∴，∴，∵∴，∴；（2）（2）①当时，则，∵，，∴∴，∴，∵，∴，又∵，∴．故答案为：②，理由如下：延长到N，使，连接、，∵M为的中点，∴，∴四边形为平行四边形，∴且，∴，，又∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，又∵'为等腰直角三角形，∴，∴，∴．9．如图，在等边中，点D是边上且与A，B不重合的点，是由线段绕点D顺时针旋转得到的．

(1)如图1，求的度数；(2)如图2，过点A作分别交于点F，G，连接相交于点M，求证：与相互平分；(3)如图3，在（2）的条件下，若N是的中点连接，求证：．【答案】(1)(2)见解析(3)见解析【分析】（1）由旋转的性质可得，，，则是等边三角形，证明，进而可求的度数；（2）如图1，连接，则，由，可得，由，可得，证明，证明四边形是平行四边形，进而结论得证；（3）如图2，延长至点H，使，证明，则，，，证明，则，进而结论得证．【解析】（1）解：∵是由线段绕点D顺时针旋转得到的，∴，，∴是等边三角形，∴，，∵是等边三角形，∴，，∴，∴，∵，，，∴，∴；（2）证明：如图1，连接，

∵是等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∴与相互平分；（3）证明：如图2，延长至点H，使，

∵N是的中点，∴，∵，，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质是解题的关键．题型5：存在性问题10．如图1，在平行四边形中，，，，点P从点D出发沿向C匀速运动，速度为每秒3个单位长度；同时，点Q从点B出发沿向点A匀速运动，速度每秒2个单位长度．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．过点P作交于点M，连接，，设运动的时间为t秒．

(1)当时，求t的值．(2)如图2，连接，是否存在t值，使得的面积是平行四边形面积的？若存在，求出对应的t；若不存在，请说明理由．(3)如图3，过点M作交于点N，是否存在t的值，使得点P在线段的垂直平分线上？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)不存在值(3)【分析】（1）由题意得，，由平行四边形的性质得出，，，，证出四边形是平行四边形，得出，得出方程，解方程即可；（2）作于，延长交延长线于，由直角三角形的性质得出，，求出平行四边形的面积，由直角三角形的性质得出，，得出，得出的面积，由题意得出方程，解方程即可；（3）证出四边形是平行四边形，得出，由（2）得，，，，求出，由线段垂直平分线的性质得出，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解析】（1）由题意得：，，四边形是平行四边形，，，，，，，，四边形是平行四边形，，，解得：（秒；（2）不存在，理由如下：作于，延长交延长线于，如图2所示：

则，，，平行四边形的面积，，，，，，，，，，，的面积，若的面积是平行四边形面积的，则，整理得：，，方程无解，不存在值，使得的面积是平行四边形面积的；（3）存在，理由如下：延长交延长线于，如图3所示：

，，，，四边形是平行四边形，，由（2）得：，，，，，点在线段的垂直平分线上，，，，解得：，存在的值，使得点在线段的垂直平分线上，秒．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、三角形面积公式、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质和直角三角形的性质是解题的关键．题型6：动点问题11．如图，在中，为对角线的中点，，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连结并延长交折线于点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连结，设点的运动时间为（s）．

(1)用含的代数式表示的长．(2)当点在边上运动时，求证：．(3)当点在内部时，求的取值范围．(4)当与的重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出的值．【答案】(1)或；(2)见解析；(3)；(4)1或．【分析】（1）利用含角的直角三角形的性质，平行四边形的性质解答即可；（2）连接，利用平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；（3）利用平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质求得点的临界值时的值，从而得到的取值范围；（4）画出符合题意的图形，利用的长度列出关于的方程解答即可．【解析】（1）解：，，，，，．四边形为平行四边形，．①当时，，②当时，（2）证明：连接，如图，

在中，为对角线的中点，经过点，，四边形为平行四边形，，．在和中，，，（3）解：①当点与点重合时，如图，

由题意得：为等边三角形，，，，，，四边形为平行四边形，，，，，②当点落在边上时，如图，

由题意得：为等边三角形，，，，四边形为平行四边形，，，．．在和中，，，，，，，当点在内部时，的取值范围为：（4）①当点在边上运动时，经过点时，与的重叠部分图形是轴对称的三角形，

，，，，，，，，，．②当点在边上运动时，如果，则，与的重叠部分图形是轴对称的三角形，如图，

，，．综上，当与的重叠部分图形是轴对称的三角形时，的值为1或．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．12．如图：是边长为6的等边三角形，P是边上一动点．由点A向点C运动（P与点不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D．(1)若设的长为x，则，．(2)当时，求的长；(3)过点Q作交延长线于点F，则有怎样的数量关系？说明理由．(4)点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果变化，请说明理由．【答案】(1)(2)2(3)(4)3【分析】本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，熟练全等三角形判定是解答此题的关键．（1）由线段和差关系可求解；（2）由直角三角形的性质可列方程，即可求的长；（3）由""可证，可得；（4）连接，由全等三角形的性质可证，由题意可证四边形是平行四边形，可得．【解析】（1）解：是边长为6的等边三角形，设，则，故答案为∶；（2）当时，是等边三角形，，解得∶，；（3），理由如下∶，，又，，；（4）的长度不变．连接，如图：，，且四边形是平行四边形题型7：平行四边形与三角形、特殊三角形的性质与判定综合13．如图，在四边形中，．(1)如图1，求证：四边形是平行四边形(2)如图2，点在，点在上，连接，若，，求证：(3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点作分别交于两点，过点作的延长线于点，交的延长线于点，若，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据平行线的判定和性质，得出，即可证明结论；（2）过点作交于点，根据等腰直角三角形的判定和性质，得出，，，再结合平行四边形的性质，易证，得到，即可证明结论；（3）以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，设与轴交于点，与轴交于点，由平行四边形的性质，可证是等腰直角三角形，，由（2）可知，，进而得出，根据等腰三角形的性质和直角三角形的特征，设，则，可得，，由，得到，利用待定系数法求出直线和的解析式，从而得到，，然后根据坐标两点的距离公式，求出的值，得到、的坐标，即可求出的长．【解析】（1）证明：，，，，，四边形是平行四边形；（2）证明：如图，过点作交于点，，，，是等腰直角三角形，，，，，由（1）可知，四边形是平行四边形，，，，，，，，在和中，，，，；（3）解：如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，设与轴交于点，与轴交于点，四边形是平行四边形，，，，，，，，是等腰直角三角形，，由（2）可知，，，即，，，，，是等腰直角三角形，，，，是等腰直角三角形，，设，则，，，，，，，设直线的解析式为，，解得：，直线的解析式为，令，则，，设直线的解析式为，，解得：，直线的解析式为，联立，解得：，，，，解得：，（舍），，，，的长为．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，坐标两点距离公式，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点问题等知识，利用数形结合的思想，正确建立直角坐标系，求出相关点坐标是解题关键．14．在中，是对角线，，是内一点，连接，，，(1)求证：(2)当时，，，，求的面积．(3)在（1）的条件下，当平分，，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）利用平行四边形相邻两角互补的性质可得，然后用平行四边形对边相等即可得证．（2）由可得为等腰直角三角形，然后以为直角边构造一个等腰直角三角形可求证即可求解．（3）延长边构造即可得，过点D作形成以为直角边的两个直角三角形，通过两直角三角形有公共直角边即可用双勾股定理，最后过点C作设，解直角三角形即可求解．【解析】（1）证明：在中，有，，，，，，（2），，，等腰直角三角形，过点B作且，连接，连接，如图：为等腰直角三角形，，，，，，∴，，∴，∴，∴、、共线，．（3）延长至，使，∵，，∴，∴，设，∴，，，∴，，，，连接，并延长，过点作于，使，，，∴，，设，，在中，，，，，，（双勾股），∴，∴，（舍），作，，，，，（双勾股），∴，∴，，∴，．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形全等，三角形的外角，等腰直角三角形的性质，解题关键是构造全等三角形，证明角度相等，线段数量关系．15．如图，点P是平行四边