【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学下册压轴题攻略（沪教版）专题02 代数方程 压轴题（八大题型）（解析版）

专题02代数方程压轴题（八大题型）目录：题型1：分式方程与其他方程、不等式题型2：复合型无理方程题型3：二元二次方程方程综合题型4：代数方程综合题型5：换元法题型6：新定义题题型7：代数方程的实际应用题型8：代数方程与一次函数题型1：分式方程与其他方程、不等式1．已知关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解且至多有2个整数解，则符合条件的整数有（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先解分式方程，再根据分式方程的解为整数求出的范围，然后解不等式组，最后根据不等式组至多有2个整数解确定的值即可解答．【解析】解：，，∴，∴，∵分式方程的解为整数，∴为整数，且，∴，∵，解不等式①，得，解不等式②，得，∴该不等式的解集为又∵该不等式组有解且至多有2个整数解，∴，∴，综上所述，符合条件的整数的值为，共计4个．故选：C．【点睛】本题主要考查了分式方程的解以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握相关知识是解题关键．2．若整数a使得关于x的不等式组解集为，使得关于y的分式方程＝+2的解为正数，则所有满足条件的整数a的和为（

）A．﹣21 B．﹣20 C．﹣17 D．﹣16【答案】D【分析】首先解不等式组并根据不等式组的解集，确定a的取值范围，再根据分式方程的解是正数确定a的取值范围，注意排除增根的情况，最后两个a的取值范围合并，就可以算出所有整数a的和．【解析】解：解不等式，得，解不等式，得，∵该不等式组的解集为，∴，解得，∵关于y的分式方程＝+2的解为正数，∴，∴且，解得且，∴a的取值范围为且，∴符合条件的整数a有：-6、-5、-3、-2、-1、0、1，所有整数a相加的和为：．故选：D．【点睛】本题考查含参的一元一次不等式组和含参的分式方程的解，注意含参的不等式的解法和增根的情况是解决本题的关键．3．要使关于x的一元二次方程有两个实数根，且使关于x的分式方程的解为非负数的所有整数的个数为（

）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【答案】B【分析】根据一元二次方程根的情况得到且解得：且，再把分式方程化简求值得：，因为解为非负数，且即且，所以且，即可得出满足题意的整数解．【解析】解：关于x的一元二次方程有两个实数根则且关于x的分式方程去分母得：解得：分式方程的解为非负数且即且且满足题意的整数的值为故答案为：B．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况、分式方程的解，注意二次项系数不为0及分式方程的解要有意义，这是此题的易错点．4．若整数使得关于的方程的解为整数，且关于的不等式组有偶数解且至多有3个偶数解，则所有符合条件的整数的和为（

）A．–12 B．–9 C．12 D．15【答案】A【分析】根据不等式组有偶数解且至多有3个偶数解，分3种情况进行讨论，然后结合方程的解为整数，确定a取：-4、-3、-2、-1，即可求解．【解析】解：解得：解得：当y有1个偶数解时：解得：，a取：-10、-9、-8、-7；当y有2个偶数解时：解得：，a取：-4、-3、-2、-1；当y有3个偶数解时：解得：，a取：2、3、4、5；∵为整数，∴a为奇数∴a取-9、-7、-3、-1、3、5则所有符合条件的整数的和为：-12．故选：A．【点睛】此题主要考查利用分式方程和一元一次不等式组的特殊解，求参数值，解题的关键是正确理解一元一次不等式组的解集．题型2：复合型无理方程5．方程的解的情况是（）A．无解 B．恰有一解 C．恰有两个解 D．有无穷多个解【答案】D【分析】将方程转化为，进行讨论求解即可．【解析】解：将方程变形为①，若，则①成为，即，得；若，则①成为，即，得；若，即时，则①成为，即，这是一个恒等式，满足的任何x都是方程的解，结合以上讨论，可知，方程的解是满足的一切实数，即有无穷多个解．故选：D．【点睛】本题考查解无理方程．熟练掌握完全平方公式以及二次根式的性质，是解题的关键．6．方程的解是．【答案】9【分析】设y=，由可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案.【解析】设y=，则原方程变形为，∴，即，∴4y+36-4y=y(y+9)，即y2+9y-36=0，∴y=-12或y=3，∵≥0，∴=3，∴x=9，故答案为9.【点睛】本题考查了解无理方程，解题的关键是利用换元法，还要注意的应用.7．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释，对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．(1)判断分式方程与无理方程是否是“相似方程”，并说明理由；(2)已知关于，的方程：和，它们是“相似方程”吗？如果是，请写出它们的公共解；如果不是，请说明理由；(3)已知关于，的二元一次方程：和（其中为整数）是“相伴方程”，求的值．【答案】(1)是相似方程，见解析(2)不是相似方程，见解析(3)，或．【分析】（1）分别求出分式方程和无理方程的解，然后根据“相似方程”的定义进行判断即可；（2）联立两个方程，求出公共解，应用“相似方程”的定义进行判断即可；（3）联立两个方程得到，再分当，当时，两种情况讨论求解即可．【解析】（1）解：是相似方程，理由如下：，给方程两边同时乘以，得，化简得，解得，，，，，，，，舍去，，因为分式方程与无理方程有一个相同的解，所以分式方程与无理方程是“相似方程”；（2）不是相似方程，理由如下：，，，，和，它们不是“相似方程”；（3）根据题意可得：，解得：，当时，不符合题意，当时，则，，都是整数，，或．【点睛】本题主要考查了解分式方程，解无理方程，解二元一次方程组，解不等式组等，正确理解题意时解决本题的关键．题型3：二元二次方程方程综合8．若实数x,y满足，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据题意方程组，得到xy=2，x2+y2=5；在根据完全平方公式，得出（x+y）2=9；再得到x，y的值，代入即可得到．【解析】根据方程组；得到，从而解得；将以上x和y的值代入，当=；当=，当=；当，=；故答案为：A【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法的拓展，二元二次方程组，解题的关键是熟悉并灵活应用二元一次方程组的方法，用到整体代入思想，以及完全平方公式．9．已知x，y为实数，且满足，记的最大值为M，最小值为m，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意先将u转化为，然后再根据进行配方，确定xy的范围，从而求出u的范围，得到M，m的大小即可得到答案．【解析】解：∵，∴，∴，∵，当且仅当，即，，或，时，等号成立，∴的最小值为，∴最小值为：，即，∵，当且仅当时，即，，或，时等号成立，∴的最大值为，∴的最大值为，即，∴，故选：C．【点睛】本题考查了代数式的最值问题，关键是将u转化为，再确定的范围．10．观察表一，寻找规律，表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，则a+b﹣m＝．【答案】﹣7【分析】由表二结合表一即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a值；由表三结合表一即可得出关于b的一元一次方程，解之即可得出b值；在表三中设42为第x行y列，则75为第（x+1）行（y+2）列，结合表一中每个数等于其所在的行数×列式即可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，将其代入m=（x+1）（y+1）即可得出m的值，将a、b、m的值代入a-b+m即可得出结论．【解析】表二截取的是其中的一列：上下两个数字的差相等，∴a-15=15-12，解得：a=18；表三截取的是两行两列的相邻的四个数字：右边一列数字的差比左边一列数字的差大1，∴42-b-1=36-30，解得：b=35；表四截取的是两行三列的相邻的六个数字：设42为第x行y列，则75为第（x+1）行（y+2）列，则有，解得：或（舍去），∴m=（x+1）（y+1）=（14+1）×（3+1）=60．∴a+b﹣m=18+35-60=-7．故答案为-7【点睛】此题考查一元一次方程的应用，规律型：数字变化类，根据表一中数的排列特点通过解方程（或方程组）求出a、b、m的值是解题关键．题型4：代数方程综合11．以下说法：①关于x的方程的解是x=c（c≠0）；

②方程组正整数的解有2组；

③已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a≤1，当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a的解；其中正确的有（

）A．②③ B．①② C．①③ D．①②③【答案】A【解析】①于x的方程x+==c+的解是x=c或x=（c≠0），此项错误；②方程组的正整数解有2组，方程组，因x、y、z是正整数，可得x+y≥2，又因23只能分解为23×1方程②变为（x+y）z=23，所以只能是z=1，x+y=23将z=1代入原方程转化为，解得x=2，y=21或x=20，y=3；所以这个方程组的正整数解是（2，21，1）、（20，3，1），此项正确；③关于x，y的方程组，其中-3≤a≤1，解得x=1+2a，y=1-a，x+y=2+a，当a=1时，x+y=3，故方程组的解也是方程x+y=4-a=3的解，此项正确．故选A．点睛：此题主要考查了分式方程的解法以及二元二次方程组的解法等知识，正确将原式变形是解题关键．12．我们知道，任意一个正整数k都可以进行这样的分解：k＝m×n（m，n是正整数，且m≤n），在k的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是k的最佳分解，并规定：．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以．(1)【探索规律】f（20）＝；f（36）＝；(2)若x是正整数，猜想f（x2＋2x）＝；(3)【应用规律】若f（）＝，其中x是正整数，求x的值；(4)若，其中x是正整数，所有x的值的和为．【答案】(1)，1(2)(3)x的值为4042(4)28【分析】（1）理解题意，根据“最佳分解”的定义进行计算即可；（2）由结合“最佳分解”的定义即可得出答案；（3）结合（2）可得出关于x的分式方程，解出x，再验算即可；（4）根据最佳分解的定义，建立方程求解．【解析】（1）解：∵20=1×20=2×10=4×5，又∵20-1>10-2>5-4，，∴；∵36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6，又∵36-1>18-2>12-3>9-4>6-6，∴．故答案为：，1；（2）解：∵，．∴，故答案为：；（3）由（2）可知去分母，得：解得：经检验符合题意．故x的值为4042；（4）解：由，可设(t为正整数)，即，∴，有以下几种情况：①当t=x−6时，，解得x=7；②当t=x−5时，，解得，不符合题意，舍；③当t=x-4时，，解得x=8；④当t=x-3时，，解得，不符合题意，舍；⑤当t=x-2时，，解得x=13；⑥当t=x-1时，，解得，不符合题意，舍；⑦当t=x时，，无解；⑧当t=x+1时，，解得，不符合题意，舍；⑨当t=x+2时，，解得，不符合题意，舍；⑩当t=x+3时，，解得，不符合题意，舍；⑪当t=x+4时，，解得，不符合题意，舍；⑫当t=x+5时，，解得，不符合题意，舍；⑬当t=x+6时，，解得，不符合题意，舍；综上所述，符合题意的x的值为：7或8或13，∴所有x的值的和为7+8+13=28．故答案为：28．【点睛】本题考查用新定义解决数学问题，根据最佳分解，表示出f（k），建立方程是求解本题的关键．题型5：换元法13．阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为，解这个方程得：，．当时，，∴；当时，，∴所以原方程有四个根：，，，．在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．(1)利用换元法解方程得到方程的解为______．(2)若，求的值．(3)利用换元法解方程：．【答案】(1)，(2)(3)，【分析】（1）设，代入得到，解得，，当时，，得到，此方程无解；当时，，得到，；（2）设，代入得到．解得，，根据，得到；（3）设，则，代入得到，得到，解得，检验后得到，得到，得到，，检验后即得．【解析】（1）设，则，于是原方程可变为，解这个方程得：，，当时，，移项得：，∵，∴此方程无解，当时，，解得，；故答案为：，；（2）设，则该方程变为．解得：，．∵∴，即（3）设，则，原方程变形为：，去分母，得，即解得，．

经检验，是分式方程的根．∴即解得：，．经检验，是分式方程的根．

∴原分式方程的解为：，．【点睛】本题主要考查了解特殊形式的高次方程、分式方程．解决问题的关键是熟练掌握换元法的一般步骤设元、换元、解元、还原几步．解分式方程注意验根．14．阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得；∴原方程的解为，；上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1），，，；（2），．【分析】（1）根据阅读材料利用换元法降次，令，即原方程=，求解即可．（2）同理，令，即原方程=，求解即可．【解析】（1）设，得：，解得：，．当时，，解得：，当时，，解得：，．∴原方程的解为，，，．（2）设，则方程可变成，∴，，．当时，，所以无解．当时，，∴，∴，．经检验，是原方程的解．【点睛】本题考查利用换元法解一元二次方程．利用整体换元把一些形式复杂的方程变成一元二次方程，从而达到降次的目的是解答本题的关键．题型6：新定义题15．我们不妨约定：若一个关于的一元一次方程能写成的形式，其中，，为常数并且能构成直角三角形的三边，则称此方程为“一元勾股方程”．满足条件的直角三角形的面积称为此方程对应的“股雅值”．如：方程，可写成，，则，，能构成直角三角形的三边，所以是一元勾股方程．此时对应的“股雅值”为．(1)请说明：是一元勾股方程；(2)若方程（）为一元勾股方程，该方程的解为，求其对应的“股雅值”；(3)关于x的方程（）为一元勾股方程，其对应的“股雅值”为，关于的方程无解，求原一元勾股方程的解．【答案】(1)说明见解析(2)(3)【分析】（1）仿照列题，方程，可写成，即可求解；（2）根据方程，方程的解为，①，根据勾股定理得出，进而求得的值，求得面积即可求解；（3）根据对应的“股雅值”为，得出，根据分式方程无解分类讨论，进而得出①当时，②当时，根据完全平方公式变形求值，进而即可求解．【解析】（1）解：方程，可写成，∵，∴是一元勾股方程．（2）∵，方程的解为∴，∴，①∵∴为斜边∴∴②将①代入②得：③由①③可得，，∴“股雅值”为（3）∵∴为斜边∴∵对应的“股雅值”为∴∴解方程可得∵方程无解∴①，②当时，，③当时，，（舍）①当时，∴∴②当时，∴（舍）∴．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解分式方程，分母有理化，勾股定理，理解新定义是解题的关键．题型7：代数方程的实际应用16．2月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知2月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为，销量之比为．开学后不久，根据市场需求，在2月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比2月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于2月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于2月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为，且A主题大礼包减少的销售额占2月下旬三种主题大礼包总销售额的，则2月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为．【答案】【分析】设2月上旬A、B、C三种主题大礼包售价为，销量为，2月下旬A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额分别为，根据“2月下旬A主题大礼包减少的销售额占2月下旬三种主题大礼包总销售额的”列出方程，然后分别求出2月下旬B、C两种主题大礼包销售额，进而求出2月下旬B、C两种主题大礼包销售量，即可解答．【解析】解：设2月上旬A、B、C三种主题大礼包售价为，销量为，2月下旬A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额分别为，根据题意，得，解得，∴2月下旬B、C两种主题大礼包销售额分别为，，∴2月下旬B、C两种主题大礼包销售之比为．故答案为：．【点睛】本题考查了分式方程方程是应用，读懂题意，找出等量关系式是解题的关键．17．为迎接春节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的恤衫共100件．已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6000元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍．(1)甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？(2)商场决定购进甲、乙两种品牌恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌恤衫至少78件，求该商场有哪几种进货方案；(3)在（2）的条件下，商场决定甲品牌恤衫以每件50元出售，乙品牌恤衫以每件100元出售，若该商场推出促销活动：顾客购买一件恤衫持购物票据可抽奖一次，每人限购一件，一等奖共有1个，所购恤衫按标价返款100%；二等奖共有3个，所购恤衫按标价返款50%．该商场将这100件恤衫全部售出后共获利2220元，直接写出抽到的二等奖中，购买的乙种品牌恤衫有多少件．【答案】(1)甲品牌每件的进价为30元，乙品牌每件的进价为60元；(2)商场共有三种进货方案：①购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件；②购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件；③购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件；(3)抽到的二等奖中，购买乙种品牌恤衫有1件或3件．【分析】（1）根据乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6000元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍，可以列出相应的分式方程，从而可求得甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元；（2）购进甲、乙两种品牌恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌恤衫至少78件，可以列出相应的不等式组，从而求出的取值，分别列出进货方案即可；（3）根据（2）中共有3种方案，分三种情况进行讨论：设二等奖中购买乙品牌的有件，甲品牌的有件，当购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件时，一等奖为甲品牌时，根据该商场将这100件恤衫全部售出后共获利2220元可列出方程解得不是整数即可舍去；当购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件时，一等奖为乙品牌时，根据该商场将这100件恤衫全部售出后共获利2220元可列出方程解得不是整数即可舍去；以此例推分别进行讨论即可，若为小于等于3的整数，则可满足题意．【解析】（1）解：设甲品牌恤衫每件的进价为元，则乙品牌恤衫每件的进价为元．由题意得：解得：经检验是原分式方程的解，且符合题意．，答：甲品牌恤衫每件的进价为30元．乙品牌恤衫每件的进价为60元．（2）设该商场购进甲品牌恤衫a件，则购进乙品牌恤衫件．根据题意得：的整数值为78，79，80．商场共有三种进货方案．方案一：购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件；方案二：购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件；方案三：购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件．（3）设二等奖中购买乙品牌的有件，甲品牌的有件，①购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件，一等奖为甲品牌，解得：（舍）．购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件，一等奖为乙品牌，解得：（舍）．②购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件，一等奖为甲品牌，解得：．购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件，一等奖为乙品牌，解得：．③购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件，一等奖为甲品牌，解得：（舍）．购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件，一等奖为乙品牌，解得：（舍）．因此，抽到的二等奖中，购买乙品牌有1件或3件．【点睛】本题考查了分式方程的应用问题以及不等式组的应用解决方案问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程或不等式解决问题，利用分类讨论思想不遗漏情况进行讨论问题，注意分式方程需要检验．18．1月份，甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商品，甲商店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进的数量少10件．(1)求该商品的单价；(2)2月份，两商店以单价元/件（低于1月份单价）再次购进该商品，购进总价均不变．①试比较两家商店两次购进该商品的平均单价的大小．②已知，甲商店1月份以每件30元的标价售出了一部分，剩余部分与2月份购进的商品一起售卖，2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，第二次在第一次基础上再降价2元全部售出，两个月的总利润为1050元，求甲商店1月份可能售出该商品的数量．【答案】(1)该商品的单价为21元(2)①甲的平均单价等于乙的平均单价；②或28【分析】（1）设该商品的单价为x元，根据商店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进的数量少10件列出方程求解即可；（2）①分别求出甲、乙两次一共购买的商品数量，进而求出甲、乙的平均单价，然后比较大小即可；②先求出甲商品一月份一共购进的商品数量为件二月份甲购进的商品数量为件，设一月份售出m件，二月份第一次售出n件，则二月份第二次售出件，再根据销售额成本利润列出方程推出，再由m、n都是正整数，得到，由2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，得到，进而得到且m是正整数，再由也是正整数，得到m必须是偶数，即m的值为或28．由题意得，，【解析】（1）解：设该商品的单价为x元，由题意得，，解得，经检验，是原方程的解，∴该商品的单价为21元；（2）解：①由题意得，甲两次一共购买的商品数量为件，乙两次一共购买的商品数量为，∴甲的平均单价为，乙的平均单价为，即，∴甲的平均单价等于乙的平均单价；②甲商品一月份一共购进的商品数量为件当时，则二月份甲购进的商品数量为件，设一月份售出m件，二月份第一次售出n件，则二月份第二次售出件，由题意得，，∴，∴；∴，∵m、n都是正整数，∴，∴，∵2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，∴，∴，∴，∴且m是正整数，又∵也是正整数，∴m必须是偶数，∴m的值为或28．【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式混合计算的实际应用，二元一次方程的解，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意找到等量关系和不等式关系是解题的关键．19．某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又购进第二批该款式的衬衫，已知进价每件比第一批降低了10元，若第二次购货款为2100元，则进货量是第一次的一半．(1)这两次各购进这种衬衫多少件？(2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元，且不高于2250元，第二批衬衫的售价有哪几种方案？（售价是10的倍数）(3)在（2）的条件下，服装店从第二批衬衫中拿出几件奖励员工，其余衬衫全部售出，销售这两批衬衫共获利1680元．直接写出奖励员工衬衫的件数．【答案】(1)第一次购进这种衬衫30件，第二次购进这种衬衫15件(2)第二批衬衫的售价有3种方案，方案1：第二批衬衫的售价为170元/件；方案2：第二批衬衫的售价为180元/件；方案3：第二批衬衫的售价为190元/件(3)奖励员工衬衫的件数为3件【分析】（1）设第二次购进这种衬衫x件，则第一次购进这种衬衫2x件，利用进货单价等于进货总价÷进货数量，结合第二批进价每件比第一批降低了10元，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出第二次购进这种衬衫的数量，再将其代入2x中，即可求出第一次购进这种衬衫的数量；（2）设第二批衬衫的售价是y元/件，根据“这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元，且不高于2250元”，可得出关于y的一元一次不等式组，可得y的取值范围，再结合“y为正整数，且y是10的倍数”，即可解答；（3）利用奖励员工衬衫的数量＝少获得的利润÷第二批衬衫的售价即可解答．【解析】（1）解：设第二次购进这种衬衫x件，则第一次购进这种衬衫2x件，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，∴．答：第一次购进这种衬衫30件，第二次购进这种衬衫15件．（2）解：设第二批衬衫的售价是y元/件，根据题意得：，解得：，又∵y为正整数，且y是10的倍数，∴y可以为170，180，190，∴第二批衬衫的售价有3种方案，方案1：第二批衬衫的售价为170元/件；方案2：第二批衬衫的售价为180元/件；方案3：第二批衬衫的售价为190元/件．（3）解：当第二批衬衫的售价为170元时，奖励员工衬衫的件数为（件），不符合题意，舍去；当第二批衬衫的售价为180元时，奖励员工衬衫的件数为（件），不符合题意，舍去；当第二批衬衫的售价为190元时，奖励员工衬衫的件数为（件），符合题意．答：奖励员工衬衫的件数为3件．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、有理数的混合运算等知识点，解找准数量关系、正确列出分式方程和列出一元一次不等式组是解答本题的关键．20．5月20日是全国学生营养日，小红为了得知自己平时摄入的早餐各营养成分含量是否达到人体摄入的标准，设计了以下活动：I调查：小红根据自己的饮食习惯调查了以下三种食物的营养成分表，且发现每麦片所含的蛋白质比每牛奶所含蛋白质的4倍多6克，获得160克蛋白质所需麦片与获得25克蛋白质所需牛奶的克数相同．营养麦片（每）牛奶（每）鸡蛋（每个）蛋白质_________g_________g常量元素含钠含钙/Ⅱ计算：（1）请求出营养麦片和牛奶（每）所含蛋白质各为多少克．（2）小红某一天的早晨吃了营养麦片和牛奶共，且获得常量元素没有超过，请求出此份早餐所含蛋白质的最大值．III设计：根据调查，小红发现想让早餐更符合人体摄入要求，早餐应摄入不少于的蛋白质，常量元素钠、钙摄入总量共（两种常量元素均摄取），鸡蛋与营养麦片总质量不超过（每个鸡蛋的质量按计算）．已知营养麦片和牛奶的克数、鸡蛋的个数均为整数，请你结合评价表设计一种符合要求的早餐方案并填表（不同方案得分不同，具体见表）．方案评价表优秀方案营养麦片、牛奶、鸡蛋三种食物均有3分良好方案只含有营养麦片和牛奶两种食物2分方案：种类营养麦片牛奶鸡蛋质量_________g_________g_________个【答案】Ⅱ：（1）每营养麦片含蛋白质，牛奶含蛋白质；（2）；III：答案见解析【分析】（1）设每牛奶所含蛋白质为，则每营养麦片所含蛋白质为．根据题意列出分式方程，解方程求解即可；（2）设营养麦片，则牛奶，记蛋白质总量为，根据题意求得的范围，进而根据一次函数的性质求解；（3）设营养麦片，牛奶，鸡蛋个，根据题意列出方程和不等式组，计算即可求解．【解析】（1）设每牛奶所含蛋白质为，则每营养麦片所含蛋白质为．，，经检验，是原方程的解，则．答：每营养麦片含蛋白质，牛奶含蛋白质．（2）设营养麦片，则牛奶，记蛋白质总量为．，，，W随着x的增大而增大，∴当时，．（3）设营养麦片，牛奶，鸡蛋个，优秀方案,营养麦片和牛奶的克数、鸡蛋的个数均为整数，或2由②得，则是5的倍数，当时，由③解得，当时，解得：，根据，列表可得，鸡蛋12牛奶240222204186168402384366348营养麦片50556065705101520良好方案由②得，则是5的倍数，根据，列表可得，牛奶42246营养麦片105110115【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，二元一次方程组，不等式组的应用，理解题意，列出方程或不等式是解题的关键．题型8：代数方程与一次函数21．某商场售卖甲、乙两种不同的电视机，第一季度甲型电视机的售价比乙型电视机售价少元，甲型电视机销售额为元，乙型电视机销售量是甲型电视机的两倍，且乙型电视机的销售额是甲型电视机的倍．(1)求甲、乙两种电视机的售价；(2)经过市场调查，两种电视机的售价和销售量均满足一次函数的关系，在第一季度的售价和销售量的基础上，甲型电视机售价元与销售量台的关系如图所示，乙型电视机售价元与销售量台的关系为该商场计划第二季度再进一批甲、乙两种电视机共台，且甲型电视机的进货数量不低于乙型电视机的倍，商场第二季度刚好售卖完这批电视机，销售额为元．求第二季度甲的电视机的销售量及售价．【答案】(1)甲种电视机的售价为元，乙种电视机的售价为元；(2)第二季度甲的电视机的销售量是台，售价是元台．【分析】设乙种电视机的售价为元，甲种电视机的售价为元，利用乙型电视机的销售额是甲型电视机的倍列出方程即可求解；设甲型电视机售价元与销售量台的关