线性代数-课件4

主编管典安倪臣敏主审谢志春线性代数大连理工大学出版社普通高校应用型人才培养试用教材4.1.1n

维向量与向量组

定义1

n

个有次序的数a1,a2,…,an

所组成的数组称为n

维向量.把n

维向量写成一列,称为n

维列向量,记作把n

维向量写成一行,称为n

维行向量,记作这就是前面学过的行矩阵和列矩阵.我们规定行向量和列向量都按矩阵的运算法则进行运算.并用黑体小写字母a,b,α,β

等表示列向量,用aT,bT,αT,βT

等表示行向量,如果没有指明行向量或列向量,则当作列向量.若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合,叫作向量组.例如,一个m×n

矩阵A的n

个m维列向量a1,a2,…,an

组成的向量组称为A

的列向量组,它的m

个n

维行向量

组成的向量组称为A

的行向量组.反之,由n

个m维列向量构成一个m×n

矩阵A.4.1.2向量组的线性组合

定义2

给定m

个n

维向量组成的向量组A:a1,a2,…,am,对于任何一组实数k1,k2,…,km,向量k1a1+k2a2+…+kmam

称为向量组A

的一个线性组合.k1,k2,…,km

称为这个线性组合的系数.例1已知向量组A:和向量组B:

分别求出两向量组的线性组合的系数,使得线性组合为0向量.

解对于向量组A,依题意有即解得对于向量组B,依题意有即只有零解由例1可知,对于向量组A,存在不全为零的k1,k2,k3

使得k1a1+k2a2+k3a3=0,而对于向量组B,要使h1b1+h2b2+h3b3=0,必须使h1=h2=h3=0.特别值得注意的是:对矩阵施行初等行(列)变换,相当于把矩阵的行(列)向量施行线性组合.若对m×n

矩阵施行初等行变换后,某一行全变为0,相当于存在不全为零的一组实数k1,k2,…,km,使得4.1.3向量的线性表示

定义3

给定m

个n

维向量组成的向量组A:a1,a2,…,am

和n

维向量b,如果存在一组实数k1,k2,…,km

,使得b=k1a1+k2a2+…+kmam

,则称向量b能由向量组A

线性表示,即向量b是向量组A

的一个线性组合.由向量组线性表示的定义可知,向量b能由向量组A:a1,a2,…,am

线性表示的充分必要条件是线性方程组k1a1+k2a2+…+kmam=b有解.已知向量组A:例2和向量组B:分别把两个向量组中的一个向量用其余的向量线性表示.

解对于向量组A,设即解得于是同法可得对于向量组B,设即这个线性方程组无解,说明b1

不能由b2,b3

线性表示,同法可得,b2

不能由b1,b3

线性表示,b3

不能由b1,b2

线性表示,由例2可知,对于向量组A,至少有一个向量能用其余的向量线性表示,而对于向量组B,任何一个向量都不能用其余的向量线性表示.定义4设有两个向量组A:a1,a2,…,am

及向量组B:b1,b2,…,bl,若向量组B

中的每一个向量都能由向量组A

线性表示,则称向量组B

能由向量组A

线性表示.若向量组A

与向量组B

能相互线性表示,则称这两个向量组等价.例３已知向量组A:和向量组B:这两个向量组是否等价?

解首先讨论向量组A

能否由向量组B

线性表示,设这个线性方程组无解,说明b1

不能由向量组A

线性表示,所以向量组B

不能由向量组A

线性表示.由此可知,这两个向量组不等价.A组

答案1.设证明向量b能由向量组a1,a2,a3

线性表示,并求出表示式.b=(-3c+2)a1+(2c-1)a2+ca3,(c∈R)A组2.设证明向量组a1,a2

与向量组b1,b2,b3

等价.

答案略B组

答案a=1

B组

答案(1)a≠-1;(2)a=-1定义1给定向量组A:a1,a2,…,am,如果存在不全为零的数k1,k2,…,km,使得例如,上一节例1中的向量组A

线性相关,而向量组B

线性无关.由向量组线性相关性的定义可知,向量组A:a1,a2,…,am

线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组k1a1+k2a2+…+kmam

=0有非零解,向量组A:a1,a2,…,am

线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组k1a1+k2a2+…+kmam

=0只有零解.则称向量组A

线性相关,否则称它线性无关．例１例2A组1.已知答案试讨论向量组a1,a2,a3

及向量组a1,a2

的线性相关性.向量组a1,a2,a3

线性相关,向量组a1,a2

线性无关.A组2.判断下列向量组是线性相关还是线性无关.

答案(1)相关;(2)无关;(3)无关B组

答案a=-1B组

答案a≠-2,a≠1B组3.设向量组a1,a2,a3

线性无关,讨论向量组a1-a2-2a3,2a1+a2-a3,3a1+a2+2a3

的线性相关性.

答案线性无关

定义1设向量组A:a1,a2,…,am,若满足(1)向量组A

中存在r

个向量线性无关;(2)任意r+1个向量(若存在)一定线性相关,称r个线性无关的向量组为向量组A

的极大线性无关组,简称为极大无关组.极大无关组中所含向量的个数称为向量组A

的秩,记作RA.只含零向量的向量组没有极大无关组,规定它的秩为0.向量组的极大无关组一般不是唯一的.如由a1,a2,a3线性相关,a1,a2

线性无关,因此a1,a2

是向量组a1,a2,a3

的一个极大无关组.同理,a1,a3和a2,a3

都是向量组a1,a2,a3

的极大无关组.由于利用定义1来求向量组的秩是比较麻烦的,因此,我们引入它的另一个等价定义.定义2设由列(行)向量组a1,a2,…,am

构成矩阵A=(a1,a2,…,am)(A=

),将A化为行最简形B,称B

的非零行数为向量组A

的秩,记作RA.设矩阵例１A组1.设答案求向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量用极大线性无关组线性表出.B组

1.设向量组

答案a=2,b=5的秩为2,求a

与b

的值.定义1所有n

维向量连同向量的加法及数与向量的乘法运算称为n

维向量空间,记为Rn.

【例1】3维向量的全体R3,就是一个向量空间.因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量,数λ乘3维向量也仍然是3维向量,它们都属于R3.

定义2

设V

为向量空间,设a1,a2,…,ar

为V中的r

个向量,若满足:(1)a1,a2,…,ar线性无关;(2)对任意的b∈V,b都可由向量组a1,a2,…,ar

线性表示,则称a1,a2,…,ar

为向量空间V

的基.例2例3所以a1,a2,a3

线性无关,故a1,a2,a3

是R3

的一个基,且即b1,b2

在基a1,a2,a3

中的坐标依次为

定义4设a1,a2,a3

及b1,b2,b3

为R3

的两组基,若矩阵P

满足(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)P,则称矩阵P为从a1,a2,a3

到b1,b2,b3

的过渡矩阵.设向量x在基a1,a2,a3

及b1,b2,b3

下的坐标分别为y1,y2,y3

和z1,z2,z3,则有因此可得这就是在不同基下的坐标变换公式.(1)求由基a1,a2,a3

到b1,b2,b3

的过渡矩阵;(2)设向量c在基a1,a2,a3

下的坐标为-2,1,2,求c在基b1,b2,b3

下的坐标.解(1)设A=(a1,a2,a3),B=(b1,b2,b3),则基a1,a2,a3

到b1,b2,b3

的过渡矩阵P满足(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)P,接下来用矩阵的初等变换求解P则过渡矩阵例3即c在基b1,b2,b3

下的坐标为13,-3,-2.A组

答案-1,2,1

A组

答案B组

答案-1,5,-1

答