第三章-杆件的承载能力分析

第三章杆件的承载能力分析化学工业出版社第二章构件受力分析

第一节杆件的基本变形和内力

第二节截面法求内力

第三节杆件的应力及强度计算汽车机械基础第二章构件受力分析

第一节杆件的基本变形和内力

汽车机械基础一、杆件的基本变形第一节杆件的基本变形和内力构件的基本形状：杆件、板件、块件。板件：指这是长度（纵向）比厚度（横向）、宽度（侧向）的尺寸大得很多的构件。1.轴向拉伸和压缩板件的变形：2.剪切3.扭转4.弯曲一、杆件的基本变形第一节杆件的基本变形和内力1.轴向拉伸和压缩若直杆受到沿轴线方向作用的一对大小相等、方向相反的外力作用，则直杆的主要变形是轴向拉伸(图(a))或轴向压缩(图(b))。杆件就会发生沿轴线方向的伸长或缩短。2．剪切若直杆受到一对大小相等、方向相反且相距很近的横向外力作用，则直杆的主要变形是两外力之间的横截面产生相对错动(图(c))一、杆件的基本变形第一节杆件的基本变形和内力3．扭转若直杆受到垂直轴线方向的一对大小相等、转向相反的力偶作用，则直杆的相邻横截面将绕轴线发生相对转动，杆件表面纵向线将成螺旋线，而轴线仍为直线(图(d))。4．弯曲若直杆受到垂直于杆件轴线的横向力或力偶作用，则直杆的轴线由直线弯成曲线(图(e))二、内力的概念第一节杆件的基本变形和内力外力作用在整个构件上的载荷和约束反力比统称为外力。内力在截面上的分布是连续的，通常所说的内力是指该力系的合力或合力偶。内力由外力引起的构件内部的相互作用力，称为内力。内力随着外力的加大而相应地增加，但是它的增加对于各种材料来说各有着一定的限度，超过了这个限度物体即将破坏，所以，内力与构件的强度、刚度和稳定性密切相关，内力分析是解决构件强度、刚度和稳定性的基础。三、截面法第一节杆件的基本变形和内力由于内力是物体内相邻部分之间的相互作用力，为了显示和决定内力，采用截面法。设一杆件在两端受到拉力的作用（如图）。杆件整体是平衡的，它的任一分段也应该是平衡的。用一个假想的横截面把杆件截成Ⅰ、Ⅱ两个部分。先取部分Ⅰ为示力对象。原来作用在这个示力对象上的外力应当保留。从部分Ⅰ处于平衡可以看到：弃去的部分Ⅱ对示力对象Ⅰ的截面上必然有内力作用，设其合力为，而与部分Ⅰ上所受的外力保持平衡。由平衡方程：即同理，如果以部分Ⅱ为示力对象，求同一截面上的内力时，可以得到相同的结果，三、截面法第一节杆件的基本变形和内力截面法：假想地用一截面将杆件截开，从而显示和确定内力的方法，称为截面法。1．在需要求内力的截面处，假想用一垂直于轴线的截面把构件分成两个部分，保留其中任一部分作为研究对象；2．将弃去的另一部分对保留部分的作用力用截面上的内力代替；截面法三个步骤：3．对保留部分(分离体)建立平衡方程式，由已知外力求出截面上内力的大小和方向。这三个步骤可以简单归纳为“截”、“取”、“画”、“求”四个要点。第二章构件受力分析

第二节

截面法求内力

汽车机械基础一、轴向拉压时的内力第二节截面法求内力1．轴力如图所示，杆件受到外力F作用而处于平衡状态，垂直于杆件轴线的方向做横截面m－m，m－m横截面的内力为F＝FN，由共线力系的平衡条件可知，外力F作用线与杆件的轴线重合，所以内力FN的作用线必然沿杆件的轴线方向，这种力称为轴力，用表示。轴力有拉力和压力两种，通常规定：拉力为正，即轴力离开截面为正；压力为负，即轴力指向截面为负。一、轴向拉压时的内力第二节截面法求内力2．轴力图为了表明横截面上的轴力沿杆件轴线的变化情况，可按选定的比例尺，以平行于杆件轴线的坐标表示横截面的位置，以垂直于杆件轴线的坐标表示横截面上轴力的大小，轴力沿杆件轴线的变化情况即可用图线直观地表示出来，这种图线称为轴力图。例3-1画出如图3-3所示所示杆件轴力图。已知F1＝20KN，F2＝20KN，F3＝20KN。解（1）求约束反力取整个杆件为研究对象，画出如图(b)所示受力图。设约束反力为FA，列平衡方程例题第二节截面法求内力该力方向向左，为拉伸杆件，其值为正得（2）分段计算轴力，由于外力分别作用于B、C、D三处，以三个作用点为分界线，将杆分为AB、BC、CD段，分别计算轴力①AB段：在AB间任选一横截面1－1截开，取其左段为研究对象，如图(c)。由平衡方程得：例题第二节截面法求内力③CD段：在CD间任选一横截面3－3截开，取其右段为研究对象，如图(e)。由平衡方程得：②BC段：在BC间任选一横截面2－2截开，取其右段为研究对象，如图(d)。由平衡方程得：为负值，说明其方向向右，与题设方向相反。该力的效果为压缩杆件，其值为负。该力方向向左，为拉伸杆件，其值为正（3）画轴力图。建立xOFN坐标系，垂直坐标FN表示内力，单位为KN；水平线为x轴，代表杆件的轴线，根据以上所求轴力值，按比例作轴力图，如图(f)所示。二、轴扭转时的内力第二节截面法求内力沿杆件长度作用的平衡力偶系（非共面力偶系）称为外加转矩。作用于轴的外力偶矩通常是根据轴传递的功率和轴的转速算出。功率、转速和外力偶矩之间的换算关系为：杆件产生转变形时其横截面的内力称为扭矩。1．外力偶矩计算式中n为轴的转速，单位是r/min，P轴所传递的功率，单位是kW；Me为外力偶矩的大小，单位是N•m。二、轴扭转时的内力第二节截面法求内力2．扭矩当已知作用在轴上的所有外力偶矩后，仍采用截面法确定扭转时横截面上的内力。图a为处于平衡状态下的两端垂直于轴线平面内受一对等值、反向的外力偶矩作用的圆轴。若求任意横截面m-m上的内力，用一假想截面沿轴切开，分为左右两段，现取左段为研究对象（图b），由于左端有外力偶矩作用，在m-m截面上必有一个内力偶矩T与之相平衡。由平衡方程有T是轴在扭转时横截面上的内力偶矩，称为扭矩。二、轴扭转时的内力第二节截面法求内力若取右段为研究对象，会得到同一截面上大小相等，方向相反的扭矩T′。为了使截面两侧求出的扭矩具有相同的正负号，对扭矩的方向作如下规定：采用右手螺旋定则将扭矩表示为矢量：右手四指弯曲方向方向表示扭矩的转向，右手拇指表示为转矩矢量的指向，背离该截面时为正，指向该截面时为负。这样无论取左段或右段，其横截面上的转矩正负号均相同。与求轴力的方法相类似，用截面法计算转矩时，一般按正向假设，计算结果为负说明该转矩转向与所设的转向相反。二、轴扭转时的内力第二节截面法求内力3．扭矩图当多于两个的外力偶作用于轴上时，轴在各段上的扭矩不一定相等。为清晰地表示各截面上扭矩大小和正负沿轴线的变化，寻找圆轴扭转的危险截面，以平行于轴线的坐标表示横截面所在位置，垂直于杆轴线的坐标表示转矩的数值绘制出扭矩图。例题第二节截面法求内力例3-2图3-6所示为一传动轴，主动轮B输入功率PB=60kW，从动轮A、C、D输出功率分别为PA=28kW，PC=20kW，PD=12kW。轴的转速n=500r/min，试绘制轴的转矩图。解：（1）计算外力偶矩例题第二节截面法求内力（2）计算扭矩①沿截面1-1截开，取左侧部分为研究对象，如图(b)，求轮A至轮B间的扭矩T1②沿截面2-2截开，取左侧部分为研究对象，如图(c)，求轮B至轮C间的扭矩T2例题第二节截面法求内力③沿截面3-3截开，取右侧部分为研究对象，如图(c)，求轮C至轮D间的扭矩T3（3）画转矩图。根据以上计算结果，按比例画转矩图，由图可知，最大转矩在BC段内的横截面上，其值为611.2N•m

。三、梁弯曲时的内力第二节截面法求内力弯曲变形是工程中最常见的一种基本变形。弯曲变形为主的杆件通常称为梁。1．平面弯曲工程中绝大多数的梁，其横截面通常都有一纵向对称轴。该对称轴与梁的轴线组成梁的纵向对称面（图3-8）。外力或外力偶作用在梁的纵向对称平面内，则梁变形后的轴线在此平面内弯曲成一平面曲线，这种弯曲称为对称弯曲。平面弯曲是弯曲问题中最基本、最常见的情况，这里我们主要讨论对称弯曲问题。三、梁弯曲时的内力第二节截面法求内力（1）简支梁。梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座，如图(a)所示；2．梁的基本类型（2）外伸梁。带有外伸端的简支梁，如图(b)所示；（3）悬臂梁。梁的一端为固定端，另一端为自由端，如图(c)所示。三、梁弯曲时的内力第二节截面法求内力梁在外力作用下，其任一横截面上的内力可用截面法来确定。图（a）所示简支梁在外力作用下处于平衡状态，现分析距A端为x处横截面上的内力。3．剪力和弯矩利用静力平衡方程求得约束反力为解得：三、梁弯曲时的内力第二节截面法求内力按截面法在横截面1-1处假想地将梁分为两段，因为梁原来处于平衡状态，被截出的一段梁也应保持平衡状态。如果取左段为研究对象，则右段梁对左段梁的作用以截开面上的内力来代替。如图（b）所示FQ与截面相切，称为剪力。它是与横截面相切的分布内力系的合力。若把左段梁上的所有外力对截面1—1的形心C取矩，在截面l—l上还应有一个内力偶矩M与其平衡，其力矩总和应等于零。由平衡方程得M称为横截面1—1上的弯矩，它是与横截面垂直的内力系的合力偶矩。三、梁弯曲时的内力第二节截面法求内力当保留右部分时，如图（c），同样可以求得剪力与弯矩。剪力与弯矩是截面左、右两部分之间的相互作用力。因此，作用于不同保留部分上的剪力与弯矩，大小相等但方向（转向）相反。为了使保留不同部分进行内力计算时，所得剪力和弯矩不仅数值相等，而且正负号也相同，把剪力和弯矩的符号规则与梁的变形联系起来，通常对剪力和弯矩作如下规定：梁截面上的剪力对所取梁段顺时针方向错动为正；反之为负。如图(a)。梁截面上的弯矩使梁段产生上部受压、下部受拉时为正；反之为负。如图(b)。例题第二节截面法求内力例3-3如图(a)所示,简支梁AB上受力偶m的作用，设L、a、b均已知，画出剪力图和弯矩图。解：（1）求支座反力，如图3-12(b)。（2）求剪力和弯矩在AC段距A点x1处作1－1截面，取左段为研究对象，在截面加上内力FQ1.M1，如图(c)。由平衡方程方程得：例题第二节截面法求内力在CB段距A点x2处作2－2截面，取左段为研究对象，在截面加上内力FQ2.M2，如图(d)。由平衡方程方程得：（3）画剪力图和弯矩图。由AC和CB段的剪力可知，剪力相等且不常量，故其图形为一水平直线。如图(e)所示。由M1.M2可知，弯矩是x的一次函数，故其图形为一斜直线。求出各分段的弯矩分别为：例题第二节截面法求内力AC段：由剪力图和弯矩图可以看出，外力偶对剪力无影响；弯矩发生突变值等于该力偶的力偶矩。CB段：第二章构件受力分析

第三节

杆件的应力及强度计算

汽车机械基础一、应力第三节杆件的应力及强度计算内力分布的密集程度称为应力，即单位面积上的内力。杆件在m-m处截开，在截面上围绕C点取微小面积ΔA，ΔA上分布内力的合力为ΔFR，ΔFR与面积ΔA之比，如图(a)，即pm称为在面积ΔA上的平均应力。当ΔA无随缩小并趋于零时，平均应力pm的极限值p代表C点处的内力集度。p称为C点处的应力。一、应力第三节杆件的应力及强度计算P是矢量，其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切。通常，将它分解成与截面垂直的法向分量和与截面相切的切向分量，法向分量称为正应力，用σ表示；切向分量称为切应力，用τ表示。应力的国际单位是帕斯卡，简称为帕，符号为“Pa”。1Pa=1N/m2

工程实际中应力数值较大，常用千帕（KPa）、兆帕（MPa）及吉帕（GPa）作为单位。1kPa=103Pa1MPa=106Pa1GPa=109Pa二、杆件的强度计算第三节杆件的应力及强度计算1．拉伸与压缩强度计算（1）拉伸与压缩杆件横截面上的正应力设杆件的横截面积为A，轴力为FN，则该横截面上的正应力σ为：式中：σ横截面上的正应力，单位MPa；FN横截面上的轴力，单位N；A横截面的面积，单位mm2.二、杆件的强度计算第三节杆件的应力及强度计算（2）强度计算为了保证杆件拉伸与压缩时正常安全工作，必须使杆内的最大工作应力σmax不超过材料在拉伸与压缩时的许用应力[σ]。式中FN和A为危险截面上的轴力和横截面积。例题第三节杆件的应力及强度计算例3-4某铣床工作台进给油缸如图所示，缸内工作油压p＝2MPa，油缸内径D＝75mm，活塞杆直径d＝18mm，已知活塞杆材料的许用应力[σ]＝50MPa，试求校核活塞杆的强度。解：（1）活塞的轴力：（2）强度条件校核：所以，活塞杆的强度足够。二、杆件的强度计算第三节杆件的应力及强度计算2．剪切与挤压强度计算（1）剪切强度设剪切面的面积为A，剪力为FQ，则剪切面上的剪应力τ为:式中：τ横截面上的剪应力，单位MPa；FQ横截面上的剪力，单位N；A横截面的面积，单位mm2.二、杆件的强度计算第三节杆件的应力及强度计算为了保证杆件发生剪切变形时安全可靠，要求剪应力τ不超过材料的许用剪应力[τ]。式中许用剪应力[τ]，可以从有关手册中查到，也可按下列近似的经验公式确定：塑性材料：[τ]＝(0.6～0.8)[σ]脆性材料：[τ]＝(0.8～1.0)[σ][σ]为材料的许用拉应力二、杆件的强度计算第三节杆件的应力及强度计算（2）挤压强度条件挤压应力：由挤压力产生的应力。设挤压力为Fjy，挤压面积为Ajy，则挤压应力为：σiy为平均挤应力，单位MPa；Fjy受压处的挤压力，单位N；Ajy挤压面积，单位mm2.为了保证联接件具有足够的挤压强度而正常工作，其强度条件为：例题第三节杆件的应力及强度计算例3-5如图所示，拖车挂钩靠销钉连接。已知挂钩部分的钢板厚度δ＝8mm，销钉材料的许用剪切应力[τ]＝60MPa，许用挤压应力[σiy]＝100MPa，拖力F＝15KN。试设计销钉的直径d。解：（1）按剪切强度计算：因销钉有两个剪切面，用截面法将销钉沿剪切面截开，如图(b)所示，以销钉中段为研究对象，由平衡条件可得每一截面上的剪力例题第三节杆件的应力及强度计算销钉的横截面积由剪切强度公式由剪切强度公式例题第三节杆件的应力及强度计算（2）按挤压强度计算由挤压强度公式挤压力

，挤压面积Aiy＝dδ，则综合上述计算结果，根据国家标准，销钉的直径选取为d＝14mm。二、杆件的强度计算第三节杆件的应力及强度计算3．圆轴扭转强度计算（1）圆轴扭转时应力圆轴扭转时应力的大小为：式中：τρ为横截面上距圆心ρ处的切应力，单位MPa；T为横截面上的扭矩，单位N•mm；ρ为横截面上任一点距圆心和距离，单位mm，Ip为横截面的极惯性矩，它表示截面的几何性质，它的大小与截面形状和尺寸有关，单位mm4。上式表明，横截面上任一点处切应力的大小，与该点到圆心的距离ρ成正比。二、杆件的强度计算第三节杆件的应力及强度计算由上式可知：圆心处的切应力为零，同一圆周上各点切应力相等，在横截面边缘上，ρ达到最大值R，该处切应力最大：令：WP＝IP/R

，则上式可写成式中：Wp为圆轴横截面的抗扭截面系数，单位mm2。二、杆件的强度计算第三节杆件的应力及强度计算对于直径为d的圆截面杆对于空心圆杆，设内径为d，外径为D，α＝d/D二、杆件的强度计算第三节杆件的应力及强度计算（2）圆轴扭转强度圆轴扭转时横截面上的最大工作切应力τmax不得超过材料的许用切应力[τ]，即对于等截面圆轴，从轴的受力情况或由扭矩图可以确定最大扭矩Tmax

，最大切应力τmax发生于Tmax所在截面的边缘上。因而强度条件可改写为例题第三节杆件的应力及强度计算例3-5汽车传动轴AB由无缝钢管制成，外径D＝90mm，壁厚t＝2.5mm，材料许用剪应力[τ]＝60MPa。使用时的最大扭矩为T＝1.5KN·m。（1）试校核轴的强度；（2）将轴换成实心轴，求在相同强度下轴的直径；（3）比较空心轴和实心轴的重量。解：（1）校核轴的强度例题第