应用经济数学全套课件

《应用经济数学》

第一章矩阵与线性方程组

第二章导数与微分

§1.1

矩阵概念

§1.2

矩阵运算

§1.3

矩阵的初等行变换与矩阵的秩

§1.4

线性方程组的消元解法

§2.1

经济中常用的几个函数

§2.2

极限概念

§2.3

复利与贴现

§2.4

导数与微分概念

§2.5

导数运算《应用经济数学》

第三章导数的应用

第四章积分及其应用

§3.1

函数的单调性和极值

§3.2

极值的几何应用

§3.3

边际与弹性

§3.4

极值的经济应用

§4.1

定积分概念与性质

§4.2

不定积分概念与性质

§4.3

积分的基本公式

§4.4

换元积分法

§4.5

分部积分法

§3.5

曲线凹凸性与拐点《应用经济数学》

第五章概率的基本知识及应用

§4.6

无穷区间上的积分

§4.7

积分学的应用

§5.1

事件及其概率

§5.2

概率的加法公式与事件的独立性

§5.3

随机变量及其分布

§5.4

正态分布

§5.5

随机变量的数字特征

第四章积分及其应用（续）

第六章数据处理

§6.1

点估计与直方图

§6.2

一元线性回归分析第一章矩阵与线性方程组

目标1.理解矩阵概念2.掌握矩阵运算3．会用矩阵的初等行变换求线性方程组的解4．掌握矩阵、线性方程组在经济活动中的实际应用§1.1矩阵概念

1.1.1矩阵定义

1.1.2简化阶梯形矩阵1.1.1矩阵定义案例表1.1（单位：t）城市Ⅰ城市Ⅱ城市Ⅲ城市Ⅳ甲煤矿320540760290乙煤矿450100660370丙煤矿200280140570去掉表头案例商品销售矩阵矩阵案例1.1.1矩阵定义可用大写字母，，…表示矩阵可用

…表示矩阵

矩阵可记作或例如

由个数（i=1，2，…，；j=1，2，…，）排成行列的矩形数表，称为一个矩阵，记作定义1.1.1矩阵定义特殊矩阵其中，从左上角到右下角的个元，，…，称为阶方阵的主对角线元.若矩阵的行数=列数，则称为阶矩阵或阶方阵，记作.即方阵

若主对角线的元都是数1，其余元都是数0，则称为阶单位阵，记作或.即单位阵1.1.1矩阵定义特殊矩阵

所有元全为数0的矩阵称为零矩阵.记作或.如零矩阵为5.只有一列元的矩阵，称为列矩阵.4.只有一行元的矩阵，称为行矩阵.1.1.2阶梯形矩阵

对于非零矩阵，若满足：（1）矩阵若有零行（元全为数0的行），零行一定在矩阵的最下方；（2）矩阵各非零行第一个非零元所在列中，该元下方的元都为0，则称该矩阵为阶梯形矩阵.阶梯形矩阵1.1.2简化阶梯形矩阵

对于阶梯形矩阵，若它还满足：（1）各非零行的第一个非零元都为1；（2）各非零行的第一个非零元所在列的其余元都为0，则称该阶梯形矩阵为简化阶阶梯形矩阵.简化阶梯形矩阵§1.2矩阵的运算

1.2.1矩阵的加法

1.2.2数乘矩阵1.2.3矩阵的乘法1.2.1矩阵的加法案例某种物资（单位：t）从三个产地运往四个城市销售，2004年第一、二两个季度的供应方案分别由矩阵和矩阵给定问:这两个季度三个产地运往四个城市的各供应量是多少？1.2.1矩阵的加法同型矩阵第一季度由第二个产地运往第3个城市的供应量元元第二季度由第二个产地运往第3个城市的供应量第一季度由第二个产地运往第3个城市的供应量三个产地第一季度和第二季度运往四个城市的各供应量1.2.1矩阵的加法若两个矩阵都是行列的矩阵，称为同型矩阵

将与的对应元相加，所得到的矩阵为矩阵与的和，记作简记作加法定义1.2.1矩阵的加法练习已知两个矩阵和解1.2.1矩阵的加法交换律结合律矩阵中的各元变号，得到矩阵，称为矩阵的负矩阵，记作．矩阵加法的性质负矩阵1.2.1矩阵的加法若矩阵与矩阵的负矩阵相加记作矩阵减法则负矩阵矩阵减法的性质1.2.1矩阵的加法解第四个季度的供应情况应是矩阵减去矩阵，即设甲、乙两个蔬菜基地分别给Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个城市供应蔬菜（单位：t），若全年的供应情况用矩阵表示，前三个季度的供应情况用矩阵表示，即1.2.2数乘矩阵

案例

某产品从甲、乙两个产地运往Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个销地，如果每t产品每公里的运费为50元，运输里程表为下表ⅠⅡⅢ甲500300450乙350280600销里程（公里）产地地试用矩阵表示从两个产地运往三个地区的运费为每t多少元?1.2.2数乘矩阵

案例ⅠⅡⅢ甲500300450乙350280600销里程（公里）产地地解运输里程（公里）用矩阵可表示为由于每t产品每公里运费为50元，所以，从甲地到第Ⅱ个销地的运费（元/t）为即从而由两个产地到三个销地的运费，若用矩阵表示，可写成为简便，可记作

表示从甲地到第Ⅱ个销地的里程简记作数乘矩阵的定义用数乘矩阵中的每一个元所得到的矩阵为数乘矩阵1.2.2数乘矩阵

例已知矩阵，则数3与矩阵的乘积，记作1.2.2数乘矩阵

1.2.3矩阵的乘法

某公司采购员到三个装修超市去买红、黄两种颜料，三个超市颜料的价格（百元/桶）可用矩阵表示，在每个超市购买两种颜料的数量（桶）用矩阵表示，求在各个超市购买红、黄两种颜料所消费的金额。案例解依题设，所求金额为

超市一（百元），超市二（百元），超市三（百元）.1.2.3矩阵的乘法上述消费金额若用矩阵表示，并记作，有

某公司采购员到三个装修超市去买红、黄两种颜料，三个超市颜料的价格（百元/桶）可用矩阵表示，在每个超市购买两种颜料的数量（桶）用矩阵表示，求在各个超市购买红、黄两种颜料所消费的金额。案例1.2.3矩阵的乘法这种矩阵的运算称为矩阵的乘法运算.下面来看这种运算的要点：1．矩阵的列数（2列）与矩阵的行数（2行）相等，这是矩阵与矩阵可以作乘法运算的条件；2．所求得的矩阵是矩阵，其行数恰是矩阵的行数，其列数恰是矩阵的列数，这是矩阵与矩阵相乘的结果.矩阵与矩阵相乘记作，即；3．矩阵中的元恰是矩阵的第行与矩阵的第列（此处只有一列）相对应的元乘积之和.如，即.这是矩阵与矩阵如何进行乘法运算.矩阵乘法的定义1.2.3矩阵的乘法设是矩阵，是矩阵，即矩阵与矩阵的乘积，记作，若令，则是一个矩阵，即其中矩阵的第行第列的元是矩阵的第行与矩阵的第列的对应元乘积之和.即1.2.3矩阵的乘法练习练习3已知解由于的列数2与的行数2相同，乘积有意义，又的行数是

3，的列数是2，所以，是矩阵，且

因矩阵是2列，而矩阵是3行，故乘积无意义.求乘积，并问乘积是否有意义？1.2.3矩阵的乘法练习解由于的列数2与的行数2相同，乘积有意义，又的行数是

3，的列数是3，所以，是矩阵，且

练习4已知求乘积，由于的列数3与的行数3相同，乘积有意义，又与的行数都是2，所以，是矩阵，且1.2.3矩阵的乘法练习练习5已知求乘积，解1.2.3矩阵的乘法练习说明1.由练习3知，对两个矩阵、，乘积存在，而乘积不一定存在；由练习4和练习5又知，即使在乘积与都存在时，它们也不一定相等.在一般情况下，矩阵乘法不满足交换律.即.由此，在进行矩阵乘法运算时一定要注意矩阵与的先后顺序.2．由练习5也顺便说明，两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵；从而当时，一般不能推出或.1.2.3矩阵的乘法练习解练习6已知求乘积，说明本练习中，，且，但.这表明矩阵乘法不满足消去律：不能在矩阵等式两边都消去同一个矩阵，即由推不出.1.2.3矩阵的乘法练习练习7已知求乘积，解由于矩阵有3列，为了使乘积有意义，必须用三阶单位矩阵右乘，即

由于矩阵有2行，为了使乘积有意义，必须用二阶单位矩阵乘，即说明

本练习表明，对任意矩阵，当，都有意义时，一定有，即单位阵在乘法运算中所起的作用，类似于代数中数1在乘法运算中所起的作用.1.2.3矩阵的乘法练习解根据矩阵相等的概念，所给线性方程组可用矩阵等式表示为练习8用矩阵形式表示线性方程组由矩阵乘法，上式左端可写作于是，所给线性方程组可用矩阵表示为1.2.3矩阵的乘法练习若记练习8用矩阵形式表示线性方程组

对所给线性方程组而言，称为系数矩阵，称为未知量矩阵，称为常数项矩阵.则所给方程组可用矩阵表示为

1.2.3矩阵的乘法练习

一般地，对个未知量个方程的线性方程组增广矩阵若记§1.3矩阵的初等行变换与矩阵的秩

1.3.1矩阵的初等行变换

1.3.2矩阵的秩1.3.1矩阵的初等行变换

（1）互换矩阵两行的位置（交换第，两行，记作）；（2）以不等于0的数乘矩阵某一行的所有元（乘第行，记作）；（3）把矩阵某一行所有元的倍加到另一行的对应元上（第行的倍加到第行上，记作）.对矩阵的行施行下列三种变换，统称为矩阵的初等行变换：1.3.1矩阵的初等行变换

.

练习1设矩阵解（1）（2）将矩阵进行下列初等行变换：（1）交换矩阵的第1行与第3行的位置；（2）用数3乘矩阵的第2行；（3）将矩阵第3行的(-4)倍加到第4行上.1.3.1矩阵的初等行变换

练习1设矩阵解（3）将矩阵进行下列初等行变换：（1）交换矩阵的第1行与第3行的位置；（2）用数3乘矩阵的第2行；（3）将矩阵第3行的(-4)倍加到第4行上.

.

1.3.1矩阵的初等行变换

练习2用矩阵的初等行变换将矩阵程序(1)(2)（1）将矩阵化为阶梯形矩阵；（2））将阶梯形矩阵化为简化阶梯形矩阵.化为简化阶梯形矩阵.梯形矩阵不惟一简化梯形矩阵惟一

.

1.3.1矩阵的初等行变换

练习3用矩阵的初等行变换将矩阵解化为简化阶梯形矩阵.

.

1.3.2矩阵的秩

求矩阵的秩定义

将任意矩阵化为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中非零行的行数，称为矩阵的秩，记作.关键:将矩阵化为阶梯形矩阵

1.3.2矩阵的秩

解所以，练习4求矩阵的秩.§1.4线性方程组的消元解法

1.4.1非齐次线性方程组的消元解法

1.4.2线性方程组解的判定

1.4.1非齐次线性方程组的消元解法若常数项，，…，不全为零，则称此方程组为非齐次线性方程组.对个未知量个方程的线性方程组1.4.1非齐次线性方程组的消元解法对个未知量个方程的线性方程组若常数项，，…，全为零，则称此方程组为齐次线性方程组.1.4.1非齐次线性方程组的消元解法则非齐次线性方程组用矩阵表示为系数矩阵未知数矩阵常数项矩阵

齐次线性方程组用矩阵表示为1.4.1非齐次线性方程组的消元解法增广矩阵1.4.1非齐次线性方程组的消元解法对非齐次线性方程组

及齐次线性方程组要解决如下三个问题方程组是否有解若有解，是否是惟一解如何求方程组的解有解1.4.2线性方程组解的判定个.对个未知量个方程的非齐次线性方程组（2）当时，有无穷多组解.这时自由未知量的个数为.（1）当时，有惟一解；或用矩阵表示为1.4.1非齐次线性方程组的消元解法

用消元法解下列非齐次线性方程组：案例1.4.1非齐次线性方程组的消元解法(解案例)方程组增广矩阵

①②③①④⑤分别将的第1行乘上数（-2）、（-1）加到第2行和第3行上，得方程①乘上数（-2）、（-1）加到方程②和方程③上，得1.4.1非齐次线性方程组的消元解法(续解案例)方程组增广矩阵①④⑥

把方程⑤乘上，得把上述矩阵的第3行乘上，得①④⑤1.4.1非齐次线性方程组的消元解法(续解案例)增广矩阵

交换方程④和方程⑥的位置，得交换上述矩阵的第2行和第3行，得①⑥④方程组①④⑥1.4.1非齐次线性方程组的消元解法(续解案例)增广矩阵为消去方程④未知量，将方程⑥乘上数3加到方程④上，得将上述矩阵的第2行乘上数3加到第3行上，得阶梯形矩阵阶梯形方程组①⑥⑦方程组①⑥④1.4.1非齐次线性方程组的消元解法(续解案例)增广矩阵为求方程组的解，将方程⑦乘上，得①⑥⑧把上述矩阵的第3行乘上，得方程组①⑥⑦阶梯形矩阵1.4.1非齐次线性方程组的消元解法(续解案例)增广矩阵

将上述矩阵第3行分别乘上数2、(-1),加到第2行和第1行上，得方程组将代入前两个方程，即将方程⑧分别乘上数2、（-1）加到方程⑥和方程①上，得⑨⑩⑧①⑥⑧1.4.1非齐次线性方程组的消元解法(续解案例)增广矩阵简化阶梯形矩阵原方程组的解方程组将代入前一个方程，即将方程⑩乘上数（-3）加到方程⑨上，得将上述矩阵第2行乘上数（-3）加到第1行上，得惟一解⑨⑩⑧1.4.1非齐次线性方程组的消元解法解题过程

用消元法解线性方程组，解题过程（1）消元过程：把方程组化为阶梯形方程组；（2）回代过程：由阶梯形方程组逐次求出各未知量.（1）用矩阵的初等行变换将化为阶梯形矩阵：阶梯形方程组对应的矩阵是阶梯形矩阵；（2）用矩阵的初等行变换将化为简化阶梯形矩阵：简化阶梯形矩阵给出了原方程组的解.相应地1.4.1非齐次线性方程组的消元解法解题过程由此可知，用消元法解线性方程组，就是对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换1st经初等行变换将为阶梯形矩阵非齐次线性方程组的求解过程若2ed继续化为简化阶梯形矩阵3th写出简化阶梯形矩阵对应的线性方程组非齐次线性方程组无解，解题结束1.4.1非齐次线性方程组的消元解法练习1

解线性方程组程序（1）将化为阶梯形矩阵（2）将阶梯形矩阵继续化为简化阶梯形矩阵（3）写出对应的方程组

1.4.1非齐次线性方程组的消元解法练习1

解线性方程组1.4.1非齐次线性方程组的消元解法练习1

解线性方程组1.4.1非齐次线性方程组的消元解法练习1（续）

解线性方程组该方程组可写成（3）写出简化阶梯形矩阵对应的方程组1.4.1非齐次线性方程组的消元解法练习1（续）

解线性方程组若取，，则原方程组的解是其中，为任意常数.这是原方程组的无穷多组解.

无穷多解该方程组可写成1.4.1非齐次线性方程组的消元解法练习1（续）

解线性方程组若取，，则原方程组的解是其中，为任意常数.这是原方程组的无穷多组解.

无穷多解1.4.1非齐次线性方程组的消元解法练习2

解线性方程组解写出方程组的增广矩阵，并对其施行初等行变换，化为阶梯形矩阵.阶梯形矩阵1.4.1非齐次线性方程组的消元解法练习2

解线性方程组矛盾方程

该方程组无解，所以原方程组也无解.

是阶梯形矩阵，与它对应的方程组是无解1.4.2线性方程组解的判定练习3

解线性方程组解写出方程组的增广矩阵，并对其施行初等行变换阶梯形矩阵由阶梯形矩阵知，

（未知量的个数），所以方程组有解，且有无穷多组解，自由未知量的个数为5-2=3.1.4.2线性方程组解的判定练习3

若取，，，则方程组的一般解为其中，，是任意常数.一定有零解1.4.2齐次线性方程组解的判定个.对个未知量个方程的齐次线性方程组（2）当时，有非零解.这时自由未知量的个数为.（1）当时，仅有零解；或用矩阵表示为1.4.1非齐次线性方程组的消元解法解题过程由此可知，用消元法解线性方程组，就是对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换1st经初等行变换将为阶梯形矩阵齐次线性方程组的求解过程2ed继续化为简化阶梯形矩阵3th写出简化阶梯形矩阵对应的线性方程组，得无穷多解齐次线性方程组仅有零解，解题结束若1.4.2齐次线性方程组解的判定练习4

解线性方程组简化阶梯形矩阵方程个数3<未知量个数4，方程组定有非零解.1.4.2齐次线性方程组解的判定练习4

解线性方程组其中，，是任意常数.若取,,则方程组的解是1.4.2齐次线性方程组解的判定练习5

解线性方程组简化阶梯形矩阵1.4.2齐次线性方程组解的判定练习5

若取,则方程组的解是其中是任意常数.1.4.2齐次线性方程组解的判定练习5

解线性方程组其中，，是任意常数.若取,,则方程组的解是第二章导数与微分

目标1.了解极限与连续的概念.

2．理解导数概念及其几何意义.3．掌握导数的基本公式、求导法则，能熟练地求出函数的一、二阶导数.4．了解微分的概念.§2.1经济中常用的几个函数2.1.1需求函数与供给函数

2.1.2收益函数

2.1.3成本函数

2.1.4利润函数§2.1经济中常用的几个函数利润函数供给函数收益函数总成本函数需求函数经济函数2.1.1需求函数与供给函数

需求法则商品的需求量Qd是价格p的单调减函数：价格越高，需求量越少；价格越低，需求量越大

需求函数的图像需求量Qd价格p需求函数Op0Q1p1Q0)(pQdj=2.1.1需求函数与供给函数（1）线性函数

（2）指数函数（3）幂函数需求函数的类型2.1.1需求函数与供给函数

供给法则商品的需求量Qs是价格p的单调增函数：价格越高，供给量越大；价格越低，供给量越小

供给函数的图像供给量Qs价格p供给函数Op02.1.1需求函数与供给函数（1）线性函数

（2）指数函数（3）二次函数供给函数的类型2.1.2收益函数收益函数用表示总收益，则有总收益=销售价格销售数量，即其中平均收益函数用表示平均收益，则有即总收益R销量QO总收益函数的图像2.1.2收益函数2.1.3成本函数总成本函数平均成本函数

在一定的产量范围内，生产件产品的总成本

是由固定成本

和可变成本两部分组成，它是产量

的函数。即：

平均成本是指生产件产品，平均每件产品所消耗的成本。即：2.1.3成本函数三次总成本函数的图像总成本C产量QOC0平均成本AC产量QO平均成本函数的图像2.1.4利润函数利润函数用表示产品的总利润，则有总利润=总收益-总成本即由收益曲线和成本曲线得到利润函数的图像§2.2极限概念2.2.1数列的极限2.2.2函数的极限2.2.3函数连续的定义这一列数就是一个数列.

随着时间的推移，剩下的棒的长度越来越短，显然，当天数无限增大时，剩下的棒的长度将无限缩短，即剩下的棒的长度接近于数0.这时我们就称由剩下的棒的长度构成的数列以常数0为极限.并记作2.2.1数列的极限案例1意为“一根长为一尺的棒头，每天截去一半，这样的过程可以无限地进行下去.”案例你理解“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意义吗？实际上，每天截后剩下的棒的长度是（单位为尺）：第1天剩下；第2天剩下；第3天剩下；……；第21天剩下；第22天剩下；……；第天剩下；……，这样，我们就得到一列数2.2.1数列的极限数列极限定义设数列：

,,,…，，…，若当无限增大时，趋向于常数，则称数列以为极限，记作收敛数列有极限的数列称为收敛数列.例如，数列：2，，，……，，……，当无限增大时，由于无限接近于0，所以无限接近于数1，因此，数列以1为极限。即

或2.2.1数列的极限发散数列没有极限的数列称为数列.当无限增大时，也无限增大，它不趋于任何常数，该数列就没有极限.

例1数列：，，，……，，……，例2数列的通项，其数值在-1和+1上跳来跳去，总也不能接近某一常数.这样的数列也没有极限.2.2.1数列的极限练习1练习1考察数列的极限将数列取值计算，列表如下12.000000102.5937421022.7048141032.7169241042.7181461052.7182681062.718280当无限增大时数列增加得越来越慢2.2.1数列的极限练习1公式练习求解由幂的运算性质

于是

2.2.2函数的极限案例2案例

生产第一架新式商用飞机所需的工时数，一般大大高于第一百一架飞机所需的工时数.如果用表示生产一架新式商用飞机所需的工时数，可视为时间的函数，最终生产一架新式商用飞机所需的工时数会接近于一个均衡时间（单位：小时）.这个问题，就可理解为当时间趋于正无穷大时，生产一架飞机所需的工时数以为极限.工时数函数极限定义设函数在时有定义，若当时，函数趋于常数，则称函数当趋于无穷大时以为极限，记作或上述定义的几何意义：曲线沿着轴的正向和负向无限远伸时，以直线为水平渐近线2.2.2函数的极限例如，由下图可知2.2.2函数的极限若当时，函数趋于常数，则称函数当趋于负无穷大时以为极限，记作或若当时，函数趋于常数，则称函数当趋于正无穷大时以为极限，记作或函数极限函数极限极限存在且等于的充分必要条件是极限与

都存在且等于.即2.2.2函数的极限练习3求

解

由图易看出由极限存在且等于的充分必要条件知不存在2.2.2函数的极限相应的函数值的变化情况见表

案例设函数,试讨论当时，函数的变化情况.

当，时，函数00.50.80.90.990.9990.99990.999990.999999...11.51.81.91.991.9991.99991.999991.999999...21.51.21.11.011.0011.00011.000011.000001...32.52.22.12.012.0012.00012.000012.000001...2.2.2函数的极限当时，函数当时，函数案例设函数，试讨论当时，函数的变化情况.

2.2.2函数的极限由图也可看出，当，时，函数以2为极限，记作函数极限定义设函数在点的左右邻近有定义（在点可用有定义，也可用没有定义），若当（但始终不等于）时，函数趋于常数，则称函数当趋于无穷大时以为极限，记作或2.2.2函数的极限例如，由图可知函数极限极限存在且等于的充分必要条件是极限与

都存在且等于.即2.2.2函数的极限函数极限若当时，函数趋于常数，则称函数当趋于时以为左极限，记作或若当时，函数趋于常数，则称函数当趋于时以为右极限，记作或改变量2.2.3函数连续的定义对函数

，假设自变量由

改变到

，自变量实际改变了

，这时，函数值相应地由

改变到

，若记

为函数相应地改变量，则

.按这种记法，在处，当很微小时，也很微小.特别当时，也有.这就是函数在点处连续的实质.函数在一点连续的定义设函数在点及其左右邻近有定义，若则称函数在点处连续，称为该函数的连续点.函数在一点连续的三个条件（1）函数在点及其左右邻近有定义；（2）极限存在；（3）极限的值等于该点的函数值.间断点上述三个条件之一不满足,函数在点处就不连续,称是函数的不连续点,即间断点.左连续右连续若，则称函数在点处左连续.若，则称函数在点处右连续.函数在点处连续的充分必要条件是：函数在点处既左连续又右连续。即2.2.3函数连续的定义§2.3复利与贴现2.3.1复利公式2.3.2贴现公式案例你持有10000元钱想进行投资，现有两种投资方案（1）一年支付一次红利，年利率是12%；（2）一年支分12个月支付红利，月利率是1%。问：哪一种投资方案合算？答案是：第二种投资方案合算。因为在这一年中，投资者不仅可用本金获取利息，而且可用利息赚取利息。

2.3.1复利公式按离散情况计算利息的复利公式现有本金，以年利率贷出，若以复利记息，年末将增值到，使计算。若以一年为1期计算利息2年末的本利和为1年末的本利和为

年末的本利和为若一年计息期

年末的本利和为

2.3.1复利公式以连续复利计算利息的复利公式现有本金，以年利率贷出，若以复利记息，年末将增值到，使计算。由于所以，若以连续复利计算利息若记息的“期”的时间间隔无限缩短，从而记息次数，这种情况称为连续复利

年末的本利和的复利公式为案例你持有10000元钱想进行投资，现有两种投资方案（1）一年支付一次红利，年利率是12%；（2）一年分12个月支付红利，月利率是1%。问：哪一种投资方案合算？答案是：第二种投资方案合算。因为在这一年中，投资者不仅可用本金获取利息，而且可用利息赚取利息。

2.3.1复利公式解案例1所以，一年分12个月按复利支付红利的投资方案更合算，能多得68.25元

年利率若以一年为1期计算利息:若一年计息12期，，，且以1%为每期的利息来计算:（2）（1）练习1人民医院1998年5月20日从美国进口一台彩色超声诊断仪，贷款20万美元，以复利计息，年利率4%，2007年5月20日到期一次还本付息，试确定贷款到期时还款总额.（1）如果一年计息2期；（2）如果按连续复利计息.

2.3.1复利公式解，，若一年计息2期:（1）（2）若按连续复利计息:案例设年利率为6%，现投资多少元，10年之末可得120000元?

（1）按离散情况计息,每年计息4期；（2）按连续复利计算.

2.3.2贴现公式案例2若按连续复利，连续贴现公式（2）确定现在值（1）已知未来值贴现率若每年分期贴现，由前述复利公式可得贴现公式已知未来值，确定现在值，是贴现问题。此时年利率为贴现率案例设年利率为6%，现投资多少元，10年之末可得120000元?

（1）按离散情况计息,每年计息4期；（2）按连续复利计算.

2.3.2贴现公式案例2解案例2若按连续复利计算（2）确定现在值已知未来值贴现率（1）若每年计息4期:

年利率§2.4导数与微分概念2.4.1导数定义2.4.2导数的几何意义2.4.3微分定义

设函数，为曲线上一定点，在其邻近再取曲线上另一点，作割线，与轴正向夹角为

曲线的切线斜率

2.4.1导数定义曲线的切线斜率

2.4.1导数定义

当时，沿曲线趋向于，割线的位置也随这变动而趋向于极限位置---切线。此切线的斜率为：即曲线的切线斜率y=ƒ(x)oxyT切线曲线的切线斜率y=ƒ(x)oxyT切线T’‘割线曲线的切线斜率y=ƒ(x)oxyT切线T’‘割线曲线的切线斜率y=ƒ(x)oxyT切线T’‘割线曲线的切线斜率y=ƒ(x)oxyT切线T’‘割线曲线的切线斜率y=ƒ(x)oxyT切线T’‘割线曲线的切线斜率y=ƒ(x)oxyT切线问题的总结

上例可归纳为以下三个步骤：

第一步，求对应于自变量改变量的函数改变量；第二步，计算函数改变量与自变量改变量的比；

第三步，求当自变量改变量趋于零时这个比的极限，此极限称为函数的变化率。函数的变化率在数学上称为导数，下面给出导数的定义。

2.4.1导数定义函数在点处的导数定义

设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在点处取得改变量时，函数取得相应改变量

若当时，的极限存在，即存在，则称函数在点处可导，并称此极限为函数在点处的导数，记为：或或或xxfxxfxyxoxD-D+=DD®D®D)()(limlim000

2.4.1导数定义练习1求函数在点处的导数。解：当由变到时，相应函数的改变量为：

对于内任一点，都有唯一确定的与之相对应。

2.4.1导数定义函数在区间的导函数定义

2.4.1导数定义若函数在区间内每一点都可导，则对于每一个都有的一个导数值与之对应，这样就得到一个定义在上的函数，称为函数的导函数，记作

或或或即显然

2.4.1导数定义练习2求函数的导数，并求解：对任意点，当自变量的改变量为时，因变量相应的改变量由导函数再求指定点的导数值

2.4.1导数定义练习3求常量函数的导数解：对任意点，当自变量的改变量为时，则总有于是即常数的导数等于零导数的几何意义导数的几何意义2.4.2导数的几何意义

在几何上表示曲线在点处的切线斜率，即2.4.2导数的几何意义

在几何上表示曲线在点处的切线斜率，即曲线在点处的切线方程为

2.4.2导数的几何意义解：由于练习4求曲线在点处的切线方程所以，曲线在点处的切线方程为或

2.4.3微分定义微分定义设函数在点可导，自变量在点的改变量为，乘积称为函数在点的微分，这时，也称函数在点可微.

函数的微分记作，即

.通常把自变量的改变量称为自变量的微分，记作，即.于是函数的微分，一般记作

.即函数的微分等于函数的导数与自变量的微分的乘积.

2.4.2导数的几何意义练习5求函数的微分解：先求导数.由幂函数的导数公式

于是，函数的微分为§2.5导数运算2.5.1导数的基本公式2.5.2导数的运算法则2.5.3高阶导数

2.5.1导数的基本公式

2.5.2导数的四则运算法则

2.5.2导数的四则运算法则练习1，求解：由代数和的导数法则

2.5.2导数的四则运算法则练习2，求解：由代数和及乘积的导数法则

2.5.2导数的四则运算法则练习3，求解：由商的导数法则

2.5.2导数的四则运算法则练习4，求解：由商的导数法则

2.5.2复合函数的导数法则设函数在点可导，而函数在对应的点可导，则复合函数在点可导，且或记作

复合函数的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.说明符号表示复合函数对自变量求导数，而符号表示复合函数对中间变量求导数.

2.5.2复合函数的导数法则练习5，求解：将已知函数看成是由下列函数构成的复合函数：于是注意在求复合函数的导数时，若设出中间变量，已知函数要对中间变量求导数，所以计算式中出现中间变量，最后必须将中间变量以自变量的函数代换.

2.5.2复合函数的导数法则练习6，求解：将已知函数看成是由下列函数构成的复合函数：于是

2.5.2复合函数的导数法则练习7，求解：将已知函数看成是由下列函数构成的复合函数：于是

2.5.2复合函数的导数法则练习8，求解：将已知函数看成是由下列函数构成的复合函数：于是

2.5.2复合函数的导数法则练习9，求解：

2.5.2复合函数的导数法则练习10，求解：

2.5.3高阶导数称的导数为函数的二阶导数，记作

二阶导数函数在某点的二阶导数，记作称的导数为函数的三阶导数，记作

三阶导数

2.5.3高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.相对于高阶导数而言，自然，函数的导数就相应地称为一阶导数.高阶导数

阶导数称阶导数的导数为函数的阶导数，记作

2.5.3高阶导数练习11，求解：先求一阶导数再求二阶导数

2.5.3高阶导数练习12，求解：有由本例知，对次多项式：

2.5.3高阶导数练习13，求解：由指数函数的导数公式

注意到是常数，则有………………第三章导数的应用

目标1.理解函数单调性、极值、凹向与拐点的概念及其判别法

.2.掌握边际与弹性的经济意义3．熟练掌握解几何与经济方面最大值与最小值的应用问题§3.1函数的单调性极值3.1.1函数的单调性3.1.2函数的极值3.1.1函数的单调性

yxOyxO单调增加定义图像设函数在区间内有定义，若对

内的任意两点和，当

时，恒有

，则称此函数在区间内单调增加。

区间

称为该函数的单调增加区间。单调减少定义图像设函数在区间内有定义，若对

内的任意两点和，当

时，恒有

，则称此函数在区间内单调增加。

区间

称为该函数的单调增加区间。3.1.1函数的单调性

函数单调性的判定法则

设函数在区间内可导，则有

(1)若在内处处有，则在内单调增加；

(2)若在内处处有，则在内单调减少3.1.1函数的单调性解(1)函数的定义域是．

可知在内，故函数在其定义域内是单调增加的.练习1判别函数的单调性.3.1.1函数的单调性函数单调性的判定法则说明

只是函数在区间

内单调增加（单调减少）的充分条件，不是必要条件。)(xf

例：在上单调增加，但在故函数在内单调增加（单调减少）时，有可能在区间内导数在个别点处为零。3.1.1函数的单调性练习2讨论函数的单调增减区间.

(2)求导数并确定函数的驻点由得驻点，．（3）判定函数的增减区间：驻点，，将函数的定义域分成三个部分区间：考察导数在各个部分区间内的符号.由的表示式知：在区间内，，函数单调增加；在区间内，，函数单调减少；在区间内，，函数单调增加．解(1)函数的定义域是

．3.1.2函数的极值极值的定义函数的极大值与极小值统称为函数的极值；函数的极大值点与极小值点统称为函数的极值点3.1.2函数的极值

极值定义的说明§3.1.2函数的极值

综上所述

极值点

驻点

如果在处取到极值，且在点处可导，则必有，即必是驻点。如何判别是否是极值点？极值的必要条件§3.1.2函数的极值

极值存在的充分条件若在及其邻域内有定义，且在的去心邻域内可导。)(xfy=0x0x§3.1.2函数的极值

确定函数的单调区间、极值点、极值的

方法与步骤

确定

的定义域

求一阶导数令

求出全部驻点列表根据驻点及不存在的点的左右两侧的符号.确定的单调区间、极值点§3.1.2函数的极值

练习3求函数的极值.

故是的极大值点，极大值,是的极小值点,极小值§3.1.2函数的极值

练习4

确定函数的单调区间、极值点、极值故是的极小值点，极小值,不是的极值点§3.2极值的几何应用据定义，图中定义函数在所考察的区间上，所有的函数值中的最大者与最小者，分别被称为最大值与最小值，分别被记作与或M与m。最大值、最小值的定义§3.2极值的几何应用最值与极值的区别与联系

最值可以在区间的内部取到，此时，该最值也必定是极值；最值也可以在区间的端点处取到。最值点构成极值点区间的端点

极值是局部的概念，故允许一个函数在一个区间上可以有几个极大值或极小值。

最值是整体的概念，必有；只能有一个最大值与最小值。

驻点不存在的点区别联系§3.2极值的几何应用

确定(a,b)内最值的方法与步骤对于上的连续函数：),(ba当在内只有一个极大值而没有极小值时，这个极大值就是该区间上的最大值。),(ba当在内只有一个极小值而没有极小值时，这个极小值就是该区间上的最小值),(ba§3.2极值的几何应用将边长为24cm的正方形铁皮于四个角处截去四个相等的小正方形，然后折起，作成无盖铁盒。见图。问：截去的小正方形的边长为多少时，铁盒的容积最大？