山西省2024-2025学年高二数学上学期期末考试试题文含解析

PAGE19-山西省2024-2025学年高二数学上学期期末考试试题文（含解析）（本试卷考试时间120分钟，满分150分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】否定命题的结论，同时把存在量词改为全称量词．【详解】命题“，”的否定是“，”．故选：C．【点睛】本题考查命题的否定，命题的否定除结论否定外，存在量词与全称量词需互换．2.已知直线过点，且在轴上的截距为，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】截距为3，说明直线过点(0,3)，由此求得直线斜率，由斜截式写出直线方程并整理为一般式．【详解】由题意，直线l过点(0,3)，∴其斜率为，直线方程为y=-2x+3，即2x+y-3=0，故选：B.【点睛】本题考查直线方程，求直线方程可先求出直线斜率，然后由斜截式或点斜式写出直线方程，再化为一般式．3.函数在区间的最小值是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数求得函数的极值点，求得在区间上的最小值.【详解】依题意，所以在上递减，在上递增，所以在处取得微小值也即是最小值为.故选：C【点睛】本小题主要考查利用导数探讨函数在闭区间上的最小值，属于基础题.4.刘徽注《九章商功》曰:“当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘，深一尺，积一千四百四十一寸非常之三.王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫.以徽术计之，于今斛为容九斗七升四合有奇.”其中的“斛、斗、升”都是中国古代量器名，也是容量单位，并且形态各异，常见的斗叫“方斗”，“方斗”的形态是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台）,假如一个方斗的三视图如图所示，则其容积为（）正视图侧视图俯视图A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图视察尺寸，由棱台体积公式计算体积．【详解】由三视图，棱台体积为．故选：C.【点睛】本题考查棱台的体积，驾驭台体体积公式是解题基础．5.抛物线的准线经过双曲线的左焦点，则抛物线的焦点坐标为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出双曲线的左焦点坐标，从而求得抛物线的参数p，得抛物线焦点坐标．【详解】双曲线中，，∴双曲线的左焦点为，右焦点就是抛物线的焦点．故选：A．【点睛】本题考查求抛物线的焦点坐标，考查双曲线的几何性质．属于基础题．6.若函数存在极值点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】通过探讨导函数零点，结合判别式，求得的取值范围.【详解】依题意函数存在极值点，其导函数的，解得或.故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数探讨函数的极值点，考查二次函数的判别式的运用，属于基础题.7.设，则“”是“直线与直线平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求出两直线平行时的a值，然后再依据充分必要条件的概念推断．【详解】直线与直线平行，则，，时，两直线方程分别为，平行，时，两直线方程分别为，平行，∴直线与直线平行充要条件是，则“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件．故选：A.【点睛】本题考查充分必要条件的推断，推断充分必要条件一种是证明两个命题的真假，一种是求出命题成立的参数范围，利用集合的包含关系推断充分必要条件．8.设，是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下面四个命题中正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则【答案】D【解析】【分析】依据面面垂直的性质推断A，B，由线面平行的性质推断C，由面面平行的性质推断D．【详解】若，，与也可以垂直，如正方体有公共点的三个面，A错；若，，但不与的交线垂直时，不与垂直，还可以平行，B错；若，，m与n可能异面，可能平行，C错；若，，，则，这是面面平行的性质定理，D正确．故选：D.【点睛】本题考查空间线面间的位置关系，驾驭面面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理是解题基础．9.若圆：关于直线对称，，则与间的距离是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由圆心在直线l上求得m，然后由平行间距离公式求得距离．【详解】由题意，圆关于直线对称，则，，即l方程为，所求距离为．故选：D.【点睛】本题考查两平行线间的距离，解题时需由圆关于直线对称，即直线过圆心求出参数m，再则平行间距离公式计算．10.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑中，平面，，，鳌臑的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】四个面都是直角三角形，由得，然后证明，这样PC中点O，就是外接球球心，易求得其半径，得面积．【详解】四棱锥的四个面都是直角三角形，∵，∴，又平面，∴AB是PB在平面ABC上的射影，，∴，取PC中点O，则O是外接球球心．由得，又，则，，所以球表面积为．故选：C．【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是找寻外接球的球心：三棱锥的外接球的球心肯定在过各面外心且与此面垂直的直线上．11.设函数是奇函数是导函数，，当时，，则使成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，依据题意求得的符号，结合函数的奇偶性，求得使成立的的取值范围.【详解】构造函数，当时，，即在上递增.由于是奇函数，所以是偶函数，所以在上递减.而，所以当或时，；当或时，.所以当或时.故选：B【点睛】本小题主要考查利用导数探讨解不等式，考查利用导数探讨函数的单调性，考查函数的奇偶性，属于基础题.12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点引渐近线的垂线，垂足为，的面积是，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】离心率为可得，与渐近线垂直，则有，从而，由的面积是，可得，这样可求得，得双曲线方程．【详解】如图，渐近线方程是，即，由于且，所以，所以，，，又，即，∴，，∴，，双曲线方程为：．故选：B.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，依据题意列出关于的两个等量关系即可求．题中假如驾驭双曲线的性质，求解更加便利：双曲线的焦点到渐近线的距离为.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则在点处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】利用导数求得切线斜率，结合切点坐标求得切线方程.【详解】依题意，，切点坐标为，由点斜式得，即.故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，属于基础题.14.以为圆心，且与圆外切圆的标准方程是__________.【答案】【解析】【分析】由圆心距离等于两圆半径之和求出所求圆的半径．【详解】设所求圆半径为，则由题意，，所以所求圆方程为：．故答案为：．【点睛】本题考查求圆的标准方程，解题关键是驾驭两圆外切的条件，由此求出圆半径．15.倾斜角是，且过点的直线交圆于，两点，则直线的一般式方程__________，__________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】由点斜式写出直线方程整理成一般式即可，求出圆心到直线的距离，由垂径定理求弦长．【详解】由题意直线l的方程为：，即，圆标准方程为：，圆心为，半径为，圆心到直线l的距离为，∴．故答案为：；．【点睛】本题考查直线方程的一般式，考查直线与圆相交弦长问题．求直线与圆相交弦长一种结合垂径定理计算．16.给出下列命题：（1）若函数在上是减函数，则；（2）直线与线段相交，其中，，则的取值范围是；（3）点关于直线的对称点为，则的坐标为；（4）直线与抛物线交于，两点，则以为直径的圆恰好与直线相切.其中正确的命题有__________.（把全部正确的命题的序号都填上）【答案】（3）（4）【解析】【分析】对四个命题逐一分析，由此确定命题正确的选项.【详解】对于（1），依题意在区间上恒成立，所以，所以，故（1）错误.对于（2），直线过，而点在直线的两侧，所以的取值范围是，即，故（2）错误.对于（3）直线的斜率为，，；的中点为，点满意直线.所以（3）正确.对于（4），抛物线的焦点为，准线为，直线过焦点.直线与抛物线相交与两点，依据抛物线的定义可知，AB中点到抛物线准线距离等于AB一半，所以为直径的圆恰好与抛物线的准线相切，故（4）正确.故答案为：（3）（4）【点睛】本小题主要考查利用导数探讨函数的单调性，考查直线的斜率，考查点关于直线对称轴问题，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.命题：直线与圆相交，命题方程表示焦点在轴上的椭圆.（1）若命题为真，求的取值范围；（2）若命题为真，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由圆心到直线的距离小于半径求得为真时m的范围．（2）由方程表示焦点在x轴上椭圆求出m的范围，由p真且为真得结论．【详解】解：（1）因为直线与圆相交，所以，解得，即的取值范围为.（2）椭圆焦点在轴上，所以为真，真假.或所以的取值范围为.【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数取值范围，驾驭复合命题的真值表是解题关键．pq真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真18.已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点作斜率为的直线交抛物线于，两点.（1）求抛物线的方程；（2）求面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据焦点到准线的距离求得，由此求得抛物线的方程.（2）求得直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，利用韦达定理求得弦长，结合点到直线的距离公式以及三角形的面积公式，求得的面积.【详解】（1）由题意可知，所以抛物线的方程为.（2）直线的方程为y=x-1.设直线与抛物线交于，.联立方程得...点到直线的距离，所以.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查与抛物线有关的三角形面积的计算，属于基础题.19.如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，且.（1）证明：平面平面；（2）若，，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由及得，，从而有平面，于是可得面面垂直．（2）取的中点，连接，证明平面，同时说明底面是正方形，即可求体积．【详解】（1）四边形是平行四边形，.又，即，，，平面，平面，从而平面.又平面，所以平面平面.（2）如图，取的中点，连接.，，，.又因为平面，平面，平面，，，四边形为正方形，又，平面，.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查求棱锥的体积．证明面面垂直，一般要证线面垂直，而要证线面垂直，就是要证线线垂直，除了垂直以外，判定定理中还有其他条件也应满意才能得出结论．20.已知直线恒过定点，过点引圆的两条切线，设切点分别为，.（1）求直线的一般式方程；（2）求四边形的外接圆的标准方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直线方程整理成a的多项式，关于a恒成立，由恒等式学问可得定点坐标，过圆外一点的圆的切线有两条，先考虑斜率不存在的直线是否是切线，然后再求斜率存在的切线方程，本题中知道定点是P(3,1)，直线x=3是一条切线，可知一切点为A(3,0)，由可求得AB的斜率，从而得直线AB的方程．不需求另一切点坐标．（2）由切线性质知PC是四边形的外接圆的直径，外接圆方程易求．【详解】（1）直线，直线恒过定点.由题意可知直线是其中一条切线，且切点为.，，所以直线的方程为，即.（2），所以四边形的外接圆时以为直径的圆，的中点坐标为，所以四边形的外接圆为【点睛】本题考查求直线与圆相切的切点弦所在直线方程，求圆的方程，求圆的方程方法就是确定圆心坐标和圆半径，写出圆标准方程．求直线方程就是求出直线斜率和直线所过的点，即可写出直线方程，本题直线AB方程可以由四边形的外接圆方程与已知圆方程相减可得．21.已知椭圆的短半轴长为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点作直线交椭圆C于，两点，若，求直线的方程.【答案】（1）（2）直线的方程为或【解析】【分析】（1）由短半长求得，结合离心率和求得，由此求得椭圆的方程.（2）当直线与轴垂直时，干脆求得两点的坐标，得到，不符合题意.当当直线与轴不垂直时，设出直线的方程，代入椭圆方程，写出韦达定理，利用列方程，解方程求得的斜率，进而求得直线的方程.【详解】（1）由题意得.又因为，，所以，所以椭圆的方程为.（2）当直线与轴垂直时，直线，得，.，不符合题意.当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，，把直线的方程代入，得，则，，，所以.故直线的方程为或.【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查平面对量数量积的坐标运算，考查运算求解实力，属于中档题.22.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数有零点，求的取值范围.【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为（2）【解析】【分析】（1）当时，利用导数求得的单调区间.（2）求得的定义域为导函数，对分