专题12.15 两数和乘以这两数的差-平方差公式（基础检测）（解析版）

专题12.15两数和乘以这两数的差—平方差公式（基础检测）一、单选题1．计算：的结果，正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平方差公式进行计算，即可得出结果．【详解】解：=故选：A．【点睛】本题考查了平方差公式；熟练掌握平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2是解决问题的关键．2．已知a﹣b＝3，a+b＝2，则a2﹣b2的值为（）A．6 B．−6 C．5 D．−5【答案】A【分析】利用平方差公式计算即可．平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2−b2．【详解】解：∵a﹣b＝3，a+b＝2，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×3＝6．故选：A．【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构特点是解答本题的关键．3．若，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】已知第一个等式利用平方差公式化简，将第二个等式代入计算即可求出a+b的值．【详解】解：∵a2-b2=（a+b）（a-b）=，a-b=，∴a+b=÷=，故选B．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．4．若，则（）A．12 B．11 C．10 D．9【答案】B【分析】根据平方差公式计算即可；【详解】解：∵，∴，∴，∴，故选：B【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键5．如图，在边长为（m+4）的正方形纸片上剪出一个边长为m的小正方形后，将剩余部分剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若这个矩形的一边长为4，则另一边长是（）A．m+2 B．m+4 C．2m+2 D．2m+4【答案】D【分析】根据面积之间的关系可求出答案．【详解】，故选：D．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，掌握各个部分的面积之间的关系是得出答案的关键．6．一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，例如27＝62﹣32，63＝82﹣12，故27，63都是“创新数”，下列各数中，不是“创新数”的是（）A．31 B．41 C．16 D．54【答案】D【分析】根据数字的特点，分别将31、41和16写成两个正整数的平方差的形式，而54不能写成两个正整数数的平方差的形式，则问题得解．【详解】解：∵31＝（16+15）（16﹣15）＝162﹣152，41＝（21+20）（21﹣20）＝212﹣202，16＝（5+3）（5﹣3）＝52﹣32，54不能表示成两个正整数的平方差．∴31、41和16是“创新数”，而54不是“创新数”．故选：D．【点睛】本题考查了平方差公式在新定义类计算中的简单应用，正确将所给的数字拆成平方差的形式是解题的关键．二、填空题7．已知a+b＝2，a﹣b＝3．则a2﹣b2的值为___．【答案】6【分析】根据平方差公式即可求出答案．【详解】解：当a+b=2，a-b=3时，a2-b2=（a+b）（a-b）=2×3=6．故选：6．【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．8．已知|x﹣1|+|y+2|＝0，则（2x+y）（2x﹣y）＝___．【答案】0【分析】运用绝对值的非负性可知两个绝对值下的数都为0，代入即可求解．【详解】解：根据题意得，x﹣1＝0，y+2＝0，解答：x＝1，y＝﹣2，∴（2x+y）（2x﹣y）＝4x2﹣y2＝4﹣4＝0，故答案为：0．【点睛】本题考查了绝对值的运算，巧用非负性是解题关键．9．已知，，则______．【答案】3【分析】利用平方差公式的逆运算即可计算求解．【详解】解：∵，∴，故答案为：3.【点睛】此题考查了平方差公式的逆运算，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．10．已知，，则__．【答案】2【详解】解：，又，，，故答案为：2．11．在一个边长为的正方形中间挖出一个边长为的正方形后，剩下的面积是__________．【答案】130cm2【分析】剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积．【详解】解：设剩下部分的面积为S，则S=13.252-6.752=（13.25+6.75）×（13.25-6.75）=20×6.5=130cm2，故答案为：130cm2．【点睛】此题主要考查用平方差公式在实际生活中的应用，比较容易．12．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么：（1+2i）（1﹣2i）＝___．【答案】5【分析】直接利用平方差公式将原式变形，再利用新定义把i2=-1代入得出答案．【详解】解：（1+2i）（1-2i）=1-4i2=1-4×（-1）=1+4=5．故答案为：5．【点睛】此题主要考查了新定义运算，正确运用平方差公式是解题关键．13．下图是从一个正方形中剪下一个小正方形后，拼成一个矩形的过程．根据下图，写出一个正确的等式：__________．【答案】【分析】裁剪前，第二图的面积等于大正方形面积减去小正方形面积，裁剪拼凑后面积等于长×宽，它们面积相等，据此可列出等式．【详解】解：如下图的面积在裁剪前＝，裁剪拼凑后＝，裁剪前后面积相等，故：故答案为：．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景．掌握等面积法是解题关键．14．若，则的值为__________．【答案】【分析】根据平方差公式求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查平方差公式，利用平方差公式进行计算是解题的关键．三、解答题15．利用乘法公式计算：【答案】【分析】首先把化成，然后利用平方差公式计算即可．【详解】解：原式．故答案为：．【点睛】本题考查了平方差公式，解题的关键是准确运用平方差公式：．16．先化简，再求值，其中【答案】x2-6x+4，11【分析】根据整式乘法公式计算即可．【详解】原式==当时，原式=【点睛】本题考查了整式乘法化简计算，熟记乘法公式，注意计算过程中符号变化是解题关键．17．先化简，再求值：，其中，．【答案】化简的结果：，代数式的值：【分析】先按照平方根公式，单项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并同类项得到化简的结果，再把，代入求值即可得到答案．【详解】解：当，，上式【点睛】本题考查的是整式的化简求值，掌握利用平方差公式，单项式乘以多项式的运算是解题的关键．18．已知3x2＋2x﹣5＝0，求代数式（2x＋1）（2x﹣1）﹣x（x﹣2）的值．【答案】3x2+2x-1，4【分析】根据平方差公式和单项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将3x2+2x-5=0代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：（2x+1）（2x-1）-x（x-2）=4x2-1-x2+2x=3x2+2x-1，当3x2+2x-5=0时，原式=（3x2+2x-5）+4=0+4=4．【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．19．如图，四边形与四边形都是正方形，，．（1）观察图形，用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，可以得到公式，请写出这个公式的推导过程；（2）如果正方形的边长比正方形的边长多16，它们的面积相差960，利用（1）中的公式，求，的值．【答案】（1）见解析；（2），【分析】（1）图中阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积；或者把阴影部分分割为两个矩形的面积进行计算；（2）利用（1）中的平方差公式计算．【详解】（1）如图所示，，图中阴影部分的面积或图中阴影部分的面积所以，即：；（2）由题意得：①，，②由①、②方程组解得：，．故的长为38，的长为22．【点睛】本题考查了因式分解的应用．利用不同的方法表示同一个图形的面积也是证明公式的一种常用方法，熟练掌握是关键．20．如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．（1）在图2中的阴影部分的面积S1可表示为；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为；（写成两数平方差的形式）；（2）比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是；A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2（3）请利用所得等式解决下面的问题：①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n＝；②计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1的值，并直接写出该值的个位数字是多少．【答案】（1）（a+b）（a﹣b），a2﹣b2；（2）B；（3）①3；②264，其结果的个位数字为6．【分析】（1）根据长方形和正方形的面积公式即可求解；（2）根据两个阴影部分的面积相等由（1）的结果即可得到答案.（3）①利用（2）中给的等式求解即可；②可以先把原式乘上一个（2﹣1），这样可以和（2+1）凑成平方差公式进行求解.【详解】解：（1）图2中长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b），图3中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2；（2）由（1）得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；故选B；（3）①因为4m2﹣n2＝12，所以（2m+n）（2m﹣n）＝12，又因为2m+n＝4，所以2m﹣n＝12÷4＝3，故答案为：3；②原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1＝（24﹣1）（