2022年辽宁省锦州市(初三学业水平考试)中考数学真题试卷含详解

2022年辽宁省锦州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.-2022的绝对值是（）

11

A.-------B.----------C.2022D.-2022

20222022

2.党的十八大以来，以习近平同志为核心的党中央重视技能人才的培育与发展.据报道，截至2021年底，我国高

技能人才超过60000000人，请将数据60000000用科学记数法表示为（）

A.0.6xlO8B.6xl07C.6xl06D.60xl06

3.如图所示的几何体是由4个完全相同的小正方体搭成的，它的主视图是（）

正面

a±bcd于

4.某校教师自愿者团队经常做公益活动，下表是对10名成员本学期参加公益活动情况进行的统计:

次数/次10874

人数3421

那么关于活动次数的统计数据描述正确的是（）

A.中位数是8,平均数是8B.中位数是8,众数是3

C.中位数是3,平均数是8D.中位数是3,众数是8

5.下列运算正确的是（）

633

A.（―4加）2=8///B.-a4-a=-a3263

C.2a-a2aD.+a-2a6

6.如图，直线将含30。角的直角三角板ABC（NA3C=30°）按图中位置摆放，若4=110。，则N2的度数

为（）

c

1A

A.30°B.36°C.40°D.50°

7.如图，在矩形ABC。中，AB=6,BC=8,分别以点A和C为圆心，以大于工AC的长为半径作弧，两弧相

2

交于点M和N,作直线分别交AR3C于点E,F,则AE的长为（）

1525

A.-B.-C.—D.—

4444

8.如图，在&A5C中，ZABC=90°,AB=2BC=4,动点尸从点A出发，以每秒1个单位长度速度沿线段

匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作交AC于点Q,将一APQ沿直线尸。折叠

得到A!PQ,设动点P的运动时间为t秒，.A'PQ与「ABC重叠部分的面积为s,则下列图象能大致反映S与r

之间函数关系的是（）

PB

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9.甲、乙两名学生10次立定跳远成绩的平均数相同，若甲生10次立定跳远成绩的方差为鼎=0.6,乙生10次立

定跳远成绩的方差为0.35,则甲、乙两名学生10次立定跳远成绩比较稳定的是.（填“甲”或

“乙”）

10.在一个不透明的口袋中装有红球和白球共8个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出

一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有75次摸到红球，则口袋中

红球的个数约为.

11.若关于X的一元二次方程x2+3x+g0有两个不相等的实数根，则上的取值范围是.

12.如图，四边形ABC。内接于。O,A3为。。的直径，ZADC=130°,连接AC,则/BAC的度数为

13.如图，在正方形A3CD中，E为的中点，连接班交AC于点?若A3=6,则.A历的面积为

14.如图，在平面直角坐标系中，"OB的边。8在y轴上，边AB与x轴交于点。，＞BD=AD

,反比例函数y=—（x>0）的图像经过点A,若SOAB=1,则k的值为

xA

15.如图，抛物线y=奴2+法+式。/0）与；4由交于点（—1,0）和点（2,0）,以下结论：

①而c<0；®4a-2b+c<Q；@a+b-O；④当x<g时，y随x增大而减小.其中正确的结论有

.（填写代表正确结论的序号）

16.如图，4为射线ON上一点，4为射线加上一点，/440=60。,04=3,用4=1.以44为边在其右

侧作菱形且/442=60。,£2与射线交于点不，得VG用不；延长与已交射线ON于点

4，以为4为边在其右侧作菱形452c2。2,且/与人打=60℃202与射线交于点名，得YC2B2B3;延

长B3D2交射线ON于点4，以B3A3为边在其右侧作菱形A33c303，且NB3AD3=60°,C3D3与射线OM交于点

为，得△G⑦d；…，按此规律进行下去，则△020228202282023的面积.

三、解答题（本大题共9小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.先化简，再求值：（‘7+」大]+三二，其中％=也一1.

[x+1x-2Jx-2

18.某校为了传承中华优秀传统文化，举行“薪火传承育新人”系列活动，组建了四个活动小组：A（经典诵读），B

（诗词大赛），C（传统故事），D（汉字听写）.学校规定：每名学生必须参加且只能参加其中一个小组.学校随

机抽取了部分学生，对其参加活动小组的情况进行了调查.下面图1和图2是根据调查结果绘制的不完整的统计

请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）本次随机调查的学生有名，在扇形统计图中“C”部分圆心角的度数为;

（2）通过计算补全条形统计图；

（3）若该校共有1500名学生，请根据以上调查结果，估计参加“3”活动小组的人数.

19.小华同学从一副扑克牌中取出花色为“红心”，“黑桃”，“方块”，“梅花”各1张放入不透明的甲盒中，

再从这副扑克牌中取出花色为“红心”，“黑桃”，“方块”，“梅花”各1张放入不透明的乙盒中.

（1）小华同学从甲盒中随机抽取1张，抽到扑克牌花色为“红心”的概率为;

（2）小华同学从甲、乙两个盒中各随机抽取1张扑克牌.请用画树状图或列表方法，求抽到扑克牌花色恰好是

1张“红心”和1张“方块”的概率.

20.2022年3月23

日“天官课堂”第二课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣.某中学为满足学生的

需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入4B两款物理实验套装，其中A款套装单价是8款套装单价的

1.2倍，用9900元购买的A款套装数量比用7500元购买的8款套装数量多5套.求A、8两款套装的单价分别是

多少元.

21.如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C,货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60。方向

上.为了躲避A,C之间暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30。方向继续航行，当它航行到8处后，又沿着

南偏东70。方向航行20海里到达码头C.求货轮从A到2航行的距离(结果精确到01海里.参考数据：

sin50°~0.766,cos50°=0.643,tan50°~1.192).

22.如图，在：。中，A3为。。的直径，点E在上，。为BE的中点，连接AE,8。并延长交于点C.连接

OD,在0。的延长线上取一点孔连接环，使=

A

C

(1)求证：B尸为:〉。的切线；

(2)若AE=4,OE==，求。的半径.

2

23.某文具店购进一批单价为12元的学习用品，按照相关部门规定其销售单价不低于进价，且不高于进价的1.5

倍，通过分析销售情况，发现每天的销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系，且当x=15时，

y=50；当X=17时，y=30.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少元?

24.如图，在.ASC中，AB=AC=2A/5,BC=4D,E,尸分别为ACAB,BC的中点，连接尸.

(1)如图1,求证:DF=—DE；

2

(2)如图2,将NEZ)厂绕点。顺时针旋转一定角度,得到ZP。。，当射线OP交A3于点G,射线。。交

于点N时，连接压并延长交射线OP于点M,判断FN与石加的数量关系，并说明理由;

(3)如图3,在(2)的条件下，当时，求。N的长.

25.如图，抛物线丁=以2+法+3交X轴于点A(3,0)和5(-1,0),交y轴于点C.

备用图

(1)求抛物线的表达式;

DN

(2)。是直线AC上方抛物线上一动点，连接。。交AC于点N,当——的值最大时，求点。的坐标;

ON

3

(3)尸为抛物线上一点，连接CP,过点P作PQLCP交抛物线对称轴于点。，当tan/PCQ=一时，请直接

4

写出点尸的横坐标.

2022年辽宁省锦州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.-2022的绝对值是（）

11

A.-------B.----------C.2022D.-2022

20222022

【答案】C

【分析】根据绝对值的意义可直接得出答案.

【详解】解：-2022的绝对值是2022,

故选：C.

【点睛】本题考杳了绝对值，掌握绝对值的意义是解题的关键.

2.党的十八大以来，以习近平同志为核心的党中央重视技能人才的培育与发展.据报道，截至2021年底，我国高

技能人才超过60000000人，请将数据60000000用科学记数法表示为（）

A.0.6xlO8B.6xl07C.6xl06D.60x106

【答案】B

【分析】科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中上同＜10,〃为整数.确定”的值时，要看把原数变成a

时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于或等于10时，〃是正整数；

当原数的绝对值小于1时，”是负整数.

【详解】解：将数据60000000用科学记数法表示为6x107；

故选B.

【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键.

3.如图所示的几何体是由4个完全相同的小正方体搭成的，它的主视图是（）

正面

mB■FF

【答案】c

【分析】根据几何体的三视图可直接进行排除选项.

【详解】解：由题意得:

该几何体的主视图为

故选C.

【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键.

4.某校教师自愿者团队经常做公益活动，下表是对10名成员本学期参加公益活动情况进行的统计:

次数/次10874

人数3421

那么关于活动次数的统计数据描述正确的是（）

A.中位数是8,平均数是8B.中位数是8,众数是3

C.中位数是3,平均数是8D.中位数是3,众数是8

【答案】A

【分析】由表格可直接进行求解.

Q1Q

【详解】解：由表格得：次数为8的人数有4人，故众数为8,这组数据的中位数为詈=8,平均数为

10x3+8x4+7x2+4

--------------------------------=oo；

10

故选A.

【点睛】本题主要考查平均数、众数及中位数，熟练掌握平均数、众数与中位数的求法是解题的关键.

5.下列运算正确的是（）

336

A.（—4仍2『=8//B.c.2a3•储=2dD,a+a=2a

【答案】B

【分析】分别根据幕的乘方运算法则，同底数幕的乘法法则，同底数幕的除法法则以及合并同类项逐一判断即

可.

【详解】解：A.(-W)2故本选项不合题意；

B.一06+=一。3,故本选项符合题意；

c.2a3-a2=2a5,故本选项不合题意；

D.。3+。3=2/,故本选项不合题意.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了同底数幕的乘除法以及累的乘方与积的乘方，熟记这些运算法则是解答本题的关键.

6.如图，直线a〃。，将含30。角的直角三角板A3C(NA5C=30°)按图中位置摆放，若4=110。，则N2的度数

为()

B

A.30°B.36°C.40°D.50°

【答案】C

【分析】如图，根据平行线的性质可得/3=/1=110。，则有/4=70°,然后根据三角形外角的性质可求解.

【详解】解：如图，

c

1A

B

■:al/b,N1=HO。，

.，.Z3=Z1=11O°,

・・.N4=180。—N3=70。，

■:ZABC=30°

：.Z2=Z4-ZB=40°；

故选C.

【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的

关键.

7.如图，在矩形A3CD中，AB=6,BC=8,分别以点A和C为圆心，以大于工AC的长为半径作弧，两弧相

2

交于点M和N,作直线分别交AR5c于点E,F,则AE的长为（）

【分析】根据矩形A3CD可知AADC为直角三角形，根据勾股定理可得AC的长度，在RfAAOC中得到

ADI

cosACAD=—,又由题知MN为AC的垂直平分线，于是NMQ4=90°AO=-AC,于是在RAAOE

AC2

中，利用锐角三角函数即可求出AE的长.

【详解】解：设与AC的交点为。,

四边形A3CD为矩形，

:.ZADC=90°,AB=DC=6,BC=AD=8,

.•.AADC为直角三角形，

CD=6,AD=8,

AC=y/AD2+DC2=V82+62=10-

cosZCAD=^f=A4

5

又由作图知MN为AC的垂直平分线,

:.ZMOA=90°,AO=-AC=5,

2

・•・在HWLOE中，

cosZEAO=—,

AE

cosACAD—cosZEAO，

.5_4

•«一,

AE5

-25

..AE=—.

4

故选：D.

【点睛】本题主要考查矩形的性质，锐角三角函数，垂直平分线，勾股定理，掌握定理以及性质是解题的关键.

8.如图，在火八ABC中，ZABC=90°,AB=2BC=4,动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段

匀速运动，当点尸运动到点2时，停止运动，过点尸作交AC于点Q,将qAPQ沿直线PQ折叠

得到A'PQ,设动点尸的运动时间为/秒，一APQ与LABC重叠部分的面积为s

则下列图象能大致反映S与1之间函数关系的是（）

C

上「

ApA9B

SAS八

A1

o24foT24t

SAs八

xTv]

o\24toT24t

【答案】D

【分析】由题意易得AP=f,tanZA=-,则有PQ=5f,进而可分当点P在4B中点的左侧时和在AB中点的

22

右侧时，然后分类求解即可.

[详解】解：：ZABC=90°,AB=2BC=4,

AtanZA=-,

2

由题意知：AP=t,

PQ=AP-tan=—?,

由折叠的性质可得：A'P=AP,ZAPQ=ZA'PQ=90°,

当点尸与A3中点重合时，则有y2,

当点尸在A3中点的左侧时，即0W『＜2,

r

—APQ与一A3。重叠部分的面积为Sa?。=^APPQ=1112

224

当点尸在A3中点的右侧时，即2＜，＜4,如图所示:

由折叠性质可得：AP=AP-1,ZAPQ=ZAPQ=90°,tanZA=tanNA'=—

2

BP=4T,

・・・AB=2t-4,

BD=AB-tan1—2,

=^（BD+PQ）PB=；［?+52：（4_，）=_；/+*-4

・・...APQ与人ABC重叠部分的面积为S梯形PB"

综上所述：能反映-APQ与一A3。重叠部分的面积S与f之间函数关系的图象只有D选项；

故选D.

【点睛】本题主要考查二次函数的图象及三角函数，熟练掌握二次函数的图象及三角函数是解题的关键.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9.甲、乙两名学生10次立定跳远成绩的平均数相同，若甲生10次立定跳远成绩的方差为S1=0.6,乙生10次立

定跳远成绩的方差为S；=0.35,则甲、乙两名学生10次立定跳远成绩比较稳定的是.（填“甲”或

“乙”）

【答案】乙

【分析】根据方差可直接进行求解.

【详解】解：由“=0.6,级=0.35可知：S看〉畿，且甲、乙两名学生10次立定跳远成绩的平均数相同，所

以甲、乙两名学生10次立定跳远成绩比较稳定的是乙；

故答案为乙.

【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差的相关知识点是解题的关键.

10.在一个不透明的口袋中装有红球和白球共8个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出

一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有75次摸到红球，则口袋中

红球的个数约为.

【答案】6

【分析】用球的总个数乘以摸到红球的频率即可.

75

【详解】解：估计这个口袋中红球的数量为8x——=6（个）.

100

故答案为：6.

【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动

的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事

件的概率，用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确.

11.若关于X的一元二次方程x2+3x+广。有两个不相等的实数根，则上的取值范围是.

9

【答案】k<-

4

详解】解：由题意得：A=9-4Q0,

9

解得：k<-,

4

9

故答案为：k<—.

4

12.如图，四边形ABC。内接于。O,AB为。。的直径，ZAZ）C=130°,连接AC,则NBAC的度数为

【答案】40。##40度

【分析】首先利用圆内接四边形的性质和/AOC的度数求得的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角确定

ZACB=9Q°,然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可.

【详解】解：：四边形ABCD内接与。O,ZADC=130°,

：.ZB=180°-ZADC=180°-130o=50°,

'：AB为直径，

ZACB=90°,

：.ZCAB=90°-ZB=90°-50°=40°,

故答案为：40。.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补.

13.如图，在正方形A3CD中，E为的中点，连接助交AC于点尸.若A3=6,则.A印的面积为

【答案】3

【分析】由正方形的性质可知4石=工40=工48=工3。=3,ADHBC,则有△人所口^。即，然后可得

222

FFAF1

——=——=—,进而问题可求解.

BFBC2

【详解】解：•••四边形A3CD是正方形，A3=6,

A£>=5C=AB=6,AD//BC,

：.AAEFs&BF,

.EF_AE

"~BF~~BC'

为AD的中点,

：.AE=-AD=-AB=-BC=3,

222

J7J7AJ711

S

而=拓=5'ABE=-AEAB=9,

・EF]

••—9

BE3

,•SAEF=§SABE—3；

故答案为3.

【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与

判定是解题的关键.

14.如图，在平面直角坐标系中，"OB的边02在〉轴上，边A3与x轴交于点D,且瓦）=AD

，反比例函数产"(x>0)的图像经过点A,若SAO4B=1,则左的值为

X

【答案】2

【分析】作A过x轴的垂线与％轴交于C,证明△A0C之△800,JttBS^OAC=SAOAB=L由此即可求得答案.

【详解】解：设A(〃，b),如图，作A过x轴的垂线与x轴交于C,

则：AC=b,0C=a,AC//OB,

：.ZACD=ZBOD=90°,ZADC=ZBDO,

：.AADC咨ABDO,

••SAADC=SABDO,

S^OAC=S^AOD+S"Z)C=S"OD+S^BDO-S^0AB=if

11,

—x(?CxAC=—ab=1,

22

ab=2,

VA(«,b)在产一上，

x

k=ab=2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查了反比例函数性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟

练掌握所学的知识，正确作出辅助线进行解题.

15.如图，抛物线y=/+法+式。/0）与x轴交于点（―1,0）和点（2,0）,以下结论:

①而c<0；®4a-2b+c<Q；③a+b=0；④当x<g时，y随x的增大而减小.其中正确的结论有

.（填写代表正确结论的序号）

【答案】①②##②①

【分析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据x=-2时判定②，由抛物线图像性质判定

④.

【详解】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则"V0,而故次?cVO,故正确；

②x=-2时,函数值小于0,则4Q-2Z?+CV0,故正确；

③与X轴交于点（—1,0）和点（2,0）,则对称轴x=—二/=—；,故a=。，故③错误；

④当x<；时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而减大.故④错误；

综上所述，正确的为①②.

故答案为：①②.

【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些

点代表的意义及函数特征.

16.如图，A为射线ON上一点，片为射线QW上一点，/440=60。,04=3,用4=1.以用A为边在其右

侧作菱形ABiGA，且/BHA=60°，G2与射线交于点与，得VG432；延长与已交射线ON于点

4，以为人为边在其右侧作菱形432c2。2,且=60°,。2。2与射线0M交于点名，得；延

长与。2交射线ON于点4，以员4为边在其右侧作菱形433c3。3，且NB3AD3=60°,C3D3与射线OM交于点

为，得△。3名34；…，按此规律进行下去，则△。2022与022与023的面积.

【分析】过点用作用。，。为于点。，连接用2,耳2,3,分别作

B2H±BRBG1B2D2,B,E1B3D3,然后根据菱形的性质及题意可得B,D,IIO\,B2D2HO\,B.D.HO\,则

有tan/。""Q"/“"an%四邛，进而可得出规律进行求解.

【详解】解：过点B］作B,D1OA,于点D,连接3Q,B2D2,B3D3,分别作

,如图所示：

B2HLB}DVB3G±B2D2,B&E±B3D3

G

NBQO=/用。4=ZB2HD}=NB3GD2=NB4ED3=90°,

/44。=60。，

ND4A=30°,

•.•44=1,OA=3,

OD=-

2

，BQ=《AB；-AD?=~，

.・皿/。=驳=正，

OD5

..•菱形AgG。，且ZB,A。=60°,

•••d414A是等边三角形，

NA,BQ=60°,4Q=A耳=1,

,.•NABQ=NO44=60°,

/.OAJIB[D],

NO=ZB2B}D},

tanNB/Qi=tanNO=%

设

B2DX=x,

Z52£>lH=60°,

O

HD,=B,DXCOS60=1X,B2H=B2D1sin60°=gx，

5

=­x

2

—xH—X=1,解得：x=一,

223

/.BD,=—

2713

4

4坊

3

416

同理可得：B.D=-,BD,=—,

329427

16-64

94427

由上可得:4纥=［丁，

V321MA20211/4丫⑼73省MV042

s=s-s=-------X-------X—X—X—X=X—

Qo22^2022^2023Qo22^2022^2022^2023^2022^20224r2U)326⑶

故答案器n：z.\4042

【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及三角函数，熟练掌握

菱形的性质、等边三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及三角函数是解题的关键.

三、解答题（本大题共9小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21x-1i-

17.先化简，再求值:---------1----------~,其中x=j3—1.

x+1%—2x-2

3

【答案】二，73

x+1

【分析】先对分式进行化简，然后再代入求解即可.

2x-4x+1x-1

【详解】解：原式=

(x+l)(x-2)(x+l)(x-2)

3x—3x-1

(x+l)(x-2)x-2

3(1)x-2

x____

(x+l)(x-2)x-1

3

x+1

3

把》=君一1代入得：原式=

73-1+1

【点睛】本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的化简求值及二次根式的运算是解题的

关键.

18.某校为了传承中华优秀传统文化，举行“薪火传承育新人”系列活动，组建了四个活动小组：A（经典诵读），B

（诗词大赛），C（传统故事），D（汉字听写）.学校规定：每名学生必须参加且只能参加其中一个小组.学校随

机抽取了部分学生，对其参加活动小组的情况进行了调查.下面图1和图2是根据调查结果绘制的不完整的统计

图.

人数

图1图2

请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)本次随机调查的学生有名，在扇形统计图中“C”部分圆心角的度数为;

(2)通过计算补全条形统计图；

(3)若该校共有1500名学生，请根据以上调查结果，估计参加“B”活动小组的人数.

【答案】(1)50、108°

(2)见解析(3)估计参加“8”活动小组的人数约有150名.

【分析】(1)由A的人数及其所占百分比可得总人数，根据各类型人数之和等于总人数求得C的人数，用360。乘

以C人数所占比例即可得其对应圆心角度数；

(2)据(1)的数据补全图形即可得；

(3)总人数乘以2活动小组人数和所占比例即可；

【小问1详解】

解：本次调查的总人数为10+20%=50(名)，

C活动小组人数为50-(10+5+20)=15(名)，

扇形统计图中，C所对应的扇形的圆心角度数是360°x—=108°,

50

故答案为：50、108°；

【小问2详解】

解：由(1)得C活动小组人数为15名，

补全图形如下：

人数

解：估计参加“2”活动小组的人数有1500x2=150(名).

【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思

想解答.

19.小华同学从一副扑克牌中取出花色为“红心”，“黑桃”，“方块”，“梅花”各1张放入不透明的甲盒中，

再从这副扑克牌中取出花色为“红心”，“黑桃”，“方块”，“梅花”各1张放入不透明的乙盒中.

(1)小华同学从甲盒中随机抽取1张，抽到扑克牌花色为“红心”的概率为;

(2)小华同学从甲、乙两个盒中各随机抽取1张扑克牌.请用画树状图或列表方法，求抽到扑克牌花色恰好是

1张“红心”和1张“方块”的概率.

【答案】(1)-

4

⑵-

8

【分析】(1)先求出从甲盒中随机抽取1张有4种等可能的结果，抽到扑克牌花色为“红心”结果只有1种，再

利用概率公式求解；

(2)先列出表，进而得到从甲、乙两个盒中各随机抽取1张扑克牌共有16种等可能的结果，其中抽到扑克牌花

色恰好是1张“红心”和1张“方块”的结果有2种，利用概率公式求解.

【小问1详解】

解：根据题意可知

从甲盒中随机抽取1张有4种等可能的结果，抽到扑克牌花色为“红心”结果只有1种，

所以抽到扑克牌花色为“红心”的概率为

4

故答案为：一；

4

【小问2详解】

解：列表如下：

红心甲黑桃甲方块甲梅花甲

红心乙红心甲，红心乙黑桃甲，红心乙方块甲，红心乙梅花甲，红心乙

黑桃乙红心甲，黑桃乙黑桃甲，黑桃乙方块甲，黑桃乙梅花甲，黑桃乙

方块乙红心甲，方块乙黑桃甲，方块乙方块甲，方块乙梅花甲，方块乙

梅花乙红心甲，梅花乙黑桃中，梅花乙方块中，梅花乙梅花甲，梅花乙

从图中可知，从甲、乙两个盒中各随机抽取1张扑克牌共有16种等可能的结果，其中抽到扑克牌花色恰好是1张

“红心”和1张“方块”的结果有2种，

所以抽到扑克牌花色恰好是1张“红心”和1张“方块”的概率是2='.

168

【点睛】本题主要考查了概率公式和用树状图或列表法求概率，理解相关知识是解答关键.

20.2022年3月23日“天官课堂”第二课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣.某

中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装，其中A款套装单价是

2款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A款套装数量比用7500元购买的8款套装数量多5套.求A、3两款套

装的单价分别是多少元.

【答案】A款套装的单价是180元、2款套装的单价是150元.

【分析】设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即

可得出结论.

【详解】解：设8款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2r元，

99007500

由题意得:+5,

1.2%x

解得：x=150,

经检验，尸150是原方程的解，且符合题意，

1.2x=180.

答：A款套装的单价是180元、B款套装的单价是150元.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程.

21.如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C,货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60。方向

上.为了躲避A,C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30。方向继续航行，当它航行到8处后，又沿着

南偏东70。方向航行20海里到达码头C.求货轮从A到3航行的距离（结果精确到0.1

海里.参考数据：sin50°~0.766,cos50°~0.643,tan50M.192).

A：

【答案】货轮从A到2航行的距离约为30.6海里.

【分析】过8作于在RfABC。中，利用正弦函数求得80=15.32海里，再在R/AABD中，利用含30

度角的直角三角形的性质即可求解.

【详解】解：过8作BOLAC于O,

A,.

由题意可知/ABEnBO。，ZBAC=30°,则/C=180°-30°-30°-70°=50°,

在RfaBCD中,ZC=50°,8c=20（海里），

：.BD=BCsin50°=20x0,766=15.32（海里），

在中，ZBAD=30°,30=15.32（海里），

.•.48=280=30.64=30.6（海里），

答：货轮从A到3航行的距离约为30.6海里.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

22.如图，在。中，A3为，。的直径，点E在。。上，D为BE的中点，连接AE,8。并延长交于点C.连接

OD,在。。的延长线上取一点F,连接卸L使=

A

(1)求证：B尸为；)。的切线；

9

(2)若AE=4,0F=—,求。的半径.

2

【答案】(1)证明见解析；

(2)3；

【分析】⑴连接A。，由圆周角定理可得NAOB=90。，由等弧对等角可得NBAD=/CAD=《NBAC,再进行等量

代换可得NAB尸=90。便可证明；

(2)连接AD、BE,由圆周角定理可得/AEB=90。，/BOD=2/BAD,于是/BOD=/BAC,由△OB/S/VIEB可

得OB：AE=OF：AB,再代入求值即可；

【小问1详解】

证明：如图，连接AO,

是圆的直径，则/AD2=90。，

。为BE的中点，则N2AD=NCAr>=《N2AC,

ZCBF=-ZBAC,

2

ZCBF=ZBAD,

'：ZBAD+ZABD=90°,

：.ZABF=ZABD+ZCBF=90°,

：.AB±BF,

.•.3尸是。。的切线；

【小问2详解】

解：如图，连接A。、BE,

4B是圆的直径，则NAEB=90。，

ZB0D=2ZBAD,ZBAC=2ZBAD,

：.ZBOD=ZBAC,

又：ZABF=ZAEB=90°,

:.△OBFs^AEB,

OBAE=OFAB,

Q

：.OB：4=-：2OB,OB2=9,

2

OB>0,则08=3,

•••。的半径为3；

【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质；正确作出辅助线是解题关键.

23.某文具店购进一批单价为12元的学习用品，按照相关部门规定其销售单价不低于进价，且不高于进价的1.5

倍，通过分析销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，且当尤=15时，

y=50；当x=17时，y=30.

（1）求y与x之间函数关系式；

（2）这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少元？

【答案】（1）y与尤之间的函数关系式为y=-1。》+200

（2）这种学习用品的销售单价定为16元时，每天可获得最大利润，最大利润是160元.

【分析】（1）设〉与x之间的函数关系式为>=辰+。，然后代值求解即可；

（2）设每天获得的利润为w元，由（1）可得w=（x-12）（）,进而根据二次函数的性质可求解.

【小问1详解】

解：设y与尤之间的函数关系式为＞=反+》，由题意得:

15k+0=50左=—10

，解得：<

llk+b=30b=200,

.R与x之间的函数关系式为y=-10x+200；

【小问2详解】

解：设每天获得的利润为w元，由（1）可得:

W=(X-12)(-10X+200)=-10X2+320%-2400=-10(X-16)2+160,

V12<%<18,且-10<0,

当x=16时，w有最大值，最大值为160；

答：这种学习用品的销售单价定为16元时，每天可获得最大利润，最大利润是160元.

【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质是解题的关键.

24.如图，在_45。中,AB=AC=2区BC=A,D,E,尸分别为AC,AB,的中点，连接

图1

(1)如图1,求证：DF=DE；

2

(2)如图2,将/EDF绕点、。顺时针旋转一定角度,得到NP。。，当射线OP交A3于点G,射线。。交

于点N时，连接压并延长交射线OP于点M,判断FN与石加的数量关系，并说明理由;

（3）如图3,在（2）的条件下，当。A3时，求DN的长.

【答案】（1）见解析（2）FN=—EM,理由见解析

2

⑶岑

【分析】（1）连接A尸，可得"_L3C,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得

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