平面向量的加减法运算 同步习题 高中数学新苏教版必修第二册2022年

9.2.1平面向量的加减法运算

一、单选题

1.化简：AB-CB+CD-W-AE=（）

A.6B.ABC.BAD.而

【答案】A

【分析】

利用向量加减法运算性质即可得出.

【详解】

解：AB-CB+CD-ED-AE

=AB+BC+CD+DE-AE

=AE-AE=0•

故选：A.

2.若。为AABC的边AB的中点，CD=（）

A.CA+CBB.|（G4+CB）C.C4-C5D.1（CA-CB）

【答案】B

【分析】

根据向量加法的三角形法则得到B=CA+AD^CD=CB+BD^将两个等式相加可得结果.

【详解】

因为而=5+而，CD=CB+BD^

所以2而=互+而+函+而，

又因为O为△A4C的边A5的中点，所以而+而=6，

所以2前二9+而,即加=g（G5+而）.

故选：B

【点睛】

关键点点睛：利用向量加法的三角形法则求解是解题关键.

3.如图，在正六边形A3CQEF中，设通=£,府:=B,则元=（）

A.a+2bB.2a+3b

~r3--

C.2(t+bD.—Cl+b

2

【答案】C

【分析】

根据题意有FC//AB,FC=2AB,则由/=/+1可得答案.

【详解】

在正六边形ABCDEF中FC//AB,FC=2AB,

则配=衣+定=/+2通=23+九

故选：C

4.如图，向量日一示等于（）

【答案】C

【分析】

根据向量的线性运算可得结果.

【详解】

如图:

设前=M，BC=b^则5—=阮一起=或+乎=丽=不一3当，

故选：C

5.在五边形ABCE坦中(如图)，AB+BC-DC=()

A.ACB.ADC.BDD.而

【答案】B

【分析】

根据向量加减法，直接计算结果.

【详解】

AB+BC-DC=AB+BC+CD=AD.

故选：B

6.如图，在平行四边形A3CQ中，£是8。的中点，AE=3AFt则而=()

1—2—1—2—

A.——AB+—ADB.-AB——AD

3333

1—.5—•1—.3—•

C.-AB--ADD.-AB--AD

3634

【答案】C

【分析】

先用瓦，无万表示五g,再结合丽=而一而可得正确的表示形式.

【详解】

因为诟=赤+而=而+!通，

2

故而=而-而」荏-而」而+!而-亚」丽-3亚，

33636

故选：C.

7.已知点AB是圆。上两点，N4OB=T，NAO3的平分线交圆。于点C,则反=()

A.-0A+^OBB.直E+立历

2222

2—2———

C.—OA+—OBD.OA+OB

【答案】D

【分析】

作出图形，得到四边形OACB为平行四边形，根据向量的平行四边形法则，即可求解.

【详解】

2兀

如图所示，点A8是圆。上两点，NAOB=—,NAO8的平分线交圆。于点C,

3

7F

可得/。4。二一，则四边形04cB为平行四边形，

3

根据向量的平行四边形法则，可得无=丽+砺.

故选：D.

8.如图，瓦尸分别为正方形A8C。的边0cBe的中点，设而=2而=行，则前=()

1-1一

A.—a+—brB.一1（X—b

2222

D.-1a一—1br

4422

【答案】D

【分析】

利用平面向量的线性运算可得结果.

【详解】

EF=AF-AE=AB+BF-AD-DE

=7^-^-AD-AD--AB

22

1—1—

-AB——AD

22

-a--b.

22

故选：D

二、多选题

9.如图，在平行四边形A8CZ）中，下列计算正确的是（）

A.AB+AD=ACB.AC+CD+DO=OA

UlUlllltlUUUUUIU

C.AB+AD+CD=ADD.AC+BA+DA=6

【答案】ACD

【分析】

根据向量的运算法则计算即可判断.

【详解】

由向量加法的平行四边形法则可知而+砺=而，故A正确;

AC^CD+W=AD+DO=AO^dA^故B不正确；

AB+AD+CD=AC+CD=AD^故C正确；

AC^BA+DA=BA+AC^DA=W^-DA=O^故D正确.

故选：ACD.

10.下列各式中结果为零向量的是（）

A.~AB+BC^CAB.AB+MB+BO+OM

c.OA+OB+BO+COD.AB-AC+BD-CD

【答案】AD

【分析】

根据向量加法和减法逐一判断选项，得到正确答案.

【详解】

^AB+BC+CA=AC+CA=O^所有A正确；

AB+MB+BO+OM=AB^不正确;

cOA+OB+BO+cd=CO+OA=CA^不是零向量;

D.A月—AC+B方—=5+8方—CZ5=0，所有D正确.

故选：AD

【点睛】

本题考查向量加减法，属于基础题型.

II.在△48C中，点瓦尸分别是边4C和4C上的中点，P是4E与8产的交点，则有（）

A.AE=—AB-\—AC

22B.AB=2EF

T1—1-T2T2T

C.CP=-CA+-CBD.CP=-CA+-CB

3333

【答案】AC

【分析】

由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可.

【详解】

如图：

根据三角形中线性质和平行四边形法则知，

—>—>—>—>1—>—>1—>—>I—>—>

AE=AB+BE=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-(AC+AB),A是正确的;

222

因为EF是中位线，所以B是正确的;

T2T21(TTTT

根据三角形重心性质知，CP=2PG,所以CP=§CG=§x][CA+CBCA+CB，所以C是正确的,

3

D错误.

故选：AC

【点睛】

本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，熟记一些基本结论是求解问题的关键，属于中档题.

12.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距

离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点0、G、H分

别是AABC的外心、重心、垂心，且用为3c的中点，则（）

A.GA+GB+GC=OB.AB+AC=2HM-4MO

C.AH=3OMD.网=画二|。。］

【答案】ABD

【分析】

—•1—.—.2—•

向量的线性运算结果仍为向量可判断选项A；由GO=；；//G可得”Gn7HO,利用向量的线性运算

23

AB+AC=2AM=6GM=6（/7M-HG）,再结合〃。=”而+而］集合判断选项B；利用

而二/一旃=2说7-2克=2两故选项C不正确，利用外心的性质可判断选项D，即可得正确选

项.

【详解】

因为G是AA/C的重心，。是△4/C的外心，”是的垂心，

且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以的二」后存，

2

对于选项A：因为G是△44。的重心，历为8c的中点，所以而=2两，

又因为丽+觉=2丽，所以9+觉=而，即面+而+觉=6，故选项A正确；

对于选项B：因为G是△44C的重心，M为3c的中点，所以而=2的，

____.1——.——.?——•

AM=3GM，因为GO=5HG,所以HG=aHO,

丽+/=2磁=6两=6（丽—网=6-丽_|呵

=6W-4S5=6W-4（W+W）=2W-4W,即通+而=2两一4诟，故选项B正确；

对于选项C：AH=AG-HG=2GM-2GO=2OM^故选项C不正确；

对于选项D：设点。是6c的外心，所以点。到三个顶点距离相等，即|次卜|巫卜|反卜故选项D

正确；

故选：ABD.

【点睛】

_1__2-

关键点点睛：本题解题的关键是利用已知条件3。二二百不得标二；；而，利用向量的线性运算结合

23

AG=2GM可得出向量间的关系.

第n卷（非选择题）

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三、填空题

13.亿简4后一（?万一近+而=.

【答案】6

【分析】

根据向量加减法法则计算化简.

【详解】

AB-CD-AC+BD=AB+BD+DC^CA=6.

故答案为：d.

14.若入户二;P4,AB=（2+1）BP,则；1=.

【答案】-2

2

【分析】

由而=4而得出丽=-3而，由此能求得实数％的值.

22

【详解】

_1____3_3_3S

•・・Q二一而，:.AP+PB=AB=-PB=一一BP,.•.4+1=一一，因此，2=--.

22222

故答案为：-』

2

【点睛】

本题考查利用向量的线性运算求参数，考查计算能力，属于基础题.

15.如图，向量不，e2f。的起点与终点均在正方形网格的格点上，若"膈+限，则义+4=

【答案】4

【分析】

利用向量的线性运算求解即可.

【详解】

解：如图，BC=3^2»AB=ex,ci=AC=AB+BC=^+3^>

若万=44+〃当，则〃=3,2=1,所以；l+〃=4.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查向量的线性运算，是基础题.

16.已知点G是AABC的重心，角4,B,。所对的边长分别为mb,c,旦巴乱+豆+£觉=。，则

578

角B=.

7F

【答案】-

3

【分析】

点G是AABC的重心，可得瓦+G豆+7=。，由题设可知。=51=7,c=8,再结合余弦定理可求得角

4的大小.

【详解】

由点G是的重心，可得GZ+痂+觉=。,

又州出+2瓦+£觉=。，所以。=5,/?=7,。=8

578

,-x_-rtn-vzFia~+c~-b~25+64—491

由余J弦+c定理可得cos8n=--------------=----------------

2ac802

又0v8v〃，则5=生

3

JT

故答案为：一

3

【点睛】

关键点睛：本题是向量与解三角形的综合题，解题的关键是要清楚：若点G是3c的重心，则

GA+GB+GC=d^从而得到边长a,b,c,,再结合余弦定理求解，考查学生的推理能力与计算能力，属

于基础题.

四、解答题

17.亿简.

⑴AB+CD+BC+DA-

(2)(而+砌+网+前)+丽.

【答案】(1)6：(2)AC

【分析】

(1)利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果；

(2)利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果.

【详解】

(1)AB+CD+BC+DA=AB+SC+CD-hDA=d；

(2)(而+西+闹+网+丽=通+丽+丽+初+前=*.

18.如图，OA，而不共线，且而=/而(rcR),用方，。方表示砺.

【答案】OP=(1-t)OA+tOB

【分析】

UIUUllUUU----------------,_一_.

根据向里的三角形法则可得OP=OA+力。，再根据AP=tAB(t£R)得OP=QA+tAB，把AB用

0X0后表示出来即可。

【详解】

解：因为而=工而，

UUUUllUUU

所以OP=QA+AP

=OA+tAB

=7)A+t(OB-OA)

=OA^tOB-tOA

=(l-t)OA+tOB.

【点睛】

本题主要考查了向量的三角形法则，属于基础题。

19.如图，在下列各小题中，已知向量入5,分别用两种方法求作向量3+万.

【答案】见解析

【分析】

将各的起点移到"的终点或将两个向量的起点移到点A，利用三角形法则或平行四边形法则作出£+坂.

【详解】

将B的起点移到4的终点,再首尾相接，可得a+B；

将两个向量的起点移到点A，利用平行四边形法则，以口、恸为邻边，作出平行四边形，则过点A的对角

线为向量3+九

__UUU11

如图所示，A3=〃+/?.

【点睛】

本题考查平面向量加法的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题.

20.如图，小船要从A处沿垂直河岸AC的方向到达对岸8处，此时水流的速度为6g/仇测得小船正以

8的丽的速度沿垂直水流的方向向前行驶，求小船在静水中速度的大小及方向.

TT

【答案】小船在静水中的速度的大小为10加/力，方向与水流方向的夹角为一+NDAB,其中

2

3

tan/DAB=—,ZDABG(0,1I.

4

【分析】

设而表示小船垂直于河岸行驶的速度，而表示水流的速度，作出符合实际问题的平行四边形，解三角

形，即可求出.

【详解】

设而表示小船垂直于河岸行驶的速度，/表示水流的速度，如图:

连接BC,过点B作AC的平行线，过点A作BC的平行线，两条直线交于点D,

则四边形ACBD为平行四边形，

所以而就是小船在静水中的速度.

在RfABAC中，卜8km/h,k。卜6km/h,

.[而卜|网=码2=]o（km/h）

NDAB=ZABC,

AC3

/.tanZ.DAB=tanZABC=---=—

AB4

7i3

・,•小船在静水中的速度的大小为10km/h,方向与水流方向的夹角为一+ND4B,其中tan/OAB=一,