计算机辅助中学数学数学实验教学案例

计算机辅助中学数学数学实验教学案例

通过对计算机辅助中学数学实验教学内容选择原则的分析，对高中数学实验教学类型及

特点的归纳，对优化数学实验教学的建议，作者对计算机辅助高中数学实验教学有更深的理

解。在高中教学实践中结合教学常规尝试性实行数学实验教学。以下是在平面解析几何教学

过程中展开的探索性数学实验——关于圆锥曲线的一个切线性质探索的教学课例。

在平面解析几何教学中教学内容相对较为抽象需要直观的观察，视觉的感知，特别是平

面几何的图形展示，图形的动态变化过程对解决问题起着不可忽视的作用。通过实验理解几

何并探索几何图形的性质的过程。在数学教学中，特别是开放性教学或探索性教学中，符合

条件的图形或所求的结论往往是不直观的。要将不直观的图形的变化过程和隐藏其中的不变

性直观地体现给学生，传统教学无法做到。利用计算机的《几何画板》软件能较好地解决上

述问题，它能对动态的对象实行“跟踪”，并能显示对象的“轨迹”，这为开放性轨迹教学提供

了极好的工具。利用这个功能，能够使学生预先猜测轨迹的形状，看到轨迹形成的过程及轨

迹变化的过程，为学生观察现象，发现结论，探讨问题创设了较好的“环境”，从而激发学生

的创新意识，培养学生的创新思维和创新水平。

因为“几何画板''不能直接画出圆锥曲线的轨迹，不能直接构造轨迹与直线的交点，所以

教师在课前要先作好圆锥曲线、圆锥曲线焦点弦，圆锥曲线的切线，及直线与圆锥曲线交点

的自定义工具。

因为对例题习题实行变通推广、重新理解的过程要限制在学生水平的“最近发展区“，要

在学生已有的认知结构的基础之上，否则会使学生产生畏难情绪，影响问题解决，降低学习

的效率。故要求学生课前完成以下两个问题：

问题1、过抛物线，=2px（p〉0）焦点仍/2,0）的一条直线与它交于两点A、B,经过点A和

B分别做抛物线的切线AC和BD,求两切线的交点轨迹。

问题2、设抛物线中=2°尤伊>0）的焦点为尸，经过准线上任意一点P做抛物线的两条切

线，切点为A,及求证：AB直线过抛物线焦点尸（7>/2,0）。

教师用事先准备好的课件用几何画板动态演示，学生经过观察发现两切线的轨迹是一条

直线上，而且直线与X轴交点与焦点关于原点对称。使学生对问题1和2有感性理解，同时

归纳学生证明问题1与2的方法，大都借助过抛物线上的点的切线方程联立，借助A3直线

过焦点的特点解方程得到。能将上述问题实行推广和引申吗？（激励学生发现问题的意识和

提出问题的勇气，鼓励学生发现提出一些猜想并用技术检验猜想）

学生经过讨论后

Si：在椭圆、双曲线中应该有相似结论：

22

猜想1过椭圆点+方=1俗>5>0）右焦点RC,0）的一条直线与它交于两点A、B,经过

点A和8做椭圆的两条切线，两切线交点轨迹为椭圆右准线*=

C

22

猜想2过双曲线二-2=1（〃>0">0,右焦点尸的一条直线与它交于两点A、B,经过点

a~b~

2

A和8做椭圆切线，两切线交点轨迹为双曲线右准线x=—。

C

222

猜想3设椭圆二+4=l（a»>0）的右焦点为F,经过右准线x=上上任意一点P做椭

a~bc

圆的两条切线，切点为A,Bo求证：AB直线过椭圆右焦点~C,0）。

222

猜想4设双曲线2=1佃>0,/»0）的右焦点为F,经过右准线x=土上任意一点P

abc

做双曲线右支的两条切线，切点为A,B。求证：A3直线过双曲线右焦点F（C,0）。

没有大胆的猜想就没有伟大的发现，但猜想总是准确的吗？下面请同学们利用几何画板

对4个猜想实行实验、讨论。（每生一台电脑，分四个大组，每组一个猜想，每大组又分四个

小组）

随着实验的实行，各组学生持续地反馈回同一信息，这样的猜想是准确的。教师即时点

拔，在用几何法证明问题1、2时主要是采用哪种方法，学生马上发现证明的思路和方法与抛

物线相同。

反思是对自己的思维过程、思维结果实行再理解的检验过程，它是学习中不可缺少的重

要环节。学生通过反思对问题及解决问题的思维过程实行全面地考察、分析和思考，从而深

化对问题的理解，优化思维过程，揭示问题本质，探索一般规律，沟通知识间的相互联系，

促动知识的同化和迁移，并进而产生新的发现。

面对学生高涨的热情和再探究的欲望，教师即时引导学生反思整个“猜想-实验一修正，，的学

习过程，提出：归纳三种圆锥曲线的切线具有相同的几何性质，但共同点是直线是过焦

点的直线，切线焦点轨迹是焦点对应的准线。问题1、2除了刚才改变圆锥曲线的类型，还可

作怎样的思考，得到更一般的命题。

S2：上述问题其实是一类焦点弦问题。我想应该把直线A3一般化，即直线AB不经过圆

锥曲线的焦点。如果得到的6个新命题成立，那么以上命题就成了新命题的一个特例。（我追

问：能说说你的新命题吗？）不好说，还是先实验吧，我想会有结果的。

S3：我认为还是有个方案才好，这样目标才更明确，才不致于走弯路。比如说，前面4

个猜想的验证方法基本相同，所以我们只要给出前面六个命题中一个命题的推广，再加以验

证，并总结经验，再探求另五个命题就容易多了。

T：两同学真棒，分析得好极了，我们不妨计划试试，你们认为推广哪个命题更容易些？

通过讨论，认为推广问题2较好。

大家分成三组各研究一类曲线，动手实验来解决这个问题吧！

学生马上根据提示猜想讨论一般性结论，并动手借助几何画板的动画功能将直线AB平

移后，分别做椭圆切线，找两切线的交点，追踪交点轨迹实行实验。（教师下班辅导即时引

导防止实验中断）

研究抛物线的第一组学生。如何将直线一般化呢？学生对比刚才教师实验演示，发现直

线AB是以X轴上的定点和曲线上的动点构造的，类比之下可将焦点改变为其他X轴上的定

点，让抛物线上动点A创建动画，实验结果马上表现切线轨迹还是一条垂直于对称轴的直线。

轨迹直线与X轴交点和直线与X轴的交点的移动保持同步，通过度量两点关于原点对称,

很快得到讨论和实验结果。很快得到两个猜想：

猜想5过抛物线对称轴上定点（C,0）的一条直线与它交于两点A、B,经过点A和B分

别做抛物线的切线AC和BD,求两切线的交点轨迹为直线X=-C。

猜想6设抛物线y2=2px（p〉0）,经过直线X=-C上任意一点P做抛物线的两条切线，

切点为A,B。求证：直线过抛物线对称轴上定点（C,0）。

研究椭圆性质的第二组学生的研究发方法和第一组相似。要使直线AB一般化，不能随

意变动，仍需保持一定的规律性。所以我们也使AB平移为过对称轴定点的动直线。同样的

方法得到切线交点轨迹是一条直线，但此直线和定点在同侧，不具备一组同学所说的定点与

轨迹直线的对称性。那这条直线与定点无关吗？那就没有特殊性了？实验陷入困难境地。此

时教师引导学生分析已经证明的相关命题，从中发现规律寻求突破？很快有学生孔猜想：既

22

然过焦点C,0）时轨迹方程是直线X=—,那过伽2,0）直线对应的切线交点轨迹是不是x=L?

cm

小组成员马上根据他的猜想去度量得到肯定的结果。第二组讨论得到的实验结果为：

Y22_

猜想7椭圆斗+4V=1（。＞方＞0）,过定点.，0）的一条直线与椭圆交于两点A、B,经过

a~b~

2

点A和8做椭圆的两条切线，两切线交点轨迹为直线彳=幺。

m

222

猜想8椭圆当+斗=1俗》＞0）,经过直线》=幺上任意一点P做椭圆的两条切线，切

a~bm

点为A,B。求证：AB直线过定点他,0）。

第三组研究过程和第二组基本相同，得到相同结论。

22

猜想9双曲线二-==1过定点的一条直线与双曲线交于两点A、8,经过点A和

ab

2

8做椭圆的两条切线，两切线交点轨迹为直线》=幺。

m

V2y22

猜想10双曲线二=1,经过直线兀=又上任意一点P做双曲线的两条切线，切点

a~m

为A,Bo求证：AB直线过定点〃”,0）。

几分钟以后各小组开始报告实验成功，并实行讨论总结，修正猜想形成命题，实行交流。

各小组发言人分别归纳了小组实验过程和结果。马上大家发现三组结果中的相似性，都惊叹

于圆锥曲线的统一性、奇异性、和谐性，被数学的内在美所震撼。

正当大家沉静在探索成功的喜悦中时，S5突然发问：我们推广A3直线一般性时仍保持

直线过X轴的特点，如果是过丫轴定点呢？任意一定点结果会这样呢？探索的热情又一次被

鼓动，各小组同学马上开始动手实验，争先恐后的上机操作。

又得到猜想：

22

猜想11椭圆二+与过定点（0,m）的一条直线与椭圆交于两点A、B,经过

ab~

2

点A和8做椭圆的两条切线，两切线交点轨迹为直线丫=幺。

m

222

猜想12椭圆=+4=im»>o）,经过直线>=幺上任意一点p做椭圆的两条切线，切

am

点为A,Bo求证：A3直线过定点（0,刈。

r22

猜想13双曲线二-2v=1,过定点（0,刈的一条直线与双曲线交于两点A、B,经过点

ab

2

A和B做双曲线的两条切线，两切线交点轨迹为直线旷=幺。

m

222

猜想14双曲线「-斗=1经过直线旷=土上任意一点P做的双曲线两条切线，切点为

ab~m

A,Bo求证：A3直线过定点（0,机）。

此时的学生，他们的探索精神、创新精神也得到了淋漓尽致的发挥，从失败走向成功，

他们体验到了探索中的艰辛与创新成功的喜悦，这有利于形成准确的数学观、创新意识及科

学精神。

“证明是数学的灵魂”，数学实验验证不等于证明，在教学活动中不能把结论仅停留在验

证阶段，应尽可能地给出它的逻辑证明。因为学生自主地提出猜想，并在“几何画板”的支持

下改进了猜想，自然就会有追求证明的渴望，因而此时的数学探索最具吸引力。T：”提出猜

想-动手实验-改进猜想-论证猜想”是探索数学规律、发现数学本质的基本过程，而证明或否定

猜想是科学发现中不可或缺的关键环节。那么，谁能给出这些命题的证明？

S6：我认为这些命题结构相似，证明方法应该和问题1、2相似，所以只要证明后面的命

题就能够了。

T：非常好，S6同学道出了这个串问题的解题规律，给了我们很好的启示，那么今天的

作业就是证明本节