第09讲直线的一般式方程

第09讲直线的一般式方程【知识梳理】考点一、直线的一般式方程考点二：直线一般方程和其他形式的转化考点三：一般式下直线的平行与垂直的问题考点四：由两条直线平行或垂直求直线方程考点五：直线过定点问题考点六：直线一般方程的综合问题【知识梳理】知识点一直线的一般式方程关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．知识点二直线的五种形式的方程形式方程局限点斜式y－y0＝k(x－x0)不能表示斜率不存在的直线斜截式y＝kx＋b不能表示斜率不存在的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)x1≠x2，y1≠y2截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不能表示与坐标轴平行及过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0无知识点三直线各种形式方程的互化知识点四一般式下直线的平行与垂直设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.))l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.【例题详解】题型一、直线的一般式方程1．（2324高二上·贵州毕节·期末）若直线的斜率小于0，那么该直线不经过（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据直线过定点、且斜率小于0可得答案.【详解】直线过定点，且斜率，故该直线不经过第三象限.故选：C.2．（2024高二上·全国·专题练习）过点和，的直线的一般式方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，利用直线的截距式方程求得直线的方程，再化为一般式方程，即可求解.【详解】由直线过点和，可得直线的截距式得直线方程为，整理得，即直线的一般式方程为.故选：C.3．（2324高二上·安徽·期末）已知直线l的倾斜角为，且在y轴上的截距为，则l的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出斜截式方程，再化为一般式．【详解】直线l的倾斜角为，则l的斜率，所以l的方程为，即．故选：A题型二：直线一般方程和其他形式的转化4．（2324高二上·湖北·期末）过点且与直线垂直的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据两直线互相垂直可得所求直线的斜率，利用直线的点斜式方程即得.【详解】由直线可得其斜率为：，则与其垂直的直线斜率为，故过点且与直线垂直的直线方程为，即：.故选：C.5．（2324高二上·贵州遵义·期末）已知直线过点，且倾斜角为直线倾斜角的一半，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由直线倾斜角和斜率关系即可得出直线方程.【详解】设直线的倾斜角为，则，解得，因为直线倾斜角为直线倾斜角的一半，所以直线倾斜角为，从而，即直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，即.故选：A.6．（2324高二上·湖北·期末）已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则l的方程为（

）A． B．或 C． D．或【答案】D【分析】按等腰三角形的底边和腰分类讨论求出直线的倾斜角，进而利用点斜式即可求出的方程.【详解】直线的斜率为，所以倾斜角为，因为直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，当等腰三角形底边在轴上时，直线的倾斜角为，斜率为，当等腰三角形腰在轴上时，直线的倾斜角为，斜率为，所以由点斜式可得的方程为或，整理得的方程为或，故选：D题型三：一般式下直线的平行与垂直的问题7．（2324高二下·河南）已知直线，䒴，，则（

）A．或 B． C．或 D．【答案】B【分析】由两直线平行和垂直的条件，列方程求解.【详解】已知直线，由，得，且，解得，由，得，故.故选：B.8．（2324高二上·安徽亳州·阶段练习）已知直线：与：互相垂直，则实数（

）A．1 B． C．1或 D．1或2【答案】D【分析】根据两条直线垂直的充要条件可得.【详解】由题意知，不同时为，且也不同时为，则两直线，化简得，解得，或.故选：D.9．（2122高二上·北京昌平·期中）已知直线，则下列结论正确的是（

）A．直线的倾斜角为B．向量是直线的一个方向向量C．过点与直线平行的直线方程为D．若直线，则【答案】D【分析】求出直线的倾斜角可判断A，由直线的方向向量可判断B，由直线平行设所求，代点即可判断C，由直线垂直可判断D【详解】对于A：的斜率为，所以直线的倾斜角为，故A错误；对于B：因为直线的方向向量为或，所以的方向向量为或，故B错误；对于C：因为与直线平行的直线方程可设为，又直线过点，故，解得，故所求直线为，故C错误；对于D：，，则，所以，故D正确；故选：D题型四：由两条直线平行或垂直求直线方程10．（2324高二上·湖南长沙·期末）已知直线与直线的交点为．(1)求过点且与直线垂直的直线方程；(2)求过点且与直线平行的直线方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出交点，后依据垂直求出所求直线的斜率，再求方程即可.（2）结合求出的交点，后依据平行求出所求直线的斜率，再求方程即可.【详解】（1）联立方程与，解得，，故，而的斜率为，故所求直线斜率为，则所求直线方程为，化简得.（2）易知的斜率为，故所求直线斜率为，则所求直线方程为，化简得.11．（2324高二上·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点.(1)求中线的方程；(2)求经过点且与直线平行的直线方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）先确定，然后通过两点的坐标确定方程；（2）先确定直线的斜率，然后通过点的坐标和斜率确定方程.【详解】（1）由于，，故，而，故的方程是，即.（2）由于直线的斜率是，且不在直线上.所以经过点且与直线平行的直线方程为，即.12．（2324高二上·陕西汉中·阶段练习）已知直线与直线交于点.(1)求过点且平行于直线的直线的方程；(2)求过点且垂直于直线的直线的方程；(3)求过点并且在轴上的截距是在轴上截距2倍的直线的方程.【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根据题意，求得点的坐标，设直线的方程为，将点的坐标代入，即可得到结果；（2）根据题意，设直线的方程为，将点的坐标代入，即可得到结果；（3）根据题意，分直线经过原点与不经过原点讨论，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由，得，所以交点，设过点且平行于直线的直线方程为，将点坐标代入，解得，则直线方程是:.（2）求过点且垂直于直线的直线方程为，将点坐标代入，解得，则直线方程是:.（3）当直线过原点时，设直线方程为，将点坐标代入，可得，则，化简可得；当直线不过原点时，设直线方程为，由条件可得，解得，则，化简可得；综上所述，直线的方程为或,题型五：直线过定点问题13．（2324高二上·北京·期中）已知直线方程，则可知直线恒过定点的坐标是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依题意可得，令，解得即可.【详解】直线，即，令，解得，所以直线恒过点.故选：B14．（2023高二上·全国·专题练习）已知，满足，则直线必过定点（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用已知条件消去，令的系数为0即可.【详解】由，得，代入直线方程中，得，即，令，解得，所以该直线必过定点.故选：D15．（2324高二上·河北石家庄·期中）不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意求出的关系，然后利用基本不等式求出的最小值.【详解】由直线，得：，即恒过点，因为直线过此定点，其中m，n是正实数所以，则，，当且仅当时取等号；故选：B题型六：直线一般方程的综合问题16．（2324高二上·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，．(1)求边上的中线的直线方程；(2)求边上的高的直线方程(3)求AC边的垂直平分线【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）求出中点，则可得到中线的直线方程；（2）根据直线垂直得到高的斜率，则得到边上的高的直线方程；（3）求出AC的中点，再根据斜率垂直则得到斜率，即可得到直线方程.【详解】（1），，由中点坐标公式得中点为，又，由直线方程的两点式得边上的中线的直线方程为，整理得：.（2），，则，所以边上的高的直线的斜率为，又，则边上的高的直线方程为，整理得：．（3）因为，，则其中点坐标为，而，则AC边的垂直平分线的斜率为1，其方程为：，即.17．（2324高二上·湖北武汉·期中）在中，边所在的直线斜率为，其中顶点点坐标为，顶点的坐标为．(1)求边上的高所在的直线方程；(2)若，的中点分别为，，求直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）为边上的高所在的直线与所在的直线互相垂直且过点，利用点斜式计算可得；（2）首先求出的中点的坐标，依题意，则，即可求出的方程.【详解】（1）由题意知边上的高过，，因为边上的高所在的直线与所在的直线互相垂直，故高线的斜率为，所以边上的高所在的直线方程为：，即；（2）由已知点坐标为，，故的中点为，因为是的一条中位线，所以，而，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，化简可得．18．（2324高二上·江苏无锡·阶段练习）如图，平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴正半轴上，点B在第一象限内，.(1)若，求的面积的最大值和取得面积最大值时的直线的方程；(2)设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点的坐标.【答案】(1)，(2)证明见解析，直线恒过定点.【分析】（1）设，由距离公式结合基本不等式得出，进而得出的面积的最大值，并由取等条件得出直线AB方程；（2）讨论直线的斜率，设出直线方程，由得出，进而得出定点.【详解】（1）设.由，得，即.，当且仅当时取等号.所以的面积，当的面积取最大值时，，直线的方程为：，即.（2）若直线的斜率不存在，有，又，解得，即直线的方程为；若直线的斜率存在，则直线的方程，化简得，两边同除，又，所以，整理得，得过定点所以直线恒过定点.【专项训练】一、单选题19．（2324高二下·山东青岛）直线和直线垂直，则的值为（

）A．1 B．0或1 C．0或1 D．1【答案】B【分析】由两直线垂直直接计算.【详解】由两直线垂直可知，解得或，故选：B.20．（2324高三上·山东青岛·期末）“”是“直线与平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与平行”之间的逻辑关系，即可得答案.【详解】当时，直线与平行；当直线与平行时，有且，解得，故“”是“直线与平行”的充要条件，故选：C21．（2324高二下·湖南常德·开学考试）已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（

）A． B．C． D．或【答案】D【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案.【详解】设，直线过和，当时，直线、直线与轴围成的三角形是不是等腰三角形.所以直线的斜率存在.设关于轴的对称点为，当直线过两点时，，三角形是等腰三角形，同时由于直线的斜率为，倾斜角为，所以三角形是等边三角形，所以，此时直线的方程为，即，设直线与轴相交于点，如图所示，若，则，所以直线，也即直线的斜率为，对应方程为，即，综上直线方程为或，故选：D22．（2324高二下·河南·开学考试）已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据直线的方向向量的概念求出直线的斜率，再用点斜式求直线的方程.【详解】因为的一个方向向量为，所以设的斜率为，由点斜式得：直线方程为：.故选：B23．（2324高二上·福建漳州·期末）已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，求得直线的倾斜角为，得到的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】设直线的倾斜角为，其中，由直线，可得斜率为，即，可得，根据题意，可得直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，因为直线经过点，可得直线的方程为，即.故选：D24．（2324高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线，,，则下列结论正确的是（

）A．直线l恒过定点B．当时，直线l的倾斜角为C．当时，直线l的斜率不存在D．当时，直线l与直线不垂直【答案】B【分析】中，令时,可求得l的必过点，可判定选项A；根据斜率公式求得直线l的斜率，进而可求得直线l的倾斜角，可判定选项B;当时，求得直线l的斜率，即可判定选项C；当时，求得直线l的斜率，在求得直线得斜率，即可判定两者的位置关系，可判定选项D.【详解】中，令时，可得l恒过定点，故选项A错误；当时，直线的斜率为，则若倾斜角为时，，且，则，故选项B正确；当时，直线l为，斜率为，故选项C错误；当时，直线l的斜率为，又,所以，则直线l与直线垂直，故选项D错误.故选：B.25．（2324高二上·四川凉山·期末）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出直线所过的定点，再分别求出的斜率，结合图象即可得解.【详解】直线化为，令，解得，所以直线过定点，，因为直线与线段有公共点，结合图象可得直线斜率的取值范围为.故选：A.26．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知直线：与直线，且，则的最小值为（

）A．12 B． C．15 D．【答案】B【分析】根据直线的垂直关系推出，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意知直线：与直线，，则，即，故，当且仅当，结合，即时等号成立。故的最小值为，故选：B二、多选题27．（2324高二上·山东青岛·期末）已知直线与直线，下列说法正确的是（）A．当时，直线的倾斜角为B．直线恒过点C．若，则D．若，则【答案】BD【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系判断A，利用直线过定点的求解判断B，利用直线平行与垂直的性质判断CD，从而得解.【详解】A中，当时，直线的斜率，设其倾斜角为，所以，则，所以A不正确；B中，直线，整理可得，令，可得，即直线恒过定点，所以B正确；C中，当时，两条直线方程分别为：，则两条直线重合，所以C不正确；D中，当时，两条直线方程分别为：，显然两条直线垂直，所以D正确.故选：BD.28．（2324高二上·浙江湖州·期末）对于直线l：（，），下列说法正确的是（

）A．直线l的一个方向向量为 B．直线l恒过定点C．当时，直线l的倾斜角为60° D．当且时，l不经过第二象限【答案】ABD【分析】由直线方程的相关性质逐一判断即可.【详解】对于A：直线l的一个方向向量为，A正确；对于B：直线l的方程可化为，所以直线l恒过定点，B正确；对于C：当时，直线l的斜率为，此时倾斜角为，C错误；对于D：当且时，直线l为，所以l不经过第二象限，D正确.故选：ABD.29．（2324高二上·福建漳州·期末）已知直线，，则（

）A．过定点 B．当时，C．当时， D．当时，的斜率不存在【答案】ABD【分析】令的系数等于零求出定点即可判断A；当时，求出两直线方程，利用斜率关系即可判断BD；当时，求出两直线方程，利用斜率关系即可判断C.【详解】对于A，直线的方程化为，令，解得，所以直线过定点，正确；对于B，当时，，，所以，正确；对于C，当时，其斜率为2，其斜率为0，故两直线相交，错误；对于D，当时，，直线的倾斜角为，故的斜率不存在，正确.故选：ABD.30．（2324高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知直线：，其中，则下列说法正确的有（

）A．直线过定点 B．若直线与直线平行，则C．当时，直线的倾斜角为 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【分析】由直线的点斜式方程可判定A；由两直线平行，斜率相等可判定B；对于C、D，分别求出直线即可判断.【详解】由已知，直线：，则直线过定点，A正确；若直线与直线平行，则，得，或，B错误；当时，直线：，则，所以倾斜角为，C正确；当时，直线：，其在轴上的截距分别为，不相等，D错误.故选：AC.31．（2324高二上·浙江宁波·期末）已知直线的方程为，直线的方程为，（

）A．则直线的斜率为 B．若，则C．若，则或 D．直线过定点【答案】CD【分析】根据时，直线的斜率不存在，即可判断A；根据两直线平行的充要条件计算即可判断B；根据两直线垂直的充要条件计算即可判断C；令的系数等于零求出定点即可判断D.【详解】对于A，当时，直线的斜率不存在，故A错误；对于B，若，则，解得或，经检验，两个都符合题意，所以或，故B错误；对于C，若，则，解得或，故C正确；对于D，直线的方程化为，令，解得，所以直线过定点，故D正确.故选：CD.32．（2324高二上·河北沧州·阶段练习）已知的三个顶点分别是，且边上的高所在的直线方程为，则以下结论正确的是（

）A．B．边上的中线所在的直线方程为C．过点且平行于的直线方程为D．三边所在的直线中，直线的倾斜角最大【答案】BC【分析】对于A，利用高线所在直线方程，代入点的坐标，建立方程，可得答案；对于B，利用中点坐标公式，根据斜率公式以及点斜式方程，可得答案；对于C，根据斜率公式以及点斜式方程，可得答案；对于D，根据斜率与倾斜角的关系，可得答案.【详解】对于A，在直线上，，故A不正确；对于B，的中点为，，∴斜率为，则直线方程为，即，故B正确；对于C，直线方程为，整理可得，故C正确；对于D，，，直线的倾斜角大于直线的倾斜角，故D不正确，故选：BC．三、填空题33．（2324高二下·上海·阶段练习）已知，设直线，，若，则.【答案】【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程，解得即可.【详解】由题意得当时，直线重合，舍去，故.故答案为：.34．（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，直线（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0恒过定点.【答案】（－1，－1）【详解】解析：方程（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0可化为（x－y）m＋（2x＋2y＋4）＝0.由得所以定点坐标是（－1，－1）.【考查意图】直线过定点.35．（2024高二上·全国·专题练习）如图，已知直线过点，且与轴，轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为．【答案】【分析】设出直线的截距式方程，推出截距关系式，写出面积的表达式，再由不等式得最值．【详解】设直线为，因为直线过点，则，三角形面积为，利用均值不等式，，即，当且仅当等号成立，于是，三角形面积为．故答案为：36（2324高二上·天津武清·阶段练习）下列说法正确的是．①直线（）必过定点②直线在y轴上的截距为4③直线的倾斜角为120°④过点且垂直于直线的直线方程为【答案】①③④【分析】①③由直线方程直接确定定点坐标、斜率，进而得倾斜角判断正误；②令求截距；④根据垂直关系，应用点斜式写出直线方程.【详解】①直线，过定点，对；②令，则，故在y轴上的截距为，错；③由，即斜率为，结合倾斜角与斜率关系及其范围可得倾斜角为120°，对；④过点且垂直于直线的直线方程为，即，对.故答案为：①③④四、解答题37．（2324高二上·江西九江·期末）（1）直线与直线平行，求的值；（2）直线与直线垂直，求的值.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）根据两直线平行的充要条件计算即可；（2）根据两直线垂直的充要