1.1.2空间向量基本定理

1.1.2空间向量基本定理分层练习一、单选题1．（2023春·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）已知矩形为平面外一点，且平面，分别为上的点，，则（

）A． B． C．1 D．【答案】B【详解】因为，所以，故，故.故选：B2．（2022秋·广东揭阳·高二普宁市第二中学校考期中）如图，在三棱锥中，点G为底面的重心，点M是线段上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱，，于点D，E，F，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可知，因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，使，所以，所以，所以，所以．故选：D二、多选题3．（2022·高二课时练习）（多选）已知，，，，是空间五点，且任何三点不共线.若，，与，，均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（

）A．，，不能构成空间的一个基底B．，，不能构成空间的一个基底C．，，不能构成空间的一个基底D．，，能构成空间的一个基底【答案】ABC【详解】解：因为，，与，，均不能构成空间的一个基底，且，，，，是空间五点，且任何三点不共线所以空间五点，，，，共面，所以这五点，，，，中，任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以ABC正确，D错误.故选：ABC4．（2022秋·山西运城·高二校考阶段练习）已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且（，），则，的值可能为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】CD【详解】因为点为三棱锥的底面所在平面内的一点，所以由平面向量基本定理可知：，化简得：，显然有，而，所以有，当，时，，所以选项A不可能；当，时，，所以选项B不可能；当，时，，所以选项C可能；当，时，，所以选项D可能，故选：CD三、填空题5．（2022春·广东茂名·高二信宜市第二中学校考开学考试）如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，构成空间的一个基底，将用基底表示，=__________.【答案】【详解】由题意，，，，连接，根据向量的线性运算法则，可得，因为为中点，，又由点在上，且，可得，所以.6．（2022秋·江苏徐州·高二校考期中）如图，平行六面体的底面是边长为的正方形，且，，则线段的长为_____．【答案】【详解】，，即线段的长为.故答案为：.7．（2021秋·高二课时练习）如图，已知空间四边形，其对角线为、，是边的中点，是的重心，则用基向量，，表示向量的表达式为___________.【答案】【详解】如图所示，连AG延长交BC于，故答案为：.8．（2022秋·江苏镇江·高三统考开学考试）已知四棱锥的底面是平行四边形，侧棱、、上分别有一点、、，且满足，，，若、、、四点共面，则实数__________．【答案】/【详解】因为、、、四点共面，则存在、使得，所以，，所以，，因为，即，所以，，因为，即，所以，，可得，解得.故答案为：.四、解答题9．（2021·高二课时练习）如图所示，已知四面体ABCD的棱长为1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，设=，=，=，{，，}为空间向量的一个基底，计算:（1）·；（2）||.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由题意得||=||=||=1，·=·=·=，∵==，=，∴·=·()=+=.（2）∵==(+)，∴==2+2+2+···=，∴||=.10．（2022·高二课时练习）如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，E是的中点，F在上，且.

（1）用表示；（2）求向量与向量所成角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）因为E是的中点，F在上，且，所以，于是.（2）由（1）得，因此，，又因为，所以向量与向量所成角的余弦值为.一、单选题1．（2023春·高二课时练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题可知不共面，对于A选项，因为，所以三个向量共面；对于B选项，因为，所以三个向量共面；对于C选项，假设存在实数使得，则共面，与不共面矛盾，因此不共面；对于D选项，，所以共面.故选：C．2．（2023秋·辽宁锦州·高二统考期末）如图，在四面体中，M是棱上靠近O的三等分点，N，P分别是，的中点，设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】在四面体中，N是的中点，则，又，而P是的中点，所以.故选：A3．（2022秋·河南·高二河南省实验中学校考阶段练习）在棱长为1的正方体中，，，分别在棱，，上，且满足，，，是平面，平面与平面的一个公共点，设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，为与交点，为中点，为与的交点.过作平行交于.如图,则为中点，所以.所以，因此，因为，所以,.故选：C4．（2023秋·广东·高二统考期末）在三棱柱中，M，N分别为，的中点，若则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】，故.，故选：A5．（2023春·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）已知空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：因为点在上，且，所以，所以故选：D.二、多选题6．（2022秋·山东济宁·高二济宁一中校考期末）给出下列命题，其中是假命题的是（

）A．若A，B，C，D是空间中的任意四点，则有B．是，共线的充要条件C．若，共线，则D．对空间中的任意一点O与不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面【答案】BCD【详解】解：由向量的加法运算，显然A是真命题；若，共线，则（同向）或（反向），故B是假命题；若，共线，则直线AB，CD平行或重合，故C是假命题；只有当时，P，A，B，C四点才共面，故D是假命题．故选：BCD．7．（2023春·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）下列说法不正确的是（

）A．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是B．若，，不共线，且，则，，、四点共面C．对同一平面内给定的三个向量，，，一定存在唯一的一对实数，，使得.D．中，若，则一定是钝角三角形.【答案】ACD【详解】对于A，依题意，，且与不同向共线，求得，解得：且，A错误；对于B，由，则，即，于是得共面，且公共起点C，而，，不共线，，，，四点共面，B正确；对于C，同一平面内不共线的非零向量，，，才存在唯一的一对实数，，使得，否则不成立，C错误；对于D，在中，，则，于是得是锐角，不能确定是钝角三角形，D错误.故选：ACD三、填空题8．（2022·高二课时练习）正四面体ABCD的棱长为2，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则的值为___．【答案】1【详解】在正四面体ABCD中，令，显然，，，如图：因点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则，，于是得，所以的值为1.故答案为：19．（2022·高二课时练习）给出下列命题：①已知，则；②为空间四点，若不构成空间的一个基底，那么共面；③已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底；④若共线，则所在直线或者平行或者重合．正确的结论为_________________．【答案】①②④【详解】对于①中，由，可得，又由，所以①正确；对于②中，由不构成空间的一个基底，可得这3个向量共面，所以四点共面，所以②正确．对于③中，若向量与向量这3个向量不共面，则构成空间的一个基底，所以③不正确．对于④中，根据向量共线的定义，由共线，则所在直线或者平行或者重合，所以④正确．综上，①②④正确，③不正确．故答案为：①②④．四、解答题11．（2021秋·高二课时练习）如图，已知空间四边形，其对角线为，分别是对边的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量.【答案】【详解】.12．（2020·高二课时练习）直三棱柱的各棱长都为，、分别是、的中点，求的长.【答案】【详解】如下图所示，设，，，则，由题意可得，，又、分别为、的中点，，所以，，因此，.一、单选题1．（2021·高二课时练习）如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则下列向量与相等的是（

）．A． B．C． D．【答案】A【详解】由于M是的中点，所以．故选：A2．（2023秋·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥是阳马，平面，且，若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】，，所以．故选：C3．（2022·高二课时练习）如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：，，，，所以，故选：B4．（2022秋·河南·高二校联考期末）在平行六面体中，，且交平面于点M，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】根据题意，连接交于点H，连接与交于点O，如图，在平行六面体中，，则，根据平面的基本性质易知点M与点O重合，故．∴故选：D．5．（2023秋·云南大理·高二统考期末）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为向量，，不能构成空间的一个基底，所以、、共面，故存在实数、使得，即，因为是空间的一个基底，则，解得.故选：D.6．（2023春·江苏淮安·高一统考期末）在正四棱锥中，若，，平面与棱交于点，则四棱锥与四棱锥的体积比为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图所示，

设，由、、、四点共面，设，则，即，得，又，，不共面，则，解得：，即，设，分别是点到平面和点到平面的距离，则，所以，，，同理，，，，则四棱锥与四棱锥的体积比为.故选：B二、多选题7．（2023春·高二课时练习）下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（

）A．B．C．D．【答案】AC【详解】空间向量共面定理，，若，，不共线，且，，，共面，则其充要条件是；对于A，因为，所以可以得出，，，四点共面；对于B，因为，所以不能得出，，，四点共面；对于C，，则，，为共面向量，所以与,，一定共面；对于D，因为，所以，因为，所以不能得出，，，四点共面．故选：AC．8．（2022秋·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则下列结论正确的是（

）A．不是空间的一组基底B．不是空间的一组基底C．向量的模是2D．向量和的夹角为【答案】BD【详解】假设共面，则，所以，方程组无解，所以假设不成立，所以空间向量不共面，所以是空间的一组基底，A错误；假设共面，则，即，解得，所以三个向量共面，不是空间的一组基底，B正确；由题意，得，所以，C错误；，设向量和的夹角为，则，又，所以，D正确.故选：BD.三、填空题9．（2021·高二课时练习）在四棱锥中，底面是矩形，为矩形外接圆的圆心.若，则___________.【答案】【详解】如图，由题意可得，则，，，故.故答案为：10．（2023秋·高二课时练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外任意一点O，有，则A，B，C，M四点__________（填“共面”或“不共面”）．【答案】共面【详解】，因为A，B，C三点不共线则不共线，则共面则A，B，C，M四点共面.故答案为：共面.11．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是__________．【答案】1【详解】由题意得，，则,故答案为：1.12．（2021秋·湖北襄阳·高二襄阳五中校考阶段练习）下列四个命题：（1）已知向量是空间的一组基底，则向量也是空间的一组基底；（2）在正方体中，若点在内，且，则的值为1；（3）圆上到直线的距离等于1的点有2个；（4）方程表示的曲线是一条直线.其中正确命题的序号是________.【答案】(1)(2)(4)【详解】（1）已知向量是空间的一组基底，即向量不共面，则也不共面，所以向量是空间的一个基底，正确；（2），，，正确；（3）由圆的方程，得到圆心坐标为，半径为，则圆心到直线的距离为，圆上的点到直线的距离为的点有个，错误；（4）由题意可化为或，不成立，方程表示的曲线是一条直线，正确，故答案为(1)(2)(4).