第15讲一元二次不等式的综合问题（三大题型归纳易错分层练）（原卷版）

第15讲一元二次不等式的综合问题目录TOC\o"13"\h\z\u题型归纳 1题型01简单的分式不等式 1题型02简单的一元二次不等式恒成立问题 4题型03一元二次不等式的实际应用 6易错归纳 9分层练习 10夯实基础 10能力提升 16创新拓展 22题型01简单的分式不等式【解题策略】分式不等式的解法(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解【典例分析】【例1】例1解下列不等式：(1)eq\f(x＋1,2x－1)<0；(2)eq\f(1－x,3x＋5)≥0；(3)eq\f(x－1,x＋2)>1.【变式演练】【变式1】（2324高一上·山东潍坊·期末）已知关于x的不等式的解集是，则实数a的值为（

）A． B．1 C． D．2【变式2】（2324高一上·河北沧州·期末）不等式的解集为．【变式3】解下列不等式：(1)eq\f(x＋1,x－3)≥0；(2)eq\f(5x＋1,x＋1)<3.题型02简单的一元二次不等式恒成立问题【解题策略】一元二次不等式恒成立问题的解法(1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑x2的系数和对应方程的判别式的符号这两个方面．(2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值【典例分析】【例2】对∀x∈R，不等式mx2－mx－1<0，求m的取值范围．【变式演练】【变式1】（2324高一上·浙江金华·期末）若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式2】．若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是________．【变式3】（2022高一上·江苏南京·专题练习）对于不等式与没有共同解，求的取值范围．题型03一元二次不等式的实际应用【解题策略】利用不等式解决实际问题的一般步骤(1)选取合适的字母表示题目中的未知数．(2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)．(3)求解所列出的不等式(组)．(4)结合题目的实际意义确定答案【典例分析】【例3】某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．(1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．【变式演练】【变式1】（2324高一上·河北沧州·阶段练习）某商店购进一批纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售额，则这批纪念章的销售单价（单位：元）的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2】（2021高一·全国·课后作业）甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元．要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则x的最小值是．【变式3】（2324高一上·江苏镇江·阶段练习）2022年2月24日,俄乌爆发战争，至今战火未熄.2023年10月7日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色.某无人机企业原有200名科技人员，年人均工资万元，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名且，调整后研发人员的年人均工资增加，技术人员的年人均工资调整为万元.(1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人?(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资;②技术人员的年人均工资始终不减少.请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出的范围;若不存在,说明理由.易错点认为分式不等式与一元二次不等式等价致错[山东潍坊三县2022期中联考]若关于x的不等式eq\f(3x＋a,x－1)≤1的解集为[－eq\f(5,2)，1)，则实数a的值为()A．－6B．－eq\f(7,2)C.eq\f(3,2)D．4【夯实基础】一、单选题1．（2324高一上·宁夏固原·阶段练习）不等式的解集为（

）A． B．C．或 D．或2．（2324高一上·安徽芜湖·阶段练习）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2324高一上·北京东城·期中）已知不等式对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（）A． B．C． D．4．（2324高一上·北京·阶段练习）某市有块三角形荒地，如图所示，（单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地，其中点分别在线段上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则的长度（单位：米）范围是（

）

A． B． C． D．二、多选题5．（2324高一上·广东·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以是（

）A．0 B．1 C．2 D．36．（2223高一上·全国·课后作业）有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的，则桶的容积可能为（

）A．7 B．9 C．11 D．13三、填空题7．（2324高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为.8．（2223高一上·四川绵阳·阶段练习）某种衬衫进货价为每件元，若以元一件出售，则每天能卖出件；若每件提价元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于元，则每件衬衫的售价的取值范围是．(假设每件衬衫的售价是m)9．（2324高一上·上海青浦·期末）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是.四、解答题10．（2324高一上·北京·期中）若二次函数满足，且(1)确定函数的解析式；(2)若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围.11．（2324高一上·全国·课后作业）某县地处水乡，县政府原计划从今年起填湖围造一部分生产和生活用地，但根据前几年抗洪救灾得到的经验教训和环境保护、生态平衡的要求，准备重新研究修改计划，为了寻求合理的计划，需要研究以下问题：(1)若按原计划填湖造地，水面的减少必然导致蓄水能力的下降，为了保证防洪能力不会下降，除了填湖每平方千米b元费用外，还需要增加排水设备费用，且排水设备所需经费与当年所填湖造地面积x（单位：平方千米）的平方成正比，其比例系数为a，又知每平方千米地面的年平均收益为c元（其中a，b，c均为常数），若按原计划填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，试求所填面积x的最大值．(2)如果以每年1%的速度减少填湖造地的新增面积，并为了保证湖的蓄洪能力和环保要求，填湖造地的总面积三年内不能超过现有水面面积的，求今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的百分之几．【能力提升】一、单选题1．（2223高二下·河南安阳·阶段练习）某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2324高一上·浙江宁波·阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．（2324高一上·云南昆明·期中）命题：R，是假命题，则实数的值可能是（

）A． B．C． D．4．（2324高一上·云南昆明·期中）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题5．（2223高一上·全国·课后作业）某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件．那么要保证每天所赚的利润在元以上，每件销售价可能为（

）A．元 B．元 C．元 D．元6．（2324高一上·安徽滁州·期中）已知不等式的解集为或，则（

）A．B．C．不等式的解集为D．不等式的解集为三、填空题7．（2324高一上·上海·期中）不等式的解集为.8．（2324高一上·江苏盐城·阶段练习）不等式的解集为.9．（2324高一上·上海奉贤·期末）不等式的解集用区间表示为.四、解答题10．（2324高一上·内蒙古呼和浩特·期中）求关于x的不等式的解集：(1)已知集合，则求集合P；(2)设数轴上点A与实数3对应，点B与实数x对应，已知线段AB的中点到原点的距离不大于5，求x的取值范围．11．（2324高一上·陕西西安·期末）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.【创新拓展】一、单选题1．（2324高一上·广东深圳·期末）已知集合，，则（

）A． B． C． D．二、多选题2．（2324高一上·河南开封·期末）已知集合，则（

）A． B．C． D．三、填空题3．（2324高一上·