1.4数学归纳法（2知识点5题型强化训练）（原卷版）

1.4数学归纳法课程标准学习目标（1）了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题。（1）了解数学归纳法的原理;（2）会用数学归纳法证明等式；（3）会用数学归纳法证明不等式；（4）会用数学归纳法求数列通项公式.知识点01数学归纳法的概念一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n=n0(2)(归纳递推)以“当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立”为条件，推出只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法解析1.数学概念法类似“多米诺骨牌”，满足两个条件：①第一个骨牌可倒下；②任一个骨牌倒下时均可令下个骨牌倒下；这样所有骨牌均倒下了！故用数学归纳法证明，两个步骤缺一不可.2.第一步归纳奠基中的n0不一定是1；第二步中当证明从n=k到3.在运用数学归纳法证明在证明第二步中，强调两个“凑”，一是“凑”假设，在n=k+1时的式子中凑出n=k的式子(确定两个式子的“差项”；二是“凑”结论，明确4.要注意“观察归纳—猜想证明”的思维模式和由特殊到一般的数学思想.【即学即练1】用数学归纳法证明：1+2+3+...+2n=n2n+1时，从n=kA．2k+1+2k+2 BC．2k+2 D．2k+1知识点02数学归纳法的应用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题，比如：与正整数n有关的等式或不等式的证明，求数列的通项公式，与数列有关的不等关系证明，整除问题，函数不等式等.【即学即练2】用数学归纳法证明1+2+…+n=n【题型一：对数学归纳法的理解】例1．用数学归纳法证明1+2+22+⋅⋅⋅+25n-1(n∈N*)能被A．7 B．6 C．5 D．4变式11．用数学归纳法证明3n≥n3n≥3,n∈A．当n=1时，不等式成立 B．当n=2时，不等式成立C．当n=3时，不等式成立 D．当n=4时，不等式成立变式12．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-12+13-1A．n=k+1时不等式成立 B．n=k+2时不等式成立C．n=2k+2时不等式成立 D．n=2k+2变式13．用数学归纳法证“1-12+13-14【方法技巧与总结】理解数学归纳法的解题步骤，第一步归纳奠基中的n0不一定是1，要根据命题确定成立的最小值第二步中当证明从n=k到n=k+1时，所证明的式子不一定只增加一项，可写成【题型二：等式的证明】例2．用数学归纳法证明：对于任意正整数n都有：12变式21．有下列命题：1+3+5+⋅⋅⋅+(2n-1)=n变式22．用数学归纳法证明：cosθ+【方法技巧与总结】用数学归纳法证明等式成立，先确定等式成立的最小值再证明其成立，在第二步中，确定n=k和n=【题型三：不等式的证明】例3．用数学归纳法证明：1+1变式31．设x>0，n∈N*，且n≥2，用数学归纳法证明：变式32．当n≥2,n∈N*时，求证：变式33．设x1,x2,⋯,x【方法技巧与总结】用数学归纳法证明不等式成立，先确定不等式成立的最小值再证明其成立，在第二步中，确定n=k和n=k+1时命题的形式，在证明n=k+1时，强调两个“凑”，一是“凑”假设，在n=k+1时的式子中凑出n=k的式子(确定两个式子的“差项【题型四：求数列通项公式】例4．数列an满足a1=12(1)计算a2，a3，猜想数列(2)求数列ann+13变式41．已知数列an满足a1=0，2变式42．设数列an满足a1=3(1)计算a2,a(2)用数学归纳法证明上述猜想，并求an的前n项和S变式43．在数列{an}中，a1(1)求出a2,a(2)令bn=3nan，Tn【方法技巧与总结】用数学归纳法求数列的通项公式，往往先根据题意进行猜想数列的通项公式，再进行证明。关键也是在第二步中，确定n=k和n=k+1时命题的形式，在证明n=k+1时，强调两个“凑”，一是“凑”假设，在n=k+1时的式子中凑出n=k的式子(确定两个式子的【题型五：其他应用】例5．设f(n)=(1+1n(1)求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2)猜想满足不等式f(n)<0的正整数n的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．变式51．设n∈N*，用数学归纳法证明：f(n)=3变式52．数列an满足：a1=2，a变式53．已知①设函数y=fxx∈A的值域是C，对于C中的每个y，若函数gy在每一处gy都等于它对应的x，这样的函数x=gyy∈C叫做函数y=fxx∈A的反函数，记作x=f-1yy∈C，我们习惯记自变量为x，因此x=f-1yy∈C可改成y=f-1xx∈C即为原函数的反函数．易知y=f-1xx∈C与y=fxx∈A互为反函数，且ff-1x=x．如y=2x的反函数是x=log2y可改写成y=log2x即为y=2x的反函数，y=log2x与y=2x互为反函数．（i）若f∼φ（ii）若x0为fx的一个不动点，即fx0=(1)若函数fx=2x(2)证明：若f∼φg(3)若函数fx=x2+2x，求fnx【方法技巧与总结】1涉及到与正整数n有关的命题，可想到数学归纳法，比如整除问题，函数不等式等.2在求解或证明的过程中，严格遵循数学归纳法的两个步骤，要注意“观察归纳—猜想证明”的思维模式和由特殊到一般的数学思想.一、单选题1．利用数学归纳法证明fn=1+2+3+4+⋅⋅⋅+4n-1A．f1=1 BC．f2=1+2 D2.用数学归纳法证明“2n>n2对于n≥n0的正整数n都成立A．2 B．3 C．4 D．53.用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用假设，应将A．55k-C．5-25k-4.现有命题：1-2+3-4+5-6+⋯⋯+(-1)n+1n=A．不能用数学归纳法判断此命题的真假B．此命题一定为真命题C．此命题加上条件n>9后才是真命题，否则为假命题D．存在一个无限大的常数m，当n>m时，此命题为假命题5.已知数列{an}，an≥0，a1=0，an+12+aA．1 B．2 C．3 D．66.意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，⋅⋅⋅，即F1=F2=1，Fn=Fn-1+F(n-2)(n≥3,n∈N*)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.A．1346 B．673 C．1347 D．13487.“ab”表示实数a整除实数b，例如：a=2,b=4，已知数列an满足：a1=1,a2=2，若2A．a4=29 BC．对任意n∈N*，都有3a8.黎曼函数（Riemannfunction）在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：x∈0,1时，Rx=1q,x=pA．an=1C．i=1n2i二、多选题9.对于不等式n2+n≤n+1n∈N*，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：①当n=1时，12+1≤1+1，不等式成立.②假设当n=kk≥1,k∈N*时，不等式成立，即A．过程全部正确 B．n=1时证明正确C．过程全部不正确 D．从n=k到n=k+1的推理不正确10.已知Sn为数列an的前n项和，且an+1A．存在a1，使得S2=2 BC．an可能是递增数列 D．a11.已知数列an满足an+1=A．若a1=1，则数列B．若a1>1，则对任意n∈C．若a1>1，则对任意n∈D．若a1=2三、填空题12．用数学归纳法证明等式“1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)n∈N*”13.用数学归纳法证明命题“∀n∈N*，n+1n+2⋅⋅⋅n+n=214.已知数列an满足a1=1①数列an每一项an都满足②数列an③数列an的前n项和S④数列an每一项都满足a其中，所有正确结论的序号是．四、解答题15．数学归纳法的两个步骤之间有什么关系？16.证明：凸n边形的对角线的条数f(n)=n17.x∈R，用x表示不超过x的最大整数，并用x=x-x表示小数部分，已知：a1=2，18.设1<x1<2，对于n=1,2,3，…，定义xn+1=1+19．相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，并根据小石子所排列的形状把数分成许多类．现有三角形数表按如图的方式构成，其中项数n≥5，第一行是以1为首项，2为公差的等差数列．从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：f(2,1)=f(1,1)+f(1,2)；f(i,j)为数表中第i行的第j个数．f(1,1)f(1,2)⋯f(1,n-1)f(1,n)f(2,1)f(2,2)⋯f(2,n-1)f(3,1)⋯f(3,n-