第08讲一元二次方程常考综合题精练（8大题型）（原卷版）

第08讲一元二次方程常考综合题精练本讲目录题型01配方法在几何问题中的应用题型02配方法在代数问题中的应用题型03解一元二次方程在几何问题中的应用题型04解一元二次方程在函数问题中的应用题型05一元二次方程根的判别式的应用题型06一元二次方程根的实际应用增长率问题题型07一元二次方程根的实际应用营销问题题型08一元二次方程根的实际应用动态几何问题题型01配方法在几何问题中的应用1．如图，已知，C为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点C，E，F在一条直线上，．P、Q分别是对角线，的中点，当点C在线段上移动时，点P，Q之间的距离最短为（结果保留根号）．

2．在平面直角坐标系中，点C、B分别在x轴、y轴上，是等腰直角三角形，，已知．M为BC的中点，当PM最短时，则M的坐标为．3．如图，某小区有块长为米，宽为米的长方形地块，角上有4个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分绿化，其中ab．（1）用含有a和b的式子表示绿化的总面积S；（结果用最简形式表示）（2）若ab20

且，求S的大小；（3）若ab20，那么当a米且b=米时，有S的最大值为：当S取最大值时，若甲乙两个工程队一起实施绿化，且甲每小时可绿化4平方米，乙每小时可绿化1平方米，且乙的工作时间不低于甲的工作时间，则甲最多工作小时．4．求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法．例如：若代数式，利用配方法求M的最小值：，，当时，代数式M有最小值为2．再比如：正数a，b满足，用几何法求的最小值．如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度，当的值最小时，D、C、E三点共线，所以最小值为．请根据上述材料解决下列问题：(1)若代数式，求M的最小值；(2)已知正数x，y满足，求的最小值．5．已知，在中，，，点D是边上一点（点D不与点A，C重合），连接，将绕着点D顺时针旋转，得到，连接．

(1)①如图1，当，点D是的中点时，请猜想：与数量关系是；②如图2，当，点D是边上任意一点时，①中的结论是否依然成立？说明理由．(2)如图3，若，，直接写出的面积的最大值．6．在中，，，点分别在长方形的边上．(1)如图，当点在上，且，时，则________；(2)如图，若，点为线段上一动点（不包括端点），连接，求的度数；(3)如图，若矩形中，，，在（）的基础上，当取值最小时，求点的坐标．7．如图1，在正方形中，为对角线上一点（），点，关于直线对称，过点作的垂线，分别交，于点，．

(1)求证：；(2)若，，求的长；(3)如图2，连接并延长与的延长线交于点，连接．若已知，设，用含的代数式表示的面积，并求出面积的最大值．题型02配方法在代数问题中的应用8．新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（

）A．2011 B．2013 C．2018 D．20239．一般情形下等式不成立，但有些特殊实数可以使它成立，例如，时，成立，我们称是使成立的“神奇数对”，请完成下列问题：(1)数对，中，使成立的“神奇数对”是_________；(2)若是使成立的“神奇数对”，求的值；(3)若是使成立的“神奇数对”，且，，求代数式的最小值．10．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：．（1）填空：_；若，则_；（2）已知，求的取值范围；（3）小明发现，无论取何值，计算时，得出结果总是负数，你认为小明的结论正确吗？请说明理由．11．阅读材料：选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如①选取二次项和一次项配方：；②选取二次项和常数项配方：，或③选取一次项和常数项配方：请根据阅读材料解决下列问题：(1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；(2)已知，求的值(3)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？12．阅读如下材料，完成下列问题：材料一：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：．因为，所以，所以，当时，原式的最小值为2．材料二：对于实数a，b，若，则．完成问题：（1）求的最小值；（2）求的最大值；（3）若实数m，n满足．求的最大值．13．悦悦在学习有关配方的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或1时，的值均为4：当，即或0时，的值均为7，于是悦悦给出一个定义：关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如关于对称．请结合悦悦的思考过程，运用此定义解决下列问题：(1)多项式关于______对称；多项式关于______对称；(2)若关于x的多项式关于对称，求n的值；(3)若整式关于对称，求实数a的值．题型03解一元二次方程在几何问题中的应用14．如图，在中，，将边绕点A逆时针旋转得到线段，将边绕点顺时针旋转后得到线段，与交于点F，若，，则边的长为．15．如图，在四边形中，，，为上一点，，，作交于点，取上一点，以，为邻边向上作，交于点，(1)求证：．(2)记面积为，四边形面积为，①求与的关系式．②连接，若为直角三角形时，求的值．16．【问题背景】如图1，在平行四边形中，，点是边的中点，连接，点是线段上的动点，连接，且满足．【初步尝试】（1）如图2，当四边形是正方形时，若，则____，______．【猜想验证】（2）如图3，同学们在研究图形时发现，若取线段的中点，可得始终为定值．请你猜想这个定值是多少？并说明理由．【拓展应用】（3）如图3，在（2）的基础上，若，当四边形是菱形时，求菱形的边长．

17．如图，平行四边形中，，，点以的速度从点出发沿向点运动，同时点以的速度从点出发沿向点运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为．(1)求平行四边形的面积；(2)当的面积为平行四边形的面积的时，求的值；(3)当时，连接，取线段的中点，请直接写出的长度．18．已知，如图1，四边形中，，；(1)求证：四边形为平行四边形；(2)如图2，若平分，连接，，求的度数；(3)如图3，在（2）的条件下，过点E作，垂足为F，点S在上，点N在上，若，，，求四边形的面积．19．综合与实践：综合与实践课上，高老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．【操作判断】操作一：如图1，正方形纸片，将沿过点的直线折叠，使点落在正方形的内部，得到折痕，点的对应点为，连接；再将沿过点的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接．根据以上操作，同学们很快发现，，三点共线，且有以下结论：①；②线段，，之间的数量关系为：．【深入探究】操作二：如图2，再将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为，将纸片展平，连接、．同学们在折纸的过程中发现，当点的位置不同时，点的位置也不同，在这次综合实践探究学习中，两位同学又有如下发现：一、小曾发现，当点落在折痕上时，设交于点，如图2，则有结论：；二、小段发现，当点落在折痕上时，是一个定值．【解决问题】（1）证明小曾同学结论的正确性：；（2）小段同学的发现是否成立？若成立，求出的大小；若不成立，请说明理由．【拓展应用】（3）如图3，矩形中，，，点、分别在边、上，，，求的长度．题型04解一元二次方程在函数问题中的应用20．如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，与x轴，y轴分别交于C，D两点，与x轴，y轴分别交于A，B两点，且．(1)求直线的解析式；(2)如图2，在射线上有一动点F，连接、，M为x轴上一动点，连接、，当时，求的最大值；(3)如图3，在（2）的条件下，将沿直线平移得到，若在平移过程中是以为一腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．21．如图1，在平面直角坐标系中，直线的图象分别交x，y轴于A，B两点，直线的图象分别交x，y轴于C，D两点，且两条直线相交于点E，已知点C的坐标为．.(1)求E点坐标；(2)在直线上是否存在点F，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，请求出F点坐标．若不存在，请说明理由；(3)如图2，若点G为线段上一点，连接，，当时，经过点G的一条直线与x轴负半轴交于点P，与y轴正半轴交于点Q，判断的值是否为定值，若是定值，求出此值；若不是定值，请说明理由．22．定义：如图1，已知点是内任意一点，过点任意作一条直线，分别交射线，于点，．若点是线段的中点，则称线段为关于点的中点线段．

(1)如图2，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，过点的直线分别交轴正半轴和轴的正半轴于点和，线段是关于点的中点线段．①若点的坐标为，求直线的解析式；②若线段，点在直线上，请直接写出线段的最小值及线段取得最小值时点的坐标；(2)如图3，射线的解析式为，点，过点任意作一条直线，交射线于点，交轴于点，求的面积的最小值．

23．如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴正半轴上，且顶点与坐标原点重合，点的坐标为，直线过点，与轴交于点，与轴交于点．(1)点的坐标为___________，点的坐标为___________；(2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿的路线向点运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度速度沿的方向向点运动，过点作轴，交线段或线段于点当点到达点时，点和点都停止运动，在运动过程中，设动点运动的时间为秒；设的面积为，求关于的函数关系式___________；是否存在以、、为顶点的三角形的面积与相等？若存在，直接写出的值___________．24．如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为．点E的坐标为，直线经过点F和点E，直线与直线相交于点P．(1)求直线的表达式和点P的坐标；(2)矩形的边在y轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段上，边平行于x轴，且，将矩形沿射线的方向平移，边始终与x轴平行，已知矩形以每秒个单位的速度匀速移动（点A移动到点E时止移动），设移动时间为t秒．①当时，A点坐标是_________，移动t秒时，D点坐标为_________，②矩形在移动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线或上时，矩形会发出红光，请直接写出矩形发出红光时t的值；③若矩形在移动的过程中，直线交直线于点N，交直线于点M．当的面积等于18时，请直接写出此时t的值．题型05一元二次方程根的判别式的应用25．若关于的一元二次方程至少有一个整数根，且为正整数，则满足条件的共有个．26．如果关于的一元二次方程有实数根，且关于的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为．27．对于实数a、b，定义运算“*”；，关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则的取值范围是．28．如果一个三位自然数的各数位上的数字均不为，且使得关于的方程有两个相等的实数根，那么称这个三位数为该方程的“等根数”．例如：三位数是方程的“等根数”．则关于的方程的最小“等根数”是；如果是关于的方程的“等根数”，记，，若是整数，则满足条件的最大值是．29．已知关于的方程．(1)求证：不论为何值，方程必有实数根；(2)当为整数时，方程是否有有理根？若有求出的值，若没有请说明理由．30．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点称为“幸福点”，经过点的函数，称为“幸福函数”．(1)若点是“幸福点”，关于x的函数是“幸福函数”，则__________，__________，__________．(2)若关于x的函数和都是“幸福函数”，且两个函数图象有且只有一个交点，求k的值．(3)若直线与x轴、y轴分别交于点A，B，M是y轴上一点，若将沿直线AM折叠，点B恰好落在x轴上的点C处．试问经过C，M两点的一次函数是否可以为“幸福函数”？若可以，请写出所有函数解析式；若不可以，请说明理由．题型06一元二次方程根的实际应用增长率问题31．五峰县某茶叶公司预计用3年时间实现三种茶叶产品售出万元的目标．年，出售产品A和B的销售额是C产品的2倍、4倍．随后两年，A产品每年都增加b万元，预计A产品三年总销售额为万元时达成目标：B产品销售额从年开始逐年按同一百分数递减，依此规律，在年只需售出5万元，即可顺利达成；C产品年销售额在前一年基础上的增长率是A产品年销售额增长率的1.5倍，年的销售额比该产品前两年的销售总和还多4万元，若这样，C产品也可以如期售完．经测算，这三年的A产品、C产品的销售总额之比达到．(1)这三年用于C产品的销售额达到多少万元？(2)求B产品逐年递减的百分数．32．HW公司2018年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800万块，生产了2800万部，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL”芯片解决了该公司2018年生产的全部所需芯片的10%，HW公司计划2020年生产的全部使用自主研发的“QL”系列芯片．从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数，为（），2018年到2020年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块，这三年丙类芯片的产量每年按相同的效量递增，这样，2020年的HW公司的产量比2018年全年的产量多10%（与芯片一一匹配），求丙类芯片2020年的产量及m的值．33．某房地产商决定将一片小型公寓作为精装房出售，每套公寓面积均为32平方米，现计划为100套公寓地面铺地砖，根据用途的不同选用了A、B两种地砖，其中50套公寓全用A种地砖铺满，另外50套公寓全用B种地砖铺满，A种地砖是每块面积为0.64平方米的正方形，B种地砖是每块而积为0.16平方米的正方形，且A种地砖每块的进价比B种地砖每块的进价高40元，购进A、B两种地砖共花费350000元．（注：每套公寓地面看成正方形，均铺满地砖且地砖无剩余）（1）求A、B两种地砖每块的进价分别是多少元？（2）实际施工时，房地产商增加了精装的公寓套数，结果实际铺满A种地砖的公寓套数增加了，铺满B种地砖的公寓套数增加了，由于地砖的购进量增加．B种地砖每块进价在（1）问的基础上降低了，但A种地砖每块进价保持不变，最后购进A、B两种地砖的总花费比原计划增加了，求a的值．34．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．（1）求A社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二月在第一个月的基础上又增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求m的值．35．创意产品蕴含着很多商机，我市某文化创意公司，销售A，B两种创意产品，其中A产品的定价是每件20元，B产品的定价是每件30元．（1）该公司按定价售出A，B两种产品共600件，若销售总额不低于15000元，则至少销售B产品多少件？（2）2017年8月，该公司按定价售出A产品300件，B产品400件．2017年9月，公司根据市场情况，适当调整A，B产品的售价，A产品的售价比定价增加了a%，销量与8月保持不变；B产品的售价比定价减少了a%，销量比8月份增加了a%，结果9月份A，B产品的销售总额比8月份增加了a%，求a的值．题型07一元二次方程根的实际应用营销问题36．一玩偶店销售“抱竹熊猫”、“打坐熊猫”两款玩偶，其中“抱竹熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”的售价是“抱竹熊猫”的倍，大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”多卖件，且两款玩偶当天销售额都刚好到达元．为更好地宣传国宝，第二天店家决定降价出售，但规定降价后的售价不低于成本价的，“抱竹熊猫”的售价降低了，当天“抱竹熊猫”的销量在第一天基础上增加了；“打坐熊猫”的售价打折，结果“打坐熊猫”的销量在第一天基础上增加了，最终第二天两款熊猫玩偶的总利润为元，求的值为（

）A． B． C． D．37．正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．(1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？(2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？38．为奠基孩子深厚的人文底蕴，某中学初一年级各班家委会准备去书店购买《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书．书店老板从图书批发市场分别以10元/本、20元/本、12元/本的价格购进《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书共4500本，已知《乐山乐水》的数量是《朝花夕拾》的数量的3倍，共花费52000元．(1)求书店老板分别购进《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书各多少本？(2)该书店老板一开始分别以25元/本、60元/本、30元/本的价格售卖《乐山乐水》、《艾青诗选》和《朝花夕拾》这三本书，每天能售卖《乐山乐水》120本，《艾青诗选》50本，《朝花夕拾》20本，后面经调查发现，不少学生早已购买《朝花夕拾》，于是他准备在原来售价的基础上，《乐山乐水》的售价不变，《艾青诗选》的每本售价提升原来的，《朝花夕拾》每本降价元，调整售价后，《乐山乐水》每天多售卖本，《艾青诗选》每天多售卖本，《朝花夕拾》的售卖量每天保持不变，这样一天能获利6836元，求a的值．39．随着武汉解封，湖北各地的复工复产正有序进行，经济复苏也按下了“重启键”．为助力湖北复苏，月日抖音发起了“湖北重启，抖来助力抖音援鄂复苏计划”，通过直播或短视频助力推广湖北特色产品已知当天的直播活动中热干面和周黑鸭共销售万份，其中周黑鸭的销量是热干面的倍．(1)求当天的直播活动中销售了多少万份周黑鸭？(2)为刺激消费，直播中推出了优惠活动疫情前，疫情期间售价均为元一份的周黑鸭（一份里面有一盒锁骨，两盒鸭脖，一盒鸭掌），以折力度售卖．疫情前，疫情期间售价均为元一份的热干面（一份里面有包热干面），以折力度售卖．已知疫情前周黑鸭的日销售量比直播当天的销量少，疫情期间的日销售额比疫情前的日销售额减少了万元；疫情前热干面的日销量比直播当天热干面的销量少，疫情期间的日销售量比疫情前的日销售量减少了；疫情期间周黑鸭和热干面的总日销售额比直播当天的总销售额少，求的值．40．某“5A”景区决定在“5.1”劳动节期间推出优惠套餐，预售“亲子两人游”套票和“家庭三人行”套票，预售中的“家庭三人行”套票的价格是“亲子两人游”套票的2倍．(1)若“亲子两人游”套票的预售额为21000元，“家庭三人行”套票的预售额为10500元，且“亲子两人游”的销售量比“家庭三人行”的套票多450套，求“亲子两人游”套票的价格.(2)套票在出售当天计划推出“亲子两人游”套票1600张，“家庭三人行”套票400张，由于预售的火爆，景区决定将“亲子两人行”套票的价格（1）中价格的基础上增加元，而“家庭三人行”套票在（1）中“家庭三人行”套票票价上增加了a元，结果“亲子两人游”套票的销量比计划少32a套，“家庭三人行”套票的销售量与计划保持一致，最终实际销售额和计划销售额相同，求a的值．41．重庆1949大剧院自建成开演以来，吸引不少外地游客前来观看，所有演出门票中，普通席和嘉宾席销售最快，已知一张普通席的票价比一张嘉宾席的票价少40元，一张普通席的票价与一张嘉宾席票价之和为600元．(1)求普通席和嘉宾席两种门票单张票价分别为多少元？(2)因为疫情原因，11月份以来，外地游客人数减少，普通席票平均每天售出100张，嘉宾席票平均每天售出200张．12月份后，疫情得到有效控制，观看人数明显增加，为了吸引游客，剧院决定降低普通席的票价，这样与11月份相比，普通席票平均每天售价降低金额数是售出普通席普通票增加张数的2倍，嘉宾席的票价与11月份保持不变，但平均每天售出嘉宾席票增加张数是12月份售出普通席增加张数的，这样12月份两种票平均一共销售总额为99200元，求12月份普通席的票价是多少元？42．新型冠状病毒爆发时期，医疗防护物资严重匮乏，民众急需护目镜和N95口罩．重庆某药店3月初购进了一批护目镜和N95口罩，购进的N95口罩数量是护目镜数量的3倍．已知每个护目镜的售价比每个N95口罩的售价多40元，3月底护目镜和N95口罩全部销售完，据统计，护目镜的销售额为10000元，N95口罩的销售额为6000元．（1）该药店3月初购进了多少个护目镜？（2）4月份疫情得以缓和，该药店又购进以上两种医疗物资．该药店根据上月民众的需求和销售情况适当调整了进货计划，购进的护目镜购进的数量与3月份相同，但在运输过程中损耗了2%，导致受损的护目镜无法销售，而N95口罩数量比3月份增加了．由于政府对医疗物资价格的调整，护目镜的售价比3月份降低了a%，N95口罩的售价比3月份降低了，4月底售完这两种医疗物资后该药店的销售额达到了15800元，求a的值．题型08一元二次方程根的实际应用动态几何问题43．如图，在中，，，，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时P，Q两点同时停止运动，设运动时间为．(1)_________；_________；（用含的代数式表示）(2)若是的中点，连接、、，当为何值时的面积为？44．如图，中，，，．(1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发．①经过多少秒钟，的面积等于；②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由；(2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为．45．如图，矩形纸片，，，动点，分别从点同时出发，均以的速度，点沿方向，到终点停止运动：点沿方向，到终点停止运动，连接，将矩形在左下方的部分纸片沿折叠得到如图，设点运动的时间为，重叠部分图形的面积为．(1)当点落到边上时，求的值；(2)求与的函数关系式，并写出的取值范围；(3)当时，若以为腰的等腰三角形，直接