1.2.1圆的标准方程1.2.2圆的一般方程（9大题型提分练）

1.2.1圆的标准方程1.2.2圆的一般方程题型一由圆心（或半径求圆的方程）求圆的标准方程1．（2425高二下·全国·期末）以为圆心，为半径的圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据圆的标准方程写出答案【详解】根据圆的标准方程可写出，故选：A.2．（2024·广西南宁·模拟预测）已知坐标原点在直线上的射影为点，则为必然满足的关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出直线所过的定点，由射影的意义可得点在以为直径的圆上，进而判断即得.【详解】直线，即恒过定点，由原点在直线上的射影点为，得，则点在以为直径的圆上，该圆圆心为，半径为，所以，满足的关系是.故选：B3．（2223高二上·广东东莞·期中）求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为.【答案】【分析】分析出圆心在直线上，再结合其在上，最后得到圆心坐标即可得到答案.【详解】若经过点，，则圆心在直线上，又在直线l：上，令，则，故圆心坐标为，半径为，故所求圆的标准方程为.故答案为：.4．（2324高一下·上海·期末）平面直角坐标系中，以为圆心，且经过原点的圆的方程为.【答案】【分析】依题意设圆的方程为，代入原点坐标求出，即可得解.【详解】设圆的半径为，则圆的方程为，又圆过点，所以，所以圆的方程为.故答案为：题型二求过已知三点圆的方程1．（2024·辽宁大连·一模）过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】借助待定系数法计算即可得.【详解】令该圆圆心为，半径为，则该圆方程为，则有，解得，故该圆方程为.故选：D.2．（2022·全国·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为．【答案】或或或．【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】[方法一]：圆的一般方程依题意设圆的方程为，（1）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（2）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（3）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；故答案为：或或或．[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）设（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；（2）若圆过三点，设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；（3）若圆过三点，则线段的中垂线方程为，线段的中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为；（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为，线段中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为．故答案为：或或或．【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．3．（2024·全国·模拟预测）已知，，，若过点A的直线l、直线BC及x轴正半轴y轴正半轴围成的四边形有外接圆，则该圆的一个标准方程为．【答案】（答案不唯一）【分析】根据四边形外接圆的几何性质，分情况求解，当过点A的直线与直线BC平行时可满足，当过点A的直线与BC垂直时，从而得对应的圆的方程，即可得答案.【详解】当过点A的直线与直线BC平行时，围成的四边形是等腰梯形，外接圆就是过，，的圆．设该外接圆的圆心坐标为，则，，所以半径，此时圆的标准方程为．当过点A的直线与BC垂直时，外接圆就是以线段AC的中点为圆心，AC为直径的圆，其圆心坐标为，半径，此时圆的标准方程为．故答案为：.（答案不唯一）4．（2023高二上·全国·专题练习）圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为．【答案】【分析】直线和线段AB的垂直平分线的交点是圆心，圆心到A点的距离为半径，可得圆的方程.【详解】圆经过点和，，AB中点为，所以线段AB的垂直平分线的方程是．联立方程组，解得．所以，圆心坐标为，半径，所以，此圆的标准方程是．故答案为：.题型三由圆的标准方程确定圆心（或半径）1．（2324高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先确定圆心坐标，再求出两圆心的中点坐标与斜率，即可得到直线的斜率，再由点斜式计算可得.【详解】圆的圆心为，圆的圆心为，所以、的中点坐标为，又，则，所以直线的方程为，即.故选：A2．（2024·河南信阳·模拟预测）已知圆O：，点和点在圆上，满足，则最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将点代入圆中得并结合，可得，再使用重要不等式求解即可.【详解】由题意可知，点在圆上，所以，因为，所以，所以，又因为，所以，当且仅当取等号.故选：B.3．（多选）（2324高二上·安徽芜湖·期中）设圆，则下列命题正确的是（

）A．所有圆的面积都是 B．存在，使得圆C过点C．经过点的圆C有且只有一个 D．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上【答案】AD【分析】对于A，直接由圆的半径是，即得到答案；对于B，利用不等式说明圆C必定不过即可；对于C，给出和作为例子即可；对于D，说明圆心总在上即可.【详解】对于A，由于每个圆的半径都是，故面积都是，A正确；对于B，由于，故圆C必定不过，B错误；对于C，对和，均有，故，即圆C经过点，C错误；对于D，圆心始终在直线上，D正确.故选：AD.4．（2324高二下·安徽滁州·阶段练习）已知直线与轴､轴分别交于点，点为圆的圆心，则的面积为.【答案】//【分析】利用解析几何思想，用点到直线的距离求三角形的高，即可计算面积.【详解】由题可得，所以.因为圆心到直线的距离，所以.故答案为：.题型四圆的一般方程与标准方程之间的互化1．（2324高二下·浙江·期中）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径.【详解】，即，故该圆的圆心坐标为，半径为．故选：A．2．（2024·江西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据表示圆得，又利用点在圆外得，从而可得结果.【详解】因为可化为，则，所以．又点在圆的外部，所以，故，综上，．故选：A.3．（2024·云南曲靖·二模）曲线所围成的区域的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆的一般方程化为圆的标准方程，确定圆的半径，即可求解.【详解】由，得，故该曲线围成区域的面积为半径为3的圆的面积为.故选：D.4．（2324高三下·上海·期中）已知圆的面积为，则实数的值为.【答案】【分析】根据圆的面积可求出圆的半径，再根据圆的标准式即可求解.【详解】设圆的半径为r，则由题意，故，将圆一般式化为标准式得，则，故答案为：2.题型五二元二次方程表示的曲线与圆的关系辨析1．（2324高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】根据圆的一般式方程的充要条件为，代入运算求解即可.【详解】由题意可得：，解得或，所以方程表示圆的充要条件是或.故选：D.2．（2324高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数的取值范围，即可判断.【详解】若方程表示圆，则，解得，又，所以或，即程表示的圆的个数为.故选：B3．（2324高二下·湖南长沙·阶段练习）过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（

）A． B．．C． D．【答案】A【分析】设所求圆的方程为，求出圆心坐标代入直线，求得，即可求得答案.【详解】由题意设所求圆的方程为，即，圆心坐标为，代入中，即，解得，将代入中，即，满足，故所求圆的方程为，故选：A4．（2024高三·全国·专题练习）若方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示圆，则实数t的取值范围是（

）A．{t|－1＜t＜}B．{t|－＜t＜1}C．{t|－1＜t＜}D．{t|1＜t＜2}【答案】B【详解】由D2＋E2－4F＞0，得7t2－6t－1＜0，解得－＜t＜1.题型六圆一般方程的求法1．（2324高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先利用待定系数法求得圆C的一般方程，进而得到圆C的标准方程.【详解】设圆C的方程为，则圆心，则有，解之得,则有圆C的方程为，即故选：C2．（2024高三·全国·专题练习）以直线3x－4y＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为．【答案】(x＋2)2＋(y－)2＝【详解】(解法1)直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴的交点分别为A(－4，0)，B(0，3)，所以线段AB的中点为C(－2，)，AB＝5.故所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－)2＝()2＝.(解法2)易得圆的直径的两端点为A(－4，0)，B(0，3).设P(x，y)为圆上任一点，则PA⊥PB，∴·＝0，即x(x＋4)＋y(y－3)＝0，化简得(x＋2)2＋(y－)2＝4＋＝.3．（2324高二上·全国·课后作业）过直线和圆的交点且过原点的圆的方程是．【答案】【分析】先将所求圆的方程设为，再根据所求圆过原点，将代入方程解出，即可得到圆的方程.【详解】设所求圆的方程为，因为过直线和圆的交点的圆过原点，所以可得，解得，将代入所设方程并化简可得所求圆的方程为：．故答案为：.4．（2324高二上·安徽阜阳·期末）已知的三个顶点分别为.(1)求的面积；(2)求的外接圆的方程.【答案】(1)13；(2).【分析】（1）利用两点距离求出，再求出直线的方程，利用点到直线距离公式求出高，即可求出面积；（2）设出的外接圆的方程，将三点坐标代入求解即可.【详解】（1），直线的方程为，即，所以点到直线的距离，所以的面积；（2）设的外接圆的方程为，则，解得，所以的外接圆的方程为.题型七圆过定点相关的问题解决方案1．（2324高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果.【详解】圆的方程化为，由得或，故圆恒过定点．故选：D．2．（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点.【答案】（0，－2）和（0，1）【详解】解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）.3．（2324高二上·江西南昌·阶段练习）已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为．【答案】【分析】设出点利用两点间距离公式得到比值关系，设为，最后利用方程与N无关得到关系式计算得到答案.【详解】设，且，，因为为定值，设，化简得：，与点位置无关，所以，解得：或，因为异于点，所以定点N为.故答案为：.4．（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：．(1)当取何值时，方程表示圆？(2)求证：不论为何值，曲线必过两定点．【答案】(1)；(2)证明见解析；【分析】（1）当时，方程为表示一条直线，当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程；（2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得.【详解】（1）当时，方程为表示一条直线．当时，，整理得，由于，所以时，方程表示圆.（2）证明：方程变形为，由于取任何值，上式都成立，则有，解得或，所以曲线必过定点，，即无论为何值，曲线必过两定点．题型八圆一般方程求圆的圆心和半径1．（2324高二下·上海·期中）圆的圆心到直线的距离为（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】求出圆心，利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】由圆，可得：，所以圆的圆心为，则圆心到直线的距离为，故选：B2．（2024高三·全国·专题练习）已知圆的面积为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意确定圆的半径，结合圆的面积公式建立方程，解之即可求解.【详解】因为圆，即，所以，解得.故选：B.3．（2324高二上·山东青岛·期末）曲线围成图形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据绝对值的性质，结合圆的面积公式，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】当时，，当时，，当时，，当时，，曲线围成图形如下图所示：其中每个象限内半圆的半径为，所以曲线围成图形的面积为：，故选：D

4．（2024·江西九江·二模）欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为.【答案】/【分析】首先将点的坐标代入圆的方程，即可求出、，从而得到圆心坐标即的外心坐标，再确定的重心坐标，即可得解.【详解】依题意，解得，所以圆，即，故圆心坐标为，即的外心坐标为，又的重心坐标为，又点、均在直线上，所以的欧拉线方程为.故答案为：题型九点与圆的位置关系1．（2024·贵州黔南·二模）已知直线与直线的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】联立直线可得其交点坐标，由该点在圆的内部计算即可得.【详解】联立，解得，即点在圆的内部，即有，解得.故选：D.2．（2024·河北沧州·二模）若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由点在圆外代入圆的方程可得，再由圆的一般方程中可得，最后求交集即可.【详解】由题意知，故，又由圆的一般方程，可得，即，即或，所以实数的范围为.故选：C.3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据题意利用轴对称的性质算出对称点Q的坐标，结合点Q在已知圆的内部，建立关于的不等式，解出实数的取值范围．【详解】设与关于直线对称，则，解得，即，因为在圆的内部，所以，解得，即实数的取值范围是．故答案为：．4．（2024·山东烟台·一模）若圆关于直线对称的圆恰好过点，则实数的值为.【答案】4【分析】利用轴对称列式求出点关于直线的对称点的坐标，再代入圆方程即得.【详解】依题意，点关于直线的对称点在圆上，则，解得，因此点在圆上，则，解得，所以实数的值为4.故答案为：41．圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】设圆心为，则圆的方程为，再根据圆过点，求出的值，即可得解.【详解】依题意设圆心为，则圆的方程为，又，解得，所以圆的方程为.故选：D2．已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出线段的中垂线，求得与轴的交点即为圆心坐标，进而求得圆的方程.【详解】由题意，，中点为，所以线段的中垂线为，令得，所以，半径，所以圆M的标准方程为．故选：B.3．已知点在以原点为圆心，半径的圆上，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】由题可得点满足的圆方程，进而，然后利用基本不等式结合条件即得.【详解】由题意可得点的坐标满足，所以，．因此，.当且仅当时，即时取等号．故选:D．4．经过，，三个点的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设经过，，三个点的圆的方程为，代入三点坐标可得答案.【详解】设经过，，三个点的圆的方程为，由题意可得，解得，且满足，所以经过，，三个点的圆的方程为，即为.故选：C.5．已知向量，，满足，，，，则的最小值等于（

）A． B． C．4 D．【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示，向量的坐标满足方程，结合向量的数量积公式求得结果.【详解】如图，建立平面直角坐标系，依题意令，，，，因为，所以，即，，则，则，则的最小值为4.故选：C.

6．在△ABC中，若角A，B，C的对边分别为a，b，c，则△ABC的面积，其中，称该公式为海伦公式，该公式可推广到平面四边形：若四边形ABCD内接于圆E，且四边长分别为a，b，c，d，则四边形ABCD的面积，其中，若面积为的四边形ABCD内接于圆E，，，点C，D在x轴上方，且，，则圆E的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，，根据面积得到方程，求出，在两个三角形中，分别使用余弦定理得到，求出，圆E是正三角形BAD的外接圆，由正弦定理得到半径，并求出外接圆的圆心为，得到圆的方程.【详解】由题意得，设，则，则四边形ABCD的面积，所以．在△ABD中，由余弦定理得，在△BCD中，，又四边形ABCD内接于圆E．所以，所以，解得，又，所以，所以圆E是正三角形BAD的外接圆，其半径，又，，其中的垂直平分线为，故圆心横坐标为2，设圆心纵坐标为，故，解得，故等边△ABD的外接圆的圆心为，故所求圆的方程为．故选:D．7．（多选）若方程表示一个圆，则的取值可能为（

）A．3 B．2 C． D．【答案】AC【分析】根据圆的一般方程，建立系数方程，经检验，可得答案.【详解】解：由圆的一般方程形式知，的系数相同，则，∴或3，当时，方程为表示一个圆；当时，方程为表示一个圆.故选：AC.8．（多选）已知圆的方程为，则圆上的点有（）A． B． C． D．【答案】BD【分析】将点的坐标代入方程，检验方程是否成立，即可判断.【详解】因为圆，对于A：，所以点不在圆上；对于B：，所以点在圆上；对于C：，所以点不在圆上；对于D：，所以点在圆上；故选：BD9．（多选）如图，在直角坐标系中，坐标轴将边长为4的正方形分割成四个小正方形.若大圆为正方形的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则下列方程是图中某个圆的方程的是（

）

A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由各小圆的圆心和半径，求出圆的标准方程和一般方程，对照选项判断.【详解】由题可知小正方形边长为2，则内切圆半径为1，可得第一象限的小圆的圆心为，方程为，即，A选项正确；第二象限的小圆的圆心为，方程为，即，B选项正确；第三象限的小圆的圆心为，方程为，即，C选项正确；第四象限的小圆的圆心为，方程为，即，没有选项符合；外接圆圆心为，半径为，方程为，没有选项符合.故选：ABC10．（多选）在平面直角坐标系中，已知长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，线段的中点的轨迹为曲线，则下列结论正确的是（

）A．关于直线对称 B．关于原点对称C．点在内 D．所围成的图形的面积为【答案】ABD【分析】利用直接法可得求得轨迹方程，进而判断各选项.【详解】设线段的中点为，则由题意可得，，所以，即，所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆，选项A：易知直线过圆心，故A正确；选项B：显然关于原点对称，故B正确；选项C：因为，所以点在上，故C错误；选项D：易知所围成的图形的面积为，故D正确；故选：ABD.11．过三点的圆的方程为．【答案】(或者写成)【分析】待定系数法求出圆的方程.【详解】设圆的方程为，将代入得，，解得，故圆的方程为.故答案为：12．点为圆上的动点，则的取值范