【模型思想在中学数学教学中的应用探究8000字（论文）】

模型思想在中学数学教学中的应用研究目录TOC\o"1-2"\h\u141981.前言 摘要:模型思想作为解决实际问题的重要思想方法之一,它在中学数学教学中具有非常重要的意义.模型思想是在解决某类具体问题时能有意识地运用数学概念、数学原理以及数学方法来描述、解释和解决具体问题的思想.数学中的每一个知识点都有与之相对应的现实原型,把模型思想融入到中学数学教学中让学生在模型建立的过程中体验模型思想，并把这一思想转换为自己的思想.让学生明白实际问题解决的过程其实是数学问题转变的过程，简而言之就是数学原型与数学模型,数学模型与数学模型之间相互转换的过程.关键词:模型;模型思想;中学数学;应用1前言1.1研究背景中学阶段的课程是属于基础性课程,它的核心理念有两个方面:一是实现义务教育阶段的培养目标,做到面向全体学生;二是适应学生个性发展的需求,培养学生的创新精神和实践能力.基于此目的《义务教育数学课程标准(2011版)》将原来的“基础知识”和“基本技能”两基拓展为了“基础知识”、“基本技能”、“基本思想”和“基本活动经验”四基[[]义务教育课程标准(2011年版)[S].北京:北京师范大学出版社[]义务教育课程标准(2011年版)[S].北京:北京师范大学出版社,2011:42-52.[]史宁中.漫谈数学的基本思想[J].中国大学教学,2001(7):9.1.2研究意义数学模型是由现代技术的发展而逐渐建立起来的学科,它是将数学知识与实际问题联系起来的重要手段.运用数学模型方法的重点是,把实际问题经抽象、概括从而建立与之相对应的数学模型,再利用有关的数学知识解决实际问题.在中学阶段，类似用料最省问题、利润最大问题、效率最高问题等都是考试的重点与难点,并且这些问题都是对数学模型的另一种考查形式.由于大多数的学生对模型思想的不理解，所以造成了认为数学与物理难学的观念.其实数学与物理之间的学习是相通的，例如在学习力的分解时可以用到数学中向量模型、在学习物体运动的加速度时可以用到数学中的导数模型等.在新课程改革的大背景下，教学过程越来越重视学生获取知识的过程，在学生此过程中培养学生发现问题以及解决问题的能力，这有利于达到学生学习数学的更高层次.因此，数学模型思想的培养工作在中学阶段有着十分重要的意义，在中学阶段学注重学生模型思想的培养可以帮助学生更好地学习数学与物理，以及其他学科.1.3研究价值应用数学模型思想是将实际问题抽象概括成数学问题,把所抽象出来的数学问题建立相应的数学模型，再对模型进行求解最后把解出来的结果还原到实际问题中，经历这一过程可以培养学生应用数学知识对问题进行分析、整理、推理、证明和计算的能力;由于教师是教学过程的组织者同时也是学生学习的引导者,因此教师应想方设法让学生以较高的积极性参与到教学过程中,学生的参与不仅仅是行动上的参与更应该是思维上的参与,在通过自己的思考、与同学的讨论交流彼此的想法与意见等方式来激发思维，把模型思想融入到中学数学教学中让学生在模型建立的过程中体验模型思想，并把这一思想转换为自己的思想,以此来促进学生数学思维能力的提高;我国素质教育提出要求教学不仅仅是传授知识更应以培养学生的实践能力与创新精神为重点，因此在教学这一方面教育创新成了重点,而将模型思想融入到中学数学的教学过程中正好实现了教育创新这一目标,由此可见将模型思想应用到教学中势在必行.2.相关概念界定2.1原型与模型在了解模型思想之前要先了解两个概念，即原型与模型.原型是现实生活中存在的实际事物，或者是人们所从事或研究的实际对象,而“模型”则是对客观事物本质属性的模拟，从而转化成相对定型的、模拟化、结构化的对象或问题[[]赵泽福、黄永.论数学思想之模型思想[J].赤峰学院学报（自然科学版）,2017,33(3):11-12.].简而言之就是根据实物原型,按比例、形态或者其他特征制成相似的事物.比如飞机模型、建筑模型.现如今模型已经从实物模型转变为包括非实物的形式模型,即由现实原型[]赵泽福、黄永.论数学思想之模型思想[J].赤峰学院学报（自然科学版）,2017,33(3):11-12.2.2数学模型数学模型就是使用数学符号、数学关系式来反映客观事物在空间和数量上的相关属性,从本质上讲是对对客观事物原型的刻画,.在不同版本的书籍中都对数学模型作了广义与侠义的解释,一般在中学教育阶段对数学模型都取侠义的解释,即数学模型是指使用字母、符号、数字来描述特定问题或具体实际事物关系的数学结构,是对客观事物原型的属性作出的一种简化而本质的表示,因此数学教学的根本思路就是原型与数学模型间的相互转化[NOTEREF_Ref108903].在建立模型的过程中需要注意的是所建立的模型要能准确的反映原型的本质属性以及变化规律.2.3模型思想对于模型思想是什么这个问题目前学术界还没有给出统一的解释,仅从教育的角度来解释数学思想的话它主要包括以下三方面:一是对数学内容、数学方法的本质认识;二是分析、处理以及解决数学问题的根本想法；三是对数学规律的理性认识.因此可以说数学思想就是数学教育中的核心概念,数学模型思想是数学思想的一个分支,它作为解决实际问题的重要思想方法之一,它在中学数学教学中具有非常重要的意义.那什么是模型思想呢?在课程标准中对于模型思想的解释是:在解决某类具体问题时能有意识地运用数学概念、数学原理以及数学方法来描述，解释，解决具体问题的思想.在学习过程中要掌握的模型思想就是，能根据所研究的客观对象本质与规律，首先能用恰当的数学语言将所研究对象的本质表述出来，其次能用相关的数学符号表示客观对象的规律，最后获得所研究对象的数学模型[[][]赵徐敏.模型思想在初中数学教学中的渗透[D].华中师范大学,2018:13-18.3.模型思想与三类教学的联系中学阶段的数学教学由以下三个方面构成:一是概念教学;二是命题教学;三是问题解决教学.其中数学概念是学习其它知识的基础，数学概念与数学命题在一起组成了高中数学的知识系统，数学概念与数学命题同时为问题解决的教学奠定坚实的基础吗，三个方面相辅相成缺一不可.3.1模型思想与概念教学概念是什么?是人脑对客观事物所存在的本质属性和特征的反映.列宁曾说过:“概念来自本质,而本质来自存在”，数学概念是客观事物的空间形式和数量关系本质属性的反映[[]濮安山.中学数学教学论[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2002.6：141-169.].数学概念主要形式是语词和符号,即它是由数学语言表述,再利用数学符号将其形式表示出来.中学数学阶段的数学概念大都有它的具体内容和现实原型,因此,在数学概念教学过程中教师基于概念产生背景创设相应的教学情境，启发学生对情境进行分析，经过教师对学生的启发和诱导，让学生对概念产生的背景进行数学抽象[]濮安山.中学数学教学论[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2002.6：141-169.3.2模型思想与命题教学什么是命题?在数学中对命题定义是能够用语言、符号或式子表达出来,并且可以判断真假的陈述句我们就称之为命题.喻平教授提出:“将数学公理、定理、法则、公式等内容的学习，称为命题学习”[[]叶忠.高中数学命题教学中数学情境导入的研究[]叶忠.高中数学命题教学中数学情境导入的研究[D].福建:福建师范大学,2015:8-11.3.3模型思想与问题解决教学在探讨问题解决教学之前,首先要了解什么是问题.大多数心理学家认为,任何问题都含有三个基本成分:一是给定的条件,二是要达到的目标,三是存在的限制或障碍.即当一个有机体有目标,但是在达到目标的过程中存在某些阻碍时就产生了问题.问题解决则是从问题的起始状态到目标状态的过程,在这一过程中要经历一系列有目的、有指向的认知操作活动.数学问题解决则是指学生在新的情境状态下,运用所掌握的数学知识对面临的问题采用新的策略和方法寻求问题答案的一种心理活动过程.问题解决的教学是教学工作的中心环节,这个过程是教师引导学生运用数学知识和进行思维活动的指导过程.模型思想方法是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法[[][]刘立立.高中数学问题解决教学设计研究[D].辽宁:辽宁师范大学,2011,1-2.4.模型思想在教学中的应用4.1模型思想在概念教学中的应用从教的角度来看,概念教学的中心工作是引导学生对客观事物进行抽象与概括活动.这就需要教师选择典型实例为载体,首先引导学生分析各实例的各种属性,舍弃一些非本质的属性、其次抽象出各实例所含有共同本质属性、最后进行归纳、概括从而得出数学概念[[][]章建跃,陶维林.注重学生思维参与和感悟的函数概念教学[J].数学通报,2019,48(6).因为函数概念所包含的思想和方法贯穿着整个高中课程阶段，所以可以说它是高中数学概念体系中最重要的核心概念之一.在初中阶段所学函数的概念是:在变化的过程中,对于变量,,在某一范围内的每一个确定值,在中都可以找到与其对应的值,由此得出是的函数,我们称为自变量,对应的为因变量.初中的函数是在“变量说”的基础上展开，与初中阶段不同的是高中阶段对于函数的概念是采用“对应说”的方式进行定义的.初中函数与高中函数的概念在本质上是相同的,都是研究两个变量之间的一种对应关系，但是高中阶段函数的概念包含的思想相比初中阶段所包含的思想而言更为深刻，“对应说”是对“变量说”继承、深化及发展.还有一点不同的是为了更加全面的认识函数,高中阶段引进了抽象符号来表示函数.可以说高中阶段的函数概念是以初中阶段的函数概念为原型而建立的数学模型.下面以函数概念的形成过程来展现在概念教学中渗透模型思想.实例1一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标.炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位:）随时间（单位:）变化的规律是.下面我演示一下炮弹飞行的轨迹.让学生思考以下两个问题：(1)时间的变化范围是多少？(2)高度的变化范围是多少?接下来同学们自己计算一下当时间分别等于、、的时候，它对应的高度多少？此时有几个高度与它对应？把这两个范围用集合表示出来，集合表示时间的变化范围,集合表示高度的变化范围，通过上面的计算可以发现、集合在其变量之间有着怎样的关系呢？这样做可以让学生认识到对于集合中的所以元素，在中都可以找到唯一确定的值来与之对应.换言之，对于数集中的任意一个时间，根据解析式，在数集中一定有唯一确定的高度与它对应.这样就可以从集合的角度描述例1中两个变量之间存在着的关系.在此基础上让学生小组分析例2和例3，让学生用集合之间的关系描述一下它们之间的关系.实例2在人类生活越来越丰富的同时,，大气层中的臭氧以极其快的速度减少，所以造成了臭氧层空洞的问题.我们可以从下面图1的曲线直观的看出南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的如何变化的.图1上图显示的就是南极上空臭氧层空洞面积在随着时间变化而变化的情况.请同学们来认真的观察这幅图上的信息.实例3我们用恩格尔系数来反映一个国家人民生活水平的高低，恩格尔系数越低，生活质量反而越高.根据下列图2中恩格尔系数随时间（年）变化的情况可以看出，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了明显的变化.“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况图2通过引导学生的观察可以发现在例2中，假设时间的变化范围用集合表示，（1979年到2001年.）面积的变化范围用表示，则对于数集中的任意一个数，根据图象可以发现在数集中都能找到一个唯一确定的面积与之对应.在例3中把时间的取值范围记作集合，把恩格尔系数的变化范围记作集合，在集合中任意一个时间，根据表格，在集合中都有唯一的恩格尔系数与之对应.总结三个例子可以发现它们的共同特征：都有两个非空数集,；两个数集之间都有一种确定的对应关系（对进行解释：就相当于一个桥梁，把两个集合联系起来了）；（3）对于数集中的任意一个数，在数集中都有唯一确定的一个数它对应.我们把满足以上共同特征的两个集合之间的对应就称为函数，并且表示为.对以上例子的共同特征抽象概括出函数的定义为：设、是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：为从集合到集合的一个函数，记作，其中叫自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与相对应的值叫做函数值，函数的值的集合叫做函数的值域.即函数的本质就是非空数集到非空数集的一个一一对应关系.整个函数概念的教学过程中,首先要通过丰富实例让学生了解函数是非空数集到非空数集的一一个对应，了解构成函数的基本三要素；然后让学生理解函数概念的本质，抽象的函数符号的意义；并且让学生经历函数概念的形成过程，让学生理解函数的本质就是非空数集到非空数集的一个一一对应关系.在过程中渗透模型思想,发展学生的抽象思维能力,通过经历以上过程，让学生体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型[[]李敏.在新课标下关于函数概念教学的探讨与研究[D].河南:河南师范大学,2014,4-9.].[]李敏.在新课标下关于函数概念教学的探讨与研究[D].河南:河南师范大学,2014,4-9.4.2模型思想在命题教学中的应用在数学中把命题定义为能用语言、符号、或式子表达出来并可以判断真假的陈述句就是命题.公式是属于数学命题的范畴，数学公式是利用符号来表示一类事物存在的普遍规律，因此教学过程中的重点应该是让学生理解公式是怎么得来的[[]叶彬彬.[]叶彬彬.高中数学命题教学研究及案例分析[D].辽宁:辽宁师范大学,2014,26-27.在学习直线与平面平行的判定定理之前,学生已经学习了根据直线与平面的交点情况将直线与平面的位置关系分为三种:第一种是直线与平面相交;第二种是直线与平面平行;第三种是直线在平面内.并且把第一种和第二种位置关系统称为直线在平面外,用符号表示为.现在要判断直线与平面的平行关系,思考一下,是否能直接用直线与平面平行的定义来判断直线与平面平行呢?这显然是不可行的,由于直线可以无限延长,平面也可以无限延展,所以不能准确地判断直线与平面之间是否存在公共点.基于此可以利用以下情景完成直线与平面平行的判定定理的学习.实例4如图3所示教师展示把一本笔记本平放在桌面上(展现实物模型)，翻动笔记本的封面，观察封面边缘所在直线与桌面所在的平面之间具有什么的位置关系？如图4所示现在若将封面的一角折起,这时封面边缘所在的直线与桌面所在的平面之间又存在什么样的位置关系呢?图3图4此时可以发现在在图3这一情况中封面边缘所在的直线与桌面所在的平面之间存在的位置关系是平行,在图4这一情况中直线封面边缘所在的直线与桌面所在的平面之间存在的位置关系是相交.于是我们就可以大胆的猜想,若平面外的一条直线与平面内的一直线平行,那么就说这条直线与该平面平行.接下来在我们得到的结论的基础上来证明这个结论：如图5所示已知平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，试证直线与平面平行．证明思路是:假设直线与平面不平行,则直线与平面之间必定存在一个交点,如果它们的交点在直线上,那么就与直线与直线平行矛盾.反之如果交点不在直线上,则与直线和直线成异面直线相矛盾.所以假设不成立,故直线与平面平行.图5于是可以肯定我们的猜想假设是成立的,也就可以得出直线与平面平行判定定理为:已知平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么该已知直线与这个平面平行.用数学语言表述出来即有:.在数学命题教学中,教师不能只是简单地把结论告诉学生,而应该从数学命题的内涵和特征,从学生的认知规律和知识的内在联系出发,利用情景与模型为载体.让学生在命题教学过程中体验到模型思想,积累有关经验和方法,为以后的数学学习打好基础.4.3模型思想在解决问题教学中的应用数学模型思想是在解决问题时，能自觉地运用数学知识对现实原型进行模型建构意识或观点[[]翟远.基于数学建模思想的初中数学应用题的教学研究[D].广西:广西师范大学,2019.19-31.].随着社会的发展,生活对科学技术提出了新的要求,以力学为中心,[]翟远.基于数学建模思想的初中数学应用题的教学研究[D].广西:广西师范大学,2019.19-31.[]段菁.高中数学中微积分的应用研究[D].西安:西北大学,2017.2-3.[13]李夏.宁夏少数民族地区初中生模型思想的应用分析——以函数模型为例[D].北京:中央民族大学,2016.[14]曹一鸣.中学数学课程标准与教材研究[M].北京:高等教育出版社,2017(2020.2重印).[15]张茹静.数学模型思想与中学数学应用教学之研究[D].陕西:陕西师范大学,2002:7-14.随着牛顿与莱布尼茨对微积分的研究,综合他们的研究成果共同创立了微积分并建立了计算积分和微分的算法.虽然此时他们对微积分的研究是十分浅显的，也存在许多不足的地方，但牛顿与莱布尼茨最成功的地方是把一些毫不相关的问题联系起来.从而建立了一个有效解决实际问题的模型，即微积分模型.下面以一个实例来体现微积分模型在解决问题中的优越性.例5在制作圆柱形的金属饮料罐时，若它容积一定,那么它的高与半径应该如何选择,才能使所用材料最省?分析:以上的问题中含有两个未知量即饮料罐的底面半径以及饮料罐的高,高中生根据已有的知识经验可以得出饮料罐的表面积