2024-2025学年江苏省南通市高二上学期开学第一次月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年江苏省南通市高二上学期开学第一次月考数学检测试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.若直线的倾斜角为，则（

）．A．0 B． C． D．不存在2.已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（

）A．B．C． D．3.已知直线：和直线：，则是“∥”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（

）A．B．C． D．5.设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（

）A．B．C． D．6.已知直线：与直线：交于点Px0,y0，则的最大值为（

）A．4 B．8 C．32 D．647.已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．8.数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一如图，给出下列三个结论：①曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3②曲线C恰好经过8个整点即横､纵坐标均为整数的点③曲线C上任意一点到原点的距离都不超过其中，所有正确结论的序号是（

）A．①② B．①③ C．③ D．①二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.对于直线.以下说法正确的有（

）A．的充要条件是B．当时，C．直线一定经过点D．点到直线的距离的最大值为510.设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（

）A．的取值范围为B．四边形面积的最小值为C．存在点使D．直线过定点11.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（

）A．若点，则B．若点，则在轴上存在点，使得C．若点，点在直线上，则的最小值是3D．若点在上，点在直线上，则的值可能是4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.圆与圆的位置关系为．13.经过两条直线与的交点，且在y轴上的截距是轴上的3倍的直线方程为.14.已知圆O：圆：，则下列结论正确的是．①无论k取何值，圆心始终在直线上；②若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为；③若圆O与圆的公共弦长为，则或；④与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程：（1）已知以点A−1,2为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于，当时，求直线的方程．（2）以为圆心的圆与圆相切，求圆的方程.16.已知直线.(1)求证：直线过定点；(2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围；(3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程.17.已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点，A、B异于原点(1)求证：的面积为定值．(2)设直线与圆交于点，，若，求圆的方程．(3)在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标.18.已知圆过点，且与圆关于直线对称．(1)判断圆与圆的位置关系，并说明理由；(2)过点作两条相异直线分别与相交于，．①若直线和直线互相垂直，求的最大值；②若直线和直线与轴分别交于点、，且，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由．19.某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，E为AB中点，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为．(1)若，AD足够长，机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？(2)若机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，应如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲。2024-2025学年江苏省南通市高二上学期开学第一次月考数学检测试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.若直线的倾斜角为，则（

）．【正确答案】CA．0 B． C． D．不存在2.已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（

）A．B．C． D．【正确答案】C【分析】直接将点的坐标代入检验即可逐一判断各个选项.【详解】对于A，，的坐标都不满足圆的方程，即圆不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意；对于B，，的坐标都不满足圆的方程，即圆不可能过四个点中的三个点，故B不符合题意；对于C，，，的坐标都满足圆的方程，的坐标不满足圆的方程，即圆过四个点中的三个点，故C符合题意；对于D，，的坐标都不满足圆的方程，即圆不可能过四个点中的三个点，故D不符合题意.故选：C.3.已知直线：和直线：，则是“∥”的（）A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B4.已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（

）A．B．C． D．【正确答案】D【分析】先将圆的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于的不等式组，解之即可得解.【详解】由题意得，圆的标准方程为，故，，又点在圆外，所以，，或，所以m的取值范围为．故选：D.5.设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【正确答案】A【分析】求得直线的斜率为，且恒过定点，求得，结合题意，求得或，即可求解.【详解】由直线，可得，可得直线的斜率为，且恒过定点，则，如图所示，要使得直线与线段有交点，则或，可得或，即实数的取值范围为.故选：A.6.已知直线：与直线：交于点Px0,y0，则的最大值为（

）A．4 B．8 C．32 D．64【正确答案】D【分析】首先根据已知条件得到直线恒过定点，直线恒过定点，且，根据交点Px0,y0得到点在以为直径的圆上，再利用点与圆的位置关系即可得到最值.【详解】由题知：直线恒过定点.直线化简为：，当时，x=6，直线恒过点.当时，直线的斜率不存在，直线的斜率，则.当时，，，，则.综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且.因为直线与直线交于点，所以点在以为直径的圆上，线段的中点坐标为，且，则其轨迹方程为（除点外），圆的半径，因为表示圆上的点到原点距离的平方，设，则，所以的最大值为64.故选：D.7.已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】设中点为C，由条件得出与的关系结合点到直线的距离解不等式即可.【详解】设中点为C，则，∵，∴，∴，∵，即，又∵直线与圆交于不同的两点，∴，故，则，.故选：C．8.数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一如图，给出下列三个结论：①曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3②曲线C恰好经过8个整点即横､纵坐标均为整数的点③曲线C上任意一点到原点的距离都不超过其中，所有正确结论的序号是（

）A．①② B．①③ C．③ D．①【正确答案】B【分析】①根据曲线特征，分别令，，分x轴上方，x轴下方，转化为与矩形和等腰三角形的面积比较；②将x换成-x，由方程不变，得到图形关于y轴对称，先得到，时，曲线经过的点即可；③由时，利用基本不等式求解.①由方程，令，得，令，得，如图所示：由图象可知：x轴上方，曲线C所围成的面积大于矩形ABCD的面积，，x轴下方，曲线C所围成的面积大于等腰三角形ABE的面积，，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于2+2=3，故正确；②由方程，将x换成-x，方程不变，所以图形关于y轴对称，令，得，即曲线C经过，当时，方程变为，由，解得，所以，此时，解得或，则曲线经过，再由对称性知，曲线经过，所以曲线一共经过6个整点，故错误；③当时，方程为，则，即（当且仅当时等号成立），所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过，故正确.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.对于直线.以下说法正确的有（

）A．的充要条件是B．当时，C．直线一定经过点D．点到直线的距离的最大值为5【正确答案】BD【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D.【详解】当时，解得或，当时，两直线为，符合题意；当时，两直线为，符合题意，故A错误；当时，两直线为，，所以，故B正确；直线即直线，故直线过定点，C错误；因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为，故D正确，故选：BD.10.设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（

）A．的取值范围为B．四边形面积的最小值为C．存在点使D．直线过定点【正确答案】ABD【分析】根据切线长公式即可求解A，B，C，设出点的坐标，求出以PC为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦的方程，将代入直线的方程恒成立，可得答案.【详解】圆心到直线的距离为，所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得，当时取等号，所以的取值范围为，所以A正确；因为，所以四边形面积等于，四边形面积的最小值为，故B正确；因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，方程无解，所以不存在点使，故C不正确；对于D，设，则，，以PC为直径的圆的圆心为，半径为，所以以PC为直径的圆的方程为，化简得，所以为圆与以PC为直径的圆的公共弦，联立可得，两式相减可得：，即直线的方程为，即，故直线过定点，故D正确；故选：ABD11.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（

）A．若点，则B．若点，则在轴上存在点，使得C．若点，点在直线上，则的最小值是3D．若点在上，点在直线上，则的值可能是4【正确答案】ACD【分析】利用“曼哈顿距离”的定义计算判断AD；结合绝对值的意义判断B；作出图形，借助几何意义求解判断C.【详解】对于A，由曼哈顿距离的定义知，A正确；对于B，设，则，B错误；对于C，作轴，交直线于，过作，垂足为，如图①所示：由曼哈顿距离的定义可知，而点，当不与重合时，由直线的斜率为，得，则；当与重合时，，于是，因此，C正确．对于D，如图②所示，取，，则，D正确．故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.圆与圆的位置关系为．【正确答案】外离13.经过两条直线与的交点，且在y轴上的截距是x轴上的3倍的直线方程为.【正确答案】或14.已知圆O：圆：，则下列结论正确的是．①无论k取何值，圆心始终在直线上；②若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为；③若圆O与圆的公共弦长为，则或；④与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为．【正确答案】①③④【分析】求出圆Ck的圆心坐标即可判断①；根据两圆有公共点的条件求出的范围即可判断②；求出公共弦所在直线方程，结合公共弦长和垂径定理求出的值即可判断③；根据的值求出圆的半径，利用两圆的半径求出外公切线长即可判断④.【详解】对于①，圆的圆心坐标为，在直线上，①正确；对于②，若圆O与圆有公共点，则，即，解得或，②错误；对于③，将圆O与圆的方程作差可得公共弦所在直线的方程为，则圆心O到该直线的距离，则，解得或，③正确；对于④，当时，圆心距为3，圆O与圆外切，半径差为1，则外公切线长为，④正确．故①③④四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程：（1）已知以点A−1,2为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于，当时，求直线的方程．（2）以为圆心的圆与圆相切，求圆的方程.【详解】（1）易知A−1,2到直线的距离为圆A半径r，所以，则圆A方程为过A做,由垂径定理可知，且，在中由勾股定理易知当动直线斜率不存在时，设直线的方程为，经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知，显然合题意，当动直线斜率存在时，过点，设方程为：，由A−1,2到距离为知得，代入解之可得，所以或为所求方程．（2）两圆的圆心之间的距离为.当两圆外切时，圆的半径为；当两圆内切时，圆的半径为.∴圆的方程为或.故或.16.已知直线.(1)求证：直线过定点；(2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围；(3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程.【详解】（1）由，即，则，解得，所以直线过定点；（2）如图所示，结合图像可知，当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立；当时，直线斜率存在，方程为，又直线不经过第二象限，则，解得；综上所述；（3）已知直线，且由题意知，令，得，得，令，得，得，则，所以当时，取最大值，此时直线的方程为，即.17.已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点，A、B异于原点(1)求证：的面积为定值．(2)设直线与圆交于点，，若，求圆的方程．(3)在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标.【详解】（1）由题意可得圆的方程为：，化简可得，与坐标轴的交点分别为：，，为定值.（2）如图所示，，原点在线段的垂直平分线上，设线段的中点为，则，，三点共线，又的斜率，，解得，又，所以，可得圆心，圆的方程为：；（3）如图所示，由（2）可知：圆心，半径，，设点关于直线的对称点为，则中点为，且，解得，即，则，又点到圆上点的最短距离为，则的最小值为，此时直线的方程为：，点为直线与直线的交点，则，解得，即点.18.已知圆过点，且与圆关于直线对称．(1)判断圆与圆的位置关系，并说明理由；(2)过点作两条相异直线分别与相交于，．①若直线和直线互相垂直，求的最大值；②若直线和直线与轴分别交于点、，且，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由．【详解】（1）由题可得圆圆心为，设圆心，则，解得，则圆的方程为，将点的坐标代入得，故圆的方程为，又两半径之和为，圆与圆外切．（2）方法一：令、即，为过点的两条弦，设、被圆所截得弦的中点分别为、，弦长分别为，，因为四边形是