（中考数学一轮复习）第21章 一元二次方程 同步学案

21.1一元二次方程

21.1.1一元二次方程

[■概念课」一元二次方程的定义

学习目标

□理解并掌握一元二次方程的定义

引导问题1什么是一元二次方程？你能举出一个例子吗？

1.形如f+3x=18的，等号两边都是,只含有个未知数，并且未知数的

最高次数是的方程，叫做一元二次方程.

2.请举一个视频中未出现的一元二次方程的例子.

3.f+1是一元二次方程吗？________,原因是_________________________.

2x

引导问题2判断一元二次方程有哪些注意事项？

判断一元二次方程时，首先要进行.

4.X(X+2)="2—4是一元二次方程吗？,原因是.

5.①法+。=0是关于x的一元二次方程的条件是,二次项的系数不能为

②(m—3)V+3x=6是关于x的一元二次方程的条件是

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「概念课」方程的一般形式

学习目标

□理解一元二次方程的一般形式

□学会将一元二次方程整理成一般形式

引导问题1什么是一元二次方程的一般式？

1.就是一元二次方程的.其中二次项是,一次项是

,常数项是.

2.二次项系数。=5,一次项系数b=-2,常数项c=-l的一元二次方程是

3.《炉+9=0的二次项系数是______,一次项系数是________，常数项是________.

2

引导问题2如何将一个一元二次方程整理成一般形式？

整理方法与解一元一次方程类似，包含去分母、去括号、移项、合并同类项等，结果中等号

左边要按x的(填写“升嘉”或“降幕”)排列

①将5-3x=-2x2化为一般式，得.

②将x(x-2)=4x2-3x化为一般式，得.

x~r+1-x—1

③将彳一一丁二一^化为一般式，得________________________.

322

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录卜来:

「概念课」一元二次方程的解

学习目标

□学会应用一元二次方程的解

引导问题1什么是一元二次方程的解？

1.使一元二次方程左右两边相等的的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方

程的解也叫做一元二次方程的.

2.一元二次方程的解既有可能是，也有可能是,它们统称方程的

3.括号中的哪些数是方程/一工=0的解？（-1；0；1；2）.它们叫做方程的

引导问题2一元二次方程的根有哪些应用？

4.关于x的方程V一小+4=0的一个根是2,帆的值是多少？

第一步：把根带入原方程.

第二步：解新方程.

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录卜来:

21.2解一元二次方程

21.2.1配方法

「概念课」直接开平方法

学习目标

□理解并掌握用直接开平方法解一元二次方程

引导问题1如何解简单的一元二次方程？

①已知炉=25,则工=；

②已知(X+1)2=9,如X=?

1.在解一元二次方程的过程中，尢论哪种方法都会用到的转化思想，降低了

的次数，也就降低了解方程的难度.

引导问题2什么是直接开平方法？

2.一般地，运用的定义直接开平方求出一元二次方程的解的方法，叫做直接开平

方法.

3.具体方法是将方程整理成(厩+匕)2=。的形式.

①(⑪+力丫=正数，贝］方程.

②(然+匕了=0,则方程.

+))2=负数，贝j方程.

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「概念课」配完全平方

学习目标

□能够运用完全平方公式配完全平方

引导问题1如何配完全平方式？

1.我们曾经学过的完全平方公式：,它有另一种写法：

22

x±2bx+b=(x±bff表示x的二次项系数为的完全平方式，b表示

.配完全平方式(简称：)主要是根据这个式子进行的.

2.将横线中填入数字使式子变成完全平方式.

(Dx2+2x+=(x)2；(2)X2+8X+=(x)2；

③f-6x+=(x)2.

引导问题2配完全平方式有什么规律？

3.在未知数的二次项系数为1时，配方所需的常数项是,写在完

全平方括号里的数是.二次项系数不为1时要先将二次项

,再按上面的步骤配方.

4.将横线中填入数字使式子变成完全平方式.

(Dx2-—|x)；(Dx2++=(x);

(3)X2-6X+=(x)2.

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「概念课」配方法

学习目标

□理解并掌握用配方法解一元二次方程

引导问题1如何用配方法解一元二次方程？

1.解方程2X2+X-8=0.

第一步：移项.将方程中原有的常数项移到等号右边.

得：

第二步：系数化一.将项系数化一.

得：

第三步：配方.运用配方法将等号左边变成+的形式.

得：

第四步：开方.运用平方根的定义求出方程的根.

得：

2.运用上面的步骤解方程4炉+20x+25=0.

移项.

系数化一.

配方.

开方.

3.根据配方后等号右边的情况判断根的个数.

(1+右丫=正

(x+Z>)2=0

(x+/?y=负

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

21.2.2公式法

「概念课」推导求根公式

学习目标

□理解并掌握一元二次方程求根公式的推导过程

引导问题1什么是一元二次方程的求根公式？

1.将方程化为一般形式（々W0）,将a,b,c代入式子不=

得到方程的根，这个式子就叫做一元二次方程的求根公式.

引导问题2如何推导一元二次方程的求根公式？

2.求根公式是由一元二次方程的一般式经过法得到的.

3.给ar2+Z?x+c=O（aHO）配方：

第一步：移项.得：ax2+bx=.

第二步：系数化一.得：x2+=.

第三步：配方.得：

当〃-4acN0时

第四步：开方.得：

4.把方程2f+5_r-3=0中适当的系数代入求根公式，得玉=,x2=

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「概念课」根的判别式

学习目标

□会使用根的判别式判断方程根的情况

引导问题1什么是根的判别式？

1.求根公式工=中，根号下面的式子，叫做根的判别式，用希腊

字母表示.

引导问题2如何用根的判别式判断根的情况?

2.A的值与方程根的情况有什么关系？

方程A与0比在2a中根的情况

x2+x+l=0

x2+2x+l=0

X2+2X-1=0

3.方程f—7x+100=0的根的情况是.

引导问题3根的判别式有哪些应用？

4.关于x的一元二次方程依2-6工+1=0伏工0）有两个不相等的实数根，求攵的取值范围.

由题意得A=_______=_>0,解得.攵的取值范围是

5.方程中的。与c异号，根的情况为.

方程A=若根的命运

A<0

ar2+fex+c=0（4w0）A=0

A>0

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「概念课」公式法

学习目标

□理解并掌握用公式法解一元二次方程

引导问题1如何用公式法解一元二次方程？(00:00-04:29)

1.用公式法解方程：2/—44-1=0.

第一步：确定a,b,(•的值.得々=,b=,c=.

第二步：代入判别式.得△=〃-4ac==,A0.

第三步：代入求根公式.若ANO,代入求根公式求得实数根；若A<0,方程没有实数

根.得：

引导问题2什么样的一元二次方程适合用公式法求解?

2.①无法进行因式分解的方程.

②二次项系数不为,配方时较麻烦的方程.

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「解题课」判断方程解的情况

能力目标

□判断含参方程解的情况

拔高练习

I.k为任意实数，判断关于x的方程的解的情况：（2k+2）x+2%=0.

攻略

1.计算判别式A

2.和o比大小

।3

2.W为任意实数，判断关于X的方程+；m2+1+9=0的解的情况.

222

攻略

L计算判别式A

2.和o比大小

3.若5女+20<0,判断关于x的一元二次方程f+4x-A=0的解的情况.

攻略

I.计匏判别式A

2.和0比大小

4.%为任意实数，判断关于X的方程一（34一1卜+2（左一1）=0的解的情况.

攻略

I.计算判别式A

2.和0比大小

「解题课」根据解的情况求参数

能力目标

□会用判别式求参数的取值范围

拔高练习

1.已知关于X的一元二次方程/+2工一〃=0有两个不相等的实数根，求攻略

1.分析解的情况

々的取值范围.2得到判别式与

o的大小

3.解方程/不等式

2.已知关于X的一元二次方程f+2x—4=0有两个相等的实数根，求a求参数

的取值范闱.

3.已知关于x的一元二次方程d+2x—a=0无实数根，求a的取值范围.

4.已知关于x的一元二次方程％2-（4帆+1）3+3m2+m=。有实数根，求

攻略

利的取值范围.

1.分析解的情况

2.得到判别式与

0的大小

3.解方程/不等式

求参数

关于x的方程/+（l+：）x+*=（）有两个不相等的实数根，求女的取

值范围.

「解题课」分类讨论解的情况

能力目标

□会用判别式求参数值

□会分类讨论二次项系数

拔高练习

I.如果关于X的方程一(6+2)]+1=0有两个实数根，求利的取值范围.

攻略

讨论二次项系数

是否为0

2.已知关于x的方程H2+(2A+3)X+(A+1)=0,则k取何值时：①方程有两个不等的实

数根？②方程有两个实数根？③方程没有实数根？④方程有实数根?攻略

i.讨论二次项系

数是否为0

2.利用解的情况

得出判别式符

21.2.3因式分解法

「概念课」因式分解法

学习目标

□理解并掌握用因式分解法解一元二次方程

引导问题1什么是因式分解法？

1.解一元二次方程时，先,使方程化为两个一次式的乘积等于的形式，

再使这两个一次式分别等于,从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做

因式分解法.并不是所有一元二次方程都能用因式分解法.

2.用因式分解法解方程7/-2Ax=0.

第一步：因式分解.将所有项移到等号左边，使等号右边得0.提出公因式,

得：

第二步：让两个因式分别等于0.得：

第三步：得出结果.得：

3.按上面的步骤解方程X2+5X=O.

引导问题2因式分解的方法有哪些？

4.除了提公因式，还可以运用方法和、公式进行因式分解.

5.用因式分解法解方程：①d—i6x+60=0；(Z)2X2-13X-15=O.

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「解题课」活用降次解方程

能力目标

□会运用“先特殊后一般”的方法解方程

拔高练习

1.解方程/-53+6=0.

攻略

先特殊,后一般

1.特殊方法

2.解方程%2一5%-1=0.直接开平方法

因式分解法

2.一股方法

配方法

公式法

3.解方程-8)=-16.

4.解方程2x(x+7)=3(x+7).

5.解方程x(x—5)=6x+12.

「解题课」解含参方程

能力目标

□学会用公式法解含参方程

□学会用因式分解法解含参方程

拔高练习

I.解关于X的方程：

攻略

解含参方程

1.系数、常数项

为单项式：

公式法

2.系数与常数

2.解关于x的方程：x2-2mx-n2=0（/n>w>0）.项为多项式：

因式分解法

3.解关于x的方程：％2+（利+2）久+2机=0.

4.解关于工的方程：x2+（2/w-l）x+/w2-m=0.

5.解关于x的方程：（加十2）/+2x—m=0（〃7工一2）

6.解关于X的方程：伏2一1卜2―2"+1=0（2W±1）.

「解题课」分类讨论解含参方程

能力目标

□会分类讨论解关于X的方程：ar2+bx+c=O

拔高练习

1.解关于式的方程（4+1）/+（34-1）3+2左一2=0.

攻略

।.确定二次项系数

是否为o

2.为。：

解一元一次方程

不为o；

解一元二次方程

2.解关于文的方程（公+（2左-3）1-15=0.

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

「概念课」根与系数的关系

学习目标

□理解并掌握韦达定理

引导问题1根与系数的关系是什么？什么是韦达定理？

1.如果王，X2是方程以，+瓜+。=0(々。0)的两个根，那么X]+%2=，

.这两个关系式称为一元二次方程的根与系数的关系，被人们称为韦达定理.

引导问题2如何推导韦达定理？

八g八八一3-b+\!b2-4ac-b-—4

2.求根公式可得：$=------------,x=----------------

2a22a

-b+>Jb2-4ac-b-y/b2-4ac

3.%1♦x2

-b+yjb1-4ac)(-/?-J。2-4ac

“2二--------------V-----------------------=——

$X?=-------------=-------------

引导问题3韦达定理有什么应用？

下列方程的解为阳，求芭+々和修，%的值.

4.x2,

(1)x2-2015x+1024=0；(2)2x2-12x+28=3.

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「解题课」利用韦达定理求值

能力目标

□会运用韦达定理求值

拔高练习

1.已知方程了2-3%一5=0的两个根为2，x2,求下列式子的值：

①xj+x??；（2）—3）（4X2—3）；③'+-!-；@—+—；0|x]-x2\.

攻略

韦达定理

i.先变形

把要求式子凑出

或

石演

2,再整体代入

「解题识」利用韦达定理求值进阶

能力目标

□学会先降次，再使用韦达定理

1.已知方程丁一3工一5=0的两个根为项，x2,求呼+勾的值.

2.已知西，”2是方程V+X—3=0的两个根，求用3—4々2+19的值.

21.3.1实际问题与一元二次方程

「概念课」递增递减问题

学习目标

□能够用一元二次方程解决增长(降低)率问题

引导问题1列方程解应用题的基本步骤是什么？(00:00-00:48)

1.列方程解应用题分为六步、、、、、.

引导问题2什么是递增递减问题？如何解决递增递减问题？(00:48・06:27)

2.递增递减问题通常是：在一段时间内，一个数量按的速率增长或减小，已知变

化前后的数量.求率或率.

3.最近几年智能手机的普及率稳步提高.小李他们家所在的区，两年前有8万人使用智能手

机，今年有15.68万人使用，每年增长率不变，求每年的增长率是百分之多少？

第一步：审题.看清题H已知和要求的量.

第二步：设X.设为X.

第三步：列方程.

第四步：解方程.

第五步：验根.按实际情况验根.

第六步：答题.

4.使用座机电话的人越来越少，小李家所在的区两年前有20万户人家有座机，今年只有

18.05万户了，每年减少率不变，求每年的减少率是百分之多少？

5.递增递减问题可以总结出一个一般公式：现有量=x(l±)2.

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记曼下来:

「概念课」薄利多销问题

学习目标

□能够用一元二次方程解决销售利润问题

引导问题1什么是薄利多销问题？如何解决薄利多销问题？

1.薄利多销问题通常是：一种商品按现在的价钱能卖一部分，但______销售能卖得更

多.尽管单个商品利润少了一些，但_______会提高.不过如果降价过多，________也

会下降.

2.一款耳机卖一副的利润是150元，现在每月销量60副.市场调查发现，每降价1元，平

均每月可多卖出1.2副，厂商要求最多降价70元.问要让每月总利润达到10920元，需

要降价多少？

第一步：审题.总利润=x.

调价后总利润=（原利润-）x（+多卖的）.

第二步：设X.设为X.

第三步：列方程.

第四步：解方程.

第五步：验根.按实际情况验根.

第六步：答题.

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「概念课」图案面积问题

学习目标

□能够用一元二次方程解决面积问题

引导问题1什么是图案面积问题？如何解决图案面积问题？

1.图案面积问题通常是：一个长方形，求它的面积.由于种种原因，这个长方形不是完整

的，会被各种间隔隔开，所以要先求出间隔的,才能解决问题.

2.智能手机的主页面上排列着很多应用软件.比如一款智能手机的主页面上最多可以放24

个应用，每行4个，共6行.为了美观和实用，行与行之间，列与列之间和屏幕四个边缘,

都要留出空当.空当的宽度都相等.如果屏幕长100亳米，宽60亳米,

空当要设定成多宽才能把屏幕总面积的60%留给应用呢？

第一步：审题.将间隔都放在一起，应用都放在一起.

第二步：设X.设为X.

第三步：列方程.

第四步：解方程.

第五步：验根.按实际情况验根.

第六步：答题.□

提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来:

「解题课」用韦达定理反求方程

能力目标

□会用韦达定理构造方程

拔高练习

I.已知一个一元二次方程的两个根为％=-2,电=5,写出一个满足要求的方程.

2.已知一个一元二次方程的两个根为％=3+,%=3-77,写出一个满足要求的方程.

「解题课」用韦达定理求参数

能力目标

□会利用韦达定理列方程

□会解含参方程组

□掌握降次法

拔高练习

1.已知关于X的方程丁+4工+。=0有两个实数根X、出，且2为-电=7,求实数a的值.

3

2.已知为、“2是关于X的方程4/一（3机一5）工一6根2=0的两个实数根，且％=-512,

求利的值.

3.设左为实数，关于x的一元二次方程/+衣+%+1=0的两个实根分别为阳、%2,且

2

X]+2X2=k,求力的值.

「解题课」二次方程与代数式求值

能力目标

□会根据已知解求参数

□会通过直接代入法、整体法或降次求值

拔高练习

I.已知0是关于X的二次方程（加一2）*2+3%+m2+26一8=0的解，求I嬴

।.直接代入

2.整体法

代数式~;的值.

m~一2m+13.降次

已知x=1是关于x的一元二次方程x2-4mx+m2=0的根，求代数式

2Mm_2）-（愣+6）（机-6）的值.

3.已知a是方程f-3x+l=0的一个解，求"一。2一5。+8的值.

「解题课」二次方程的整数解

能力目标

□会根据整数解求参数

拔高练习

1.己知关于X的方程如2+（3w+1卜+3=0有两个整数解，求整数机.

攻略