2023年四川省中考数学真题附答案解析

2023年四川省中考数学真题（附答案解析）

（满分：120分；考试时间：120分钟）

学校:___________班级：姓名：考号：

注意事项：

1.本试卷分为试题卷（1・4页）和答题卡两部分.考试时间120分钟，满分120分.

2.考生答题前，请先将姓名、准考证号等信息用黑色墨迹签字笔填写在答题卡上的指定位

置，待监考教师粘贴条形码后，认真核对条形码上的姓名、准考证号与自己准考证上的信息

是否一致.

3.请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上的相应位置，非选择题答案用黑色墨迹签字笔

答在答题卡上的相应位置.超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；

作图题应先用铅笔画，确定不修改后，再用黑色墨迹签字笔描黑.

4.考试结束，监考人员必须将参考学生和缺考学生的答题卡、试题卷一并收回.

一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡相应位置上.本大

题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.-6的绝对值是（）

11

A.-6B.6C.--D.一

66

【答案】B

【解析】在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.

【详解】负数的绝对值等于它的相反数，所以-6的绝对值是6.

故选：B.

2.下列运算中正确的是（）

A.a2-^-a4=aeB.3a3-4a2=i2a6C.（加+域=4/D.（~2ab2）3=-8aV

【答案】D

【解析】根据合并同类项、同底数鼎的乘法、完全平方公式、积的乘方与基的乘方法则逐项判断即可得.

【详解】解：A、/与/不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意：

B、3〃3.4。2=12。"则此项错误，不符合题意;

C、（%+6）2=4/+4。人+/,则此项错误，不符合题意;

D、（―2。/）3=_8。3"，则此项正确,符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了合并问类项、同底数帚的乘法、完全平方公式、积的乘方与事的乘方，熟练掌握各运

算法则是解题关键.

3.2023年以来，广安市全面落实市委、市政府关于促进消费的各项政策措施，积极优化消费运行环境，消

费加速回升.1-2月，全市实现社会消费品总额116亿元，同比增长10.8%.请将116亿用科学记数法表

示（）

A.1.I6X109B.1.16x10'°C.1.16x10"D.116xl08

【答案】B

【解析】根据科学记数法的定义即可得.

【详解】解：116亿=1.16x102x1（）8=1,16x1010

故选：B.

【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成ax10〃的形式，其中

1<|a|<10,"为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键.确定〃的值时要看把原数变成

。时小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.

4.如图，由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（）

【答案】B

【解析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得.

【详解】解：这个几何体的俯视图是：

故选：B.

【点睛】本题考查了俯视图，熟练掌握俯视图定义是解题关键.

5.下列说法正确的是（）

A.三角形的一个外角等于两个内角的和

B.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

C.在一组数据11,9,7,8,6,8,12,8中众数和中位数都是8

D.甲乙两组各10名同学参加“安全知识竞赛”，若两组同学的平均成绩相同，甲组的方差Sj=0.25,

乙组的方差S]=0.15，则甲组同学的成绩比乙组同学的成绩稳定

【答窠】C

【解析】根据三角形的外角定理，正方形的判定，众数和中位数的定义，方差的意义判断即可.

【详解】解：A.三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和，故选项A错误；

B.要加上“对角线互相平分”这个条件，故选项B错误；

C.这列数据从小到大排列为6,7,8,8,8,9,11,12

8出现了3次，故众数是8,中位数是詈=8

故选项C正确；

D.方差越小，数据越稳定，故选项D错误.

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的外角定理，正方形的判定，众数和中位数的定义，方差的意义等知识，本题

的关键是熟练掌握这些知识点，并能灵活运用.

6.已知b,c为常数，点P（ac）在第四象限，则关于x的一元二次方程改2+法+c的根的情况为

（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.无法判定

【答案】B

【解析】根据点尸（。c）在第四象限，得出ac<0,进而根据一元二次方程根的判别式A=〃—4ac>0,

即可求解.

【详解】解：•，•点P（〃，c）在第四象限

:.a>0fc<0

/.ac<0

2510251025102510

A.——-------B.——-------C.-------——D.-------——

x3%-0.1x3x+0.13x+0.1x3x-0.1x

【答窠】D

【解析】先求出燃油汽车每千米所需的费用为（3x-0.1）元，再根据函数图象可得燃油汽车所需费用为25元

时与燃气汽车所需费用为10元时所行驶的路程相等，据此列出方程即可得.

【详解】解：由题意得：燃油汽车每千米所需的费用为（3%-0.1）元

由函数图象可知，燃油汽车所需费用为25元时与燃气汽车所需费用为10元时所行驶的路程相等

则可列方程为c25

3x-0.1x

故选：D.

【点睛】本题考查了列分式方程、函数图象，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键.

9.如图，在等腰直角中乙4。8=90。,从。=3。=2>/1,以点A为圆心，4C为半径画弧，交

AB于点E，以点8为圆心，为半径画弧，交43于点尸，则图中阴影部分的面积是（）

A兀一2B.2TI—2C.27r—4D.4兀-4

【答案】C

【解析】先利用扇形的面积公式求出扇形ACE和扇形Bb的面积，再减去“8C的面积即可得.

【详解】解：-他。是等腰直角三角形

\NA=?B45?

•:AC=BC=2近

・••图中阴影部分的面积是S扇形AC£+S扇形SCF.ABC

45乳X（20）45KX（2\/2）I

丁（Z2加卜X（Z2旬X

=2兀-4

故选：C.

【点睛】本题考查了扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键.

10.如图所示，二次函数y=办?+展+以々、b、c,为常数，〃工0）的图象与1轴交于点

A（-3,0）,B（1,0）.有下列结论：①出（>0；②若点（一2,乂）和（-0.5,%）均在抛物线上，则凹<当；

③5。-6+。=0；④4a+c>0.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与“轴交点问题逐项分析判断即可.

【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与y轴正半轴交于一点

/.a<0c>0.

:.b<0.

abc>0.

故①正确.

A（-3,0）,8（1,0）是关于二次函数对称釉对称

「.（-2,yj在对称轴的左边，（-0.5,%）在对称轴的右边，如图所示

故②正确.

・•图象与X轴交于点A(—3,0),3(1,0)

/.9«-3Z?+c=0a-b+c=0.

「.lOa-4b+2c=0.

:.5a-2b-^c=0.

故③不正确.

2a

:.b=2a.

当x=l时y=0

:.a+b^-c=O.

.,.3a+c=0

:.c=-3a

..4a-^-c=4a-3a=a<0.

故④不正确.

综上所述，正确的有①②.

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以

及与）'轴交点.

二、填空题（请把曩简答案填写在答朗卡相应位置.本大题共6个小题，每小题3分，共18

分）

11.而的平方根是.

【答窠】±2

【解析】

【详解】解：〈J记=4

:.灰的平方根是±2.

故答案为±2.

12.谑数y=正序中自变量x的取值范围是.

【答案】x2-2且xWl

【解析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论.

x+2>0

【详解】解：由题意可得《।八

x-1^0

解得x2-2且xWl

故答案为：x2-2且x#l.

【点睛】此遨考查的是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题

的关键.

13.定义一种新运算：对于两个非零实数。、b,〃※匕=2+=若2※(-2)=1,贝乂-3)派3的值是

ab

【答案】

3

【解析】先根据2※(-2)=1可得一个关于的等式，再根据新运算的定义代入计算即可得.

【详解】解：・.・2※(一2)=1

—=1,即x-v=2

2-2

...(_3怦3=二+』=-02

''-3333

故答案为：一；.

3

【点情】本题考查了新定义下的实数运算、代数式求值，理解新运算的定义是解题关键.

14.如图，“3C内接于OO,圆的半径为7,N84C=60。则弦8C的长度为

BC

【答案】7G

【解析】连接。区OC,过点。作OD1BC于点D,先根据圆周角定理可得N3OC=2NR4C=120°,再

根据等腰三角形的三线合一可得N3QD=60。，8c=28。然后解直角三角形可得3。的长，由此即可得.

【详解】解：如图，连接。民OC,过点。作。£>±BC于息D

.\ZBOC=2ZBAC=\20°

QOB=OC,O"BC

Z.BOD=-NBOC=60°BC=2BD

2

•・•圆的半径为7

:.OB=1

:.BD=OBsin6（）o=-6

2

BC=2BD=7y/3

故答案为：7道.

【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三线合一，熟练掌握圆周角定理和解直角

三角形的方法是解题关键.

15.如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，

此时一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点占处，则蚂蚁从外壁3处到内壁A

处所走的最短路程为cm.（杯壁厚度不计）

【解析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作3关于成的对称点3',根据两点之间线段最短可知A8'

的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得.

【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作8关于放的对称点8',作B'O_LA£，交AE延长线于点

D,连接A&

由题意得：DE=g33'=lcm,AE=9-4=5(cm)

AD=AE+DE=6cm

,:底面周长为16cm

,=—x16=8(cm)

AB=dAD'B'D?=10cm

由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为ABr=10cm

故答案为：10.

【点睛】本题考查了平面展开一-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是

解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.

在平面宜角坐标系中点、、人、•在轴的正半轴上，点四、与、在直线

16.4A2A4xBy

上，若点的坐标为且旦、△&&&、均为等边三角

y=A(2,0),43At…

形.则点与023的纵坐标为.

【解析】过点A作轴，交直线y=*x(x20)于点M,过点用作与C_Lx轴于点C,先求出

NAOM=30。，再根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得A4=OA=2,然后解直角三角形可

得用。的长，即可得点用的纵坐标，同样的方法分别求出点员,用,4的纵坐标，最后归纳类推出一般规律,

由此即可得.

【详解】解：如图，过点儿作AM_Lx轴，交直线丁=日上（工之0）于点M,过点用作4C_Lx轴于点

C

当％=2时y=苧，即M（2，¥）A，M=¥

=^-=—

4。3

=30°

•••△4片人是等边三角形

。，与

NA2ABi=60442=4

.\ZOB,A,=30。=幺。〃

44=0A=2

4C=A4•sin60。=2x弓，即点用的纵坐标为2x1

同理可得：点B,的纵坐标为2?x立

2

点名的纵坐标为23x3

2

点鸟的纵坐标为2“x且

2

归纳类推得：点纥的纵坐标为2"x立=2~6（〃为正整数）

2

则点/23纵坐标为220237b=22°226

故答案为：评日

【点睛】本题考查了点坐标的规律探索、等边三角形的性质、正比例函数的应用、解直角三角形等知识

点，正确归纳类推出一般规律是解题关键.

三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）

17.计算：一12°24+（—孝）-2cos60°+|x/5-3|

【答案】2-石

【解析】先计算有理数的乘方、零指数累、特殊角的余弦值、化简绝对值，再计算乘法与加减法即可得.

1厂

【详解】解：原式=-1+1-2乂一+3-。5

2

=-1+3-5/5

2-非.

【点睛】本题考查了零指数累、特殊角的余弦值、实数的混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键.

18.先化简4-。+1，」再从不等式—2vav3中选择一个适当的整数，代入求值.

（4+1）/+2々+1

【答案】」二，选择4=。，式子的值为-1（或选择。=2,式子的值为1）

a-\

【解析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件选择适当的。的值，代

入计算即可得.

【详解】解:原式=

a+\。+1(4+1)2

_'a2("+1)2

、4+1tz+1J(4+1)(〃-1)

1a+l

a+la-\

1

~~a^l

va+1^0。一1工0

・・・一2＜。＜3,且。为整数

，选择。=0代入得：原式=;7二二一1

选择a=2代入得：原式=—!—=1.

2-1

【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键.

19.如图，在四边形A5CD中AC与B。交于点OF1AC垂足分别为点区F,且

AF=CE,ZBAC=ZDCA.求证：四边形48co是平行四边形.

【答案】见详解

【解析】先证明44砂乌人。尸。65人)，再证明AB=CDyAB//CD，再由平行四边形的判定即可得出结

论.

【详解】证明：・「3石_14。DF1AC

.\ZAEB=ZCFD=900

・・・AF=CE,AE=AF-EF,CF=CE-EF,

AE=CF,

又・.284。=/£＞04

:：AEBACFD(ASA)

:.AB=CD

•:ZBAC=ZACD

AB//CD

四边形ABC。是平行四边形.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，

证明三角形全等是解题的关键.

9

20.如图，一次函数丁=履+—(女为常数，女工0)的图象与反比例函数>m(而为常数，加工0)的图

4x

象在第一象限交于点4("),与x轴交于点5(-3,0).

(1)求一次函数和反比例函数的解析式.

(2)点尸在X轴上，,A3尸是以A8为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标.

393

【答案】(1)一次函数的解析式为y=-x+一,反比例函数的解析式为

44V

(2)(-&0)或(2,0)或(5,0)

【解析】(1)根据待定系数法，把已知点代入再解方程即可得出答案;

(2)首先利用勾股定理求出得A3的长，再分两种情形讨论即可.

【小问1详解】

o

解：把点8(-3,0)代入一次函数)，="+—得

9

一3&「=0,

4

3

解得：

39

故一次函数的解析式为y=一工+—

44

3939

把点代入y=+1,得〃=一十—=3

44

.\A(1,3)

把点A(L3)代入y=生，得加=3

x

3

故反比例函数的解析式为y=3：

X

【小问2详解】

解：B(-3,0)A(l,3)AB=5

当AB=依=5时P(-8,0)或(2,0)

当时点R8关于直线工=1对称

二.P(5,0)

综上所述：点P的坐标为（-8,0）或（2,0）或（5,0）.

【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰三角形的性质等知识,

运用分类思想是解题的关键.

四、实践应用题（本大题共4个小题，第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30

分）

21.“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，8绘画，C舞蹈，。跆拳道四类兴

趣班.为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行7问卷调查，并将调查结果整

理后绘制成两幅不完整的统计图.请根据统计图信息回答下列问题.

___________人.

（2）请将以上尊个统计图补充完整.

（3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A,B,C,。四类兴趣班中随机选取一类，请用

画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率.

【答案】（1）60,300（2）见解析（3）-

4

【解析】（1）根据喜欢绘画的条形统计图和扇形统计图信息即可得本次抽取调查学生的总人数，再利用3000

乘以喜欢跆拳道的学生所占百分比即可得；

（2）先求出喜欢书法的学生人数，据此补全条形统计图，再求出喜欢舞蹈和跆拳道的学生所占百分比，据

此补全扇形统计图即可•得；

（3）先画出树状图，从而可得甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果，再找出两人恰好选择

同一类的结果，然后利用概率公式计算即可得.

【小问1详解】

解：本次抽取调查学生的总人数为18・30%=60（人）

估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为3000乂一二300（人）

60

故答案为：60,300.

【小问2详解】

解：喜欢书法的学生人数人60x35%=21（人）

喜欢舞蹈的学生所占百分比为二xl00%=25%

60

喜欢跆拳道的学生所占百分比为100%=10%.

60

则补全两个统计图如下：

娄

攵

24

21

18

15

12

9【小问3详解】

6

3

0

解：由题意，画树状图如下:

开始

由图可知，甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果共有16种，其中两人恰好选择同一类的

结果有4种

41

则两人恰好选择同一类的概率为P=—=~

164

答：两人恰好选择同一类的概率为!.

【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图和扇形统计图、利用列举法求概

率，熟练掌握统计调查的相关知识和列举法是解题关键.

22.“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售48两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱A种盐皮蛋

和6箱4种盐皮蛋共需390元；若购买5箱A种盐皮蛋和8箱8种盐皮蛋共需310元.

（1）A种盐皮蛋、3种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？

（2）若某公司购买43两种盐皮蛋共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过8种的2

倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用.

【答案】（1）A种盐皮蛋每箱价格30元，8种盐皮蛋每箱价格是20元

（2）购买A种盐皮蛋18箱，8种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元

【解析】（1）设A种盐皮蛋每箱价格是“元，B种盐皮蛋每箱价格是元，根据题意建立方程组，解方程组

即可得：

（2）设购买A种盐皮蛋加箱，则购买5种盐皮蛋（30-m）箱，根据题意建立不等式组，解不等式组可得相

的取值范围，再结合加为正整数可得加所有可能的取值，然后根据（1）的结果逐个计算总费用，找出总费

用最少的购买方案即可.

【小问1详解】

解：设A种盐皮蛋每箱价格是x元，8种盐皮蛋每箱价格是元

9x+6y=390

由题意得：

5x+8y=310

x=30

解得《

y=20

答：A种盐皮蛋每箱价格是30元，8种盐皮蛋每箱价格是20元.

【小问2详解】

解：设购买A种盐皮蛋/箱，则购买B种盐皮蛋（30一6）箱

购买A种的数量至少比A种的数量多5箱，又不超过8种的2倍

|/w-（30-w）＞5

jmW2（30-机）

解得卫工小W20

又旭为正整数

）所有可能的取值为18,19,20

①当加=18,30—帆=12时购买总费用为30x18+20x12=780（元）

②当加=19,30—6=11时购买总费用为30x19+20x11=790（元）

③当旭二20,30—根=10时购买总费用为30x20+20x10=800（元）

所以购买A种盐皮蛋18箱，〃种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解

题关键.

23.为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊

ABDE，并沿湖泊修建了人行步道.如图，点。在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向，

点8、£)都在点C的正北方向，3。长为100米，点B在点A的北偏东30。方向，点。在点E的北偏东58。

方向.

(1)求步道DE的长度.

(2)点。处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经点8到达点。，也可以经点

£到达点。，请通过"算说明他走哪条路较近.结果精确到个位)(参考数据：

sin58°«0.85,cos58°«0.53,tan580工1.60,百力1.73)

【答塞】(1)200米

(2)8.。这条路较近，理由见解析

【解析】(1)根据矩形的性质和锐角三角函数中的正弦值即可求出答案.

(2)根据矩形的性质和锐角三角函数中的正切值、余弦值分别求出AB和4E的长度，比较A8+8力和

AE+ED即可求出答案.

【小问1详解】

解：由题意得，过点。作。/垂直AE的延长线于点尸，如图所示

点C在点A的正东方向170米处，点£在点A的正北方向，点3、。都在点。的正北方向

/.AE.LACDC±AC

QDlAF

ZEAC=ZBCA=NDFE=90°

ACDF为矩形.

:.DF=AC.

・「AC=170米

二.OF=170米.

■rx尸[^7C\

•.在中。七=-^^=y=200米.

sin58°0.85

故答案为：200米.

【小问2详解】

解：Af3-。这条路较近，理由如下:

,ZE4B=30°ZEAC=90°

N8AC=600.

・・・AC=170米6=1.73

Ar1

・••在Rt^BAC中45=——-=170+—=340米.

cos6002

CB=ACtan60°=170>/3=170x1.73=294.1米.

ACDF为矩形，3。=100米

.•.CD=AF=CB+O8=294.1+100=394.1米.

・・・在RtADFE中EF=-^―=—=106.25米.

tan58°1.60

/.AE=AF-EF=394.1-106.25=287.85米.

结果精确到个位

/.AE+ED=287.85+200=487.85工488米.

AB+OB=340+100=440米.

AE+ED>AB+DB.

••・从4•39。这条路较近.

故答案为：这条路较近.

【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及到锐角三角函数正弦、余弦、正切，矩形的性质，解

题的关键在于构建直角三角形利用三角函数求边长.

24.招边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在

下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相

同；③四边形的各顶点都在格点上）.

【答案】见解析（答案不唯一，符合题意即可）

【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的性质进行作图即可.

【详解】解：①要求是轴对称图形但不是中心对称图形，则可作等腰梯形，如图四边形A8CO即为所

求；

②要求是中心对称图形但不是轴对称图形，则可作一般平行四边形，如图四边形A8CD即为所求；

③要求既是轴对称图形又是中心对称图形，则可作菱形、矩形等，如图四边形488即为所求；

④要求既不是轴对称图形又不是中心对称图形，则考虑作任意四边形，如图四边形ABCO即为所求.

【点睛】本题

是轴对称图形是中心对称图形既是轴对称图形既不是轴对称图形

不是中心对称图形不是轴对称图形又是中心对称图形又不是中心对称图形

考查轴对称图形和中心对称图形的概念及作图，轴时称图形：把一个图形沿着某条直线折叠，能够与另一

个图形重合；中心对称图形：把一个图形绕着某个点旋转180。能够和原图形重合.

五、推理论证题

25.如图，以的直角边A8为直径作0O,交斜边AC于点Q,点E是3C的中点，连接

OE、DE.

（1）求证：OE是。。的切线.

4

（2）若sinC=g,0E=5,求AD的长.

（3）求证：2DE—CD0E.

【答案】（1）见详解（2）—（3）见详解

3

【解析】（1）连接瓦）,。。，先根据直角三角形的性质，证明=再证明AOBE乌ODE（SSS）即

可；

（2）由（1）中结论，得3C=2OE=10,先根据三角函数及勾股定理求出BQ,CO的长，再证明

△AZ）3s2\8£>C即可；

（3）证明..OBEs-BDC即可得出结论.

【小问1详解】

证明：连接8。,。。

Rt&43C中ZABC=90。

AB是匚O的直径

/.ZADB=90°,即BD±AC

在Rt&BOC中点E是5c的中点

:.BE=DE=-BC

2

又,OB=OD,OE=OE

.qOBEWOr)E(SSS)

/.NOBE=NODE=90。

。在G。上

」.DE是OO的切线.

【小问2详解】

解：由(1)中结论，得6。=2。七=10

在RLBOC中sinC=^=变=9

BC105

:.BD=S,CD=yJBC^B^=6

・・・ZA+ZC=90°,ZA+ZABD=90°

••:.ZC=ZABD

\'ZADB=ZBDC=90°

△AZ)3s△8DC

ADBD…BD18232

「.=,AD=-----=——=——；

BDCDCD63

【小问3详解】

证明：OA=OB,BE=CE

:.OE//AC

.•.NOEB=NC

・：/OBE=/BDC=90。

lOBES'BDC

OEBE

~BC~~CD

由(1)中结论VO3E史ODE,得BE=DE

BC=2DE

•_O__E_D_E

'^2DE~~CD

即2DE2=CDOE.

【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，相似三

角形的判定和性质，锐角二角函数，判断出△AO8s△加。是解本题的关键.

六、拓展探究题

26.如图，二次函数丁=/+法+。的图象交工轴于点4B,交丁轴于点C,点8的坐标为(1,0),对称

轴是直线x=-l,点尸是x轴上一动点，PM_Lx轴，交直线AC于点M,交抛物线于点N.

（1）求这个二次函数的解析式.

（2）若点t在线段4。上运动（点P与点A、点。不重合），求四边形A3CN面积的最大值，并求出此

时点P的坐标.

（3）若点产在“轴上运动，则在y轴上是否存在点。，使以M、N、a。为顶点的四边形是菱形？若

存在，请直接写出所有满足条件的点。的坐标：若不存在，请说明理由.

【答案】（1）y=x2+2x-3

75（3'

（2）S四边形MCN最大值为；，此时尸一不，°

8k27

（3）0（0,-1）或00,3&-1）或40,-1—3立）

【解析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出〃=2,再把8（1,0）代入二次因数解析式中进行求解即可;

⑵先求出A（-3,0）,。（0,-3）则AB=4,OC=3求出直线AC的解析式为y=r-3,设

P（mQ）,则M（族一加一3）,N（加，阳2+2〃?-3）则MN=_1_3m；再由

+—75»故当〃2=