2022-2023学年北京市101中学八年级（下）期中数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年北京市101中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）如果在实数范围内有意义，那么x的取值范围是（）A．x＞1 B．x≥l C．x≤1 D．x＜12．（3分）下列各式中，运算正确的是（）A． B． C． D．3．（3分）在平行四边形ABCD中，∠D＝120°，则∠A的度数等于（）A．120° B．30° C．40° D．60°4．（3分）判断下列四组数据，可以作为直角三角形三条边长的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．，， C．3+n，4+n，5+n（n＞0） D．1，2，35．（3分）如图，两个边长为1的正方形整齐地排列在数轴上形成一个大的长方形，以O点为圆心，以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是（）A． B． C．2.2 D．6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是（）A．16 B．18 C．20 D．247．（3分）若直角三角形的两边长分别为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为（）A．5 B．5或 C．4 D．或48．（3分）四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC B．∠ABC＝∠ADC，AB∥CD C．AB∥CD，OB＝OD D．AB＝CD，OA＝OC9．（3分）如图，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的侧面爬行到点B，圆柱体的底面周长是24厘米，圆柱体的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（）A．13厘米 B．17厘米 C．厘米 D．5厘米10．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BE，连接OE．下列结论中不成立的是（）A．∠CAD＝30° B．S平行四边形ABCD＝AB•AC C．OB＝AB D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是命题．（填入“真”或“假”）12．（3分）比较大小：4（填“＞”，“＜”或“＝”）．13．（3分）如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（2，3），则顶点B的坐标是．14．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO的周长是．15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△ADE'处，AD'与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，∠AEC的度数为．16．（3分）如图所示的一张直角三角形纸片，其中∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D、E分别是AC、AB边的中点，先将纸片沿DE剪开，然后再将两部分拼成一个四边形，则所得四边形的周长是．三、解答题（本题共52分，第17、18、19、21、22题，每小题4分，第24题3分；第20、23、25题，每小题4分，第26、27题，每小题4分）17．（4分）计算：．18．（4分）计算：÷+（+）（﹣）19．（4分）已知，求代数式x2﹣2x+1的值．20．（5分）已知：△ABC．求作：直线AD，使得AD∥BC．作法：如图．①分别以点A、点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、点N；②作直线MN交AC于点E；③以点E为圆心，BE长为半径画弧，交射线BE于点D；④作直线AD．所以直线AD就是所求作的直线．（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接CD．∵AE＝．BE＝．∴四边形ABCD是平行四边形．（）（填推理的依据）．∴AD∥BC（）（填推理的依据）．21．（4分）如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE＝DF，连接AE，EC，CF，FA．求证：四边形AECF是平行四边形．22．（4分）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．23．（5分）一块等腰直角三角尺ABC按照如图所示方式放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B，作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．（1）求证：EC＝DB；（2）若设△AEC三边分别为a、b、c．请你利用此图证明勾股定理．24．（3分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图（不需要写画法）．（1）在图中画一个△ABC，使其三边长分别为，，；（2）在（1）的条件下，计算：S△ABC＝；BC边上的高为；（直接写出结果）．25．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若∠B＝30°，AE平分∠BAC，AD＝2，求AB的长．26．（7分）已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AE＝AD．（1）如图1，若DF平分∠ADC交线段AE于点F．①当BE＝2，∠ADC＝60°时，CD＝，AF＝；②如图2，若0°＜∠ADC＜90°，且∠ADC≠60°，试探究线段CD，AF，BE之间的数量关系，并证明；（2）如图3，若点P为线段AD上一动点，EP⊥PM，EP＝PM．连接AM，点Q是AM中点，且AD＝2，当点P从A点运动到D点时，点Q的运动路径长为．（直接写出答案）27．（7分）已知点E和图形G，Q为图形G上一点，若存在点P，使得点E为线段PQ的中点（P，Q不重合），则称点P为图形G关于点E的双倍点．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，1），B（﹣2，﹣1），C（0，﹣1），D（1，1）．（1）若点E的坐标为（﹣3，0），则在P1（﹣4，0），P2（﹣5，2），P3（﹣6，1），P4（﹣7，﹣1）是四边形ABCD关于点E的双倍点的是；（2）点N的坐标为（﹣3，t），若在二四象限角平分线上存在四边形ABCD关于点N的双倍点，直接写出t的取值范围；（3）点M为四边形ABCD边上的一个动点，平行于二、四象限角平分线的直线交x轴于点F（a，0），与y轴交于点H（0，b），若线段FH上的所有点均可成为四边形ABCD关于M的双倍点，直接写出b的取值范围．

2022-2023学年北京市101中学八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）如果在实数范围内有意义，那么x的取值范围是（）A．x＞1 B．x≥l C．x≤1 D．x＜1【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣1≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得x﹣1≥0，解得x≥1，即x的取值范围是x≥1．故选：B．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．2．（3分）下列各式中，运算正确的是（）A． B． C． D．【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．【解答】解：3﹣＝2，故选项A错误，不符合题意；＝2，故选项B错误，不符合题意；2+不能合并，故选项C错误，不符合题意；＝＝4，故选项D正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．3．（3分）在平行四边形ABCD中，∠D＝120°，则∠A的度数等于（）A．120° B．30° C．40° D．60°【分析】根据平行四边形的邻角互补即可得出∠A的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A＝180°﹣∠D＝60°．故选：D．【点评】本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补．4．（3分）判断下列四组数据，可以作为直角三角形三条边长的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．，， C．3+n，4+n，5+n（n＞0） D．1，2，3【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A、∵0.42+0.32＝0.25，0.52＝0.25，∴0.42+0.32＝0.52，∴能构成直角三角形，故A符合题意；B、∵（）2+（）2＝7，（）2＝5，∴（）2+（）2≠（）2，∴不能构成直角三角形，故B不符合题意；C、∵（3+n）2+（4+n）2＝2n2+14n+25，（5+n）2＝25+10n+n2，∴（3+n）2+（4+n）2≠（5+n）2，∴不能构成直角三角形，故C不符合题意；D、∵1+2＝3，∴不能构成三角形，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．5．（3分）如图，两个边长为1的正方形整齐地排列在数轴上形成一个大的长方形，以O点为圆心，以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是（）A． B． C．2.2 D．【分析】根据勾股定理求得OP，再根据数轴上的点表示的数解决此题．【解答】解：由题意得，OP＝．∴以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，分别为和．∵P在数轴原点的右侧，∴P表示的数为．故选：B．【点评】本题主要考查勾股定理、数轴上点表示的数，熟练掌握勾股定理、数轴上的点表示的数是解决本题的关键．6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是（）A．16 B．18 C．20 D．24【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE＝∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE＝CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出▱ABCD的周长．【解答】解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED，∴∠CDE＝∠CED，∴CE＝CD，∵在▱ABCD中，AD＝6，BE＝2，∴AD＝BC＝6，∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4，∴CD＝AB＝4，∴▱ABCD的周长＝6+6+4+4＝20．故选：C．【点评】本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，是基础题，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．7．（3分）若直角三角形的两边长分别为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为（）A．5 B．5或 C．4 D．或4【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵，∴a2﹣6a+9＝0，b﹣4＝0，∴a＝3，b＝4，当4是直角三角形的直角边时，直角三角形的第三边长＝＝5；当4是直角三角形的斜边时，直角三角形的第三边长＝＝，∴直角三角形的第三边长为5或．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．8．（3分）四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC B．∠ABC＝∠ADC，AB∥CD C．AB∥CD，OB＝OD D．AB＝CD，OA＝OC【分析】根据题意画出图形，然后根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可．【解答】解：如图，A．∵∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；B．∵∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∠DCB+∠ABC＝180°，∴∠BAD＝∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；C．∵AB∥CD，OB＝OD，∴∠ABO＝∠CDO，∵∠AOB＝∠COD，∴△ABO≌△CDO，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；D．AB＝CD，OA＝OC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．9．（3分）如图，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的侧面爬行到点B，圆柱体的底面周长是24厘米，圆柱体的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（）A．13厘米 B．17厘米 C．厘米 D．5厘米【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为24cm，则AC＝24×＝12（cm）．又因为BC＝5cm，所以AB＝＝13（cm）．故蚂蚁爬行的最短距离为13cm．故选：A．【点评】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，将圆柱的侧面展开，构造出直角三角形是解题的关键．10．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BE，连接OE．下列结论中不成立的是（）A．∠CAD＝30° B．S平行四边形ABCD＝AB•AC C．OB＝AB D．【分析】由▱ABCD中，∠ADC＝60°，易得△ABE是等边三角形，又由AB＝BC，证得选项A：∠CAD＝30°；继而证得AC⊥AB，得选项B：S▱ABCD＝AB•AC；可得OE是三角形的中位线，证得选项D：OE＝BC．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD＝60°．∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝BE，∵AB＝BC，∴AE＝BC，∴∠BAC＝90°，∴∠CAD＝30°，故选项A不符合题意；∵AC⊥AB，∴S▱ABCD＝AB•AC，故选项B不符合题意；∵AB＝BC，OB＝BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故选项C符合题意；∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，AD∥BC，∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∴AE＝CE，∴BE＝CE，∵OA＝OC，∴OE＝AB＝BC，故选项D不符合题意．故选：C．【点评】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形，OE是△ABC的中位线是关键．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是假命题．（填入“真”或“假”）【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，如果能就是真命题．【解答】解：“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等三角形”，根据全等三角形的定义，不符合要求，因此是假命题．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．12．（3分）比较大小：＜4（填“＞”，“＜”或“＝”）．【分析】先估算2的值，然后判断即可．【解答】解：∵1＜＜2，∴2＜2＜4，∴2＜4．故答案为：＜．【点评】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练准确估算无理数的大小是解题的关键．13．（3分）如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（2，3），则顶点B的坐标是（5，3）．【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，且BC＝OA即可得到结论．【解答】解：如图，在▱OABC中，O（0，0），A（3，0），∴OA＝BC＝3，又∵BC∥AO，∴B的横坐标为：2+3＝5，点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，∴B（5，3）；故答案为：（5，3）．【点评】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质．此题充分利用了“平行四边形的对边相互平行且相等”的性质．14．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO的周长是9．【分析】根据平行四边形的性质得出DE＝AD＝BC，DO＝BD，AO＝CO，求出OE＝CD，求出△DEO的周长是DE+OE+DO＝（BC+DC+BD），代入求出即可．【解答】解：∵E为AD中点，四边形ABCD是平行四边形，∴DE＝AD＝BC，DO＝BD，AO＝CO，∴OE＝CD，∵△BCD的周长为18，∴BD+DC+BC＝18，∴△DEO的周长是DE+OE+DO＝（BC+DC+BD）＝×18＝9，故答案为：9．【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出DE＝BC，DO＝BD，OE＝DC．15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△ADE'处，AD'与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，∠AEC的度数为72°．【分析】由平行四边形的性质得出∠D＝∠B＝53°，由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，由三角形的外角性质求出∠AEF＝72°．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝52°+20°＝72°；故答案为：72°．【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，是解决问题的关键．16．（3分）如图所示的一张直角三角形纸片，其中∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D、E分别是AC、AB边的中点，先将纸片沿DE剪开，然后再将两部分拼成一个四边形，则所得四边形的周长是或8．【分析】根据已知先求出AB＝4，AC＝2，再根据中位线的性质可得CD＝AD＝，AE＝BE＝2，DE＝1，然后拼图，出现两种情况，一种是拼成一个矩形，另一种拼成一个平行四边形，进而算出周长即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，AC＝2，∵图中所示的中位线剪开，∴CD＝AD＝，AE＝BE＝2，DE＝1，如图所示：拼成一个矩形，矩形周长为：2+2++＝4+2；如图所示，可以拼成一个平行四边形，周长为：2+2+2+2＝8，故答案为：或8．【点评】此题主要考查了图形的剪拼，关键是根据画出图形，要考虑全面，不要漏解．三、解答题（本题共52分，第17、18、19、21、22题，每小题4分，第24题3分；第20、23、25题，每小题4分，第26、27题，每小题4分）17．（4分）计算：．【分析】先化简，去括号，再算加减即可．【解答】解：＝2＝．【点评】本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．18．（4分）计算：÷+（+）（﹣）【分析】根据二次根式的除法和平方差公式可以化简题目中的式子，然后再合并同类项即可解答本题．【解答】解：÷+（+）（﹣）＝＝3+7﹣5＝5．【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．19．（4分）已知，求代数式x2﹣2x+1的值．【分析】将所求的代数式利用完全平方公式进行因式分解，然后代入求值．【解答】解：，∴x2﹣2x+1＝（x﹣1）2＝（+1﹣1）2＝5．即x2﹣2x+1＝5．【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．20．（5分）已知：△ABC．求作：直线AD，使得AD∥BC．作法：如图．①分别以点A、点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、点N；②作直线MN交AC于点E；③以点E为圆心，BE长为半径画弧，交射线BE于点D；④作直线AD．所以直线AD就是所求作的直线．（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接CD．∵AE＝EC．BE＝ED．∴四边形ABCD是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．∴AD∥BC（平行四边形的对边平行）（填推理的依据）．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）证明四边形ABCD是平行四边形，可得结论．【解答】（1）解：如图，直线AD即为所求；（2）证明：连接CD．∵AE＝EC．BE＝ED．∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），∴AD∥BC（平行四边形的对边平行），故答案为：EC，ED，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行．【点评】本题考查作图﹣基本作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．21．（4分）如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE＝DF，连接AE，EC，CF，FA．求证：四边形AECF是平行四边形．【分析】根据两条对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形AECF是平行四边形．【解答】证明：连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD．∵BE＝DF，∴OE＝OF．∴四边形AECF为平行四边形．【点评】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．22．（4分）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．【分析】设OA＝OB＝x尺，表示出OE的长，在直角三角形OEB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设OA＝OB＝x尺，∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺），OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺，在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺，根据勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+102，整理得：8x＝116，即2x＝29，解得：x＝14.5．则秋千绳索的长度为14.5尺．【点评】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．23．（5分）一块等腰直角三角尺ABC按照如图所示方式放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B，作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．（1）求证：EC＝DB；（2）若设△AEC三边分别为a、b、c．请你利用此图证明勾股定理．【分析】（1）通过AAS证得△CAE≌△BCD，根据全等三角形的对应边相等证得结论；（2）利用等面积法证得勾股定理．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠AEC＝∠BDC＝90°，∴∠ACE+∠BCD＝90°，∵∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠BCD，在△AEC与△CDB中，，∴△AEC≌△CDB（AAS），∴EC＝DB；（2）解：∵△AEC三边分别为a、b、c．∴DB＝EC＝a，CD＝AE＝b，AC＝BC＝c，∴，∵，∴，∴a2+b2＝c2．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解本题的关键是判断两三角形全等．24．（3分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图（不需要写画法）．（1）在图中画一个△ABC，使其三边长分别为，，；（2）在（1）的条件下，计算：S△ABC＝2；BC边上的高为；（直接写出结果）．【分析】（1）利用数形结合的思想作出图形即可；（2）利用分割法求出三角形的面积，再求出高．【解答】（1）解：如图，△ABC即为所求作（答案不唯一）．（2）△ABC的面积＝2×3﹣×1×1﹣×1×3﹣×2×2＝2．作AH⊥BC于点H，∵•BC•AH＝2，∴AH＝．故答案为：2；．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．25．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若∠B＝30°，AE平分∠BAC，AD＝2，求AB的长．【分析】（1）证AD∥BC，再由平行四边形的判定即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得EC＝AD＝2，再由含30°角的直角三角形的性质得AE＝2EC＝4，进而由勾股定理得AC＝2，然后由含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，∴AD∥BC，又∵AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形；（2）解：由（1）可知，四边形AECD是平行四边形，∴EC＝AD＝2，∵∠B＝30°，∴∠BAC＝90°﹣∠B＝60°，∵AE平分∠BAC，∴，∴AE＝2EC＝4，在Rt△AEC中，由勾股定理得：AC＝＝＝2，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴，即AB的长为4．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．26．（7分）已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AE＝AD．（1）如图1，若DF平分∠ADC交线段AE于点F．①当BE＝2，∠ADC＝60°时，CD＝4，AF＝2；②如图2，若0°＜∠ADC＜90°，且∠ADC≠60°，试探究线段CD，AF，BE之间的数量关系，并证明；（2）如图3，若点P为线段AD上一动点，EP⊥PM，EP＝PM．连接AM，点Q是AM中点，且AD＝2，当点P从A点运动到D点时，点Q的运动路径长为．（直接写出答案）【分析】（1）①由平行四边形的性质得BC∥AD，∠B＝∠ADC＝60°，则∠AEB＝∠DAF＝90°，因为∠EAB＝30°，CD＝AB＝2BE＝4；再证明△AEB≌△DAF，得AF＝BE＝2，于是得到问题的答案；②延长FA到K，使KA＝BE，连结DK，可证明△DAK≌△AEB，则DK＝AB＝CD，∠ADK＝∠EAB＝90°﹣∠B＝90°﹣∠ADC，可推导出∠KDF＝∠KFD＝90°﹣∠ADC，则AF+BE＝FK＝DK＝CD；（2）连接DE，作DL⊥DE交BC的延长线于点L，先求得DE＝＝2，∠ADE＝∠AED＝45°，再证明∠DLE＝∠DEL＝45°，则DL＝DE＝2；作MH⊥AD交AD的延长线于点H，连接DM，可证明△APE≌△HMP，得AP＝HM，AE＝HP，可推导出HM＝HD，则∠HDM＝∠HMD＝45°，而∠HDL＝∠DLE＝45°，可知DM与DL重合，即点M在DL上运动，取AD的中点G，连接DQ，则GQ∥DM，GQ＝DM，所以∠DGQ＝∠HDL＝45°，可知点Q在经过AD的中点且与DL平行的直线上运动，当点P与点D重合时，DM＝DL＝2，此时GQ＝DM＝，所以点Q的运动路径长为．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，BE＝2，∴BC∥AD，∠B＝∠ADC＝60°，∵AE⊥BC于点E，∴∠AEB＝∠DAF＝90°，∴∠EAB＝30°，∴CD＝AB＝2BE＝2×2＝4；∵DF平分∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF＝∠ADC＝30°，∴∠EAB＝∠ADF，∵AE＝DA，∴△AEB≌△DAF（ASA），∴AF＝BE＝2，故答案为：4，2．②AF+BE＝CD，证明：如图2，延长FA到K，使KA＝BE，连结DK，∵∠DAK＝∠CEA＝90°，∴∠DAK＝∠AEB，∵DA＝AE，∴△DAK≌△AEB（SAS），∴DK＝AB＝CD，∠ADK＝∠EAB＝90°﹣∠B＝90°﹣∠ADC，∴∠KDF＝∠ADK+∠ADF＝90°﹣∠ADC+∠ADC＝90°﹣∠ADC，∵∠KFD＝90°﹣∠ADF＝90°﹣∠ADC，∴∠KDF＝∠KFD，∴FK＝DK＝CD，∵FK＝AF+KA＝AF+BE，∴AF+BE＝CD．（2）如图3，连接DE，作DL⊥DE交BC的延长线于点L，则∠EDL＝90°，∵AE＝AD＝2，∠DAE＝90°，∴DE＝＝＝2，∠ADE＝∠AED＝45°，∴∠DEL＝∠ADE＝45°，∴∠DLE＝∠DEL＝45°，∴DL＝DE＝2；作MH⊥AD交AD的延长线于点H，连接DM，∵EP⊥PM，∴∠PAE＝∠H＝∠EPM＝90°，∴∠APE＝∠HMP＝90°﹣∠MPH，∵EP＝PM，∴△APE≌△HMP（AAS），∴AP＝HM，AE＝HP，∴AD＝HP，∴AD﹣PD＝HP﹣PD，∴AP＝HD，∴HM＝HD，∴