高中数学：导学案：常用逻辑用语 (一)

本草归纳整合

01»网络构建系统盘点提炼主线

知识网络

命题及

其关系

一

常

用

逻

辑

用

语

一

含有一个

量词的命

题的否定

要点归纳

1.要注意全称命题、特称命题的自然语言之间的转换.

2.正确理解“或”的意义，日常用语中的“或”有两类用法：其一是“不

可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我们这里仅研究“可兼”的“或”.

3.有的命题中省略了“且”“或”，要正确区分.

4.常用“都是”表示全称肯定，它的存在性否定为“不都是”，两者互为

否定；用“都不是”表示全称否定，它的存在性肯定可用“至少有一个是”来表

不.

5.在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由。能否推出Q,又要看

由g能否推出「,不能顾此失彼.证明题一般是要求就充要条件进行论证，证明

时要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混.

6.否命题与命题的否定的区别.对于命题“若0，则g"，其否命题形式为

“若㈱0,则㈱q"，其否定为“若0,则㈱q"，即否命题是将条件、结论同时

否定，而命题的否定是只否定结论.有时一个命题的叙述方式是简略式，此时应

先分清条件P，结论q,改写成“若P，则q”的形式再判断.

02二专题归纳整算题典例揭秘

专题一四种命题及其关系

把命题“若。，则q”作为原命题，对它的条件P和结论q作“换位”和“换

质(否定)”描述，分别得到逆命题，否命题与逆否命题，统称为四种命题：

(1)0、q“换位”：交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题：“若

q，则P”；

(2)0、g“换质”：同时否定命题的条件和结论，所得的命题是否命题：“若

㈱P，贝懈q”；

(3)0、g“换位”且“换质”：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，

所得的命题是逆否命题：“若^q,则㈱P”.

原命题与它的逆命题、原命题与它的否命题之间的真假是不确定的，而原命

题与它的逆否命题(它的逆命题与它的否命题)之间在真假上是始终保持一致的：

同真同假.

【例1】判断下列命题的真假.

(1)若xCNUH则xC8的逆命题与逆否命题；

(2)若0〈若5,则一一21<3的否命题与逆否命题;

(3)设a、6为向量，如果a_L6,则a•6=0的逆命题和否命题.

解(1)若xGNU氏则x©8是假命题,故其逆否命题为假,逆命题为若xeB,

则XG/U8,为真命题.

(2)VO<X5,2〈x—2〈3,...OW|x—21〈3.

原命题为真，故其逆否命题为真.

否命题：若后0或x》5,则|x—2|三3.

例如当x=—；一21=义〈3.故否命题为假.

(3)原命题：a•6为向量，a_L6=>a•6=0为真命题.

逆命题：若6为向量，a•6=0=>a_Lb为真命题.

否命题：a不垂直ZF=>S•6W0也为真命题.

专题二充分条件、必要条件与充要条件

关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定：

若gq,且止/<?,则。是q的充分不必要条件，同时Q是0的必要不充分

条件；

若pOg,则。是g的充要条件，同时g是P的充要条件；

若则。是q的既不充分也不必要条件，同时q是0的既不充分也不

必要条件.

充要条件可以与各章节内容相结合，所以是历年高考考查的热点之一.

【例2】下列选项中，P是g的必要不充分条件的是（）.

A.p：a+c>Z?+d,q：a>5且c>d

B.p：a>l,b>l,q：/1（x）=a'一6（a〉0且aWl）的图象不过第二象限

C.p：X~—1,QzX--X

D.p：a>l,q：F（A）=logaX（a〉0且aWl）在（0,+8）上为增函数

解析B选项中，当b=l,a〉l时，q推不出p成立，因而夕为q的充分不

必要条件.C选项中，q：x=0或1,不能够推出p成立，因而。为q的充分不

必要条件.D选项中，p、q可以互推，因而。为q的充要条件.故本题选A.

答案A

专题三简单的逻辑联结词的综合应用

解决这类问题时，应先根据题目条件，即新命题的真假情况，推出每一个命

题的真假（有时不一定只有一种情况），然后再求出每个命题是真命题时参数的取

值范围，最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.

【例3】已知：p-.方程V+〃x+l=0有两个不等的负实数根；q：方程4/

+4E—2）x+l=0无实数根，若“pVq”为真命题，且“pAg”是假命题，求

实数力的取值范围.

'A=/»—4>0

解p：方程系+加x+l=0有两个不等的负实数根台<加°台山>2.

q：方程4，+4（勿一2）x+l=0无实数根

台/=16(R—2尸一16<0台1〈加3.

...㈱夕：必W2,㈱g：/W1或加三3.

•••“〃▽/为真命题，且"p'q”是假命题，

为真且q为假，或「为假且g为真.

⑴当夕为真且g为假时，即P为真且㈱g为真,

ni>2,

解得力23；

、"W1或"23

⑵当夕为假且g为真时，即㈱0为真且g为真

m^2,

解得1〈加W2.

1〈/<3

综上所述，实数必的取值范围是(1,2]U[3,+-).

专题四全称命题与特称命题

全称命题“Vx©弘夕(x)”强调命题的一般性，因此，

(1)要证明它是真命题，需对集合"中每一个元素x,证明p(x)成立；

(2)要判断它是假命题，只要在集合〃中找到一个元素吊，使0(吊)不成立即

可.

特称命题“三毛©必夕(冬)”强调结论的存在性，因此，

(1)要证明它是真命题，只需在集合〃中找到一个元素的,使pU)成立即可.

(2)要判断它是假命题，需对集合〃中每一个元素x,证明°(x)不成立.

【例4】在下列四个命题中，真命题的个数是().

①\7xGR,f+X+3〉0；

(D3X0£Q,不是有理数；

③Ela。，£()eR,使sin(a()+£o)=sinff0+sin£o；

@3x0,%©Z,使3苞一2%=10.

A.1B.2

C.3D.4

解析①中才2+'+3=(才+1)2+9巳9〉0,故①是真命题.

②中为GQ,一定是有理数，故②是假命题.

O/

_,JIJI,

③中a=7，£=­彳时，sin(a+£)=O,sina+sinB=0,

故③是真命题.

④中苞=4,%=1时，3苞-2%=10成立，故④是真命题.

答案C

专题五全称命题、特称命题的否定

1.写命题的否定时，关键是确定命题的类型.

2.判断命题的否定的真假时，可直接判断该命题，也可判断原命题的真假,

利用原命题和命题的否定的真假性相反下结论.

【例5】(1)命题：对任意x©R,/+1W0的否定是().

A.不存在—岔+1W0

B.存在舅一篇+120

C.存在AbGR,舅一舅+1〉0

D.对任意x©R,/—2;+1>0

(2)命题0：3^eR,使方程/+刈x+1=0有实数根，则“㈱。”形式的命

题是().

A.三发©R,使得方程/+几x+1=0无实根

B.对V/GR,方程f+加x+l=0无实根

C.对VsGR,方程系+勿x+1=0有实根

D.至多有一个实数〃使得方程/+“+1=0有实根

答案⑴C(2)B

【例6】写出下列命题的否定，并判断真假：

(1)不论力取什么实数，方程f+x—勿=0必有实数根.

(2)存在一个实数的，使得/+x0+lW0.

(3)等圆的面积相等，周长相等.

(4)对任意角a,都有sir?a+cos2a=1.

解(1)El必GR,方程f+x—〃=0无实根，真命题.

(2)X/xGR,xl>0,真命题.

(3)有的等圆的面积不相等或周长不相等，假命题.

(4)三a。使得sin2ao+cos2aoW1,假命题.

【例7】已知命题p：任意非零向量a、b、c,若(Z>—c)=0,则b=c.

写出其否定和否命题，并说明真假.

解幺弟「：存在非零向量a、b、c,若&・(b—c)=0,则6Wc.幺弟0为真命

题.

否命题：任意非零向量a、b、c,若^・(b—c)W0,则bWc.否命题为真命

题.

专题六转化的思想

转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的数学思想.本章涉及了原命

题与它的逆否命题之间的等价转化.

【例8】q：函数f{x)=4/—2(p—2)x—2p2—p+1在区间［-1,1］上至少

存在一个实数c,使得Hc)〉O,求实数0的取值范围.

解㈱q：已知函数f(x)=4x—2(/?—2)x—2p—p+1在区间［-1,1］上不

存在一个实数第

使得F(c)〉O,即VcG［—1,1］,F(c)WO,

f—1WO,2j—p—1NO，

f1wo,2炉+3p—9NO,

pW一片或pN1,

23

即oW—3或。三江

3乙

0W—3或02,

3

故。为真时的’的取值范围是一3〈仄去

w»解读高考快生体验感悟高考

命题趋势

命题真假的判断，充要条件的判定，含一个量词的命题的否定是高考考查的

重点.其中命题真假的判断和充要条件的判定往往与其他知识相结合，考查相关

知识点，体现了在知识交汇点处命题的特点，一般以选择题的形式出现，难度不

大.常见的考查角度有以下几种：

1.对于命题的判断问题，在高考中往往涉及多个知识点综合进行考查.

考查知识点涉及逻辑联结词、三角函数、不等式、立体几何初步等诸多内容，

得到命题者的青睐.该部分的考查重点有两个：（1）是综合其他知识，考查一些

简单命题真假的判断；（2）是考查命题四种形式之间的关系.

体现了考纲对“命题、充分条件、三角函数的有界性、不等式的性质以及空

间线面关系等”的要求.解决此类问题的关键是灵活根据题干和选择项进行判

断，主要是选出错误的命题，所以可以利用特例法确定选择项，即只需举出一个

反例即可说明命题是假命题，对于较难判断的问题，可以转化为它的逆否命题的

判断来解决.

2.充分条件、必要条件和充要条件是对命题进行研究和考查的重要途径，

是高考重点考查的内容，往往在不同知识点的交汇处进行命题，考查面十分广泛，

涵盖函数、立体几何、不等式、向量、三角等内容.通过对命题条件和结论的分

析，考查对数学概念的准确记忆和深层次的理解.

3.逻辑联结词在近几年的高考试题中经常出现，主要是含有逻辑联结词的

命题的判断问题，所以正确理解逻辑联结词的含义，准确把握含有三个逻辑联结

词的复合命题的判断方法，熟记规律：已知命题p、q,只要有一个命题为假，p^q

就为假；只要有一个为真，就为真，㈱。与夕真假相对.另外注意命题的

否定与命题的否命题的区别，这是两个很容易混淆的概念，要准确把握它们的基

本形式，不能混淆.

4.解决全称量词与存在量词问题需要注意两个方面：一是准确掌握含有全

称量词与存在量词的命题的否定形式，这两类命题的否定形式有严格的格式，不

要和一般命题的否命题的形式混淆；二是要掌握判断全称命题与特称命题的真假

的特例法，即只要找出一个反例就可说明全称命题为假，只要找到一个正例就可

以说明特称命题为真.

高考真题

JI

1.（2012•湖南高考）命题“若a=~,tan。=1”的逆否命题是（）

JI4兀，

A.右a贝1JtanaWlB.右a=~>贝Utan

,n4,JI

C.右tana关1,贝!]a#：—D.右tanaWl,贝！Ja=—

解析由逆否命题的定义知答案C正确.

答案c

2.（2011•山东高考）已知a,b,cGR,命题“若a+b+c=3,贝Ua+l）

+/>3”的否命题是（）.

A.若a+b+cW3,则a2+8+c2〈3

B.若a+b+c=3,则a'+r+我3

C.若a+b+cW3,则a'+^+cZ三3

D.若才十5+1N3,则a+b+c=3

222

解析原命题的条件是：a+b+c=3,结论是：a+A+c>3,所以否命题

是：若a+b+cW3,则a~\-Z?2+c2<3.

答案A

3.（2011•全国卷）下面四个条件中，使a>6成立的充分不必要的条件是

（）.

A.a>Z?+lB.a>b-1C.a>8D.a>8

解析a〉b+l=>a〉5,a〉6=/a〉b+l.

答案A

4.（2012•天津高考）设x©R,则“x>g”是“2f+x—1〉0”的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析易知2T+x—1在一；，十81上是增函数，当入=；时，2X百叶；一

1=0,故+x—l〉0,但2*+入一1〉0=太〉；或点一1.故选人.

答案A

5.（2011•天津高考）设x,HR,则“x>2且y>2”是“H+/N4”的

（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

解析x22,且旷三2n系+/24,S+/N4今/x22,且