1.4.1（第一课时）空间中点、直线和平面的向量表示同步练习-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第13页（共13页）1.4.1（第一课时）空间中点、直线和平面的向量表示同步练习一．选择题1．若，0，，，4，在直线上，则直线的一个方向向量为A．，2， B．，3， C．，1， D．，2，2．设平面内两个向量的坐标分别为，2，、，1，，则下列向量中是平面的法向量的是A．，， B．，1， C．，1， D．，，3．已知平面内有一个点，，，的一个法向量为，1，，则下列点中，在平面内的是A．，， B． C． D．4．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是A． B． C． D．5．已知，0，，，1，，，0，，则平面的一个单位法向量是A．，1， B．，， C．，1， D．，，6．已知平面内的两个向量，1，，，2，，且，，．若为平面的法向量，则，的值分别为A．，2 B．1， C．1，2 D．，7．设的方向向量为，2，，的方向向量为，3，，若，则实数的值为A．3 B．2 C．1 D．8．如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，，分别在棱，上，且，，则下列向量中，能作为平面的法向量的是A．，， B．，， C．，， D．，3，9．已知直线过点，0，，平行于向量，平面过直线与点，2，，则平面的法向量不可能是A．，， B． C． D．，，10．已知，6，，，3，，则下列各向量中是平面是坐标原点）的一个法向量的是A．，1， B．，2， C．，4， D．，4，11．平面中，点坐标为，1，，点坐标为，2，，点坐标为，0，．若向量，，，且为平面的法向量，则A．2 B．0 C．1 D．12．（多选题）在长方体中，，，以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是A．的坐标为，2， B．，0， C．平面的一个法向量为，3， D．二面角的余弦值为二．填空题13．在平面中，，1，，，2，，，0，，若，且为平面的法向量，则．14．空间直角坐标系中，两平面与分别以，1，与，2，为其法向量，若，则直线的一个方向向量为（写出一个方向向量的坐标）15．已知空间直角坐标系中的点的坐标为，1，，平面过点且与直线垂直，动点，，是平面内的任一点，则点的坐标满足的条件是．四．解答题16．已知向量，，和，1，，点，，，，，．（1）求；（2）在直线上是否存在一点，使为原点），若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．17．如图，四棱锥中，底面积为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量．18．如图，正方形的边长为1，平面，，，分别为，的中点，试建立适当的空间直角坐标系，并解答下列问题．（1）求的坐标；（2）求证：；（3）求平面的一个法向量；（4）在平面内找一个点，使平面．19．已知四棱锥的底面是直角梯形，，，平面，，，试建立空间直角坐标系，求平面，平面的一个法向量．1.4.1（第一课时）空间中点、直线和平面的向量表示1．解：由题意可得：直线的一个方向向量，4，，又，2，，4，，，2，是直线的一个方向向量．故选：．2．解：，1，，2，，，1，，1，，向量是此平面的法向量．故选：．3．解：由题意可知符合条件的点应满足，选项，，，，，，0，，，故不在平面内；同理可得：选项，，，，，故在平面内；选项，，2，，，故不在平面内；选项，，，，，故不在平面内；故选：．4．解：在中，，不可能使；在中，，不可能使；在中，，不可能使；在中，，有可能使．故选：．5．解：，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，设平面的一个单位法向量为，则，解得，，，或，，．故选：．6．解：，1，，，2，，，，，，，，，，，，．由为平面的法向量，得，解得．故选：．7．解：，，解得．实数的值为2．故选：．8．解：设正方体的棱长为1，平面的法向量为．则，0，，，，所以，，则，不妨取，则，，故．故选：．9．解：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，而，2，，0，，2，，选项，，1，，，，，2，，，满足垂直，故正确；选项，，1，，，，，2，，，满足垂直，故正确；选项，，1，，1，，，2，，1，满足垂直，故正确；选项，，1，，，，但，2，，，，故错误．故选：．10．解：设平面是坐标原点）的一个法向量是，，则，即，①②得：令，解得无合适选项，令，解得故，4，，故选：．11．解：，，与平面垂直的向量应与上面的向量的数量积为零，向量，，，且为平面的法向量，则且，即，且，即且，即，则，故选：．12．解：在长方体中，，，以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，对于，点的坐标为，2，，故正确；对于，，2，，，2，，，0，，故正确；对于，，0，，，2，，，2，，，0，，，，，设平面的一个法向量为，，，则，取，得，3，，故错误；对于，平面的一个法向量为，3，，平面的法向量为，0，，，二面角的余弦值为，故正确．故选：．13．解：，1，，，，，为平面的法向量，，，，联立解得，．．故答案为：1．14．解：设直线的一个方向向量为，，，由两平面与分别以，1，与，2，为其法向量，可得，，可得，，可设，则，，可得，1，．故答案为：，1，．15．解：因为，所以，，，．，1，，由勾股定理可得：，即，化简得：．点的坐标满足的条件是：．故答案为：．16．解：（1），，，1，，，，；（2）假设在直线上存在一点，使为原点），则存在实数，使得，，，，，，，，，解得．，即．故在直线上存在一点，使为原点）．17．解：四棱锥中，底面积为矩形，平向，为的中点，，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，，，，，，，0，，，，，，，，，，，设平面的法向量，，，则，取，得，，．平面的一个法向量为，，．18．解：（1）解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，，1，1，，，1，，，0，，，0，，，，，，，0，．（2）证明：，，，，0，．，．（3）解：设平面的法向量，，，，1，，，0，，，取，得平面的一个法向量，0，．（4）解：令点，0，，，，，平面，，0，，