第二章平面力系的平衡

机械基础

闫芳制作§2-1平面汇交力系的简化和平衡平面汇交力系：作用于物体上的力系,若各力的作用线在同一平面内,且汇交于一点,这样的力系称为平面汇交力系。

研究方法：几何法，解析法。FT3FT2FT1一、平面汇交力系的概念与实例力的平行四边形法则力的三角形法则FRF2F1ABCFRF2CDF1AB二、平面汇交力系的简化1.汇交力系简化的几何法—力多边形法则

把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）FRF2F1F3F4BCDEA

加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。AF2F1F4F3即：汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。且合力的大小和方向与各力合成的顺序无关。几何法解题步骤：①选研究对象；②画出受力图；③作力多边形；④求出未知数。说明：应用几何法解题时，必须恰当地选择力的比例尺，即取单位长度代表若干牛顿的力矢并把比例尺注在旁边。利用几何法求解平面汇交力系：yx1.力在平面坐标轴上的投影Fx=F·cosaFy=F·sinaABFxFyFao说明：（1）Fx的指向与x轴一致，为正，否则为负；（2）力在坐标轴上的投影为标量。abcd2.汇交力系简化的解析法AF2F1(a)F3F1F2FF3xABCD(b)以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力F1，F2，F3如图a。3.平面汇交力系的合成合力

F在

x轴上投影得

Fx=ad由图知

ad=ab+bc+(-dc)

Fx=

F1x+F2x+

F3xFx=

F1x+F2x+

+Fnx=

FxF1F2FF3xABCD(b)F1x=ab,

推广到任意多个力F1，F2，

Fn组成的平面共点力系，可得abcd各力在

x轴上投影F2x=bc,

F3x=-dc

合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和。合力的大小合力F的方向余弦根据合力投影定理得yxBFyFx

FOFxFyA刚体平面汇交力系的平衡条件是：

平衡方程三、平面汇交力系平衡的解析条件和平衡方程例2-2如图所示支架由杆AB、BC组成，A、B、C处均为圆柱销铰链，在铰链B上悬挂一重物G=5kN，杆件自重不计，试求杆件AB、BC所受的力。解：1）受力分析

2)确定研究对象。以销B为研究对象，取分离体画受力图。3)建立坐标系，列平衡方程求解

力对点的矩为一代数量,它的大小为力F的大小与力臂d的乘积,它的正负号表示力矩在平面上的转向。+-转动中心O-称为矩心

d-称为力臂d以扳手拧螺母为例说明力对点之矩的概念：Fo一、力矩§2-2力矩和平面力偶系力对点的矩不仅与力的大小有关，而且与矩心的位置有关,同一个力，因矩心的位置不同,其力矩的大小和正负都可能不同。力对点的矩不因力的作用点沿其作用线的移动而改变,因为此时力的大小、力臂的长短和绕矩心的转向都未改变。力对点的矩在下列情况下等于零:力等于零或者力的作用线通过矩心,即力臂等于零。2、力矩的性质平面汇交力系合力对于平面内一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。3、合力矩定理F1F2d力偶的概念:作用于刚体上大小相等、方向相反、不共线的平行力组成的力系称为力偶，记作（F1，F2）。作用效果:引起物体的转动。力偶作用面：由一对力所组成的平面；力偶臂：力偶中两力之间的垂直距离，一般用d表示；力偶的表示方法二、平面力偶系的简化与平衡1.力偶17FF'd力偶的作用面力偶臂力偶矩：m=±Fd—

+2.力偶矩力偶矩正负规定：

若力偶有使物体逆时针旋转的趋势，力偶矩取正号；反之，顺时针取负号。186N6N4m8N8N3m3N3N8m24Nm24Nm（1）只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。3.同平面内力偶的性质19（2）力偶可以在其作用面内任意移动或转动，或移到另一平行平面，而不影响它对刚体的作用效应。F1F1'F2F2'（3）力偶在任何轴上的投影恒等于零。平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各个力偶矩的代数和等于零。即4.平面力偶系的合成和平衡条件

例2-5

水平梁AB,长l=5m,受一顺时针转向的力偶作用,其力偶矩的大小M=100kN·m。约束情况如图所示。试求支座A、B的约束力。解：梁在活动铰支座B处产生约束力FB

，作用线在铅垂方向A处为固定铰支座,产生约束力FA，作用线也在铅垂方向力偶只能由力偶来平衡平衡方程FAFB一、力的平移定理

§2-3平面任意力系在分析或求解力学问题时,有时需要将作用于物体上某些力的作用线,从其原位置平行移到另一新位置而不改变原力在原位置作用时物体的运动效应,为此需研究力的平移定理。

工程中还有一种常见的基本约束，如建筑物上的阳台以及以焊、铆接和用螺栓联接的结构：刀、夹具的锥柄以及车床主轴的锥孔配合等，这些约束均称为固定端约束。AB二、固定端约束

以上这些工程实例均可归结为一杆插入固定面的力学模型。对固定端约束，可按约束作用画其约束力。固定端既限制被约束构件的垂直与水平位移，又限制了被约束构件的转动，故固定端在一般情况下，有一组正交的约束力与一个约束力偶。FAxFAyMAABAAF1F2·A1A2AnFn··xyO·xyO·xyO·O为简化中心三、平面任意力系的简化和平衡条件F'1F'2F'nM1M2MnMOF'RMO=M1+M2+…+Mn=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)

MO=∑MO(F)主矢主矩在平面内任选一点O为简化中心。根据力的平移定理，将各力都向O点平移，得到一个交于O点的平面汇交力系F'1，F'2，…

，F'n，以及平面力偶系M1，

M2，…，Mn。平面汇交力系F'1，F'2，…，F'n，可以合成为一个作用于O点的合矢量F'R，它等于力系中各力的矢量和。

F'R=

F'1+F'2+…+F'n=F1+F2+…+

Fn=∑F附加平面力偶系M1，M2，…，Mn可以合成为一个合力偶MO，

得主矩的值。2.平面任意力系简化的结果

平面任意力系的简化，一般可得到主矢F'R和主矩MO，但它不是简化的最终结果，简化结果通常有以下四种情况。

1．F'R≠0、MO=0因为MO＝0，主矢F'R就与原力系等效，F'R即为原力系的合力，其作用线通过简化中心。２．F'R=0、MO≠0原力系简化结果为一合力偶MO＝∑MO(F)，此时主矩MO与简化中心的选择无关。下一页上一页返回首页

3．F'R≠0、MO≠0根据力的平移定理逆过程，可以把F'R和MO合成为一个合力FR

。

4．F'R=0、MO=0物体在此力系作用下处于平衡状态。关于平衡问题将在下面的节章中进行详细讨论。四、平面任意力系的平衡方程

摇臂吊车如图所示，已知梁AB的重力为G1＝4kN，立柱EF的重力为G2＝3kN，载荷为W＝20kN，梁长l＝2m，立柱h＝1.2m，载荷到A铰的距离x＝1.5m，点A、E间水平距离a=0.2m，拉杆倾角

＝30

。试求立柱E、F处的约束反力。解1）画受力图。

2）列平衡方程求解。hEG1WA

BDCFaxll/2G2FEyFExFFx因求E、F处的支座反力，故取整个摇臂吊车为研究对象。注意到受力图中有两未知力FFx与FEx互相平行，故取轴y为投影轴，列出投影方程为：∑Fx＝0，FEx-FFx=0

FEx=FFx

∑Fy＝0，FEy–G1–G2–W=0FEy＝27kN（↑）已知；G1＝4kN，G2＝3kN，W＝20kN，l＝2m，h＝1.2m，x＝1.5m，a=0.2m，

＝30

。试求立柱E、F处的约束反力。解1）画受力图。

2）列平衡方程求解。hEG1WA

BDCFaxll/2G2FEyFExFFx求出FEy后，只存在点F、E上两处未知力，故可任择其一为矩心，列出力矩方程为：∑Fx＝0，FEx-FFx=0

FEx=FFx

∑Fy＝0，FEy–G1–G2–W=0FEy＝27kN（↑）∑ME(F)=0，FFxlh-G1(a+l/2)–W(x+a)=0FFx=[G1(2a+l)+2W(x+a)]/2=32.3kN（←）FEx=FFx=32.3kN（→）求上题中拉杆的拉力和铰链A的反力。解1）画受力图。

2）列平衡方程求解。hEG1WA

BDCFaxll/2G2因已知力、未知力汇集于AB梁，故取它为研究对象，画出AB梁的分离体受力图。图中A、B、C三点各为两未知力的汇交点。比较A、B、C三点，取B点为矩心列出力矩方程计算较为简单，即∑Fx＝0，FEx-FTcos

=0

FEx=FTcos

=29.44kN（→）∑Fy＝0，FTsin

+FAy–G1–W=0FAy＝34kN（↑）ABG1WFAyFAxFT∑MB(F)=0，FFxlh-G1l/2

+W(l–x)-FAy=0FAy=7kN（↑）xy第一章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下都存在有摩擦。平衡必计摩擦

1、引入§2-5滑动摩擦简介刹车盘摩擦在现实中的应用多盘摩擦离合器单盘摩擦离合器2009年9月德国客机迫降后起落架故障研究摩擦的任务：掌握规律，利用其利，克服其害。

1、静摩擦力Ff的三要素为：

1）大小：0＜Ff≤Ffm由物体的平衡条件来决定。在临界状态下，有Ff=Ffm=fsFN

2）方向：与物体间相对滑动趋势的方向相反，并沿接触表面作用点的切向。

3）作用点：接触点或接触面上摩擦力的合力作用点。Ff

当力FT超过Ffm时，物体开始滑动，此时物体所受的摩擦阻力已由静摩擦力转化为动摩擦力F'f。

F'f=fFN

式中，f称为动摩擦因数。它是与接触材料和表面情况有关的常数，通常，f值小于fs值。2．动滑动摩擦AWFNFTF'f（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）动摩擦力三要素 大小： （无平衡范围）动摩擦力特征：方向：与物体运动方向相反 定律： （f只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关。）F'f=fFNF'f=fFN总结：滑动摩擦1、静滑动摩擦2、动滑动摩擦其中：静滑动摩擦因数

(coefficientofstaticfriction)其中：动滑动摩擦因数

(coefficientofkineticfriction)F：摩擦力，

：法向约束力滑动趋势v

1、列平衡方程时要将摩擦力考虑在内；

2、解题方法：①解析法②几何法

3、除平衡方程外，增加补充方程

(一般在临界平衡状态计算）

4、解题步骤同前。

二、考虑滑动摩擦时的平衡问题44解：考虑到梯子在临界平衡状态有下滑趋势，做受力图。[例]梯子长AB=l，重为P，若梯子与墙和地面的静摩擦因数f=0.5,求a多大时，梯子能处于平衡？注意，由于a不可能大于，所以梯子平衡倾角a应满足

①全约束力

即FR=FN+FS

，它与接触面的公法线成一偏角j，当物体处于临界平衡状态，即静摩擦力达到最大值Fmax时,偏角j达到最大值jf，全约束力与法线夹角的最大值jf叫做摩擦角。FNFsFRjFNFmaxFRjjf②计算摩擦角的正切等于静摩擦因数。三、摩擦角的概念和自锁现象③摩擦锥：顶角为2jf

的锥体。当物块的滑动趋势方向改变时，全约束力作用线的方位也随之改变；在临界状态下，FR的作用线将画出一个以接触点A为顶点的锥面，称为摩擦锥。设物块与支承面间沿任何方向的摩擦系数都相同，即摩擦角都相等，则摩擦锥将是一个顶角为2jf的圆锥。

物块平衡时，静摩擦力不一定达到最大值，可在零与最大值Fmax之间变化，所以全约束力与法线间的夹角j也在零与摩擦角jf之间变化，即由于静摩擦力不可能超过最大值，因此全约束力的作用线也不可能超出摩擦角以外，即全约束力必在摩擦角之内。FNFmaxFRjjfqjfjfjfFRFRAAj1、如果作用于物块的全部主动力的合力FR的作用线在摩擦角jf之内，则无论这个力怎样大，物块必保持静止。这种现象称为自锁现象。因为在这种情况下，主动力的合力FR与法线间的夹角q

<jf，因此，FR和全约束力FRA必能满足二力平衡条件，且q=j<jf

。qjfjfjfFRFRAAj2、如果全部主动力的合力FR的作用线在摩擦角j之外，则无论这个力怎样小，物块一定会滑动。因为在这种情况下，q>j

f，而j≤jf，支承面的全约束力FRA和主动力的合力FR不能满足二力平衡条件。应用这个道理，可以设法避免发生自锁现象。3、自锁应用举例斜面的自锁条件是斜面的倾角小于或等于摩擦角。斜面的自锁条件就是螺纹的自锁条件。因为螺纹可以看成为绕在一圆柱体上的斜面，螺纹升角a就是斜面的倾角。螺母相当于斜面上的滑块A，加于螺母的轴向载荷P，相当物块A的重力，要使螺纹自锁，必须使螺纹的升角a小于或等于摩擦角jf。因此螺纹的自锁条件是各力的作用线汇交于一点的力系称为空间汇交力系；各力的作用线彼此平行的力系称为空间平行力系；各力的作用线在空间任意分布的力系称为空间任意力系(亦称空间一般力系)。§2-6空间平衡力系一、空间力系的概念二、径向轴承(向心轴承)确定研究对象，画受力图并选取坐标轴。将所有外力(包括主动力和约束力)投影在Oxz平面内，按平面力系的平衡问题进行计算。将所有外力投影在Oxy平面内，按平面力系的平衡问题进行计算。将所有外力投影在Oyz平面内，按平面力系的