高中数学必修2模块综合评价

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一'选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的)

1.某几何体的正视图和侧视图均如图①所示(上面是一个圆，下面是个正方形)，则下

面四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()

图①⑴(2)(3)(4)

A.⑴(3)B.(1)(4)52)(4)D.(1)⑵(3)(4)

2.已知直线/的倾斜角为45°,直线八经过点工(3,2),B(-a,1),且八与/垂直,

直线/2：2x+制+1=0与直线平行，则a+b=()

A.-4B.-2C.0D.2

3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()

A.16+8nB.8+8n

C.16+16JID.8+16n

4..若直线y=Ax+l与圆9+产=1相交于P、。两点，且NPOQ=120。(其

中。为坐标原点)，则A的值为()

A.3B.A/2

C.他或一5D.\5和一出

5.如图①所示，在正方形/5CD中，E、F分别是3C、CO的中点，G是E尸的中

点，现在沿/E、/尸及EF把这个正方形折成一个四面体，使5、C、。三点重合，重合后

的点记为〃，如图②所示，那么，在四面体Z-E尸〃中必有()

A./所在平面

B.所在平面

C.所在平面

D.〃G_LZL4E尸所在平面

图①

6.已知直线/：x+"-l=0(a£R)是圆C：x2+/—4x—2y+l=0的对称轴.过点

A(-4,a)作圆C的一条切线，切点为B,则|/即=()

A.2B.4yliC.6D.2亚

7.一个球的内接正方体的表面积为54,则球的表面积为()

A.277rB.187rC.97rD.54九

8.已知高为3的直棱柱的底面是边长为1的正三角

形(如图所示)，则三棱锥B'-ABC的体积为()

9.若圆住一3)2+。+5)2=户上有且只有两个点到直线4x—3y=2的距离为1,则半径

r的取值范围是()

A.(4,6)B.[4,6)C.(4,6]D.[4,6]

10.若点/是点5(1,2,3)关于x轴对称的点，点C是点0(2,—2,5)关于y轴对称的点,

则"|=()__

A.5B.13C.10D.V10

11.在四面体中，棱AC,4D两两互相垂直，则顶点/在底面5CD上的

投影以为△3。。的()

A.垂心B.重心C.外心D.内心

12.曲线yn+N。2与直线产A(x—2)+4有两个交点，则实数4的取值范围

是()

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)

13.若点尸在直线x+j，-4=0上，。为原点，则|OP|的最小值是.

14.若函数y=ax+8与夕=—〃的图象关于直线j=x对称，则“+〃=.

15.圆3+。+1)2=3绕直线Ax—•[—1=0旋转一周所得的几何体的表面积为

16.设a,b,c是空间的三条直线，下面给出四个命题：

①若a_L〃，6J_c,则a〃c;

②若a、8是异面直线，6、c是异面直线，则a、c也是异面直线；

③若a和〃相交，8和c相交，则。和c也相交；

④若a和〃共面，力和c共面，则a和c也共面.

其中真命题的个数是.

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明

过程或演算步骤)

17.(10分)已知圆G：f+jR—3x—3伊+3=0,圆Cz：炉+炉一2x—2p=0,求两圆的公

共弦所在的直线方程及弦长.

18.(本小题满分12分)已知一个几何体的三视图如图所示.

(1)求此几何体的表面积；

(2)如果点P,。在正视图中所处的位置为：P为三角形的顶点，。为四边形的顶点,

求在该几何体的侧面上，从点P到点Q的最短路径的长.

俯视图

19.(本小题满分12分)如图，已知在平行四边形Z5a)中，边N3所在直线方程为2x

一7一2=0,点。(2,0).求：

⑴直线CD的方程；

(2)AB边上的高CE所在直线的方程.

20.(本小题满分12分)已知圆x2+V=4上一定点ZQ,0),B(l,1)为圆内一点，P,

。为圆上的动点.

(1)求线段4P中点的轨迹方程；

(2)若NP3Q=90°,求线段中点的轨迹方程.

21.(本小题满分12分)(2015•北京卷)如图所示，在三棱锥匕中，平面以5_L平面

ABC,△以5为等边三角形，AO.BC&AC=BC=\I1,O,M分别为4B,必的中点.

⑴求证：出〃平面MOG

(2)求证：平面MOC_L平面VAB-,

(3)求三棱锥V-ABC的体积.

22.(12分)已知曲线C：x2+/+2Ax+(4A+10)j+10A+20=0,其中AW-L

(1)求证：曲线C表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；

(2)证明曲线C过定点；

(3)若曲线C与x轴相切，求A的值.

17.解：设两圆的交点为/(xi,yi),5(X2,及)，贝4/、5两点的坐标是方程组

x2+v2—3x-3v+3=0

,,的解，两方程相减得：x+y—3=0,

产+产―2x-2y=0

,：A.5两点的坐标都满足该方程，

/.x+j—3=0为所求.

将圆C2的方程化为标准形式，(x-l)2+(j-l)2=2,

，圆心。2(1,1),半径r=3.圆心C2到直线N3的距离+；>=],

\AB\=lyiP-d1=2yj2--=\lb.即两圆的公共弦长为#.

18.解：(1)由三视图可知，此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其表面积是圆锥的侧

面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和.

212

SK#«=1(2n«)-(\^a)=^na,Satt«=(2na)-(2a)=4na,S®feJg.=na,所以此几何

2222

体的表面积S*=S8mM+S团柱视+SBttA=A/2na+4na+na=(^2+5)na.

(2)分别沿点P与点。所在的母线剪开圆柱的侧面，并展开铺平，如图所示，

则|P0|='\/|^/>|2+|^2I2=A/(2a)2+(na)2=a\j4+n2.

所以P,Q两点在该几何体的侧面上的最短路径的长为小4+rt2.

19.解：(1)因为四边形/6CO为平行四边形，所以4B〃CD,

所以〃cz>=A"=2,故CD的方程为j=2(x—2),即2x—y—4=0.

(2)因为CEA.AB,所以kcE=一^L=一上所以直线CE的方程为夕=一4X一2),

kAB22

即x+2y-2=0.

20.解：(1)设/尸中点为M(x,y),由中点坐标公式可知，P点坐标(2x-2,2y).

因为尸点在圆9+"=4上，所以Qx-2)2+(2y>=4.

故线段4P中点的轨迹方程为(*-1)2+步=1.

(2)设P。的中点为N@,y).在RtAPBQ中.，|PN|=|5N|,

设。为坐标原点，连接ON(图略)，则ON_LPQ,

所以|0尸|2=|022+|卯2=|0,2+但22,所以*2+/+(*—1)2+&-1)2=4.

故线段P。中点的轨迹方程为x2+j2—X—j—1=0.

21.(1)证明：因为O,朋分别幺的中点，

所以〃力B.又因为力平面MOC.所以匕B〃平面MOC

⑵证明：因为/C=5C,O为的中点，所以OCJL/民

又因为平面匕45_1_平面N5C,且OCU平面/5C,

所以OC_L平面以氏又OCU平面MOC.所以平面AfOC_L平面VAB.

(3)解：在等腰直角三角形NC3中，AC=BC=\(2,

所以/5=2,OC=1.所以等边三角形E45的面积S△%8=«.

又因为OCL平面VAB,所以三棱锥C-VAB的体积等于%C・S

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又因为三棱锥PM5C的体积与三棱锥的体积相等，

、5

所以三棱锥匕/5C的体积为2