期末模拟卷（范围集合与常用逻辑用语不等式复数平面向量三角函数和解三角形函数导数）

20232024学年第二学期期末模拟试题高二数学（范围：集合与常用逻辑用语、不等式、复数、平面向量、三角函数和解三角形、函数导数）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求集合，，再求.【详解】由，所以；由，所以.所以.故选：B2．已知，那么p的一个充分不必要条件是（

）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】根据命题的不等式得到解集，由集合的包含关系判断充分、必要性即可.【详解】由题意可知，，解得，要的一个充分不必要条件，即要集合的一个真子集，故D满足条件.故选：D.3．已知平面向量，，若，则实数（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A【分析】依题意可得，根据数量积坐标表示计算可得.【详解】因为，且，所以，解得.故选：A4．已知，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当，则故选：D5．函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．【答案】D【分析】根据题意，利用函数的定义域，以及时，且，结合选项，即可求解.【详解】由函数，可得函数的定义域为，且，故排除B,C,当时，且，排除A.故选：D.6．函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函数解析式，明确其单调性，利用零点存在性定理求解即可.【详解】由函数可知单调递增，因为，，，，所以零点所在区间是，故选：B7．某市组织高中数学测试.考试结束后发现考试成绩X（满分150分）服从正态分布，其中考试成绩130分及以上者为优秀，考试成绩90分及以上者为及格.已知优秀的人数为13，本次考试成绩及格的人数大约为（

）

附:，.A．3413 B．1587 C．8413 D．6826【答案】C【分析】根据正态分布的对称性求出，求出参加数学测试的总人数即可求出及格人数.【详解】依题意，这次数学测试的平均分，标准差，则，参加数学测试的总人数为，又，所以本次考试成绩及格的人数大约为.故选：C8．现有武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个旅游景区，甲、乙随机选择其中一个景区游玩.记事件A：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件B：甲和乙选择的景区不同，则条件概率（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出事件发生的个数和事件同时发生的个数，根据条件概率的计算公式，即得答案.【详解】由题意可知事件发生的情况为甲乙两人只有一人选择巫山小三峡或两人都选择巫山小三峡，个数为,事件同时发生的情况为一人选巫山小三峡，另一人选其他景区，个数为，故.故选：D.9．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】命题等价于在上单调递增，然后使用导数工具分类讨论的单调性即可.【详解】原条件即为对恒成立，从而条件等价于在上单调递增.设，则.一方面，若在上单调递增，则对恒成立.所以，即，得；另一方面，若，设，则.从而当时，当时.故在上递减，在上递增.所以当或时，有，即，进一步可得.这表明在和上递增，故在上递增.综上，的取值范围是.故选：C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分10．若复数z满足，其中i为虚数单位，则z＝．【答案】/【分析】用复数的除法法则运算即可.【详解】因为，所以.故答案为：11．已知，则.【答案】【分析】利用换元法，结合二项式定理求出即可.【详解】令，即，因此原等式为，项为，所以.故答案为：12．若直线与曲线相切，则实数的值为.【答案】【分析】求出函数的导函数，设切点为，依题意得到关于、的方程组，解得即可.【详解】由，可得，设切点为，则，所以，解得.故答案为：13．已知、均为正实数，且，则的最小值为.【答案】【分析】由基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值.【详解】因为、均为正实数，由基本不等式可得，整理可得，，，则，解得，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.14．在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.设，，试用，表示为，若，的面积为，则的最小值为.【答案】6【分析】由图形特征，利用向量的线性运算，用，表示；根据的面积求得的值，利用平面向量的线性运算与数量积运算求出，利用基本不等式求出它取最小值.【详解】如图所示，中，，是边的中点，是线段的中点，则，，即；由的面积为，得，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为6.故答案为：；615．某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试；否则就继续参加考试，直到用完3次机会.小王决定参加考试，若他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，则小王在一年内领到资格证书的概率为；他在一年内参加考试次数的数学期望为.【答案】0.9761.52【分析】由题意利用相互独立事件及对立事件的概率计算公式即可求得一年能领到资格证书的概率；设次数为变量，分别求出的概率，再代入期望公式计算即可.【详解】小王在一年内领到资格证书的概率为：；设为小王一年内参加考试的次数，则的取值可能为.,，，所以期望.故答案为：0.976；1.52三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求证：为等腰三角形；(2)若，求的面积．【详解】（1）因为，所以，化简得，即,所以是等腰三角形.（2）由余弦定理可得，得，解得，由，所以，所以的面积为.17．在的展开式中，(1)求二项式系数最大的项；(2)求系数的绝对值最大的项为第几项．【详解】（1）二项式系数最大的项为中间项，即第6项，所以．（2）（2）设第项的系数的绝对值最大，故整理得，，解得，所以．故系数的绝对值最大的项为第4项．18．已知函数，．(1)若，解关于的不等式；(2)若函数的最小值为4，求m的值．【详解】（1）时，由得，，，因为，所以，解得，所以原不等式的解集为．（2）因为，令，因为，所以，（当且仅当时取得等号）则，，①当，即时，在上单调递增，当，即时，，所以，解得，符合题意；②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，当，，所以，解得，不合题意，舍去．综上，的值为3．19．已知函数在点处的切线方程为.(1)求，；(2)求的单调区间和极值.【详解】（1）定义域为，，将点代入中，，∴.（2），，2＋0－0＋极大值极小值的单调递增区间为，，单调递减区间为；的极大值为，极小值为.20．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若，恒成立，求的取值范围.【详解】（1）由题意知函数的定义域为，.当时