湖南省长沙市2025届高三六校九月大联考数学试卷和解析

答案第1页，共18页一、单选题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)2．若复数z满足=-1-i，则z=A．40B．304．已知sin=2，则sinαsinβ=()5．如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正 八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为123，则正八面体外接球的体积为() 6．已知函数f(x)=cosx+答案第2页，共18页7．当x∈时，曲线y=cosx与y=2cos交点的个数为()8．已知f(x)的定义域为则）二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9．某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为[30,100]，若等级分X~N(80,25)，则()参考数据：P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827；P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9545；A．这次考试等级分的标准差为5B．这次考试等级分超过80分的约有45人C．这次考试等级分在[70,80]内的人数约为48人10．中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结．中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现．它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条．其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线．曲线2-y2)是双纽线，则下列结论正确的是()A．曲线C的图象关于y=x对称B．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3C．曲线C经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点）D．若直线y=kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为(-∞,-1][1,+∞)11．已知函数f(x)=x2-2lnx，则下列选项中正确的是()A．函数f(x)的极小值点为x=1答案第3页，共18页C．若函数g(x)=f(xD．若f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，则x1+x2<2三、填空题(本大题共3个小题,每小题5分,共15分)12．已知向量满足则向量a-在向量b-方向上的投影向量的坐标为，13．已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2，离心率为2，过点F1的直线l交E的左支于A,B两点.OB=OF1（O为坐标原点），记点O到直线l的距离为d，14．十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人．每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有种用数字作答）四、解答题(本大题共5个小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．(本小题满分13分)记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinA=(1)求角C；(2)若VABC外接圆的半径为2，求VABC面积的最大值.16．(本小题满分15分)BE、BM.(1)证明：BC丄平面BFM；(2)求平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值.答案第4页，共18页17．(本小题满分15分)222如图在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+y2=1，椭圆=1，直线l与椭圆C1只有一个公共点，且与椭圆C2交于A,B两点.(1)当直线l倾斜角为135。时，求直线l的方程；(2)求证：VAOB的面积为定值.18．(本小题满分17分)已知函数f(x)=(x-1)ex-x2.(1)求函数的单调区间；(2)求f(x)的零点个数.(3)g(x)=f(x)-m在区间上有两个零点，求m的范围?19．(本小题满分17分)*，若数列{xn}满足xn+1-xn>1，则称这个数列为“K数列”.(1)已知数列1，2m，m2+1是“K数列”，求实数m的取值范围.(2)是否存在首项为−2的等差数列{an}为“K数列”，且其前n项和Sn使得Sn<n2-n恒成立?若存在，求出数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由.(3)已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列{bn}是否为“K数列”，并说明理由.答案第5页，共18页题号123456789答案BCBABDDBACDBD题号答案AC【分析】将x=1代入方程求出m，再求集合B即可.故选：B【分析】根据复数乘除法运算直接计算即可.因为=-1-i，所以z=-2=-2i.故选：C.【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解.【详解】设等差数列{an}(n∈N*)的公差为d，a2故选：B.【分析】切化弦，通分即可求解.因为sin因为故选：A.【分析】根据正八面体的结构特征结合条件可得外接球的半径，进而由球的体积公式即得体积.【详解】如图正八面体，连接AC和BD交于点O，所以EO丄AC，EO丄BD，又AC和BD为平面ABCD内相交直线，所以EO丄平面ABCD，所以O为正八面体的中心，设正八面体的外接球的半径为R，因为正八面体的表面积为AB2=12所以正八 面体的棱长为6，所以EB=EC=BC=,OB=OC=,EO=，则R=3,V=πR3=π×33=43π.故选：B.【分析】首先判断函数在(0,+∞)上的单调性，再比较大小.【详解】f,(x)=-sinx+ex，当x>0时，f,(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，故选：D【分析】分别画出y=cosx与y=2cos在上的函数图象，根据图象判断即可.y=cosx与y=2cos在上的函数图象如图所示，由图象可知，两个函数图象交点的个数为6个.故选：D.答案第6页，共18页【分析】根据题意，利用赋值法，求得f(x+6)=f(x)，得到f(x)的一个周期是6，再根据函数的周期性和奇偶性，求得f(1),f(2),f(3),f(4),f(5),f(6)的值，进而得到答案.【详解】由题意知，函数f(x)的定义域为令x=1,y=0，得f，所以f令x=0，得f(0+y)+f(0-y)=3f(0)f(y)，所以f(-y)=f(y)，所以f(x)是偶函数，令y=1，得f(x+1)+f(x-1)=3f(x)f(1)=f(x)①,所以f(x+2)+f(x)=f(x+1)②,由①②知f(x+2)+f(x-1)=0，所以f(x+3)+f(x)=0,f(x+3)=-f(x)，所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x)，所以f(x)的一个周期是6，由，所以f，同理f所以，又由周期性和偶函数可得：所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(6)=0，故选：B.【分析】根据X~N(80,25)的含义易判断A,B两项，对于C,D,先把范围转换成用μ,σ表示，利用3σ概率值求出相应范围的概率值，再进行估算即可.对于B，因μ=80，即这次考试等级分超过80分的学生约占一半，故B错误；答案第7页，共18页对于C，因P0.9545≈0.48,故这次考试等级分在[70,80]内的人数约为0.48×100=48人，故C正确；故D正确.故选：ACD.【分析】对于A项，运用若点(x,y)关于y=x对称的点(y,x)满足方程，则曲线的图象关于y=x对称，检验即可；对于B项，根据已知条件可得x2+y2≤9即可；对于C项，计算边界点来界定整数点个数；对于D项，联立直线方程与双纽线方程，将问题转化为方程只有一解即可.【详解】对于A项，把(y,x)代入(x2+y2)2=9(x2—y2)得(x2+y2)2=9(y2—x2)，显然点(y,x)不满足双纽线方程，所以曲线C的图象不关于y=x对称，故A项错误；对于B项，由可得x2+y2=所以曲线C上任意一点到坐标原点O的距离d=222x+y由题意可知，3≤x≤3，因此曲线C只能经过3个整点(0,0)，(3,0)，(—3,0)，故C项错误；对于D项，直线y=kx与曲线(x2+y2)2=9(x2—y2)一定有公共点(0,0)，若直线y=kx与曲线C只有一个交点，9x22)，只有一个解x=0，答案第8页，共18页答案第9页，共18页故选：BD.11．AC【分析】求导，利用导数判断f(x)的单调性和最值，可得f(x)的图象，进而可以判断A；对于B：根据f(x)的单调性分析判断；对于C：根据偶函数性质分析可知：原题意等价于当x>0时，y=f(x)与y=t有2个交点，结合f(x)的图象分析求解；对于D：构建g(x)=f(2x)f(x),x∈(0,1)，结合导数可得f(2x)<f(x分析证明.【详解】由题意可知：f(x)的定义域为，且f,=2x—令f,(x)>0，解得x>1；令f,(x)<0，解得0<x<1；可知f(x)在(0,1)内单调递减，在(1,+∞)内单调递增，则f(x)≥f(1)=1，且当x趋近于0或可得函数f(x)的图象，如图所示：对于选项A：可知函数f(x)的极小值点为x=1，故A正确；对于选项B：因为1<e，且f在内单调递增，所以错误；可知函数g(x)=f(x)—t有4个零点，即y=f(x)与y=t有4个交点，答案第10页，共18页可知y=f(x)为偶函数，且当x>0时，y=f(x)=f(x)原题意等价于当x>0时，y=f(x)与y=t有2个交点，则f(2—x1)<f(x1)=f(x2)，且2x1>1,x2>1，且f(x)在(1,+∞)内单调递增，则2x1<x2，所以x1+x2>2，故D错误；故选：AC.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数h(x)；（3）利用导数研究h(x)的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式.特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题. 【分析】由已知分别求出cos<a-,>和，再根据平面向量数量积的运算律求解即可.答案第11页，共18页因为向量a-在向量b-方向上的投影向量的坐标为222222b所以2a【分析】根据给定条件，作出图形，结合三角形中位线性质可得BF2丄BF1，再利用双曲线定义及勾股定理求解即得.【详解】令双曲线E的半焦距为c，由离心率为2，得c=2a，取F1B的中点D，连接OD，由=OFF，即(2d)2+(2d2a)2=(4a)2，整理得而所以故答案为：【分析】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是1,1,3和1,2,2，先求出5名工作人员分配到3个会议厅的情况数，甲乙两人分配到同一个会议厅的情况数，相减得到答案.【详解】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是1,1,3和1,2,2，人数组合是1,1,3时，共有种情况，答案第12页，共18页其中甲、乙两人分配到同一个会议厅的情况为=18种，从而甲、乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有60—18=42种；2人数组合是1,2,2时，共有×A=90种情况，2其中甲、乙两人分配到同一个会议厅的情况为CC×A=18种，从而甲、乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有所以甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有42+72=114种.故答案为：114.【分析】（1）运用正弦定理实现边角转化，结合余弦定理进行求解即可；（2）根据正弦定理，结合外接圆的半径可以求出c=2，根据三角形面积公式、利用重要不等式进行求解即可.（2）:△ABC外接圆的半径为2，即VABC面积的最大值为2+.16．(1)证明见详解答案第13页，共18页【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理、平行线的性质进行证明即（2）作EN丄AD，垂足为N，根据平行四边形和矩形的判定定理，结合（1）的结论，利用勾股定理，因此可以以BM，BC，BF所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）因为FB丄平面ABCD，又AD平面ABCD，所以FB丄AD.又FM丄AD，且FB∩FM=F，所以AD丄平面BFM.因为BC//AD，所以BC丄平面BFM.（2）作EN丄AD，垂足为N.则FM//EN.又EF//AD，所以四边形FMNE是平行四边形，又EN丄AD，所以四边形FMNE是矩形，又四边形ADEF为等腰梯形，且AD=4，EF=2，所以AM=1.由（1）知AD丄平面BFM，所以BM丄AD.又AB=， 由上可知，能以BM，BC，BF所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.答案第14页，共18页设平面BDE的法向量为=(x2,y2,z2)，2 依题意可知，平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值为.(2)证明见解析【分析】（1）根据直线倾斜角得到直线的斜率，进而设直线方程，根据直线与曲线有一个交点联立方程组解得答案；直线与椭圆C2交于A,B两点，连立方程组结合韦达定理得结合三角形面积公式得答案；【详解】（1）因为直线l倾斜角为135o，直线l为y=—x+b，因为椭圆+y2=1，:Δ=4b2—12(b22)=0,:b=±v3，所以直线l为x+y+:Δ=4b2—12(b22)=0,:b=±v3，所以直线l为x+y+·i3=0或x+ys3=0（2）因为直线l与椭圆C1只有一个公共点，设直线l为y=kx+b由得2k2+1)x2+4kbx+2b22=0,:Δ=16k2b24(2k2+1)(2b22)=0,:2k2b2+1=0,(2)1个【分析】（1）对函数求导，利用导数正负与原函数的关系求解即可；（2）结合(1)问的单调性，求出函数f(x)的值域，结合零点存在定理即可求解.（3）将零点问题转化为函数交点问题，求出f(x)在区间上的值域即可求解.令f,(x)=0，解得：x=0或x=ln2，令f,(x)>0，解得：x<0或x>ln2；由于f(ln2)=2(ln2—1)(ln2)2<0，则f(x)在(0,ln2)上无零点；>0，则f(x)在(ln2,2)上存在唯一零点；综上，函数f(x)在R