东莞外国语学校2024年高三上学期9月月考数学解析

2024-2025学年第一学期东莞外国语学校高三段考一1.设集合A=xx2≥4}，B={x2x<a}，若AUB=A，则a的取值范围是()A.【答案】A【解析】【分析】先解一元二次不等式再根据集合间的关系求参.【详解】A=2+1∉N【答案】D【解析】【分析】利用命题否定的定义求解即可.3.某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分工的平均体重为70kg，标准差为4．则所抽取的所有员工的体重的方差为()【答案】B【解析】【分析】求出样本平均数，再根据分层抽样方差计算公式求出样本的方差.则样本中所有员工的体重的方差s2=39×[62+(50−57)2]+21×[42+(70−57)2]=120.39+2139+214.二项式展开式中，含x2项的系数为()A.20B.−20C.−60D.80【答案】A【解析】【分析】利用展开式的意义可求含x2项的系数.要得到含x2项，需有1个因式取x2，其余的4个因式都取−2，系数为C(−2)4，或者需有2个因式取x2项，需有2个因式取，其余的1个因式都取−2，系数5.函数f经过点(1,−1)，则关于x的不等式f(3x)+f(4−x2)<0解集为()【答案】B【解析】所以函数f(x)在(−∞,0]上单调递减，在(0,+∞)上单调递减，所以f(x)在R上单调递减，又f(−x)=x|−x|=x|x|=−f(x)，即函数f(x)是奇函数，不等式f(3x)+f(4−x2)<0⇔f(3x)<−f(4−x2)=f(x2−4)，则x2−4<3x，即x2−3x−4<0，解得−1<x<4，所以原不等式的解集为(−1,4).【答案】A【解析】且f(x)关于直线x=1对称，一列两个数字之和为5”的不同的排法有()【答案】B【解析】【分析】分3步完成，每步中用排列求出排法数，再第二步，排第一步中剩余的一组数，共有AA=8种排法；第三步，排数字5和6，共有A=2种排法；8.已知实数x，y，满足ylny=e2x−yln2x，则y的最小值为()【答案】A【解析】【分析】化简变形后可设f(t)=tet，知其在(1,+∞)上单调递增，若f(ln2xy)=f(2x)，则2xy=e2x，对求导可得到极值点也是最值点，故可得结果.【详解】由已知有ylny+yln2x=e2x，即yln2xy=e2x，即ln2xy.eln2xy=2xe2x，t>0易知f(t)在(0,+∞)上单调递增，因f(ln2xy)=f(2x)，所以ln2xy=2x，故2xy=e2x，即故当时取极小值也是最小值为e.9.已知正数x，y满足x+2y=1，则下列说法正确的是()A.xy的最大值为B.x2+4y2的最小值为C.+的最大值为2D.的最小值为7+2xy【答案】ABD【解析】【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案.【详解】对于A：∵x>0，y>0，x+2y=1.对于B：x2+4y2=2−4xy=1−4xy，由知xy≤,∴−4xy≥−∴x2+4y2=1−4xy≥1−.∴B正确；频率分布直方图进行统计（如图）.若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则关于该样本量的叙述正确的是()【答案】ABD【解析】分布直方图求估算平均数、方差的方法计算判断B抽取的产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分s2=(−30)222222fD.若f(x)为偶函数，则满足题意的f(x)唯一，满足题意的g(x)不唯一【答案】ABD【解析】fx0,2)上严格减，x(−x0,0即fx【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分利用导数与函数单调性和极值的关系，并结合函数的奇偶性和周期性分析.12.已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)=0.6827，则P(X>4)=.(精确到【答案】0.15865【解析】【分析】根据正态分布的对称性结合题意求解即可.【详解】由于X服从正态分布N(3,1)，所以正态曲线的所以P(X>4)=P(X<2)，13.已知f(x)是定义R在上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x+22−x，当x<0时，f【答案】−5【解析】【分析】根据奇函数可求得x<0的解析式，从而可求得m=−4，n=−1，进而可得答案.【详解】令x<0，则−x>0，所以f(−x)=2−x+22+x.所以f(x)=−22+x−2−x=−4×2x−2−x，所以m=−4，n=−1，所以m+n=−5.故答案为：−514.设a∈R，对任意实数x，用f(x)表示x−2,x2−ax+3a−5中的点，则a的取值范围为.【解析】x【分析】设g(x)=x2−ax+3a−5，h(x)xΔ≥0，求出a的取值范围，然后对实数a的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数a式，综合可求得实数a的取值范围.【详解】设g(x)=x2−ax+3a−5，h(x)=x−2，由x①当a=2时，g(x)=x2−2x+1，作出函数g(x)、h(x)的图象如下图所示：此时函数f(x)只有两个零点，不合乎题意；要使得函数f(x)至少有3个零点，则x2≤−2，所以，=4+5a−5≥0，解得a∈∅;由图可知，函数f(x)的零点个数为3，合乎题意；要使得函数f(x)至少有3个零点，则x3≥2，故答案为：【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直象，利用数形结合的方法求解.【解析】（2）由fx≥0恒成立，转化为a≤xlnx恒成立，继而结合求导得出g(x)=xlnx的最小值即可.当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，则f(x因为f(x令gx)=1+lnx，x)>0，因此gmin，则a≤−所以a的取值范围为a≤−.增长.为了适应市场需求，我国某无人机制造公司研发了一种新型民用无人机，为测试其性能，对其飞行距核心零件损坏数y（个）（1）据关系建立y关于x的回归模型=x+求y关于x的回归方程(精确到0.1，精确到1）.（2）为了检验核心零件报废是否与保养有关，该公司进行第二次测试，从所件报废，其中保养过的占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值α=0.01的独立性检=y−,K2=,n=a+b+c+d.P(K2≥k0)k0（2）表格见解析，核心零件是否报废与是否保养有关.【解析】 所以y关于x的线性回归方程为=1.6x−26.6零假设H0：核心零件是否报废与保养无关，推断H0不成立，即认为核心零件报废与是否保养有关，此推断的错误概率不大于0.01.（2）设前4局中，甲开球的次数为X，求X的分布列及期望.【解析】 （2）由X的取值，根据对应的事件，求相应的概率，得分布列，由公式求解期望. 设第i局甲胜为事件Ai，则第i局乙胜为事件Ai，其中i=1,2,3,…则“第3局甲开球”为事件A2，A2AA2+PAP依题意X=1,2,3,4，P(X=2)=PAA2A3+PA+PAA2A3P(X=3)=PA+PAA2A3+PA:X的分布列为X1234P 427 18.已知函数f(x)=aex−1−lnx+lna.【解析】>0，使得=aex0−1−得到f(x)min，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得f(x)≥1恒成立；当【详解】（1）:f(x)=ex−lnx+1，:f′(x)=ex−,:k=f′(1)=e−1.:f(1)=e+1，∴切点坐标为(1,1+e),:切线与坐标轴交点坐标分别为:f(x)=aex−1−lnx+lna,:f′(x)=aex−1−,且a>0.x∴存在唯一x0>0，使得ff−1=，:lna+x0−1=−lnx0，因此f(x)min=f(x0)=aex0−1−lnx0+lna∴f当0<a<1时，f(1)=a+lna<a<1,∴f(1)<1,f(x)≥1不是恒成立.由f(x)≥1得aex−1−lnx+lna≥1，即elna+x−1+lna+x−1≥lnx+x，而lnx+x=elnx+lnx，所以elna+x−1+lna+x−1≥elnx+lnx.由elna+x−1+lna+x−1≥elnx+lnx，可知h(lna+x−1)≥h(lnx)，所以lna+x−1≥lnx，所以lna≥(lnx−x+1)max.令F(x)=lnx−x+1，则所以[F(x)]max=F(1)=0，则lna≥0，即a≥1.由题意知a>0,x>0，令aex−1=t，所以lna+x−1=lnt，所以lna=lnt−x+1.于是f(x)=aex−1−lnx+lna=t−lnx+lnt−x+1.由于f(x)≥1,t−lnx+lnt−x+1≥1⇔t+lnt≥x+lnx，而y=x+lnx在x∈(0,+∞)时为增函数，故t≥x，即aex−1≥x，分离参数后有a≥xex−1.所以当x=1时，g取得最大值为g(1)=1．所以a≥1.因为定义域为(0,+∞)，且f(x)≥1，所以f(1)≥1，即a+lna≥1.令S(a)=a+lna，则S>0，所以S在区间(0,+∞)内单调递增.因为S(1)=1，所以a≥1时，有S(a)≥S(1)，即a+lna≥1.下面证明当a≥1时，f(x)≥1恒成立.令T(a)=aex−1−lnx+lna，只需证当a≥1时，T(a)≥1恒成立.因为=ex−1+>0，所以T在区间[1,+∞)内单调递增，则[T(a)]min=T(1)=ex−1−lnx.因此要证明a≥1时，T(a)≥1恒成立，只需证明[T(a)]min=ex−1−lnx≥1即可.由ex≥x+1,lnx≤x−1，得ex−1≥x,−lnx≥1−x.上面两个不等式两边相加可得ex−1−lnx≥1，故a≥1时，f(x)≥1恒成立.当0<a<1时，因为f(1)=a+lna<1，显然不满足f(x)≥1恒成立.方法二：利用同构思想将原不等式化成elna+x−1+lna+x−1≥elnx+lnx，再根据函数h(m)=em+m的单方法三：通过先换元，令