2025年新高考数学名校选填压轴好题汇编（一）（解析版）

2D.h22=R2，h22=R2，h2h22≥2⋅h2h22≥2⋅r=rh，所以rh≤R2，x2-y22x2-y22Fr1A.2B.3C.3D.42=a2+b2，FFFF2=a，Q，=c-a，|O1T|=r1,|O2T|=r2，所以双曲线的离心率e==4.113.(广东省深圳外国语学校(集团)龙华高中部2025届高三第一次月考数学试题)已知函数f(x)=所以f(x(在x=之后的零点依次为+=，+=，+=，+若f(x(在区间,t|上恰有3个零点，所以≤t<.f(1(值的是()A.-2B.-1C.0D.1【解析】因为函数y=f(x(对于任意实数a和b，都有f(a+b(+f(a-bf(0(+f(0(=2f(0(⋅f(0(，即2f(0([f(0(-1[=0，所以f(0(=0或f(0(=1；因为f≥0，所以f(x(≥-f(0(，所以f(x(的值不可能是-2，22定义域为R，对任意的x满足f(-x(=f(x+2(，且f(x(在区间(-1,0(上单调递增，若a=log43,b=A.f(c(>f(a(>f(b(B.f(c(>f(b(>f(a(C.f(a(>f(b(>f(c(D.f(a(>f(c(>f(b(【解析】因为对任意的x满足f(-x(=f(x+2(，所以f(x(关于x=1对称，又因为奇函数f(x(的定义域为R，所以f(x)=-f(-x)=-f(x+2)，则f(x)=-f(x+2)=f(x+4)，则f(x(的周期为4，因为f(x(在区间(-1,0(上单调递增，所以f(x(在区间(-1,1(上单调递增，44>log43=log4481>log4464=log44=,∴<a<1，3>logπ416=logπ2>logπ1=0,∴0<b<，又f(c)=f=f(4+=f，0<b<<a<1，所以f(b)<f<f(a)，即f(b)<f(c)<f(a)， ()A.B.C.1D.2-a(=，因为b-a=π,所以ω=.335C.5C.5=4=4最短路线即为扇形中的线段BM，BM=AB2+AM2=25,=.于是NM为下坡路段，下坡路段长NM=AM⋅cos∠AMB=2×2=.A.1B.2C.π2-1D.2π2-1=,0是f(α(f(x)-4ex为奇函数，y=f(x)+2ex为偶函数，则f(x)的最小值为44【解析】由y=f(x)-4ex是奇函数，得f(-x)-4e-x=-f(x)+4ex，由y=f(x)+2ex是偶函数，得f(-x)+2e-x=f(x)+2ex，联立解得f(x)=ex+3e-x≥2、ex⋅3e-x=2、3，当且仅当ex=EC.D.B.A.C.D.B.424=x，=x，2a-x，2AF2=，在Rt△AF1B+2+(4x)2=(2a-x)2，2=2c2， 2=所以椭圆E的离心率为e 2=、.2n+1n=2n(n*A.22024-1B.31012-355所以S2024=(a1+a3+⋯+a2023)+(a2+a4+⋯+a2024)=-+=3×21012-3.M2|+x2=,x1x2=4.M2M4|=(|M1F|+2)(|M4F|+2(=(x1+4)(x2+4)选C.的函数，f(2+x(+f(-x(=0，对任意x1，x2∈[1,+∞((x1<x2(，均有f(x2(-f(x1(>0，已知a，b(a≠b(为关于x的方程x2-2x+t2-3=0的两个解，则关于t的不等式f(a(+f(b(+f(t(>0的解66【解析】由f(2+x(+f(-x(=0，得f(1(=0且函数f(x(关于点(1,0(对称.∈[1,+∞((x1<x2(，均有f(x2(-f(x1(>0，又因为函数f(x(的定义域为R，所以Δ=4-4(t2-3(>0，解得-2<t<2，又f(2+x(+f(-x(=0，令x=-a，则f(a(+f(b(=0，则由f(a(+f(b(+f(t(>0，得f(t(>0=f(1(，所以t>1.≥2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件f(x(的图象既关于直线x=m对称，又关于点(n,0(对称，则ω+≥π,解得ω≥,不充分条件.sinx-2a([x2-(2a+1(x+1[≤0对任意x∈(0,+∞(恒成立，则实数a的取值范围是()当(2a+1(2-4≤0时，即-≤a≤时，Δ≤0，此时满足y=x2-(2a+1(x+1≥0恒成立，77又易知sinx≤所以可得，若可得sinx-2a>0恒成立，若可得sinx-2a<0恒成立，因此只需满足y=x2-(2a+1(x+1>0在x∈(0,+∞(上恒成立，16.(广东省茂名市高州中学2025届()B.因为f(为奇函数，则f(-1(=-f(--1(，即f(x-1(=-f(-x-1(，两边求导得f/(x-1(=f/(-x-1(，则g(x-1(=g(-x-1(，可知g(x(关于直线x=-1对称，又因为g(2x+1(为奇函数，则g(2x+1(+g(-2x+1(=0，即g(x+1(+g(-x+1(=0，可知g(x(关于点(1,0(对称，由g(x-1(=g(-x-1(可得g(x(=g(-x-2(，由g(x+1(+g(-x+1(=0，可得g(x(+g(-x+2(=0，即g(x(=-g(-x+2(，可得g(-x-2(=-g(-x+2(，即g(x+4(=-g(x(，令x=0，可得g(4(=-g(0(=-且g(x+8(=-g(x+4(=-[-g(x([=g(x(，可知8为g(x(的周期，可知g(8k+2(=g(8k+4(=-,g(8k+6(=g(8k+8(=,k∈Z，88f(x-2)≥f(2x+2)的解集为()且f(-x(=log2|-x|-(-x(-2=log2|x|-x-2=f(x(，所以f(x)=log2|x|-x-2为偶函数，当x>0时f(x(=log2x-x-2，因为y=log2x与y=-x-2在(0,+∞(上单调递增， 则f(x(在(-∞,0(上单调递减，不等式f(x-2)≥f(2x+2)，即f(|x-2|(≥f(|2x+2|(，等价于2x+2|，解得-4≤x<-1或-1<x≤0，A.α=βB.α>βC.α<βD.不确定由cos(α-β(=可得cosα=cos(α-β(cosβ,又由cosα=cosa(α-β+β(=cos(α-β(cosβ-sin(α-β(sinβ,所以有sin(α-β(sinβ=0，由β为锐角可得s则sin(α-β(=0，又由α,β为锐角可得-<α-β<，A.3-b3=a2-b2，则(a-b((a2+ab+b2(=(a-b((a+b(，即>3，又=+，99因此可得+>3，20.(广东省部分学校2025届高三上学期新起点模拟考试数学试题)已知函数f(x(=aex-1-lnx+lna，【解析】由f(x(≥1⇒aex-1-lnx+lna≥1⇒aex-1+lna≥lnx+1⇒elna+x-1+lna≥lnx+1，两边同时加(x-1(，得：elna+x-1+x+lna-1≥lnx+x⇒elna+x-1+(x+lna-1(≥elnx+lnx.所以x+lna-1≥lnx⇒x-lnx+lna-1≥0.设h(x(=x-lnx+lna-1，x>0，则h/(x(=1-，由h/(x(>0⇒x>1；由h/(x(<0⇒0<x<1.所以h(x(min=h(1(=lna.由lna≥0⇒a≥1.A.>B.m+>n+C.mn<nmD.logmn>lognm【解析】由0<n<m<1知n-m<0，故-=<0，所以<，故A错误；由0<n<m<1得m-n>0，1-=<0，所以m+n+=(m-n((1-<0，即m+<n+，故B错误；因为指数函数y=mx为单调减函数，故mn>mm，由幂函数y=xm为单调增函数知mm>nm，故mn>nm，故C错误；根据0<n<m<1对数函数y=logmx、y=lognx为单调减函数，故logmn>logmm=1=lognn>lognm，故D正确，A.-B.-2C.D.【解析】因为tan(α+β(=7,所以tan(α+β)tan(α-β)=7tan(α-β)，故tan2α=tan[(α+β(+(α-β([=--=-=-.A.B.C.D.则P(A(=,P(B(=,P(C)=, 24.(广东省2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题)当a≥e时，方程ex+x+lnx=lna+在[1,+∞(上根的个数为()A.0B.1C.2D.3x+x+lnx=lna+⇔ex+x=+ln，设函数F(x(=ex+x，现讨论方程F(x(=F(ln根的个数，F(x(在x≥1时单调递增，故问题可转化为x+lnx=lna根的问题，当a≥e时，方程x+lnx=lna只有所以方程ex+x+lnx=lna+在[1,+∞(上根的个数为1.25.(广东省部分学校2025届高三上学期第一次月考联合测评数学P(B(=，则事件A与B的关系是()A.事件A与B互斥B.事件A与B对立C.事件A与B相互独立D.事件A与B既互斥又相互独立【解析】由P(A|B(=P(AB(得P(AB(=P(A|B(P(B(=1因为P(A(P(B(=，P(A(P(B(=P(AB(，所以事件A与B相互独立，无法判断事件A与B是否互斥.26.(广东省部分学校2025届高三上学期第一次月考联合测评数学试卷)已足：f(1(=，且f(x+y(+f(x-y(=2f(x(f(y(，则下列结论正确的是()A.f(0(=0B.f(x(的周期为4C.f(2x-1(关于x=对称D.f(x(在(0,+∞(单调递减+β(=cosαcosβ-sinαsinβ,cos(α-β(=cosαcosβ+sinαsinβ可得cos(α+β(+cos(α-β(=2cosαcosβ,可设f(x(=cosax选项C：f(2x-1(=cosx-又f=cos0=1，故此时x=为其一条对称轴.*n+2>an，则()A.a2>0B.0<q<1C.an+1>anD.Sn<n+1>a1⋅qn-1⇒-qn+1>-qn-1⇒qn-1(q2-1(<0恒成立，2-1<02=-q<0，故A错；n+1-an=-qn+qn-1=qn-1(1-q)>0⇒an+1>an，故C对；=r1(cosα+isinα(，z2=r2(cosβ+isr1r2[cos(α+β(+isin(α+β([.从0，1，3中随机选出两个不同的数字分别作为一个复数的实部和虚,⋯,zn,记Xn=z1z2⋯zn.()4≤4,则r1若(X4(2A.图形关于y轴对称2+y2=1+xy可得x2+y2-1=xy≤,(当x=y时取等号)，∴x2+y2≤2，x<1x≥1L(x-a)(x-2a)x<1x≥1L(x-a)(x-2a),又函数y=x2-3ax+2a2的对称轴为x=，x<1x≥x<1x≥12-3x,+2,,当x<1时，0<2x<2，则-1<2x-1<1，即-1<f(x)<1，A错误；x<1x≥x<1x≥12-3x,+2,f(x(=(x-1)2(x-4(，则()A.x=1是f(x(的极小值点B.f(2+x(+f(2-x(=-4C.不等式-4<f(2x-1(<0的解集为{x|1<x<2{D.当0<x<且f/(x(=2(x-1((x-4(+(x-1(2=3(x-1((x-3(，f/(x(>0；对于选项B：因为f(2+x(+f(2-x(=(x+1)2(x-2(+(1-x)2(-x-2(=-4，故B正确；对于选项C：对于不等式-4<f(2x-1(<0，因为f=-∈(-4,0(，即x=为不等式-4<f(2x-1(<0的解，但x=∉(1,2(，所以不等式-4<f(2x-1(<0的解集不为{x|1<x<2{，故C错误；对于选项D：因为0<x<，则0<sinx<1，且sinx-sin2x=sinx(1-sinx(>0，可得0<sin2x<sinx<1，因为函数f(x(在(0,1(上单调递增，所以f(sinx(>f(sinA.曲线C关于原点O成中心对称B.-1≤n≤1=2，则(m+2(2+n2⋅(m-2(2+n2=2，即[(m+、2(2+n2[[(m-、2(2+n2[=4，即(m2+n2+2(2-8m2=4，将(-m,-n(代入有[(-m(2+(-n(2+2[2-8(-m(2=4成立，由(m2+n2+2(2-8m2=4，得n2=、8m2+4-m2-2，设、8m2+4=t，则t≥2，所以n2=t-t2-==，则当t=4时，n2有最大值，所以-≤n≤,所以B错误；+F++F33.(广东省2025届高三“熵增杯”8月份阶段适应性测试数学试题)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)()2=0对于A，f(x)=sinx+，A正确；44对于B，设点A在准线l上的投影为点M，因为以AB为直径的圆过焦点F，所以△AQF≌△AQM，p1=1-cosα1p1=1-cosα1-222|BF|==1|BF|==所以S△ABF=1令f(α(=(1+sinα((1-cosα(=1+sinα-cosα-sinαcosα,且t2=1-sin2α,所以S△ABF=1=1≥12(1+t-(t+1(24，所以S△ABF=1所以2(1+cosβ((1+sinβ(=(t+1(2≤3+22，=3-=3-22<3+2211+sinα11+sinα所以S△AQB≥S△AFB≥=所以S△AQB>S△AFB≥3-22+ex-e-x+1(e≈2.7...)，若不等式f(sinθ+cosθ(<2-f(sin2θ-t(对任意θ∈R恒成立，则实数t的A.1B.2C.3D.4g(-x)+g(x)=lg(、(-x)2+1-x)+e-x-ex+lg(、x2+1+x)+ex-e-x=0，不等式f(sinθ+cosθ)<2-f(sin2θ-t)等价于f(sinθ+cosθ)-1<-[f(sin2θ-t)-1[，即g(sinθ+cosθ)<-g(sin2θ-t)=g(t-sin2θ)，当x>0时y=、x2+1+x单调递增，可得y=lg(、x2+1+x)单调递增，y=ex单调递增，y=e-x单调递g(x)=lg(、x2+1+x)+ex-e-x为奇函数且定义域为R，所以g(x)=lg(、x2+1+x)+ex-e-x在R上单调递增，所以sinθ+cosθ<t-sin2θ,即sinθ+cosθ+sin2θ<t，令h(θ)=sinθ+cosθ+sin2θ,只需t>h(θ)max，所以h(m)=m2+m-1，对称轴为m=-，所以m=、2时，h(m)max=2+、2-1=、2+1，A.f(x)的最小正周期为π对于B，f(2π-x)=asin(2π-x)-cos[2(2π-x)]=-asinx-cos2x≠-f(x)，对于C，当a=-2时，f(x)=-2sinx-(1-2sin2x)=2sin2x-2sinx-1=2(sinx-2-，2-Acos(ωx+φ((A>0,ω>0,|φ|<的图象如图所示，令g(x(=f(x(-f/(x(，则下列说法正确的是()A.g=2B.函数g(x(图象的对称轴方程为x=kπ+(k∈Z(即f(x(=2cos(x-，因此f/(x(=-2sin(x-，所以g(x(=2cos(x-+2sin(x-=2、2sin(x+.可得|x1-x2|=n是f(z(=z2的收敛点的是()A.2B.-iC.1-iD.n+1=z可得数列-i,--i,-+i,--i⋯39.(广东省多校联考2024-2025学年高三上学期一调考试数学试题)麦克斯韦妖(Maxwell＇s按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论．设随机变量X所有取值为1，2，⋯n，且P(x=i(=Pi>0(i=1，2，⋯n)Σi1Pi=1，定义X的信息熵H(x(=-log2A.n=1时H(x(=0C.若P1=P2=，Pk+1=2Pk(k≥2,k∈N(，H(x(=2-D.若n=2m，随机变量y的所有可能取值为1,2,⋯,m，且P(y=j(=Pj+P2m+1-j(j=1,2,⋯,m)则H(x)≥H(y)令f(t)=-tlog2t-(1-t)log2(1-t),t∈(0,，则f/(t)=-log2t+log2(1-t)=log2-1(>0，Plog2P1=log2=--，于是H(x)=-+Σk2Pklog2Pk=-+-+-+⋯++=--++-+-+⋯++，令Sn=+++⋯+-+，则Sn=+++⋯++，两式相减得Sn=+++⋯+-=-=1-，因此Sn=2-，H(x)=--+Sn=--+2-对于D，若n=2m，随机变量y的所有可能的取值为1,2,⋯,m，且P(y=j(=Pj+P2m+1-j(j=1,2,⋯,m)，H(x(=-Σ1Pilog2Pi=Σ1Pilog2=P1log2+P2log2+⋯+P2m-1log2+P2mlog2，H(y(=(P1+P2m(log2+(P2+P2m-1(log2+⋯+(Pm+Pm+1(log2= Plog2+P2log2+⋯+P2m-1log2+P2mlog2，由于Pi>0(i=1,2,⋯,2m(，即有>，则log2>log2，因此Pilog2>Pilog2，所以H(x(>H(y(，即H(x(≥H(y(成立，D正确.x>0时，f(x(=e-x(x-1(，下列结论正确的有()A.当x<0时，f(x(=ex(x+1(B.函数f(x(有且仅有3个零点C.若m≤e-2，则方程f(x(=m在x>0上有解f(x2(-f(x1(|<2恒成立f(x(=-f(-x(=-ex(-x-1(=ex(x+1(，故A正确；对于B.当x>0时，f(x(=e-x(x-1(=0，解得x=1，x<0时，f(x(=ex对于C.当x<0时，f(x(=ex(x+1(，f/(x(=ex(x+2(，当x<-2时，f/(x(<0，f(x(递减，-2<x<0时，f/(x(>0，f(x(递增，∴x=-2时，f(x(极小值=f(-2(=-e-2=-，x→0+时，f(x(→-1，-f(x(是奇函数，∴x=2时，f(x(极大值=f(2(=对于D.由C的讨论知-1<f(x(<1，因此对任意的实数x1，x2有-1<f(x1(<1，-1<f(x2(<1，∴-2<f(x1(-f(x2(<2，即|f(x1(-f(x2(|<2，故D正确.C.第三名可能获得某一项比赛的第一名B.f(x(在(上单调递增f(x)=cosx-sinx=-、2sin(x-，画出f(x)的图象如图所示：两个图形的面积之积由基本不等式得xy≤2=25，则Z≤,即Z的最大10-x.10-x.A.圆锥PO的体积为πB.AA1与底面A1B1C1D1所成角的正切值为3D.正四棱台ABCD-A1B1C1D1外接球的表面积为42πPAABOC=PAABOC=,解得r=r=1-r,解得r=r=1-r因为AB=2,A1B1=4，所以AC=2、2<A1C1=42<6，所以AC1=6.过A，C作A1C1的垂线，垂足分别为E，F，则EF=AC=2,A1E=FC1=AA1与底面A1B1C1D1所成的角为∠AA1E，且tan∠AA1E==3，B正确.设正四棱台ABCD-A1B1C1D1外接球的半径为R，球心为N，则MM1=AE=3、2，且N在MM1上.公众号：慧博高A.C:y2=4xB.∠OPQ+∠FON<180°所以∠OPQ+∠FON=∠FOP+∠FON=∠NOP，因此当P,A,F三点共线时，|PA|+|PF|取得最小值，与抛物线C的方程联立得y2-4my-4=0，故Δ=(-4m)2-4×(-4(=16(m2+1(>0,y1+y2=4m，y1y2=-4，因此|MN|=|y1-y2|=46.(广东省2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题)已知函数f(x(的定义域为R，则()A.若f(2(>f(1(，则f(x(是R上的单调递增函数B.若f(x2(=-f(-x2(，则f(x(是奇函数C.若f(1-x(=f(1+x(，且f(2-x(=f(2+x(，则f(x+2(=f(x(D.若|f(x(|=|f(-x(|，则f(x(是奇函数或f(x(是偶函数t因为f(x2(=-f(-x2(，所以f(t(=-f(-t(，即f(-t(=-f(t(；2=0，因为f(x2(=-f(-x2(，所以f(0(=-f(-0(，即f(0(=0；当t<0时，令t=-x2，因为f(x2(=-f(-x2(，所以f(-t(=-f(t(，-t(=-f(t(，所以f(x(是奇函数，所以B正确；对于C，若f(1-x(=f(1+x(，且f(2-x(=f(2+x(，则f(x+2(=f(2-x(=f[1+(1-x([=f[1-(1-x([=f(x(，所以C正确；f(x(|=|f(-x(|，D.若点P在线段BC1上运动，则三棱锥A-B1PD1体积为定值π,解得R=π,解得R=.3.3ADD1A1故A错误；AD1对于D，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⎳平面ABC1D1,∴-B1PD1=1-APD1=1-APD1=S△APD1A.|P|=a+m,|P|=a-mB.若θ=60°,则-|PF2|=2m，a+m,|PF2|=a-m，故A正确；根据余弦定理，4c2=(a+m(2+(a-m(2-(a+m((a-m(，PF2|(2-2|PF1||PF2|-|F1F2|2，-F+、3[；与平面A1B1C1D1在同一平面内，sin(ωx-=-sin，可得<-ωx+<-+，因为y=sint在,上是单调递增的，51.(广东省深圳外国语学校(集团)龙华高中部2025届高三第一次月考数学试题)已知函数f(x)=x,g(x)=x2+a，曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线．则a的值是 则y=f(x)在点(-1,0(处的切线方程为y=2(x+1)，53.(广东省华南师范大学附属茂名滨海学校2025届高三上学期9月月考数学试题)已知函数f(x(=x≤0x>0x+x≤0x>0x+1,,则关于x的方程f(f(x((=1的不等当f(x(≤0时，f(x(+1=1，即f(x(=0，即x≤0时x+1=0，解得x=-1≤0，符合题意；n-nX的分布列为X012P 所以Pn=×n-2+××n-3+2××n-4+⋯+n-2××n-nf(x(=e2x-1-e1-2x+sinx-+1，则不等式f(2x+1(+f(2-x(≥2的解集为.[-2,+∞(【解析】由已知得：f(1-x(=e1-2x-e2x-1+sin-x(+1=e1-2x-e2x-1-sinx-+1，所以f(x(+f(1-x)=2，即f(1-x)=2-f(x(则不等式f(2x+1(+f(2-x(≥2等价于f(2x+1(≥2-f(2-x(=f(x-1)，再由f/(x(=2e2x-1+2e1-2x+cosx-≥4、e2x-1⋅e1-2x-=4->0，可得f(x(在R上单调递增，所以2x+1≥x-1，解得x≥-2，56.(广东省2025届高三“熵增杯”8月份阶段适应性测试数学试题)若存在实数b，使得函数f(x)=x2xx2x则f(x(-2x=c，即f(x(=2x+c，所以f(x(=2x+1，即f(3(=9.58.(广东省揭阳市两校2024-2025学年高三上学期8月联考数学试题)已知过原点O的直线与y=x2xx=2x2=2x1，=2，所以点A的