第18讲函数的应用（二）原卷版

第18讲：函数的应用（二）【考点归纳】考点一、求函数的零点或者参数考点二、零点存在性定理的应用考点三、根据零点所在的区间求参数范围考点四、根据函数零点个数求参数范围考点五、二分法概念的理解考点六、用二分法求方程的近似解考点七：根据指对幂的零点分布求参数考点八：函数模型的应用考点九：函数的零点和方程综合【知识梳理】知识点一函数的零点对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．方程、函数、图象之间的关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．知识点二函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的交点方程f(x)＝0的实数解⇔函数y＝f(x)的零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．知识点三函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．知识点四二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．知识点五用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0.2．求区间(a，b)的中点c.3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．【例题详解】题型一、求函数的零点或者参数1．（2324高一上·广西柳州·期末）已知函数的零点为和3，则（

）A． B． C．4 D．52．（2324高一上·四川广安·期末）已知函数的两个零点分别是和3，函数，则函数在上的值域为（

）A． B． C． D．3．（2324高一上·天津红桥·阶段练习）已知函数，，若函数有2个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．题型二、零点存在性定理的应用4．（2324高一下·江苏扬州·期末）方程的解所在区间为（

）A． B． C． D．5．（2324高一上·安徽马鞍山·期末）函数的零点属于区间（

）A． B． C． D．6．（2324高一上·山西运城·期末）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．题型三、根据零点所在的区间求参数范围7．（2023·山西阳泉·三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（2223高一上·江苏南通·期中）函数的一个零点在区间内，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．9．（2223高一上·湖南常德）已知一元二次方程有两个实数根，，且，则m的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7题型四、根据函数零点个数求参数范围10．（2324高一上·福建厦门·期末）已知函数恰有三个零点,则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．11．（2324高一上·广东佛山·期末）若函数在上恰有一个零点，则（

）A． B．C．或 D．或12．（2324高一上·广东汕尾·期末）若函数，恰有3个零点，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．题型五、二分法概念的理解13．（2324高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（）A． B．C． D．14．（2324高一上·浙江杭州·期中）下列方程中不能用二分法求近似解的为（

）A． B．C． D．15．（2223高一上·浙江·期末）用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（

）A． B． C． D．题型六、用二分法求方程的近似解16．（2324高一上·湖南长沙·期末）设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（

）A．或都可以 B．C． D．不能确定17．（2324高一上·湖南株洲·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（

）A． B． C． D．18．（2324高一上·上海虹口·期末）若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，则实数和分别等于（

）A． B．2，3 C． D．题型七：根据指对幂的零点分布求参数19．（2324高一上·重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（

）A． B．C． D．20．（2223高一下·河北石家庄·期中）设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．21．（2223高一上·湖北黄冈·期末）已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．题型八：函数模型的应用22．（2324高一下·河北石家庄·阶段练习）某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，已知第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量（）满足函数模型（），其中为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（

）（参考数据：，）A．14次 B．15次 C．16次 D．17次23．（2324高一下·广东茂名·阶段练习）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信通带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽W在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（

）（附：）A．48% B．37% C．28% D．15%24．（2324高一下·安徽芜湖·阶段练习）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（

）（精确到0.1，参考数据：）A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．1.5题型九：函数的零点和方程综合25．（2324高一上·重庆·期末）已知函数为奇函数.(1)求实数的值；(2)若，判断并用定义证明函数的单调性；(3)设，且在区间上不存在零点，求实数的取值范围.26．（2324高一上·广东佛山·期末）已知数为奇函数，为偶函数，且，其中为常数．(1)求函数和的解析式；(2)若函数的最小值为16，求的值：(3)在（2）的条件下，讨论函数的零点个数．27．（2324高一上·重庆江北·期末）已知函数，．(1)求函数在区间上的最大值；(2)若函数，且函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围．【专项训练】一、单选题28．（2324高一下·四川达州·期中）函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．29．（2324高一下·浙江·期中）已知函数则函数的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．430．（2324高一下·海南·阶段练习）指数函数模型在生活生产中应用广泛，如在疾病控制与统计､物理学､生物学､人口预测等问题上都可以应用其进行解决.研究发现，某传染病传播累计感染人数随时间（单位：天）的变化规律近似有如下的函数关系：，其中为常数，为初始感染人数.若前3天感染人数累计增加了，则感染人数累计增加需要的时间大约为（

）（参考数据：，）A．10.5天 B．9天 C．8天 D．6天31．（2324高一下·江苏扬州·阶段练习）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（

）A．， B．，C．， D．，32．（2324高三上·陕西西安·期末）已知函数若，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．33．（2324高一上·安徽淮南·期末）若函数与函数的图象有两个不同的交点，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．34．（2324高一上·江西抚州·期末）已知定义在区间上的函数，若存在时，成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．35．（2324高一上·湖北武汉·期末）已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，则（

）A． B．C． D．函数有6个零点二、多选题36．（2324高一上·浙江杭州·期末）函数，有且，则下列选项成立的是（

）A． B． C． D．37．（2324高一上·湖北武汉·期末）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（

）A． B． C． D．38．（2324高一上·辽宁朝阳·期末）在用“二分法”求函数零点的近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（

）A． B． C． D．39．（2324高一上·广西贺州·期末）已知函数，则（

）A．函数有3个零点B．若函数有2个零点，则C．若关于的方程有4个不等实根，，，，则D．关于的方程有5个不等实数根三、填空题40．（2324高一上·浙江杭州·期末）函数的零点，则的值为．41．（2324高一上·江苏无锡·期末）已知函数，则函数的零点个数为.42．（2324高一上·湖南长沙·期末）已知分别是函数与的零点，若，则的取值范围为.43．（2324高一上·云南昭通·期末）已知函数函数有个零点；若方程有三个不相等的实数根，则k的取值范围是.四、解答题44．（2324高一上·江苏盐城·期末）已知定义域为的函数是奇函数.(1)求实数的值并用定义证明函数在上单调递增；(2)若方程在内有解，求实数的取值范围.45．（2324高一上·安徽安庆·期末）茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵奇葩！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌．立德中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，小明同学用沸水泡了一杯茶，泡好后置于室内，开始时测得这杯茶的温度为100℃，经过1分钟测得其温度变为80℃，再经过1分钟测得其温度变为65℃．小明想利用上述数据建立这杯茶的温度y（单位：℃）随经过的时间t（单位：分钟）的函数关系式，选用了两种函数模型：①（为常数，且）；②（为常数，）．(1)请通过计算帮小明同学选出恰当的函数模型；(2)现代研究结果显示，饮茶温度不要超过60℃，请利用（1）中选出的模型该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待多