2.1.1等式与不等式课件高一上学期数学

第2章一元二次函数、方程和不等式等式与不等式湘教版

数学

必修第一

册课标要求1.掌握等式的性质.2.理解不等式的概念,掌握不等式的性质.3.能够用作差法比较两个数或式的大小.4.通过类比,理解等式和不等式的共性与差异.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识一遍过知识点一常见的不等关系不等式中的文字语言与符号语言之间的转换.文字语言大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于符号语言>

≥<

≤≤≥≥≤含义是“大于”或“等于”,两者中有一个成立,则不等式就是成立的

过关自诊铁路总公司关于乘车行李规定如下:乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm,设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a,b,c(单位:cm),这个规定用数学关系式可表示为(

)A.a+b+c>130 B.a+b+c<130C.a+b+c≥130 D.a+b+c≤130D知识点二实数的大小比较比较实数a与b的大小的基本事实

a>ba<ba=b名师点睛比较实数(式)大小的方法方法作差法作商法依据a-b>0⇔a>b;a-b<0⇔a<b;a-b=0⇔a=ba>0,b>0且

>1⇒a>b;a>0,b>0且

<1⇒a<b;a>0,b>0且

=1⇒a=b应用范围数(式)的大小不明显,作差后可化为积或商的形式同号且都不为0两数比较大小过关自诊1.若x为实数,则x2-1与2x-5的大小关系是

.

解析

∵(x2-1)-(2x-5)=x2-2x+4=(x-1)2+3>0,∴x2-1>2x-5.2.如果给定实数a与b,那么如何比较它们的大小呢?提示

通常是通过判断它们的差(a-b)的符号来比较它们的大小.当a与b同号且都不为0时,也可通过它们的商与1的大小关系来比较它们的大小.x2-1>2x-5知识点三不等式的性质等式性质与不等式性质的比较

等式的性质不等式的性质a=b⇔b=aa>b⇔

(性质1)

a=b,b=c⇒a=ca>b,b>c⇒

(性质2)

a=b⇔a+c=b+ca>b⇔

(性质3)

a+b=c⇔a=c-ba+b>c⇔a>c-b(推论1)a=b,c=d⇒a+c=b+da>b,c>d⇒

(推论2)

a=b⇒ac=bca>b,c>0⇒

;

a>b,c<0⇒

(性质4)

b<aa>ca+c>b+ca+c>b+dac>bcac<bc等式的性质不等式的性质a=b,c=d⇒ac=bda>b>0,c>d>0⇒

(推论3)

a=b>0⇒an=bn(n∈N+)a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2)(推论4)a=b>0⇒(n∈N+)a>b>0⇒(推论5)a=b(ab≠0)⇔=a>b,且ab>0⇒

;a>b,且ab<0⇒

(性质5)ac>bd名师点睛对不等式性质的理解(1)性质1和性质2,分别称为“对称性”与“传递性”,在它们的证明中,要用到比较大小的“定义”等知识.(2)性质3(即可加性),即不等式的两边都加上同一个实数,所得不等式与原不等式同向.(3)推论2(即同向可加性),即“同向不等式只能相加,不等号方向不变,不能相减”.(4)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意“乘数的符号”.(5)推论4(即同正可乘方性),即均为正数的同向不等式相乘,得同向不等式,并无相除式.过关自诊1.若a>b,则下列各式正确的是(

)A.a-2>b-2 B.2-a>2-bC.-2a>-2b D.a2>b2A解析

因为a>b,所以a-2>b-2,2-a<2-b,-2a<-2b,故A正确,B,C错误;又取a=0,b=-1时,a>b,但a2<b2,D错误,故选A.2.“a>b>0⇒an>bn>0(n∈N,n≥2)”成立的条件是什么?b>0的条件能去掉吗?提示

成立的条件是“n为大于等于2的自然数,且a>b>0”.不能,假如去掉“b>0”这个条件,取a=3,b=-5,n=2,那么就会出现32>(-5)2的错误结论.重难探究·能力素养速提升探究点一用不等式(组)表示不等关系【例1】

用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,要求菜园的面积不小于110m2,靠墙的一边长为xm.试用不等式表示其中的不等关系.变式探究本例中,若矩形的长、宽都不能超过12m,对面积没有要求,则x应满足的不等关系是什么?解

因为矩形的另一边15-

≤12,所以x≥6.又因为0<x≤18,且x≤12,所以6≤x≤12.规律方法

利用不等式表示不等关系时的注意点(1)必须是具有相同性质,可以比较大小的两个量才可用不等式来表示,没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示;(2)在用不等式表示实际问题时,一定要注意单位统一;(3)若待比较的量中涉及特殊的数集要标明.变式训练1(1)某校对美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于380分,体育成绩z超过45分,用不等式组表示就是(

)D解析

由题意,得x不低于95,即x≥95;y高于380,即y>380;z超过45,即z>45.故选D.(2)一辆汽车原来每天行驶xkm,如果该汽车每天行驶的路程比原来多19km,那么在7天内它的行程将超过2200km,用不等式表示为

.

7(x+19)>2200解析

因为该汽车每天行驶的路程比原来多19

km,所以汽车每天行驶的路程为(x+19)km,则在7天内它的行程为7(x+19)km,因此,不等关系“在7天内它的行程将超过2

200

km”可以用不等式7(x+19)>2

200来表示.探究点二实数大小的比较【例2】

已知a,b∈R,比较a4+b4与a3b+ab3的大小.规律方法

用作差法比较实数大小的步骤作差法是比较两个代数式大小的基本方法,一般步骤是:(1)作差;(2)变形.变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;(3)定号,即确定差的符号;(4)下结论,写出两个代数式的大小关系.变式训练2比较a+2与(a∈R,且a≠1)的大小.探究点三不等式性质的应用1.应用不等式性质判断命题真假【例3】

对于实数a,b,c,判断下列结论是否正确:(1)若a<b<0,则a2>ab>b2;规律方法

1.解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不等式的性质,进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题中经常采用这种办法.2.注意正确的倒数法则,应该是a>b,ab>0⇒,不能误认为是a>b⇒,在应用时不能出错.变式训练3(1)(多选题)[2024甘肃白银高一校考期末]已知a>b>c,a+b+c=0,则下列不等式正确的有(

)ABD解析

对于A,由a>b>c,a+b+c=0,知a>0,c<0,由b>c,得ab>ac,故A正确;对于B,由a+b+c=0,得b=-(a+c),所以a2-b2=a2-(a+c)2=-2ac-c2=-c(2a+c)=-c(a-b),又因为c<0,a>b,所以-c(a-b)>0,故a2>b2,故B正确;对于C,当b=0时,a|b|>|b|c不成立,故C不正确;对于D,由a>b,得ab+a>ab+b,即a(b+1)>b(a+1),(2)(多选题)下列结论正确的是(

)A.若a>b,c>d,则a+c>b+dB.若a>b,c>d,则ac>bdC.若a>b,则c∈R,a+c>b+cD.若a>b,则∃c∈R,a>c,c>bACD解析

根据不等式的同向可加性得A正确;取a=1,b=-2,c=2,d=-4,则ac<bd,故B错误;不等式两边同加一个数不等式符号不变,故C正确;a>b,则a=b+r>b(r>0),存在c=b+(r>0),使得a>c>b成立,故D正确.故选ACD.2.应用不等式性质证明不等式

∵a>b>0,c<d<0,∴a+b>0,c+d<0,b-a<0,c-d<0.∴(a+b)-(c+d)>0,(b-a)+(c-d)<0.∵f<0,∴f[(a+b)-(c+d)][(b-a)+(c-d)]>0.又(a-c)2(b-d)2>0,(方法2)∵c<d<0,∴-c>-d>0.∵a>b>0,∴a-c>b-d>0.∴(a-c)2>(b-d)2>0.变式探究

规律方法

1.简单不等式的证明可直接由已知条件,利用不等式的性质,通过对不等式变形得证.2.对于不等式两边都比较复杂的式子,直接利用不等式的性质不易证得,可考虑将不等式两边作差,然后进行变形,根据条件确定每一个因式的符号,利用符号法则判断最终的符号,完成证明.3.利用不等式性质求取值范围【例5】

已知1<a<4,2<b<8,试求2a+3b,-b与a-b的取值范围.解

∵1<a<4,2<b<8,∴2<2a<8,6<3b<24.∴8<2a+3b<32.∵2<b<8,∴-8<-b<-2.又1<a<4,∴1+(-8)<a+(-b)<4+(-2),即-7<a-b<2.故2a+3b的取值范围是{2a+3b|8<2a+3b<32},-b的取值范围为{-b|-8<-b<-2},a-b

的取值范围是{a-b|-7<a-b<2}.变式探究

规律方法

利用不等式的性质可以解决取值范围问题,当题目中出现两个变量求取值范围时,要注意两个变量是相互制约的,不能分割开来,应建立待求整体与已知变量之间的关系,然后根据不等式的性质求出取值范围.学以致用·随堂检测促达标123451.[2024甘肃庆阳高一校考期中]若a,b,c∈R且a>b,则下列结论正确的是(

)C解析

对于A,当c=0时,ac2=bc2,故A错误;对于B,取a=2,b=1,∴a2=4,b2=1,∴

,故B错误;对于C,∵a>b,∴a3>b3,故C正确;对于D,取a=1,b=-1,则|a|=|b|,故D错误.故选C.123452.已知P=a2+4a+1,Q=-b2+2b-4,则(

)A.P>Q

B.P<QC.P≥Q

D.P≤QC解析

因为P-Q=a2+b2+4a-2b+5=(a+2)2+(b-1)2≥0,所以P-Q≥0,当且仅当a=-2,b=1时等号成立,故选C.12345