专题拓展函数不等式恒成立与能成立（技巧解密6考点过关检测）

专题拓展：函数不等式恒成立与能成立一、单变量不等式恒成立问题一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：1、，2、，3、，4、，二、双变量不等式与等式一般地，已知函数，1、不等关系（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有成立，故．2、相等关系记的值域为A,的值域为B,（1）若，，有成立，则有；（2）若，，有成立，则有；（3）若，，有成立，故；考点一：单变量不等式恒成立例1．（2324高一上·广东湛江·月考）若不等式对一切成立，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．【答案】D【解析】若不等式对一切成立，则，当时，取最大值，故，故的最小值是.故选：D．【变式11】（2324高一上·河南·月考）若对于任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不等式可化为，，令，由题意可得，，当且仅当，即时等号成立，，所以实数a的取值范围为.故选：C.【变式12】（2324高一下·贵州遵义·月考）已知函数，若不等式在上恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，由，得，即，因为不等式在上恒成立，所以，即可.由，得，即，所以的取值范围为.故选：A.【变式13】（2324高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，且在上恒成立，则实数的取值范围为.【答案】【解析】因为，①得，又和分别为偶函数和奇函数，所以，②由①②相加得，又在上恒成立即在上恒成立，设，则只需，易知在上为增函数，，所以，故答案为：.考点二：单变量不等式能成立例2.（2324高一上·重庆·期末）已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为.【答案】【解析】因为函数的对称轴为，所以当时，该二次函数单调递增，所以，因为存在，使得不等式成立，所以有，或，因此实数的取值范围为，故答案为：【变式21】（2223高一上·四川南充·月考）已知函数．若存在，使得成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以，因为存在，使得成立，所以只要，即，得或，所以的取值范围为.【变式22】（2223高一上·山东枣庄·月考）设函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是.【答案】【解析】因为函数，，而函数在为减函数，在为增函数，所以，即函数的最小值为,又，使得成立，则，即，解得：或，即实数的取值范围是或，故答案为：【变式23】（2324高一下·河北张家口·开学考试）已知函数在区间上有最大值11和最小值3，且．(1)求的值；(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】（1）函数图象的对称轴为，显然函数在上单调递增，因此，，解得，所以.（2）由（1）知，，，因此不等式，令，由，得，则，显然函数在上单调递增，当时，，由不等式在上有解，得，所以实数的取值范围是.考点三：任意任意型不等式成立例3.（2122高二下·北京·月考）已知，若对任意，任意，使得，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，，所以，对任意的，要使成立，即要，对任意上成立，所以任意，使得成立，即.故选：C.【变式31】（2223高一上·湖北鄂州·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，.(1)求函数的解析式；(2)设，对任意，均有，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【解析】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，解得，所以是定义在上的奇函数，可得，当时，.当时，则，所以，因为是奇函数，所以，所以，所以.（2）对任意，均有，只需，由（1）知，当时，，当时，；当时，，当时，，又由，所以函数，因为在上为单调递减函数，所以，所以，解得，故实数的取值范围为.【变式32】（2324高一上·湖南永州·期末）已知函数，.(1)若对，都有，求实数的取值范围；(2)若函数，求函数的零点个数.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】（1）对，都有，只需，由在上递增，故，由，在上有，所以且，故有在上恒成立，所以，而，即.（2）由题设，令，当且仅当时等号成立，则，即，所以且，令，则问题等价于在上解的个数，又在上递减，故，当或时，在上无解，即无零点；当时，在上有，所以，即，故有1个零点；当时，在上有（负值舍），又为偶函数，此时有2个零点；综上，或时，无零点；时，有1个零点；时，有2个零点；【变式33】（2324高一上·北京·月考）已知函数.(1)求函数的定义域.(2)判断函数的奇偶性，并说明理由.(3)对，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)函数为非奇非偶函数，理由见解析；(3)【解析】（1）由函数有意义，则满足，解得，所以函数的定义域为.（2）因为的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数.（3）由“对，不等式恒成立”，可得，当时，由在上单调递减，，根据题意得，对法一：可转化为，令，由在上单调递减得，可得，实数的取值范围为.法二：设函数，①当，即时，在上单调递减，可得，解得，则；②当，即时，在上单调递增，可得，解得，则；③当，即时，在先减后增，可得，解得，所以，综上，实数的取值范围为.考点四：任意存在型不等式成立例4.（2324高一下·山东淄博·期中）已知函数，，，．对，都，使得成立，则的范围是．【答案】【解析】函数，在上单调递增，所以，当时，在区间上单调递增，，所以，解得，又因为，所以，解得；当时，在区间上单调递增，其最小值为，所以有，解得，当时，在区间上单调减，在上单调增，其最小值为，所以有，解得，当时，在区间上单调减，，此时，无解；所以的取值范围是，故答案为：.【变式41】（2324高一上·重庆·月考）已知函数.若，使得成立，则实数的范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，当且仅当，且即时等号成立，所以，又函数在上单调递增，所以，由题意可知，即，所以，故选：C.【变式42】（2324高一上·广东佛山·期中）已知，（且），若对任意的，都存在，使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知：，因为的图象开口向上，对称轴为，且，可知当时，取到最大值，由题意可得：，可知存在，使得成立，当，可知在上单调递减，可得，不合题意；当，可知在上单调递增，可得的最大值为，则，即又，解得；综上所述：实数的取值范围是.故选：D.【变式43】（2324高一上·广东茂名·期中）已知函数，若对任意，总存在，使成立，则实数的取值范围为.【答案】【解析】对任意，总存在，使成立,对成立当时，，在上是增函数，当时，，，故实数的取值范围为.故答案为：.考点五：存在存在性不等式成立例5.（2223高一上·北京丰台·期中）已知函数和（其中），若存在使得成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】存在使得成立，等价于在上恒成立，由得，，，所以，解得，所以实数a的取值范围是.故选：A.【变式51】（2324高一上·河北·月考）已知，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，所以，，在上单调递减，所以，当时，，即，取成立.当时，，即，得，所以当时，，即，得，所以，综上：的取值范围是.故选：A【变式52】（2223高一上·辽宁营口·期末）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若，，使得，故只需，其中在上单调递减，故，在上单调递增，故，所以，解得：，实数的取值范围是.故选：C【变式53】（2324高一上·全国·期末）已知且，若存在,存在,使得成立,则实数a的取值范围是.【答案】【解析】因为，当时,，因为存在，存在，使得成立,所以函数在上的最小值小于函数在上的最大值.当时,函数在上单调递减，则，解得;当时,函数在上单调递增，则，解得，综上,实数a的取值范围是.故答案为：.考点六：任意存在型等式成立例6.（2223高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，若对，使得，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以在上递减，在上递增，所以的最小值为，因为，，所以的最大值为，所以的值域为，因为在上递增，所以的值域为，因为对，使得，所以是的子集，所以，解得，即的取值范围故选：D【变式61】（2324高一上·甘肃酒泉·期末）已知函数，对，，使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为所以时，，时，，综上.当时，，，由题意，，即，解得；当时，，符合题意；当时，，，由题意，，即，解得；综上可得.故选：D.【变式62】（2324高一上·江苏南通·期中）已知函数为偶函数，且时，.(1)求时，的解析式；(2)若函数，对，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，；(2)或.【解析】（1）时，，所以，因为为偶函数，所以，则，；（2）因为为偶函数，所以在和上的值域相同，当时，，令，则，，所以函数化为，，所以时，；时，，即在上的值域为.又对，，使得成立，所以的值域是的值域的子集，①当时，在上的值域为则，解得②当时，在上的值域为，则，解得综上所述，实数的取值范围为或.【变式63】（2122高一下·上海黄浦·月考）已知函数，若，，．(1)求的值，并求函数的最小值及此时的值；(2)函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，，时，有最小值；(2)【解析】（1）因为，所以，所以，①因为，所以，②由②得，或，解得或因为，且，所以，代入①得，所以，所以所以．所以当，即时，有最小值．（2），当时，，因为对任意的，总存在，使得成立，所以的值域是值域的子集，当时，，舍去；当时，因为，所以，所以，所以；当时，因为，所以，所以，所以；综上，实数的取值范围是．一、单选题1．（2324高一上·河北石家庄·期中）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为恒成立，即恒成立，所以恒成立，又由（当且仅当时取等号），所以．故选：A．2．（2324高一上·吉林长春·期中）设函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以，所以函数关于直线对称，当时，，则函数在上单调递增，所以在上单调递减，又不等式在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以，因为函数在上单调递增，所以，因为函数在上单调递减，所以，所以，即.故选：D3．（2223高一上·海南·期中）已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】要使对任意的，总存在，使得成立，即在上值域是在上值域的子集，开口向上且对称轴为，则上值域为；对于：当时在上值域为，此时，，可得；当时在上值域为，不满足要求；当时在上值域为；此时，，可得；综上，的取值范围.故选：D4．（2324高一上·江西南昌·月考）已知函数，.若，，使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设在上的最小值为，在上的最小值为.因为，当且仅当，且，即时等号成立，所以，.在上单调递增，所以.由，，使得成立，可得，即，所以.故选：C.5．（2223高二上·陕西西安·期中）已知，若对任意，，使得，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】易知在上单调递增，，在上单调递减，，对任意，，使得，则所以，即.故选：C.6．（2122高一上·福建泉州·期中）已知函数，，，若存在，使得成立，则的取值范围为（

）A． B．C．或 D．【答案】D【解析】设任意的，且，，所以，即，所以在上单调递增，所以；因为，其对称轴为，所以根据二次函数的性质可得在可得到最小值，若存在，使得成立，只需，所以，解得，因为，所以的取值范围为，故选：D二、多选题7．（2324高一上·辽宁丹东·月考）对于恒成立，则的可能取值为（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】设，则，则的图象如下所示：由图可知当时取得最小值，即当且仅当时取等号，因为对于恒成立，所以，故符合题意的有A、B、C.故选：ABC8．（2324高一上·湖南株洲·月考）已知函数，，则下列结论正确的是（

）A．，恒成立，则a的取值范围是B．，，则a的取值范围是C．，，则a的取值范围是D．，，【答案】AC【解析】对于A，因为单调递减，所以，又因为恒成立，则a的取值范围是，故A正确；对于B，因为单调递减，所以，又，，则a的取值范围是，故B错误；对于C，在单调递减，单调递增，所以所以，因为，，所以a的取值范围是，故C正确；对于D，由上述过程可知，，则不能保证，，，例如：当时，不存在，，故D错误.故选:AC.三、填空题9．（2324高一上·广东·月考）已知函数与，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围是.【答案】【解析】，函数单调递减，，故，对任意的，都存在，使得，故的值域包含，①当时，，解得，此时，成立；②当时，函数在上单调递减，，成立，，解得，即；综上所述：.故答案为：10．（2324高一上·广东佛山·期中）已知函数，若对任意，不等式恒成立