高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：12 双曲线（学生版+解析版）

专题12双曲线

一、单选题

1.（2019•浙江省高三期中）双曲线2丁=2的焦点坐标为（）

A.(±1,0)B.(±73,0)C.(0,±1)D.(0,土石)

2.（2020.安徽省高三三模（文））已知双曲线^--二=1的离心率为2,则实数机的值为（）

4m

A.4B.8C.12D.16

a

3.（2019•重庆巴蜀中学高二期中（理））下列双曲线中，渐近线方程为y=土;x的是（）

272

XX2X"7

A._z.=1B.21=ic._z.=1D,工-J

~32'3~94'94

22

X

4.（2020•安徽省高三三模（理））已知双曲线。：二y=1（。>o力>o）离心率为3,则双曲线c的渐近

a"下

线方程为（）

：±-^-xB.y=±yf2xC.y=±2y/2x

A-y=D.y^±—x

4

r2v2

5.（2019•安徽省高二期末（理））已知双曲线C：一—2T=1（a>0,b>0）的焦距为2石，其渐近线方

a-b-

=±?x,则焦点到渐近线的距离为（）

程为y二

2

A.1B.73C.2D.2A/3

6.（2020•四川省成都外国语学校高二开学考试（理））已知双曲线。：Y—三=1的左，右焦点分别为耳，

F2,过耳的直线/分别与两条渐近线交于A、B两点,若耶.廓=0,F\A=AAB,则4=（）

313

A.—B.-C.1D.一

224

22

7.（2020•天津高三一模）已知双曲线亍—匕=1（m>0）的渐近线方程为屈士y=0,则双曲线的离心

率为（）

A.2B.GC.D.2

32

8.（2020•江西省靖安中学高二月考（理））已知双曲线中心为原点，焦点在X轴上，过点（夜,2），且渐近

线方程为丁=±2%,则该双曲线的方程为（）

A./-二=1B.7-4y2=2C.炉—21=]D.-2y2=1

24"

9.（2019•天津高三三模（文））双曲线C:*■一，

=13＞0,。＞0）的离心率为2,焦点到渐近线的距离为

则。的焦距等于（）.

A.2B.2&C.4D.472

22

10.（2020•安徽省高三月考（文））已知双曲线r:—二=1团＞08＞0）的离心率为④，则它的一条渐近线

ah

被圆f+y2-6x=0截得的线段长为（）

3Q6

A.-B.3C.-D.3亚

二、多选题

22

11.（202。山东省胶州市第一中学高三一模）已知双曲线C：=-4=1（。＞0,6＞0）的左、右焦点分别为

a-b

72

耳（-5,0）,6（5,0）,则能使双曲线C的方程为今-上=1的是（）

169

5（9、

A.离心率为一B.双曲线过点5,7

414；

C.渐近线方程为3x±4y=0D.实轴长为4

2

12.（2020•湖南省衡阳市一中高二期末）已知双曲线C：/W—V斗=1（。＞0/＞0）,右顶点为A,以A为圆心,

ab

〃为半径作圆A,圆A与双曲线。的一条渐近线交于M,N两点，若NMAN=60。，则有（）

A.渐近线方程为＞=土*xB.e2

2

C.e*

D.渐近线方程为y=±Jix

3

22

13.（2020•高密市第一中学高三月考）已知点P是双曲线E：5=1的右支上一点，片,鸟为双曲线

E的左、右焦点，APCM的面积为20,则下列说法正确的是（）

A.点P的横坐标为—

3

80

B.AP4K的周长为可

C./耳2鸟小于？

3

D.AP耳石的内切圆半径为I

三、填空题

2

14.（2018•民勤县第一中学高二期末（文））双曲线--2-=1的渐近线方程为

4

22

15.（2020•天水市第一中学高二月考（文））以双曲线±一匕=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为

45

16.（2020•天水市第一中学高二月考）已知平行于X轴的直线/与双曲线C：0—1=1（。＞（）力＞0）的

两条渐近线分别交于P,Q两点，。为坐标原点，若AOPQ为等边三角形，则双曲线C的离心率为.

17.（2020•山东省高三一模）过点M（—机,0）（机*0）的直线/与直线3x+y-3=0垂直，直线/与双曲线

22

C:=-与=1（。＞0,6＞0）的两条渐近线分别交于点A5,若点P（肛0）满足I幺1=1PB|,则双曲线。的渐近

a~b~

线方程为，离心率为.

四、解答题

22

18.（2020•定远县育才学校高二月考（文））双曲线与椭圆|^+表=1有相同焦点，且经过点（、后,4）.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）求双曲线的离心率及渐近线方程.

19.（2020•陕西省西安市远东一中高二期末（理））已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为

12,离心率为

3

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知双曲线E过点倒出,一百），且双曲线E的焦点与椭圆C的焦点重合，求双曲线E的标准方程.

20.（2019•甘南藏族自治州合作第一中学高二期末（文））过双曲线炉-丫2=1的右焦点尸作倾斜角为60。的

直线/,交双曲线于A、B两点，

（1）求双曲线的离心率和渐近线；

（2）求|AB|.

21.（2019•宁波中学高二期中）已知三点A（—7,0）,5（7,0）,C（2,-12）.

（1）若椭圆过A3两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；

（2）直线AM,80相交于点M,且它们的斜率之和是2,求点M的轨迹方程.

22.（2019•安徽省高二期中（理））已知双曲线C：=_与.=13>0,%>0）与椭圆二+2_=1有共同的焦

a2h21814

点，点A（3,J7）在双曲线c上.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）以P（L2）为中点作双曲线C的一条弦A8,求弦AB所在直线的方程.

22

23.（2019•会泽县第一中学校高二月考（理））已知双曲线。：今一斗=1（。>0力>°）的实轴长为26,

ab

一个焦点的坐标为（-J5,o）.

（1）求双曲线的方程；

（2）若斜率为2的直线/交双曲线。交于A,B两点，且|A@=4,求直线/的方程.

专题12双曲线

一、单选题

1.（2019•浙江省高三期中）双曲线f-2y2=2的焦点坐标为（）

A.（+1,0）B.（±V3,0）C.（0,±1）D.（0,±V3）

【答案】B

【解析】

由尤2-29=2可得a2=2,〃=i,焦点在x轴上，所以c2=a2+〃=3,因此c=G

所以焦点坐标为（±6,0）；

故选B

22

2.（2020•安徽省高三三模（文））已知双曲线^--21=1的离心率为2,则实数加的值为（）

4m

A.4B.8C.12D.16

【答案】C

【解析】

因为双曲线上—二=1的离心率为2,所以14t生=2,解得机=12.

4m2

故选：C.

3.（2019・重庆巴蜀中学高二期中（理））下列双曲线中，渐近线方程为y=的是（）

22222222

A.土-汇=1B.工-工=1C.£-匕=1D.工-±=1

32329494

【答案】D

【解析】

C.—=渐近线为：y=±-x；D.2L_±二1,渐近线为：丁=土士X；

943942

故选：D.

22

4.（2020•安徽省高三三模（理））己知双曲线。：二—齐=1（。〉0,方＞0）离心率为3,则双曲线C的渐近

线方程为（)

A.y=±xB.y=±\flxC.y=±2.-^2xD-y=±x

24

【答案】C

【解析】

因为e=£=归营=3,所以2=2收，

a\a-a

由双曲线的几何性质可得渐近线方程为：y=±2&,

故选：C

22

5.（2019•安徽省高二期末（理））已知双曲线C：=—与=1（a〉0,人＞0）的焦距为2逐，其渐近线方

cr/r

程为y=±gx,则焦点到渐近线的距离为（）

A.1B.6C.2D.26

【答案】A

【解析】

由题知：2c=2石，c=#＞，似石,0）.

K到直线x—2y=0的距离］=任4

1.

#+22

故选：A

6.（2020•四川省成都外国语学校高二开学考试（理））已知双曲线C：V—2L=1的左，右焦点分别为耳，

与，过打的直线/分别与两条渐近线交于A、B两点,若耶.尊=（）,F\A=XAB,则2=（）

313

A.-B.-C.1D.一

224

【答案】C

【解析】

由质•展=0,可知6则忸O|=|O&|=c,

2

因为双曲线C:/—g=l的渐近线为y=±Gx，所以NAO&=120",NBO鸟=60°,故口8。鸟为正

三角形，且A0//5E，

所以A。为AB耳6的中位线，4为线段耳8的中点，即不=须，故;1=1.

7.（2020•天津高三一模）已知双曲线?一二=1（机>0）的渐近线方程为底土y=0,则双曲线的离心率

为（）

A.2B.y/3C.D.B

32

【答案】A

【解析】

22

将双曲线的标准方程表示为方=1（4>0，〃>0），

由于该双曲线的渐近线方程为Gx土y=0，则，=G，

故选：A.

8.（2020.江西省靖安中学高二月考（理））已知双曲线中心为原点，焦点在X轴上，过点（后,2），且渐近

线方程为丁=±2*，则该双曲线的方程为（)

A.x2-^-=lB.尤2_分2=2C.尤2_?=]D.x2-2y2^l

【答案】C

【解析】

渐近线方程为2x±y=0,设双曲线方程为—V=X,几#o

将P（友,2）的坐标代入方程得,4（夜>—22=九求得2=4

则该双曲线的方程为f一二=1.

4

故选:C.

22

9.（2019•天津高三三模（文））双曲线C:0-g=l（a>0/>0）的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,

则。的焦距等于（）.

A.2B.272C.4D.4也

=【答案】C

【解析】

I—）

设双曲线的焦距为2c,双曲线的渐进线方程为瞿=韭七审，由条件可知±=驾，不善=，=&,又

阖窗.Ffn

/=魏&丑短，解得物•=11斯=庭卢=%,故答案选C.

22

10.（2020・安徽省高三月考（文））已知双曲线]=13>0力>0）的离心率为夜，则它的一条渐近线

被圆工2+y-6乂=0截得的线段长为（）

A.|B.3C.乎D.3>/2

【答案】D

【解析】

由题意可得e=£=8，

a

即C=。，即有〃=&2-片=〃,

b

设双曲线的一条渐近线方程为y=—x,即为y=x,

a

圆Y+9-61=0的圆心为（3,0）,半径r=3,

即有圆心到渐近线的距离为=述，

V1+12

可得截得的弦长为2=2=372.

故选：D.

二、多选题

_X2V2

11.（2020•山东省胶州市第一中学局三一模）己知双曲线C：\-4=13>0g>0）的左、右焦点分别为

arb

邛-5,0）,g（5,0）,则能使双曲线C的方程为二-片=1的是（）

169

5（9^

A.离心率为丁B.双曲线过点5,二

4I4；

C.渐近线方程为3x±4y=0D.实轴长为4

【答案】ABC

【解析】

由题意，可得：焦点在X轴上，且c=5；

5r22

A选项，若离心率为一，则a=4,所以力2=。2一/=9,此时双曲线的方程为：v—-21=1,故A正确;

4169

81

1

（9、25।A.[a=16丫2V2

B选项，若双曲线过点5,二，则〈二一号=1，解得：《，；此时双曲线的方程为：土—匕=1,

Iab/=9169

a2+/?2=c2=25

故B正确；

C选项，若双曲线的渐近线方程为3x±4y=0,可设双曲线的方程为：H-匕=加（机>0）,

169

所以「2=16〃?+9机=25,解得：机=1,所以此时双曲线的方程为：---—=b故C正确；

169

12

D选项，若实轴长为4,则。=2,所以从=。2_。2=21，此时双曲线的方程为：--^=1,故D错误;

421

故选：ABC.

Y2V2

12.（2020.湖南省衡阳市一中高二期末）已知双曲线一当■=1（。>0,6>0）,右顶点为A,以A为圆心,

ab2

匕为半径作圆A,圆4与双曲线。的一条渐近线交于M,N两点，若NMAN=60。,则有（）

A.渐近线方程为）=±且》B.eM

-32

、_2上

，•C-----D.渐近线方程为y=±J5x

3

【答案】AC

【解析】

双曲线C：二一与=1(a>0,*>0)的右顶点为4(a,0),

a2b2

以A为圆心，b为半径做圆4,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.

若NMAN=60°,可得A到渐近线版+ay=0的距离为：bcos300=^-b>

2

可得：产=旦,即9=立，故-=2叵.且2=后二i=，3,故渐近线方程为渐近线方程

2c23a3

为y=+^-x

3

故选：AC.

22

13.（2020・高密市第一中学高三月考）已知点P是双曲线E：器-5=1的右支上一点，尺,月为双曲线

E的左、右焦点，“大鸟的面积为20,则下列说法正确的是（）

20

A.点P的横坐标为亍

QQ

B.八/笔得的周长为§

C."产2小于三

3

D.AP6K的内切圆半径为丁

【答案】ABC

【解析】

设留鸟的内心为/,连接〃\低、

A7IF2,

22

双曲线E：2一二=1中的。=4,b=3,c=5,

169

不妨设P。%ri）,m>0,n>0,

由△/隹6的面积为20,可得；恒用〃=c〃=5〃=20,即〃=4,

由近—收=],可得机=型，故A符合题意；

1693

y-4j,且£（一5,0）,鸟（5,0）,

由「

可得kPFi=—,kPF2=—,

12_12

则tanfJP鸟=/条=|^[0,6），

5x35

兀

则/片「鸟<§,故C符合题意；

叫P周+归周=，16+弓+^7^=1+£=三，

则鸟的周长为三+10=岑，故8符合题意；

设AP耳心的内切圆半径为人可得;川姐|+归用+闺与|）=；•闺玛・4,

8（）3

可得下r=40,解得r=不，故Q不符合题意.

32

故选：ABC.

三、填空题

14.（2018•民勤县第一中学高二期末（文））双曲线一一21=1的渐近线方程为

【答案】y=±2x

【解析】

由双曲线方程可知/=1力2=4，a=1力=2；.渐近线方程为y=±2x

22

15.（2020.天水市第一中学高二月考（文））以双曲线匕一二=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为

45

22

【答案】—+^-=1

95

【解析】

22

由双曲线的相关性质可知，双曲线C:工-匕=1的焦点为（±3,0）,顶点为。20）,

45

所以椭圆的顶点为（±3,0）,焦点为（?20）,

22

因为〃=/-,2=5,所以椭圆的方程为土+匕=1，

95

22

故答案为工+匕=1。

95

22

16.（2020•天水市第一中学高二月考）已知平行于X轴的直线/与双曲线。：/>0）的

两条渐近线分别交于P,0两点，。为坐标原点，若八OPQ为等边三角形,则双曲线。的离心率为.

【答案】2

【解析】

据题设分析知，ZPOQ=60°,所以？=tan60。，得心=扃，

'a2+h2_4a1+3/

所以双曲线C的离心率e=£

17.（2020•山东省高三一模）过点M（-机,0）（机*0）的直线/与直线3x+y-3=O垂直，直线/与双曲线

c:=1（。＞0,。＞0）的两条渐近线分别交于点A,B,若点P（九0）满足IPAHP8I,则双曲线。的渐近

线方程为,离心率为.

【答案】y=±1x，在

22

【解析】

•••过点M（-机,（））（/〃H0）的宜线/与直线3x+y-3=0垂宜，

，直线/的方程为x-3y+，*=0,

双曲线3-4=13＞0力＞0）的两条渐近线方程为y=±—X,

ab,a

生、一工“mamb、mamb、

将两个方程联立，可得4（；；；—-）,5（--一-）,

3b-a3b-a3b+a3b+a

：.AB的中点坐标为N（31”，）,

9b2-a29b2-a2

•.•点尸（见0）满足|R4|=|PB|,

点尸（九0）在线段AB的中垂线匕即PN±AB

3mbi

.—9片s---/r_-0

•.2-J，

ma

--------m

9b2-a2

.•ci—2b»

则湾,

•••渐近线方程为y=±gx,离心率为正.

故答案为：y=±1x,也.

22

四、解答题

18.（2020・定远县育才学校高二月考（文））双曲线与椭圆工+匕1有相同焦点，且经过点（后,4）.

2736

（1）求双曲线的标准方程；

（2）求双曲线的离心率及渐近线方程.

【答案】（I）匕一二=1:（2）y=±毡X.

455

【解析】

（1）由题意知双曲线焦点为耳（0,—3）,F2（0,3）.

可设双曲线方程为与--J=l，点（岳,4）在曲线上，代入得/=4或/=36（舍）,

a〜9—ci

v22

二双曲线的方程为^—%=1.

45

c3

（2）由（1）得a=2,c=3,...双曲线的离心率e=-=—.

a2

渐近线方程：y=+^iX.

.5

19.（2020•陕西省西安市远东一中高二期末（理））已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为

12,离心率为L.

3

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知双曲线E过点仅省6）,且双曲线E的焦点与椭圆C的焦点重合，求双曲线E的标准方程.

【答案】（1）片+£=1（2）---y2=l

36323

【解析】

Q1

（1）由题意知,2a=12,-=-

a3

所以。=6,c=2,所以从=〃2一/=32

乂因为双曲线E的焦点在x轴上，所以椭圆C的方程为三+.=1

x~V

（2）双曲线E的标准方程为——二=1(%>0力1>0)

4片

由题可知双曲线£的焦点坐标为（2,0）,（-2,0）,所以42+邛=4

123

又双曲线E过点（26,一旧），所以/一斤=1，解得d=3,b；=l

所以双曲线E的标准方程为二—>2=1

3

20.（2019•甘南藏族自治州合作第一中学高二期末（文））过双曲线』-y2=1的右焦点尸作倾斜角为60。的

直线/,交双曲线于A、B两点，

（1）求双曲线的离心率和渐近线；

（2）求|AB|.

【答案】（1）e=&y=±x（2）|AB=80|

【解析】

（1）因为双曲线方程为f-y2=i,所以”=以=1,则c=，a2+》2=0.

所以e=£=J5,渐近线方程为y=±x

a

（2）由（1），右焦点为则设直线/为y=6（尤一垃），

代入双曲线x2-/=l中，化简可得2/+60x—7=0,

所以|AB\=A/T+3一%I=2&X]+/丫=8>/2

21.（2019•宁波中学高二期中）已知三点A（-7,0）,3（7,0）,C（2,-12）.

（1）若椭圆过A3两点，且。为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；

（2）直线AM,相交于点M，且它们的斜率之和是2,求点M的轨迹方程.

2

v2

【答案】（l）f—2L=i（x<0）；⑵xy=%-49（x^±7）

48

【解析】

（1）设另一个焦点P（x,y），则由椭圆定义知：|AC|+|AP|=|3C|+|BP|,

■：\AC\=正7-2）2+（0+12）2=15.\BC\=J（7-2>+（0+12>=13.

:.\BP\-\AP\=\AC\-\BC\=2,说明P是以A、B为焦点的双曲线的左支，其中a=l,c=7,〃=48,

2

所以焦点P的轨迹方程为/一上_=1（》<0）；