高中数学讲义微62 点线面位置关系

微专题62点线面位置关系的判定

一、基础知识

(-)直线与直线位置关系：

1、线线平行的判定

(1)平行公理：空间中平行于同一直线的两条直线平行

(2)线面平行性质：如果一条直线与平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线和该

直线平行

(3)面面平行性质：

2、线线垂直的判定

(1)两条平行直线，如果其中一条与某直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直

直线与平面位置关系：

(2)线面垂直的性质：如果一条直线与平面垂直，则该直线与平面上的所有直线均垂直

(二)直线与平面的位置关系

1、线面平行判定定理：

(1)若平面外的一条直线/与平面e上的一条直线平行，则/〃a

(2)若两个平面平行，则一个平面上的任一直线与另一平面平行

2、线面垂直的判定：

(1)若直线/与平面a上的两条相交直线垂直，贝

(2)两条平行线中若其中一条与平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直

(3)如果两个平面垂直，则一个平面上垂直于交线的直线与另一平面垂直

(三)平面与平面的位置关系

1、平面与平面平行的判定：

(1)如果一个平面上的两条相交直线均与另一个平面平行，则两个平面平行

(2)平行于同一个平面的两个平面平行

2、平面与平面垂直的判定

如果一条直线与一个平面垂直，则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直

(四)利用空间向量判断线面位置关系

1、刻画直线，平面位置的向量：直线：方向向量

平面：法向量

2、向量关系与线面关系的转化：

设直线〃力对应的法向量为,平面a,/?对应的法向量为九孔(其中在a,/?外)

(1)a//ba//b

(2)a.Lba.Lb

(3)aJLaa//m

(4)a//a<=>aLm

(5)a//0om//n

(6)a.L/3om.Ln

3、有关向量关系的结论

(i)若则£〃"平行+平行一平行

(2)若£，反否〃"，则平行+垂直一垂直

(3)若£，&3，乙则2,2的位置关系不定。

4、如何用向量判断位置关系命题真假

(1)条件中的线面关系翻译成向量关系

(2)确定由条件能否得到结论

(3)将结论翻译成线面关系，即可判断命题的真假

二、典型例题：

例1：已知a,分是两个不同的平面，根，〃是两条不同的直线，现给出下列命题：

①若加uua.m//p.n///?,则a〃/?；

②若a_L/?,根u1,则根_L/?；

③若加_La,加〃，，则a_L/?；

④若根〃〃，冽u。，则〃〃a.

其中正确命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

思路：①为面面平行的判定，要求一个平面上两条相交直线，而①中7%,〃不一定相交。所以

无法判定面面平行；②为面面垂直的性质，要求一个平面上垂直交线的直线，才与另一平面

垂直。而②中加不一定与交线垂直。所以不成立；③可用向量判定，设名夕对应法向量为m,n,

直线机方向向量为。，则条件转换为：a//m,a±n,可推得机_1_“，即a_L/?,③正确；

④为线面平行判定，要求〃在a夕卜，所以④错误；综上只有1个命题正确

答案：B

例2：己知根,“，/是不同的直线，出，是不同的平面，以下命题正确的是（）

①若m//n,mua,nu/3,则a〃尸；

②若mua,nu0,a//P，ILm,则/_L〃；

③若〃尸，则

④若aLp,m//a,n//P,则7〃_L〃；

A.②③B.③④C.②④D.③

思路：题目中涉及平行垂直较多，所以考虑利用正方体（举反例）或向量判断各个命题

①两平面各选一条直线，两直线平行不能判断出两个平面平

DiSi

行，例如在正方体中在平面ABCD和平面中，虽然/----------刁

A5〃G。］,但两个平面不平行，所以①错误Al|B1

②例如：平面ABC。〃平面3D，AC,但3DD.\

AB

与4片不垂直，所以②错误

③考虑利用向量帮助解决：m工a=a,〃工B=B=,所以可以推

断加〃几，所以可得相〃〃

④考虑利用向量解决：a工0-a'B，m〃anm'a,n〃Bnn,由垂直关系不

能推出加_L〃，所以④错误

答案：D

例3：对于直线犯〃和平面名夕，的一个充分条件为（)

A.mua、nuaB.m//n,m//a,n//0

C.m//n,m-La,n.L)3D.m_Ln,m-La,n1./3

思路：求。〃〃的充分条件，即从A,B,C,D中选出能判定。

的条件，A选项：例如正方体中的平面ABCD和平面CD0C]

可知虽然AB//平面CDD©,GA〃平面ABCD,但这两个

平面不平行。B选项：也可利用A选项的例子说明无法推出

a//p,C选项可用向量模型进行分析：

m//rmm//n,m工a=>m"a,n工Bnn"§,所以可得：a//(3,即；D选项可利

用A选项的例子：m=BC,n=CC[,可知加_L”,加_L平面C£）2G,〃_L平面ABCD,但

这两个平面不平行，综上所述，只有C为。〃尸的一个充分条件

答案：C

例4：给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.

其中，为真命题的是（）

A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④

思路：分别判断四个命题：①必须是一个平面内两条“相交”直线与另一个平面平行，才可

判定两平面平行，所以①错误；②该命题为面面垂直的判定，正确；③空间中垂直同一条

直线的两条直线不一定平行，例如正方体中交于一点的三条棱；④可用反证法确定，假设该

直线与另一平面垂直，则必然垂直该平面上所有的直线，包括两平面的交线。所以与条件矛

盾。假设不成立。综上所述，正确的命题是②和④

答案：D

例5：已知小，”表示两条不同直线，a表示平面，下列说法中正确的是（）

A.若加_La,“ua,则加_L〃

B.若加〃a,〃〃a则加〃九

C.若7”_Ltz,mLn,则“〃a

D.若m〃a,m±n,则〃_La

思路：A选项若直线与平面垂直，则直线与这个平面上的所有直线均垂直，所以A正确

B选项可用向量判断，m//a=>±cr,n//a=>H±«,由〃_La无法判断出

〃z,〃的关系，所以不能推出m〃”；C选项并没有说明直线"是否在平面a上，所以结论不

正确；D选项也可用向量判断，冽〃c=>7〃J_tz,±n=>m±n,同理由m

无法判断〃,a的情况，所以无法推断出〃J_a,综上所述：A正确

答案：A

例6：给出下列命题，其中正确的两个命题是（）

①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行。②夹在两个平行平面间的两条异

面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线相，平面a,直线则〃〃a；@a,b

是异面直线，则存在唯一的平面a,使它与。,"都平行且与。，。距离相等

A.①②B.②③C.③④D.②④

答案：D

思路：①到平面距离相等的点可能位于平面的同侧或是异侧，

如果是同侧，则两点所在直线与平面平行，如果异侧，则直线

与平面相交，且交点为这两点的中点。②正确，证明如下：

如图，平面a〃尸,A,Cea,B,Z）e，，且分别为AB,CD

的中点，过C作CG〃A3交夕于G,连接3G,GD,设H是

CG的中点

:.EH//BG,HF//GDEH//J3,HF//J3

:.a〃内EHF〃B•••EF//a,EF///3

③命题中没有说明直线”是否在a上，所以不正确；④正确，设AB为异面直线。力的公垂

线段，E为AB中点，过E作a,b的平行线a,b,从而由。力确定的平面与a力平行且与a,b

的距离相等。所以该平面即为所求。

答案：D

例7：下列命题正确的个数是（）

①若直线/上有无数个点不在平面a内，贝心〃a

②若直线/〃a,则与平面a内的任意一条直线都平行

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行

④若直线/〃a,则与平面a内的任意一条直线都没有公共点

A.0B.1C.2D.3

思路：①“无数个点”只是强调数量多，并不等同于“任意点”，即使直线与平面相交，直

线上也有无数个点不在平面内。所以①不正确；②若/〃a,说明/与e没有公共点，所以/

与a上任意一条直线m都没有公共点，但即使/,机无公共点，/,机的位置关系不只是有平行,

还有可能异面，所以②不正确；③线面平行的前提是直线在平面外，而命题③中没有说明“另

一条”直线是否在平面上，所以③不正确；命题④可由②得知，/与a上任意一条直线加都

没有公共点，命题④正确，综上所述，正确的有1个

答案：B

例8：直线。，。为两异面直线，下列结论正确的是（）

A.过不在a,匕上的任何一点，可作一个平面与。，。都平行

B.过不在a,匕上的任何一点，可作一个直线与。，。都相交

C.过不在a,匕上的任何一点，可作一个直线与。，。都平行

D.过。有且只有一个平面与Z?平行

思路：A选项中，如果尸点与a确定的平面与b平行，则此平面只和b平行，a在此平面上，

所以这样的P是无法作出符合条件的平面；B选项由A所构造出的平面可得，若过P的直线/

与a相交，贝也也在该平面上，所以/与Z?无公共点；若过尸的直线/与b相交，则无法与a相

交，综上所述对于这样的尸点无法作出符合条件的直线；C选项如果过P的直线与a力均平行,

则由平行公理可知a〃人，与已知条件矛盾，所以C错误；D选项，如果。力异面，则过。只

能做出一个平面与平行。在a上取A,3两点分别作匕的平行线c,d,则c,d所唯一确定的

平面和Z7平行，且。在此平面上。所以D正确

答案：D

例9：设/,m是两条异面直线，P是空间任意一点，则下列命题正确的是（）

A.过尸点必存在平面与两异面直线都垂直

B.过尸点必存在平面与两异面直线都平行

C.过P点必存在直线与两异面直线/,机都垂直

D.过尸点必存在直线与两异面直线/，机都平行

思路：A选项，若平面与/，加均垂直，则推得/〃加，与/,相异面矛盾；B选项如果P点位于

某条直线上，则平面无法与该直线平行；C选项中直线的垂直包括异面垂直，所以可以讲/，机

平移至共面，过尸的直线只需与这个平面线面垂直，即和/，加都垂直，所以C正确；D选项如

果直线与/，机均平行，则由平行公理可得/〃加，与异面矛盾。所以C正确

答案：c

例10：设/,加,〃是不同的直线，是不重合的平面，则下列命题不正确的是（）

A.若"2〃"，m//J3,“在夕外，则“〃夕

B.若。_L=/,贝!!/_LQ

C.若a〃/==m、，贝U/〃加

D.若3c尸,。€尸,AB〃CD,且AB=CD,则a〃夕

思路：A选项可通过向量来判断：m//n=>m//n,m//J3=>m-LJ3,由此可得：nL/3,因

为“在夕外，所以可判定〃〃夕，A正确；B选项设a_L尸=_L尸="，则a上所有点的

投影落在加中，7上所有点的投影落在“中，因为。口7=/,所以/上所有点的投影均在

的交点上，即所以B正确；C选项符合面面平行的性质，即两个平面平行，第三个平

面与这两个平面相交，则交线平行，所以C正确；D选项中若A,C位于夕同侧，则命题成立；

但如果位于夕两侧，则满足条件的a与夕相交。故不正确

答案：D

三、历年好题精选

1、（2016,山东胶州高三期末）设。,尸,/为不同的平面，私“，/为不同的直线，则相，尸的

一个充分条件为（）

A.a±/?,«Q/?=Z,m±ZB.a口/=#/

C.aVy,mS_aD.nVa,nL/3,mLa

2、给出下面四个命题：

①“直线a〃直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；

②“直线平面a内所有直线”的充要条件是“/，平面a”；

③“直线a,匕为异面直线”的充分不必要条件是“直线a,b不相交”；

④“平面a〃平面夕”的必要不充分条件是“a内存在不共线三点到夕的距离相等”.

其中正确命题的序号是（）

A.①②B.②③C.③④D.②④

3、（2016,大连二十中期中考试）已知三个互不重合的平面a,/3,y,且

a/3=a,a=b,/3=c,给出下列命题（）

①若a_Lb,a_Lc,则Z?J_c②若=则a「c=P

③若a_LZ?,a_Lc,则o_L/④若。〃6,则a〃c

其中正确命题的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4、（江西中南五校联考）已知相，〃是两条不同的直线，/，,丁是三个不同的平面，则下列命

题中正确的是（）

A.若a_L_LQ,则///4B.若m/ln,mua,nu/3,帆a11/3

C.若加//”,加_1,（/,九1.7?,则1//£D.若加.//〃,m//。,则九//a

5、（2016,宁波高三期末）已知平面a与平面广交于直线/,且直线aua,直线则下

列命题埼用的是（）

A.若tz_L/?,a_Lb,且与/不垂直，则a_L/B.若。_L尸，/?_!_/,则a_LZ?

C.若a_Lb,bLl,且a与/不平行，则。_L〃D.若a_L/,b±l,则。，尸

6、（2016,上海闸北12月月考）已知〃2,”是两条不同直线，a,"是两个不同平面，给出下列

四个命题:

①若a,夕垂直于同一平面，则a与夕平行

②若和，〃平行于同一平面，则相与〃平行

③若a,万不平行，则在a内不存在与夕平行的直线

④若〃不平行，则加与〃不可能垂直于同一平面

其中真命题的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

7、设a力为两条直线，为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是（）

A.若a_L_L尸,々_Lb,则o_L/?B.a//a,b//P,a///3,则a〃b

C.若a〃a,bu0,a//b,则a〃夕D.箱a〃a,a，B，则a，/?

8、（2015,广东文）若直线/],，2是异面直线，4在平面a内，，2在平面夕内，/是平面2与

平面夕的交线，则下列命题正确的是（）

A./至少与/14中的一条相交B./与/]/都相交

C./至多与/]/中的一条相交D./与4,都不相交

9、（2014,辽宁）已知小，"表示两条不同的直线，a表示平面，下列说法正确的是（）

A.若n?〃a,n//a,则〃z〃“B.若根_Ltz,“u。，则加_|_“

C.若根_L(z,7〃_L",贝！|〃〃aD.若m//a,ml.n,则

习题答案：

1、答案：D

解析：A选项若加不在£上，则无法判定加，万；B选项：若《〃，，则相〃，，所以无法

判定；C选项，如果名尸,/来两两垂直，则无法判定D选项，如果“」。,“」尸，

则(/〃，，再由加J_e可判定切_1_尸

2、答案：D

解析：①若。平行于b所在的平面，则。8的关系为平行或异面，所以不是充要条件；

②由线面垂直定义可知：直线/，平面a当且仅当直线平面a内所有直线，所以②正确；

③中若直线a力不相交，则可能平行。所以不能得到“直线a,b为异面直线”，③错误；④

若平面a〃平面夕，则a内所有点到夕的距离相等，当a内存在不共线三点到夕的距离相等,

则两平面可能相交，这三点位于a的两侧。所以“a内存在不共线三点到夕的距离相等”是

“平面a〃平面夕”的必要不充分条件

3、答案：C

解析：当三个平面两两相交，交线平行或交于一点，所以若a(nb=P,则三条交线交于一点，

即aCc=P,若。〃6,则三条交线平行，a//c,所以②④正确；当三条交线交于一点时，

aLb,a1c,则b,c夹角不确定，所以①错误；若a_LZ?,a_Lc,因为反c均在/上，所以可

知a_La,综上所述，②③④正确

4、答案：C

解析：A选项：垂直同一平面的两个平面可以平行，也可以相交，所以A错误

B选项：在正方体中，右侧面的棱与底面上的棱平行，但是这两个面不平行，所