高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：25 一元函数的导数及其应用（单元测试卷）（学生版+解析版）

专题25《一元函数的导数及其应用》单元测试卷

一、单选题

1.(2020•夏津第一中学高二期中)设函数/(x)=x,则lim+〃1)=()

MTSAX

A.0B.1C.2D.-1

2.(2019•辰溪县第一中学高二月考)已知函数/(x)=d—2/+%—3,求尸(2)=()

A.-1B.5C.4D.3

3.(2020•黑山县黑山中学高二月考)已知函数〃x)=(2x—a)/,且/《)3e,则曲线y=/(x)在x=0

处的切线方程为()

A.x-y+l=0B.%-y—l=0

C.x-3y+l=0D.%+3y+l=0

4.(2020•湖北省高二期中)若函数/(x)=3x+(a—2)lnx不是单调函数，则实数a的取值范围是()

5.(2020•湖南省高三一模(文))函数产x阮c的图象大致是()

6.(2020•四川省南充市白塔中学高二月考(理))已知函数/(x)=2对''(e)+lnx,贝U〃e)=()

A.-eB.eC.-1D.1

7.（2020•夏津第一中学高二期中）函数y=d—3光+4有（）

A.极大值6,极小值2B.极大值2,极小值6

C.极小值一1,极大值2D.极小值2,极大值8

ln（x+l）-ox-2,x>0,

8.（2020.福建省高三其他（文））若函数/（%）=1八的最大值为了（—I）,则实数〃的

XH-----F％<0.

取值范围为（)

「1]「1\

A.（-00,e]B.0,-C.-,+ooD.[e,+oo)

二、多选题

9.（2019•福建省莆田一中高二期末）（多选题）下列函数中，既是奇函数又在区间（0,1）上单调递增的是（）

3Xx

A.j=2x+4xB.y=x+sin（-x）C.y=log2|x|D.y=2-2~

10.（2020.江苏省高二期中）直线y+b能作为下列（）函数的图像的切线.

2

A.f（x）=-B./（%）=x4C.f（x）=sinxD./（%）=ex

X

11.（2020•山东省潍坊一中高二月考汨知函数八元）的定义域为R且导函数为/"（x）,如图是函数y=4"（x）

的图像，则下列说法正确的有（）

A.函数/（无）的减区间是（-8,-2）B.函数/（无）的增区间是（-2,+oo）

C.%=-2是函数的极小值点D.x=2是函数的极小值点

12.（2020•南京市江宁高级中学高二期中）已知函数y=/（x）的导函数/'（九）的图象如图所示，则下列判

断正确的是（）

A.函数y=/(x)在区间1―3,—g]内单调递增

B.当x=—2时，函数)=/("取得极小值

C.函数丁=/(力在区间(—2,2)内单调递增

D.当x=3时，函数y=/(x)有极小值

三、填空题

13.(2020.夏津第一中学高二期中)曲线＞=/+/内在点(1,1)处的切线方程为.

14.(2020•四川省北大附中成都为明学校高二月考(理))函数/(x)=lnx-x的单调递增区间为.

15.(2020•四川省北大附中成都为明学校高二月考(理))若函数”x)=x(x-a)2在x=2处取得极小值,

贝Ia=.

16.(2020•浙江省宁波诺丁汉附中高二期中)已知函数/(x)=gx—sinx,xe[O,〃]4iJ/a)的最小值为

,最大值为.

四、解答题

17.(2018.营口市第二高级中学高二月考(文))设/(x)=alnx—x+4,(acR),曲线y=/(x)在点

(i,7(i))处的切线垂直于y轴.

(1)求。的值；

(2)求函数y=/(x)的单调区间.

18.(2020•福建省高二月考)已知函数〃X)=G;2+/71nx在尤=i处有极值;.

(1)求a,6的值;

(2)求函数/(%)在1,2上的最大值与最小值.

19.(2020•江西省新余一中高二月考(理))某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市

场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产X万件，需另投入流动成本C(x)万元，当年

19/

产量小于7万件时，C（X）=-X2+2X（万元）；当年产量不小于7万件时，C（x）=6x+lnx+--17（万

3x

元）.己知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.

（1）写出年利润P（x）（万年）关于年产量%（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-

流动成本）

（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？

（取e3=20）.

20.（2020・横峰中学高二开学考试（理））已知曲线。的方程是丁二三―3尤2+2尤.

（1）求曲线在x=l处的切线方程心

（2）若，2：y=去，且直线（与曲线。相切于点（%,%）（/，0）,求直线4的方程及切点坐标.

1,

21.（2020•天津大钟庄高中高二月考）已知函数/（》）=5工-一根Inx（meR）

（1）当机=2时，

①求函数/（九）在％=1处的切线方程；

②求函数/（%）在［l,e］上的最大，最小值.

（2）若函数/（x）在；,+的］上单调递增，求实数机的取值范围；

22.（202。黄冈中学第五师分校高二期中（理））已知函数/（x）=lnx-x-m（mwR）.

（1）若函数/（九）有两个零点，求机的取值范围；

（2）证明：当机2—3时，关于x的不等式/（x）+（x-2）eX<0在1,1上恒成立.

专题25《一元函数的导数及其应用》单元测试卷

一、单选题

1.（2020•夏津第一中学高二期中）设函数〃x）=x,则lim"1+M-（）

A.0B.1C.2D.-1

【答案】B

【解析】

因为/(x)=x，

/(1+Ax)-/(1)1+Ax-lAx

所以lrim-------------------=lim------------lim——二1.

AxArfcoAxArfooM

故选：B.

2.(2019•辰溪县第一中学高二月考)已知函数/(x)=d—2/+%—3,求八2)=()

A.-1B.5C.4D.3

【答案】B

【解析】

由题意，函数/(无)=V—2f+x—3,贝ij/'(尤)=3/—4x+l,

所以广⑵=3x22—4x2+1=5.

故答案为：B.

3.(2020.黑山县黑山中学高二月考)已知函数/(*=(2%—。)/,且尸《)3e,则曲线y=/(x)在x=0

处的切线方程为()

A.%-y+l=0B.x-y-l=0

C.x-3y+l=0D,x+3y+l=0

【答案】B

【解析】

v/,(x)=2ex+(2x-6z)ex=(2x+2-a)ex,/'(l)=(4—a)e=3e,解得Q=1,即

f(x)=(2x-l)ex,f(O)=-l,则/(x)=(2x+l)e\：♦/'(0)=l,.•.曲线y=/(x)在点x=0处

的切线方程为y+l=lx(x_0),即％_y_l=0.

4.(2020•湖北省高二期中)若函数/(x)=3x+(a-2)lnx不是单调函数，则实数。的取值范围是()

A.B.[2,-K»)C.(0,+oo)D.(-<»,2)

【答案】D

【解析】

/（%）的定义域为（0,+8）,/'（x）=3+g=3x+a-2,

JCJC

令/'（%）=。解得X=$0.

由于函数〃元）=3%+（。-2）111%在（0,+功上不是单调函数，

2—CL

所以工一>0,解得a<2.

故选：D

5.（2020•湖南省高三一模（文））函数产地u的图象大致是（）

OXo\Z7X

【答案】D

【解析】

因为y=x配v,故可得y'=/nr+l

令y'>o,可得尤〉!；令y'<o,可得x<1,

ee

故函数在区间上单调递减，在区间［：，+8）单调递增，

（n

又因为当xe0,-时，lnx<0,y<0,故排除A,8；

Iej

又x=l时，y=Q,故函数在区间（%上有一个零点，故排除C

故选：D.

6.（2020•四川省南充市白塔中学高二月考（理））已知函数f（x）=2灯"（eHln无，贝U〃e）=（）

A.—eB.eC.—1D.1

【答案】c

【解析】

由题得f'(x)=2fXe)+-,:.fXe)=2八e)/'(e)=—L

xee

所以/(e)=2^'(e)+Ine=2ex(—')+1=—1.

e

故选：C.

7.(2020•夏津第一中学高二期中)函数y=d—3尤+4有()

A.极大值6,极小值2B.极大值2,极小值6

C.极小值-1,极大值2D.极小值2,极大值8

【答案】A

【解析】

令y=3/—3=0,解得％=土1,则y,y'随x的变化如下表

X(-CO,-1)-1(T」)1

y+0—0+

06□20

所以，当尤=-1时，函数有极大值为6；当x=l时，函数有极小值为2.

故选:A.

ln(x+l)-tzx-2,x>0,

8.(2020.福建省高三其他(文))若函数/(%)二1八的最大值为了(-1),则实数〃的

-----\-a.x<G.

、%

取值范围为()

A.(-00,e]B.|0,-C.-,+cc|D.[e,+8)

【答案】C

【解析】

当x>0时，/(x)=ln(x+l)-tix-2,f\x)=———a,

x+1

若“40,则/''(x)〉。在X〉0恒成立，/(x)在(0,+co),

且x―时，/(x)f+o。，.,.函数的最大值不可能为/(T),

二a〉0,

当/''(x)>0时，W0<x<--1,当/'(%)<0时，x>--1,

aa

：./(尤)在(0,工—1)单调递增，在(工―L+s)单调递减，

aa

•e•f(X)max-/(1)=ln。(l)-2=-ln^z+4z-3,

aaa

当x<0时，f(x)—xH---\-ci=—[(—1)H---]+a<—2+a=/(—1),

x-x

—Ina+a—3K—2+aInaN—1aN—,

e

故选：C.

二、多选题

9.(2019•福建省莆田一中高二期末)(多选题)下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是(

3xx

A.j=2x+4xB.y=%+sin(-x)C.y=log2|x|D.y=2-2~

【答案】ABD

【解析】

由奇函数定义可知，A、B、D均为奇函数，C为偶函数，所以排除C；

对于选项A,y=6/+4>0,所以y=2^+4]在(0,1)上单调递增；

对于选项B,y=l-cosx>0,所以y=x+sin(-x)在(0,1)上单调递增；

对于选项D,y=2vln2+2-'ln2>0,所以y=2*—2一*在(0,1)上单调递增.

故选：ABD

10.(2020•江苏省高二期中)直线v=」x+b能作为下列()函数的图像的切线.

2

A./(x)=—B.f(x)=x4C.f(%)=sinxD./(%)=ex

x

【答案】BCD

【解析】

/(%)=-,故/'(幻=一二=《，无解，故A排除;

xx2

4故故即曲线在点13

f(x)=x,/(x)=4x3=g,x=g,的切线为—…正确:

171的切线为丁=!工一工+巡，C正确;

/(x)=sinx,故/'(x)KOSx取》=彳，故曲线在点

262

故x=—h2,曲线在点—ln2,：)的切线为了=工工+1112+；,D正确;

f{x}=ex,故"力=e1

212J222

故选：BCD.

11.(2020•山东省潍坊一中高二月考)已知函数八x)的定义域为R且导函数为f'(x),如图是函数y=才(力

的图像，则下列说法正确的有()

B.函数/(无)的增区间是(-2,+8)

C.x=-2是函数的极小值点D.x=2是函数的极小值点

【答案】ABC

【解析】

当xNO时，y=xf'(x)>0,故/'(x)20,函数单调递增；

当—2<x<0时，y=xf\x)<0,故/'(x)>0,函数单调递增;

当x=—2时，y=xf'(x)=Q,故/'(—2)=0；

当x<—2时，y=xf\x)>0,故/(x)<0,函数单调递减；

对比选项知：故ABC正确.

故选：ABC.

12.(2020•南京市江宁高级中学高二期中)已知函数y=/(x)的导函数/'(力的图象如图所示，则下列判

A.函数y=/(x)在区间1―3,—内单调递增

B.当x=—2时，函数y=/(x)取得极小值

C.函数y=在区间(—2,2)内单调递增

D.当x=3时，函数y=/(x)有极小值

【答案】BC

【解析】

对于A,函数y=/(x)在区间1―3,—3］内有增有减，故A不正确；

对于B,当％=-2时，函数y=/(x)取得极小值，故B正确；

对于C,当1«—2,2)时，恒有/'(%)>0,则函数y=/(x)在区间(—2,2)上单调递增，故C正确；

对于D,当x=3时，/'(x)w0,故D不正确.

故选：BC

三、填空题

13.(2020•夏津第一中学高二期中)曲线>=¥+/位在点(1,1)处的切线方程为.

【答案】3x-j-2=0

【解析】

y'^2x+-,在点(1,1)处的切线斜率为3,所以切线方程为3x—y—2=0.

X

14.(2020.四川省北大附中成都为明学校高二月考(理))函数/(x)=lnx—%的单调递增区间为.

【答案】m

【解析】

函数有意义，则：x>0，且：/,(x)=--l,由/'(x)>0结合函数的定义域可得函数的单调递增区

间为(0,1)，故答案为(0,1).

15.(2020•四川省北大附中成都为明学校高二月考(理))若函数/(x)=x(x-在x=2处取得极小值,

贝！Ia=•

【答案】2

【解析】

求导函数可得/'(x)=3x2—46+“2,所以_f(2)=12—8a+/=0,解得。=2或a=6,

当。=2时，/'(x)=3f—8x+4=(x—2)(3x—2),函数在x=2处取得极小值，符合题意；

当。=6时，f'(x)=3x2-24x+36=3(x-2)(x-6),函数在x=2处取得极大值，不符合题意，不符合

题意，所以。=2.

16.(2020•浙江省宁波诺丁汉附中高二期中)已知函数/(x)=gx—5皿％工€[0,加，则了。)的最小值为

,最大值为.

【答案】工—走g

622

【解析】

1.1

/(X)=—x-sinX,X€[0,7t\.f(x)=--COSX,XG[0,7t\

jrjr,

则当0<x<H时，/(x)<0,当<x<万时，/(x)>0,

所以/(x)在[0,J]上单调递减，在[g,汨上单调递增，则当X=J时，y(x)min

33362

JTjr

又〃0)=0"(乃)=5，所以/(X)max=».

故答案为：色—且；

622

四、解答题

17.(2018.营口市第二高级中学高二月考(文))设/(x)=alnx—x+4,(aeR),曲线y=/(x)在点

(1,7(1))处的切线垂直于y轴.

(1)求。的值；

(2)求函数y=/(x)的单调区间.

【答案】⑴0=1：⑵/(%)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(L+8).

【解析】

(1)由于/(x)=0—1,依题意=@—l=a—1=0,解得。=1.

X1

1|x

(2)由⑴知/(x)=lnx-x+4(x>0)J(x)=——1=--(x>0),所以/(%)在(0,1)上递增，在

XX

(1,+8)上递增.

也即/(X)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,欣).

18.(2020•福建省高二月考)已知函数/(x)=G；2+blnx在x=l处有极值;.

(1)求a力的值；

(2)求函数/(%)在1,2上的最大值与最小值.

【答案】(1)a=-,b=-l；(2)最大值为2—ln2,最小值为!

22

【解析】

(1)由题可知，/(x)=av2+Z?lnx,/(x)的定义域为(0,+。)，

b

f(x)=lax+—(x>0),

x

由于在x=l处有极值?，

f(1)=a+blnl=-a=—

则《'，2,即2,

f'(y)=2a+b=0[2a+b=0

解得：a=—,b=—1>

2

1°

(2)由⑴可知/(x)=]%2—mx,其定义域是(。,+8),

f'(x)=x--

XX

令/'(x)=0,而x〉0,解得x=l,

由/'（X）<。，得O<X<1；由/''（x）>。，得x>l,

则在区间I，2上，x,f\x）,/（尤）的变化情况表如下:

J_

X

71。，2）2

/'（X）—0+

-+ln2单调递减单调递增2-ln2

/W8~2

可得小)皿=〃1)=；，

••-/Qj=1+ln2,〃2)=2—ln2,

由于7•⑵-/1]=2-ln2-f|+ln2j>0,则/⑵〉/

所以/COa=/(2)=2—ln2,

：・函数/（%）在区间；,2上的最大值为2-ln2,最小值为

乙乙

19.（2020•江西省新余一中高二月考（理））某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市

场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产X万件，需另投入流动成本C（x）万元，当年

产量小于7万件时，C（x）=-x-+2x（万元）；当年产量不小于7万件时，c（x）=6x+lnx+土—17（万

3x

元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.

（1）写出年利润尸（x）（万年）关于年产量X（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-

流动成本）

（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？

(取e3=20).

1

—-x9+4%-2,0<x<7

【答案】(1)p(x)=(2)当年产量约为20万件，该同学的这一产品所获年

15—IYIX----，九27

%

利润最大，最大利润为11万元

【解析】

(1)产品售价为6元，则万件产品销售收入为6x万元.

1,19

依题意得，当0<x<7时，p(x)=6x——2.x—2.———X+4x—2,

33

当x27时，p(x)=6A：-(6x+lnx+--17)-2=15-ln%--,

xx

1

——x9+4%-2,0<%<7

P。)=<

15—Inx，%27

x

1

(2)当0<x<7时，j9(x)=——(x—6)~9+10,

二当x=6时，p(九)的最大值为p(6)=10(万元),

3

e163G3

当x27时，p(x)=15-ln%---/."(%)=---1--=———

xxxx

，当时，pCx)单调递增，当%2/,p(x)单调递减，

.•.当％=时，p(x)取最大值p(e3)=15—lne3—1=11(万元)，

.,.当先=03°20时，P(x)取得最大值11万元，

即当年产量约为20万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元.

20.(2020•横峰中学高二开学考试(理))已知曲线。的方程是y=d—3f+2x.

(i)求曲线在x=i处的切线方程4；

(2)若Cy=去，且直线，2与曲线。相切于点(须，%)(%0w0)，求直线,2的方程及切点坐标.

【答案】(1)x+y-l=0；(2)直线的方程为y=—切点坐标为

【解析】

(1),/y=%3—3x2+2x,

y=3%2—6x+2,

N、T=3X1-6xl+2=-l,

.♦Ji的斜率为—1,且过点。,0),

直线人的方程为y=—(x—D，即x+y—1=0；

(2)直线4过原点，则人=&(%0/0)，由点(5,%)在曲线。上，

得先=第一3君+2x0,

辿=x；-3%0+2,

%

又y=3f—6x+2,所以左=3%；—6%+2,

又左=&,

%

二.34一6/+2=&=片—3%+2,整理得2片—3而=0,

331

丁%W0,x=—,此时y=—,k=――,

Q2084

...宜线12的方程为＞=一!％,切点坐标为||,-1I.

4128)

21.(2020•天津大钟庄高中高二月考)已知函数/(%)=5%2一根足兀(me7?)

(1)当小=2时，

①求函数/(%)在尸1处的切线方程；

②求函数“X)在［l,e］上的最大，最小值.

(2)若函数/(x)在上单调递增，求实数机的取值范围；

11

【答案】⑴①2x+2y—3=0；②函数/(尤)在［l,e］上的最大值为2,最小值为l—ln2；⑵机

【解析】

1c?r2-?(X+A/2)(X—A/2)

(1)当相=2时，f(x)=-x-21nx=>f(x)^x——=-------

2xxX

①当x=l时，y(l)=Ixl2-21nl=I，/(l)=+=-1，

所以函数/(%)在处的切线的斜率为-1，因此切线方程为：

y-］=-1•(x—1)=>2x+2y—3=0；

②因为xe［l,e］,所以当xe［l,、历时，/(x)<0,函数/(%)单调递减，

当xw［后,e］时，/(x)>0,函数/(%)单调递增，

所以当xe［l,e］时，函数/(X)有极小值/(应)=；x(应)2一2山后=l—ln2,

111111

而/⑴=—xl29—21nl=—"(2)=—/9—21ne=—/9-2=—(/9—4)>—,

2222

所以函数/(九)在