第09讲 概率初步（考点定位精讲讲练）-2021-2022学年高二数学上学期期中考试满分全攻略（沪教版2020）教师版

第09讲概率初步考点定位精讲讲练

考点一：随崛象

随机现象与样本空间考点二:E间

\考点三：随机事件、必然事件，不可能事件

考点四：简单的古典概型

+.皿e考点五：：较复杂的古典概型的计算

、一;古曲考点概六率：互斥事J件-、-对--立-事-件-的--概-率-----------

\考点七：概率加法公式的应用

考点八：频率的计算

频率与概率考点九：概率与频率的关系

［考点十：用频率估计概率

随机事件的独立性考点随机割牛的啦性

i.随机试验

我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验，常用字母E表示.

2.随机试验的特点

(1)试验可以在相同条件下重复进行；

(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；

(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.

3.样本空间与事件

定义1：一个随机现象中依某个角度观察其所有可能出现(发生)的结果所组成的集合称

为一个样本空间，用。表示，其中的元素称为基本事件或者样本点。

定义2：一个事件是指满足所述条件的所有基本事件全体。如果其中某个基本事件发生，

就说这个事件发生。因为样本空间是基本事件的全体，所以事件是样本空间的一个子集。

4.随机事件

一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了

叙述方便，我们将样本空间。的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事

件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A,氏C…表示.在每次试验中，当且仅当A中

某个样本点出现时，称为事件A发生.

5.必然事件，不可能事件

在每次试验中总有一个样本点发生，所以。总会发生，我们称。为必然事件.而空集0

不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称。为不可能事件.

6.概率性质1必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Q)=1,P(①)=0.

7.概率性质2对任意的事件A,都有OV尸(A)W1.

互斥:如果A与B没有共同的基本事件，即两个子集不相交，那么有ACB=①，则两个事件不可能

同时发生，或者说互斥。

8.对立事件:事件A发生的否定就是事件A不发生，它也是一个事件，称为事件A的对立事件。

简称为非A。

人口入=①AUA=QAnB-AUBAUB=AHB

9、概率性质3(可加性).两个不可能同时发生的事件至少有一个发生的概率是这两个事件的概

率之和。换言之，如果AHB=①，那么P(AUB)=P(A)+P(B)

10.概率性质4对任一给定事件，其发生的概率与不发生的概率的和总是1.换言之，有

P(A)=1-P(A)

11.概率的稳定性

频率与概率的联系

在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率,而且

试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大.频率也称经验概率。

12概率意义

1.游戏的公平性

一个游戏包含两个随机事件A和B,规定事件A发生则甲获胜,事件B发生则乙获胜.判断游

戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等如：

2.“降水概率是90犷的正确理解

“降水的概率为90%比较合理的解释是:大量观察发现，在类似的气象条件下,大约有90%的天数要

下雨.

只有根据气象预报的长期记录,才能评价预报的准确性.如果在类似条件下预报要下雨的那些天

里，大约有90%确实下雨了，可认为是准确的，反之则不准确

13频率估计概率

频率本身是随机的,在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率可能不

同;概率是一个确定的数,是客现存在的，与每次试验无关.概率可看作频率

在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，而频率在大量重

复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率，即事件A发生的频率人(A)它以会逐渐稳定于事件A

发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率加(A)

估计概率P(A).

14、随机事件独立性的定义

(1)一般地，当P(AB)=P(A)P(6)时，就称A与B相互独立(简称独立)，事件A与B相互独

立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件

A发生的概率.

(2)如果事件A与B相互独立，则A与B,A与8,A与3也相互独立.

(3)对于〃个事件4,4,…，4,如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则

称M•事件4,4,…，4相互独立.

15、独立事件的概率乘法公式

(1)若A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B),同时P(AB)=P(A)P(B),

P(AB)=P(A)P(B),

P(AB)=P(A)P(B)；

⑵若A，4两两独立，则p(A4…A“)=P(A)P(4)•…田(4).

名师点睛

考点一：随机现象

例1.(2019•河北石家庄市•鹿泉区第一中学高二开学考试)下列说法正确的是

A.在一次抽奖活动中，“中奖概率是贵”表示抽奖100次就一定会中奖

B.随机掷一枚硬币，落地后正面一定朝上

C.同时掷两枚均匀的骰子，朝上一面的点数和一定为6

D.在一副没有大、小王的52张扑克牌中任意抽一张，抽到的牌是6的概率是々

【答案】D

【分析】根据古典概型有关的知识，对选项逐一分析，由此得出正确选项.

【详解】对于A选项，中奖是随机事件，不代表抽100次就一定会中奖，故A选项错误.对于B

选项，正面朝上是随机事件，故B选项错误.对于C选项，朝上点数和可以是2〜12中的一个数

41

字，故C选项错误.对于D选项，根据古典概型概率计算公式可得：所求概率为二==，故D

选项正确.综上所述，本小题选D.

【点睛】本小题主要考查古典概型有关知识，考查随机事件，属于基础题.

例2.（2020•北京高二期中）以下现象是随机现象的是

A.标准大气压下，水加热到100℃,必会沸腾

B.长和宽分别为a,6的矩形，其面积为axb

C.走到十字路口，遇到红灯

D.三角形内角和为180°

【答案】C

【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.

【详解】A.标准大气压下，水加热到100C,必会沸腾,是必然事件；

B.长和宽分别为a,加勺矩形，其面积为axb,是必然事件；

C.走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；

D.三角形内角和为180°,是必然事件.

故选C

【点睛】本题主要考查必然事件、随机事件的定义与判断，意在考查学生对该知识的理解掌

握水平，属于基础题.

考点二；样本空间

例1.先后抛掷2枚质地均匀的一角、五角的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件

中包含3个样本点的是（）

A.“至少一枚硬币正面向上”B.“只有一枚硬币正面向上”

C.”两枚硬币都是正面向上”D.“两枚硬币中一枚正面向上，另一枚反面向上”

【答案】A

【详解】

“至少一枚硬币正面向上”包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向上”、“一角硬币正

面向上，五角硬币正面向下”、“一角硬币正面向下，五角硬币正面向上”3个样本点，故A

正确；

“只有一枚硬币正面向上”包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向下”、“一角硬币正

面向下，五角硬币正面向上”2个样本点，故B错误；

“两枚硬币都是正面向上”包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向上”1个样本点，故C

错误；

“两枚硬币中一枚正面向上，另一枚反面向上”包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向

下”、“一角硬币正面向下，五角硬币正面向上”2个样本点，故D错误.

故选：A.

考点三：随机事件、必然事件，不可能事件

例1.（2020•鸡泽县第一中学高二月考）气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说

法正确的是（）

A.本市明天将有70%的地区降雨B.本市有天将有70%的时间降雨

C.明天出行不带雨具淋雨的可能性很大D.明天出行不带雨具肯定要淋雨

【答案】C

【分析】根据概率的意义，可判断各选项.

【详解】气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，则本市明天降雨的可能性比较大.与降水地

区面积和降水时间无关,所以A,B错误.

降水概率是事件发生的可能,不是一定会发生的事情,所以D错误.

而由降水概率是70%,可知降水概率较大,所以明天出行不带雨具淋雨的可能性很大,所以C正

确.

故选:C.

【点睛】本题考查了概率的概念和意义,属于基础题.

例2.（2020•全国高二）已知某厂生产的某批产品的合格率为90%,现从该批次产品中抽出

100件产品检查，则下列说法正确的是（）

A.合格产品少于90件B.合格产品多于90件

C.合格产品正好是90件D.合格产品可能是90件

【答案】D

【分析】根据概率的定义与性质，直接可求解.

【详解】某厂生产的某批产品的合格率为90%,现从该批次产品中抽出100件产品检查，

在4中，合格产品可能不少于90件，故/错误；

在肿，合格产品可能不多于90件，故端误；

在冲，合格产品可能不是90件，故型误；

在舛，合格产品可能是90件，故。正确.

故选〃

【点睛】本题考查概率的定义与性质的应用，考查理解辨析能力，属于基础题.

例3.（2020•全国）下列叙述正确的是（）

A.互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件

B.若事件A发生的概率为P（A）,则O<P（A）<1

C.频率是稳定的，概率是随机的

D.5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小

【答案】B

【分析】由互斥事件及对立事件的关系，频率与概率的关系及随机事件的概率逐一判断即可

得解.

【详解】解：对于A,互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件，即A错误;

对于B,事件A发生的概率为P（A）,则OWP（A）W1,即B正确；

对于C,概率是稳定的，频率是随机的，即C错误；

对于D,5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性都为：，

即D错误，

即叙述正确的是选项B,

故选：B.

【点睛】本题考查了互斥事件及对立事件的关系，重点考查了频率与概率的关系及随机事件

的概率，属基础题.

例4.（2020•邵东市第一中学高二月考）下列说法错误的是（）

A.任一事件的概率总在［0』内B.不可能事件的概率一定为0

C.必然事件的概率一定为1D.概率是随机的，在试验前不能确定

【答案】D

【分析】结合概率的定义和性质一一判断选项即可.

【详解】解：任一事件的概率总在［0』内，不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1,概

率是客观存在的，是一个确定值.

故选：D.

【点睛】本题主要考查概率的定义与性质，属于基础题.

例5.（2020•襄阳市第一中学高二月考）袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个

球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X,则表示“放入袋中

4回小球”的事件为（）

A.X=4B.X=5C.X=6D.X<4

【答案】B

【分析】“放入袋中4回小球”也即是第5次抽取到了红球，由此求得X的值.

【详解】根据题意可知，如果没有抽到红球，则将黑球放回，然后继续抽取，所以“放入袋

中4回小球”也即是前4次都是抽到黑球，第5次抽到了红球，故X=5.

故选：B.

【点睛】本小题主要考查对离散型随机变量的理解，考查抽样方法的理解，属于基础题.

例6.（2020•全国高二）给出下列四个命题：

①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件

②“当》为某一实数时可使犬＜0”是不可能事件

③“明天全天要下雨”是必然事件

④“从100个灯泡（6个是次品）中取出5个，5个都是次品”是随机事件.

其中正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】利用必然事件的概念可以判断①是正确的命题，③是偶然事件，利用不可能事件的

概念判断②正确，利用随机事件的概念判断④正确.

【详解】对于①，三个球分为两组，有两种情况，1+2和3+0,所以①是正确的命题；

对于②，任意实数x都有所以②是正确的命题；

对于③，“明天全天要下雨”是偶然事件，所以③是错误的命题；

对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”，发生与否是随机的，所以④是正确的命

题.

故选：D.

【点睛】本题主要考查必然事件和随机事件的概念，考查不可能事件的概念，意在考查学生

对这些知识的理解掌握水平.

例7.（2020•张家口市第一中学高二期中）有以下说法：

①一年按365天计算,两名学生的生日相同的概率是」一;②买彩票中奖的概率为0.001,那么买1

365

000张彩票就一定能中奖;③乒乓球赛前,决定谁先发球,抽签方法是从110共10个数字中各抽取1

个,再比较大小,这种抽签方法是公平的;④昨天没有下雨,则说明“昨天气象局的天气预报降水概

率是90%”是错误的.

根据我们所学的概率知识,其中说法正确的序号是—.

【答案】①③

【解析】根据“概率的意义”求解，买彩票中奖的概率0.001,并不意味着买1000张彩票一定

能中奖,只有当买彩票的数量非常大时,我们可以看成大量买彩票的重复试验，中奖的次数为

©00

昨天气象局的天气预报降水概率是90%,是指可能性非常大,并不一定会下雨.

说法②④是错误的，而利用概率知识可知①③是正确的.

故答案为①③.

考点四：简单的古典概型

例1.在某微信群的“微信抢红包”活动中，某次所发的红包总金额为10元，被随机分配为2.13

元，3.44元，1.83元，2.60元，现有甲、乙等4人参与抢红包，每人只能抢一次，则甲、乙两

人抢到的金额之和大于5元的概率为（)

2111

A.-B.一C.一D.-

3234

【解析】解：记甲、乙两人抢到的金额分别为a,b,

甲、乙两人抢到的金额用有序实数对（a,b）表示,

则（a,b）的情况有:

(2.13,3.44)，(2.13,1.83),(2.13,2.60)，(3.44,1.83)，

(3.44,2.60)，(1.83,2.60),(3.44,2.13),(1.83,2.13),

(2.60,2.13),(1.83,3.44),(2.60,3.44),(2.60,1.83),共12种,

符合条件的情况有:

(2.13,3.44),(3.44,1.83),(3.44,2.60),(3.44,2.13),

(1.83,3.44),(2.60,3.44),共6种,

1

故甲、乙两人抢到的金额之和大于5元的概率为5,

故选：B.

例2.人的眼皮单双是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作B,隐性基因记作b；成

对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮（也就是说，“双眼皮”的充要条件是

“基因对是BB,bB或Bb”），人的卷舌与平舌（指是否能左右卷起来）也是由一对基因对决

定的，分别用D,d表示显性基因、隐形基因，基因对中只要出现了显性基因D,就一定是卷舌

的.生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰.若有一对夫妻，两人决定眼

皮单双和舌头形态的基因都是BbDd,不考虑基因突变，他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为

)

1379

A.—B.——C.——D.—

16161616

【解析】解：控制不同性状的基因遗传时互不干扰.有一对夫妻,

两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是BbDd,

不考虑基因突变，基本事件总数n=2'=16,

他们的孩子是单眼皮且卷舌包含的基本事件有3种情况，分别为:

(bbDD),(bbDd),(bb,dD),

他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为P..

故选：B.

例3.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6的正方体玩具）先后

抛掷两次，则向上的点数之和为4的概率为（）

1111

A.—B.—C.-D.—

181293

【解析】解：所有的基本事件共6X6=36个，

其中，点数和为4的有（1,3）、（2,2）、（3,1）共3个，

31

・••出现向上的点数之和为4的概率是-=

故选：B.

【名师点睛】

求解古典概率“四步”法：

1、读：反复阅读题目，收集整理题目中的各种信息.

2、判：判断试验是否为古典概型

3、歹!］：求出试验的样本空间和所求惠件所包的样本底的个数

4、算：计算出古典概型的概率，对应用题还要作答

考点五：：较复杂的古典概型的计算

例1.四张卡片上分别写有“荣”、“八”、“耻”、“八”四个汉字，一个不识字的幼儿随

机地把它们排成一排，刚好排成“八荣八耻”的概率是（）

1111

A.1B.-C.——D.——

461224

【解析】解：四张卡片上分别写有“荣”、“八”、“耻”、“八”四个汉字，

一个不识字的幼儿随机地把它们排成一排，

基本事件有：八八荣耻，八八耻荣，八荣八耻，八耻八荣，八荣耻八、八耻荣八，荣八八耻,

荣八耻八，荣耻八八，耻荣八八，耻八八荣、耻八荣八，

共有12种可能情况，

刚好排成“八荣八耻”的情况只有1种，

二刚好排成“八荣八耻”的概率p=°.

12

故选：C.

113

例2.从集合A=｛-1,5,2｝中随机选取一个数记为k,从集合B=弓，2｝中随机选取一个

数记为a,则的概率为（）

1275

---一

A.3B.3C.9D.9

【解析】解：分别从集合A,B各取一个数，共有3X3=9组实数对,

若a=],则由£>1得k<0,此时k=-1,有1个，

若a=|,则由41得k>0,此时k=.2,有2个，

若a=2,则由r>1得k>0,此时k=g,2,有2个,共有5个，

则对应的概率P=

故选：D.

例3.将一个正四面体沿各棱的中点截去四个小三棱锥后得到一个新几何体，将此几何体的任

意两个顶点连成一条线段，则其位于原四面体表面的概率为（）

1234

A.—B.—C.-D.一

5555

【解析】解：根据题意，新得到的几何体有6个顶点，从中任取两点连成直线段，共有C/=15

种情况，

其中原四面体的一个面上有3个点，从中任取两点连成直线段，有C3?=3种情况，

这些直线段不在原四面体的内部，

即在其表面的有4X3=12种情况；

则将此几何体的任意两个顶点连成一条线段，

则其位于原四面体表面的概率P="£

155

故选：D.

【名师点睛】

解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式，但是这类问题的解法多样，技

巧性强，在解决此类题时需要注意以下两个问题：

（1）试验必须具有古典概型的两大特征一有限性和等可能性.

（2）计算基本事件的数目时，须做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基

本事件.

考点六：互斥事件、对立事件的概率

13

例1.一台机床有-的时间加工零件A,其余时间加工零件B,加工A时，停机的概率是一，力口

310

2

工B时,停机的概率是彳，则这台机床停机的概率为（）

A.HB.工

c.LD.±

30301010

【难度】★★

【答案】A

132211

【解析】机床停机的概率就是A,3两种零件都不能加工的概率，即+=

3103530

例2.盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求

下列事件的概率：

(1)取到的2只都是次品；

(2)取到的2只中正品、次品各一只；

(3)取到的2只中至少有一只正品。

【难度】★★

148

【答案】(1)(2)-；(3)-

999

【解析】从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62=36,种不同取法，

(1)取到的2只都是次品情况为2?=4种，因而所求概率为&=1；

369

(2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；

及第一次取到次品，第二次取到正品。因而所求概率为+-=^;

36369

(3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件，因

1Q

而所求概率为尸=1一上=2.

99

例3.有朋自远方来，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.

(1)求他乘火车或飞机来的概率；

(2)求他不乘轮船来的概率；

(3)如果他来的概率为0.4,请问他有可能是乘何种交通工具来的？

【难度】★★

【答案】(1)0.7；(2)0.8；(3)可能是乘飞机来，也可能是乘火车或汽车来的

【解析】设"朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来”分别为事件ABC,。，则

P(A)=0.3,P(B)=0.2,P(C)=0.1,P(D)=0.4,且事件A,民。,。之间是互斥的.

(1)他乘火车或飞机来的概率为4=P(AU。)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7.

(2)他乘轮船来的概率是尸(3)=0.2,所以他不乘轮船来的概率为P(历=1-P(3)=0.8.

(3)由于0.4=P(D)=P(A)+P(C),所以他可能是乘飞机来，也可能是乘火车或汽车来的.

23

例4.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是上和工假设两人射击是否击中目标，

34

相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.

(1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；

(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；

(3)假设某人连续2次本市中目标，则停止射击.问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是

多少？

【难度】★★★

45

【答案】(1)—(2)-；(3)

8181024

【解析】本题是一道概率综合运用问题，第一问中求“至少有一次末击中问题”可从反面求

其概率

问题；第二问中先求出甲恰有两次末击中目标的概率，乙恰有3次末击中目标的概率，再利用

独立

事件发生的概率公式求解.第三问设出相关事件，利用独立事件发生的概率公式求解，并注

意利用

对立、互斥事件发生的概率公式.

(1)记“甲连续射击4次至少有一次末中目标”为事件A”由题意知，射击4次，相当于作4

次独立重复试验，故尸(4)=1—P(A)=1—($4=||.

答：甲连续射击4次至少有一次末中目标的概率为：—.

81

(2)记“甲射击4次，恰有2次射中目标”为事件A2,“乙射击4次，恰有3次射中目标”为事

2231

件B,贝up(A)=cr(|)-(i-|)=^P(B2)=C：.(|)-(1-1)=||

o97i

由于甲乙射击相互独立，故P(A2B2)=P(A2)P(S2)==

答：两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为L

8

(3)记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件Af乙第i次射击末中”为事件Di(1=1,2,3,4,5),

则A3=£>5・2•瓦•瓦瓦，且P(9)=，由于各事件相互独立，故

——-------1131145

p(A)=尸(2)•P(2)•RA)•尸(34)二///(匕x/=而值

答：乙恰好射击5次后被中止射击的概率为二45.

1024

【名师点睛】

互斥事件、对立事件的概率公式的应用：

(1)互斥事件的概率加法公式P(AUB)=P(A)+P(B)是一个非常重要的公式，运用该公

式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，然后

求出各事件的概率，用加法公式得出结果.

(2)当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可间接地先计算出其对立事件的个数，求

得对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P(A)+P(B)=1,求出符合条件的事

件的概率.

考点七：概率加法公式的应用

111

例1.加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为菰、且

706968

各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为.

【解答】解：加工出来的零件为次品的对立事件为零件是正品，而零件是正品需要三道工序

全部是正品.

由对立事件公式得，加工出来的零件的次品率.

41、一1、一1、d6968673

y'70，'69，’68，y70696870

3

故答案为兀.

111

例2.甲、乙、丙三人射击同一目标，命中目标的概率分别为：;，且彼此射击互不影响，

234

现在三人射击该目标各一次，则目标被击中的概率为一.(用数字作答)

【解析】解：目标被击中的概率等于1减去甲、乙、丙三人都没有击中目标的概率，

故目标被击中的概率是1-(1—：)(1—:)(1—7)=

2344

故答案为：--

4

133

例3.三个元件「，Tz,Ts正常工作的概率分别为二，且是互相独立的.将它们中某两个

244

元件并联后再和第三元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是—.

h

石r-1——1―

—।।———

—।।—

【解析】解：记「正常工作为事件A,七正常工作为事件B,记丁3正常工作为事件C,

则p(A)=-,P(B)=P(C)=-；

24

电路不发生故障，即「正常工作且T2,T3至少有一个正常工作，

丁2、丁3不发生故障即T2,T3至少有一个正常工作的概率R=1-(1--)(1--)=—,

4416

所以整个电路不发生故障的概率为P=P(A)XP1=ix—=—,

21632

故答案为：—

32

【名师点睛】(1)概率的一般加法公式与互斥事件的概率加法公式在限制条件上的区别：

在公式P(AUB)=P(A)+P(B)中，事件A,B是互斥事件；在公式P(AUB)=P(A)+P(B)

-P(AAB)中，事件A,B可以是互斥事件，也可以不是互斥事件，可借助图形理解.

(2)利用概率的一般加法公式P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AAB)求解的关键在于理解两

个事件A,B的交事件ACB的含义，准确求出其概率.

考点八：频率的计算

例1.(2020•安徽滁州市•高二月考(理))某篮球运动员进行投球练习，连投了100次，

恰好投进了90次.若用力表示“投进球”这一事件，则事件4发生的()

A.概率为0.9B.频率为90C.频率为0.9D.以上说法都不对

【答案】C

【分析】根据频率计算公式,即可求得答案.

【详解】投球一次即进行一次试验，投球100次，投进90次，

即事件/发生的频数为90,

所以事件［发生的频率为9名0=^9=0.9.

故选：C

例2.（2018•广东高二学业考试）今年第一季度在某妇幼医院出生的男、女婴人数统计表（单

位：人）如表：

月份性

一二三总计

别

男婴22192364

女婴18202159

总计403944123

则今年第一季度该医院男婴的出生频率是（）

64

123

【答案】D

【分析】利用已知条件得到第一季度的男婴数和婴儿总数，计算比值即得出生频率.

【详解】解：根据题意：第一季度的男婴数为64,婴儿总数为123,

故该医院生男婴的出生频率为264t.

123

故选：D.

【点睛】本题考查了频率的计算方法，属于基础题.

例3.（2019•沂水县第二中学高二月考）下表是20n〜2017年我国就业人口及劳动年龄人

口（劳动年龄人口包含就业人口）统计表：

时间（年）2011201220132014201520162017

就业人口（万人）76420767047697777253774517760377640

劳动年龄人口

92543921989195491583910969074790199

（万人）

则由表可知（）

A.20n〜2017年我国就业人口逐年减少

B.20n〜2017年我国劳动年龄人口逐年增加

C.20n〜2017年这7年我国就业人口数量的中位数为76977

D.2011-2017年我国劳动年龄人口中就业人口所占比重逐年增加

【答案】D

【分析】根据表格中数据就业人口和劳动年龄人口数的变化可判断A、B选项的正误；根据表

格中的数据可得出2011~2017年这7年我国就业人口数量的中位数，可判断C选项的正误；

利用表格中的数据计算出20n〜2017年我国劳动年龄人口中就业人口所占比重，可判断D选

项的正误.

【详解】由表格中的数据可知，20n〜2017年我国就业人口逐年增加，劳动年龄人口逐年减

少，A、B选项均错误；

将20H~2017年这7年我国就业人口数量由小到大依次排列为：76420、76704、76977、

77253、77451、77603、77640,中位数为77253,C选项错误；

2011-2017年我国劳动年龄人口中就业人口所占比重如下表所示:

时间

2011201220132014201520162017

（年）

劳动年

龄人口

中就业82.58%83.19%83.71%84.35%84.57%85.52%86.08%

人口所

占比重

由上表可知，20n〜2017年我国劳动年龄人口中就业人口所占比重逐年增加，D选项正确.

故选：D.

【点睛】本题考查统计中相关命题的判断，涉及中位数、频率的计算，考查数据处理能力，

属于基础题.

例4.（2020•广西百色市•平果二中高二月考）已知某厂的产品合格率是95%,从该厂抽出

20件产品进行检查,其中合格产品的件数最有可能是.

【答案】19

【分析】由概率的定义进行计算可得答案.

【详解】解：由题意：某厂的产品合格率是95%,从该厂抽出20件产品进行检查，其中合格

产品的件数最有可能是：20x95%=19,

故答案为：19.

【点睛】本题主要考查概率的定义，相对简单.

例5.（2021•上海高二专题练习）从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的不同取法

共有〃种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为加，则一等于

n

【答案】；

【分析】分别求出小，”即可.

【详解】从4条长度不同的线段中任取3条，共有4种取法，即〃=4,可组成三角形的只有一

rnI

种(2,3,4),因此根=1,.

n4

故答案为J.

4

【点睛】本题考查事件的概念，求事件的个数.解题时可用列举法列出任取3条线段的所有可

能以及满足组成三角形的个数，从而得"，加.列举法是我们常用的方法.能组成三角形的

判定关键是两个较小的线段长之和大于最长的线段长度.

考点九：概率与频率的关系

例1.(2018•全国高二课时练习)设某厂产品的次品率为2%,估算该厂8000件产品中合格品的

件数大约为()

A.160B.7840

C.7998D.7800

【答案】B

【详解】8000X(1-2%)=7840(件)，故选B.

例2.(2021•上海高二专题练习)下列关于“频率”和“概率”的说法中正确的是

(1)在大量随机试验中，事件A出现的频率与其概率很接近；

(2)概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限；

(3)计算频率通常是为了估计概率.

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)

【答案】D

【分析】利用频率和概率的定义分析判断得解.

【详解】(1)在大量随机试验中，事件A出现的频率与其他概率很接近，所以该命题是真命

题；

(2)概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限，所以该命题是真命题；

(3)计算频率通常是为了估计概率，所以该命题是真命题.

故选D

【点睛】本题主要考查频率和概率的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

例3.(2020•广西百色市•平果二中高二月考)下列关于概率的说法正确的是()

A.频率就是概率

B.任何事件的概率都是在（0,1）之间

C.概率是客观存在的，与试验次数无关

D.概率是随机的，与试验次数有关

【答案】C

【分析】根据频率与概率的定义一一进行判断可得答案.

【详解】解：事件A的频率是指事件A发生的频数与n次事件中事件A出现的次数比，

一般来说，随机事件A在每次实验中是否发生时不能预料的，但在大量重复的实验后，随着实

验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间［0,1］的某个常数上，这个常数就是事件A

的概率，故可得：概率是客观存在的，与试验次数无关，

故选：C.

【点睛】本题主要考查频率与概率的定义，相对简单.

例4.（2021•曲靖市沾益区第四中学高二期末（文））某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷

了10次，正面朝上的情形出现了7次，则下列说法正确的是（）

A.正面朝上的概率为0.7B.正面朝上的频率为0.7

C.正面朝上的概率为7D.正面朝上的概率接近于0.7

【答案】B

【分析】频率等于频数除于总数.

7

【详解】正面朝上的频率是一=0.7,正面朝上的概率是0.5.

10

故选：B

【点睛】本题考查频率与概率的区别，属于基础题.

例5.（2021•福建龙岩市•高二期末）下列命题中正确的是（）

A.事件A发生的概率P（A）等于事件A发生的频率fn（A）

B.一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是工，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点

6

C.掷两枚质地均匀的硬币，事件A为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件3为“两枚都

是正面朝上”，则尸（A）=2尸（B）

D.对于两个事件A、B,若P（AU3）=P（A）+P（3）,则事件A与事件3互斥

【答案】C

【分析】根据频率与概率的关系判断即可得A选项错误；根据概率的意义即可判断B选项错误;

根据古典概型公式计算即可得C选项正确；举例说明即可得D选项错误.

【详解】解：对于A选项，频率与实验次数有关，且在概率附近摆动，故A选项错误;

对于B选项，根据概率的意义，一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是工，表示一次实

6

验发生的可能性是故骰子掷6次出现3点的次数也不确定，故B选项错误；

对于C选项，根据概率的计算公式得P（A）=；x；x2=；,P（B）=；x；=；,故

P（A）=2P（B）,故C选项正确；

对于D选项，设xe［-3,3］,A事件表示从［—3,3］中任取一个数x,使得xw［l,3］的事件，贝ij

P（A）=g,B事件表示从［—3,3］中任取一个数x,使得xe［—2』的事件，则尸（人）=；,显

然尸（AUB）=3==+!=P（A）+P（8），此时A事件与B事件不互斥，故D选项错误.

632

【点睛】本题考查概率与频率的关系，概率的意义，互斥事件等，解题的关键在于D选项的判

断，适当的举反例求解即可.

考点十：用频率估计概率

例1.（2020•武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高二期末）从一群参加新年晚会的小

孩中随机抽出次人，一人发一个礼物,让他们返回继续参加晚会，过了一会儿，再从中任取勿

人，发现其中有份小孩曾发过礼物,估计参加新年晚会的小孩的人数为（）

D.k+n—m

【答案】C

【分析】用样本频率估计总体频率，计算即可得.

【详解】设总人数为。，则（=〃，a=—.

amn

故选：C.

例2.（2020•安徽滁州市•高二月考（文））某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80

分以上为优秀（含80分），现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组：第一组

［50,60）,第二组［60,70）,第三组［70,80）,第四组［80,90）,第五组［90,100］,其中第一、

三、四、五小组的频率分别为0.30,0.15,0.10,0.05,而第二小组的频数是40,则参赛的

人数以及成绩优秀的概率分别是（）

A.50,0.15B.50,0.75C.100,0.15D.100,0.75

【答案】C

【分析】由于所有组的频率和为1,从而可求出第二组的频率，再由第二组的频数可求出总人

数，求出成绩优秀的频率可得其概率

【详解】由已知得第二小组的频率是1—0.30—0.15—0.10—0.05=0.40,频数为40,

设共有参赛学生x人，则xxO.4=4O,所以x=100.

因为成绩优秀的频率为0.10+0.05=0.15,

所以成绩优秀的概率为0.15,

故选：C.

【点睛】此题考查频率和频数的关系，考查频率与概率的关系，属于基础题

例3.（2020•咸阳百灵学校高二月考（文））某商店储存的50个灯泡中，甲厂生产的灯泡占

60%,乙厂生产的灯泡占40%,甲厂生产的灯泡的一等品率是90%,乙厂生产的灯泡的一等品率

是80%.若从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡（每个灯泡被取出的机会均等），则它是甲厂

生产的一等品的概率是

A.0.32B.0.54C.0.6D.0.9

【答案】B

【分析】计算出甲厂生产的一等品的数量，由此求得所求概率.

【详解】依题意，在50个灯泡中，甲厂生产的一等品的数量为50x60%x90%=27,所以从

这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡（每个灯泡被取出的机会均等），则它是甲厂生产的一等

27

品的概率是」=0.54.

50

故选:B

【点睛】本小题主要考查利用频率估计概率，属于基础题.

例4.（2019•三亚华侨学校高二期中）我