浙江省普通高中2024年高中数学1月学业水平考试仿真模拟试题一含解析

PAGEPAGE9浙江省一般中学2024年中学数学1月学业水平考试仿真模拟试题（一）（含解析）一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.函数的定义域为（）A．B．C．D．解析：选C由可得，所以函数的定义域为.故选C．2.若数列是等比数列，且，则（）A．B．C．D．解析：选A因为数列是等比数列，且，所以可知，所以.3.直线的斜率为（）A．B．C．D．解析：选C.4.已知角满意，则（）A．B．C．D．解析：选B因为，所以.5.若平面对量，则（）A．B．C．D．正视图侧视图俯视图解析：选D因为，所以.正视图侧视图俯视图6.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．解析：选B由三视图可知该几何体是一个底面半径的1，高为2的圆柱，所以该圆柱的体积为.7.若正数满意，则的最小值为（）A．B．C．D．解析：选D因为，所以.当且仅当，时取等号.8.下列函数中是奇函数且在上单调递增的是（）A．B．C．D．解析：选C由题可得，函数是偶函数，且在上单调递增，所以解除A；函数是奇函数，且在上单调递减，所以解除B；函数是奇函数，且在上单调递增，所以C满意条件；函数是非奇非偶函数，且在上单调递增，所以解除D．故选C．9.实数满意约束条件若该约束条件满意的可行域的面积为，则实数的值为（）A．B．C．D．解析：选A由题可得，该约束条件表示的平面区域是如图所示的三角形区域，该三角形的三个顶点分别为，因为该区域的面积为，所以，由，解得.故选A．10.在中，角所对的边分别为.若，则（）A．B．C．或D．或解析：选C因为，由余弦定理可知，，解得或.故选C．11.双曲线的两条渐近线的夹角为（）A．B．C．D．解析：选B由题可得，双曲线的渐近线方程为，其与轴的夹角为，所以由夹角的定义可知，这两条渐近线的夹角为.故选B．12.已知函数，则下列说法正确的是（）A．图象关于点对称B．图象关于点对称C．图象关于直线对称D．图象关于直线对称解析：选C由题可得，设，解得，所以可知函数的对称中心为.设，解得，所以可知函数的对称中心为，通过对比选项可知，图象关于直线对称成立.故选C．13.已知，，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A由可得或，所以是的充分不必要条件.故选A．14.已知直线平面，动直线与直线所成角的大小为，则平面截动直线运动所成的轨迹得到的图形是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：选C由题可得，动直线按条件运动所得轨迹被平面截得的图形是双曲线.故选C．15.已知点，若点在轴上，且满意，则点的横坐标为（）A．B．C．D．解析：选D设，因为，所以，化简得.故选D．16.曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．解析：选A由题可得，曲线对应的图象是如图的半圆，要使曲线与直线有两个交点，则直线过点，代入可得，且处于切线的临界点，此时，所以实数的取值范围是.故选A．17.若向量满意，则在方向上投影的最大值是（）A．B．C．D．解析：选D设.由可得.所以在方向上的投影为.令，则，所以原式为.故选D．18.如图，在棱长为1的正四面体中，为的中心，过点作做直线分别与线段交于（可以是线段的端点），连接，点为的中点，则以下说法正确的是（）A．存在某一位置，使得B．的最大值为C．的最小值为12D．的取值范围是解析：选D本题考查空间几何体的综合问题.由题可得，选项A中，当线段改变时，，所以解除；，所以解除B；对于选项D，因为，，又因为，所以.故选D．二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19.设全集为，若集合，，则，.解析：；因为，，，又因为，所以.20.已知等差数列的前项和为，若，则.解析：因为数列是等差数列，所以，解得.21.已知直线过圆的圆心，当原点到直线距离最大时，该直线的方程为.解析：设圆心为，要使原点到直线距离最大时，则，所以.所以直线的方程为，即.22.若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是.解析：要使不等式成立，即成立，令，函数与轴交于点，与轴交于点.当函数的左支与轴交于点，此时有，若，解得或，则当时，在轴右侧，函数的图象在函数的上方，不合题意；在轴右侧，当函数的左支与曲线相切时，函数左支图象对应的解析式为，将代入，得，即，由判别式为零可得，解得，则当时，如图（一）所示，在轴右侧，函数的图象在函数的上方或相切，则不等式在上恒成立，不合于题意；当时，如图（二）所示，在轴右侧，函数的图象的左支或右支与函数相交，在轴右侧，函数的图象中必有一部分图象在函数的下方，即存在，使得不等式成立，故实数的取值范围是.图一图二三、解答题（本大题共3小题，共31分）23．（本小题满分10分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．（Ⅰ）求与；（Ⅱ）证明：．解：（Ⅰ）设的公差为，因为所以]解得或（舍去），.所以，.（II）因为，所以，所以，所以.24.（本小题满分10分）已知椭圆短轴的一个端点与椭圆的两个焦点构成面积为的直角三角形．（I）求椭圆的方程；（II）过圆上随意一点作圆的切线，若与椭圆相交于两点．求证：以为直径的圆恒过坐标原点.解：（I）设椭圆的焦距为，由题意得解得.所以椭圆的方程为.（II）圆的方程为，设为坐标原点，当直线的斜率不存在时，不妨设直线方程为，则,所以.此时，以为直径的圆过坐标原点．当直线的斜率存在时，设其方程设为，设.因为直线与圆相切，所以，解得.联立方程组消元化简得，由韦达定理得，所以.所以，此时，以为直径的圆恒过坐标原点．综上可知，以为直径的圆恒过坐标原点．25.（本小