2024-2025学年高中数学第一章常用逻辑用语阶段提升课学案新人教A版选修1-1

PAGEPAGE6第一课常用逻辑用语题组训练一四种命题的关系及其真假推断1．命题“若一个数是偶数，则它能被2整除”的逆命题是()A．“若一个数是偶数，则它不能被2整除”B．“若一个数能被2整除，则它是偶数”C．“若一个数不是偶数，则它不能被2整除”D．“若一个数不能被2整除，则它不是偶数”2．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．1B．2C．3D．43．给出下列几个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②“若lgx2＝0，则x＝－1”的逆命题；③若“x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|”的逆否命题．其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．34．设有两个命题：(1)不等式|x|－|x－1|>a的解集为∅；(2)函数f(x)＝eq\r(x2＋ax＋1)恒有意义，假如这两个命题至少有一个是假命题，则a的取值范围为________．【解析】1.选B.命题“若一个数是偶数，则它能被2整除”的条件是“一个数是偶数”，结论是“它能被2整除”，所以它的逆命题是“若一个数能被2整除，则它是偶数”．2．选B.命题“若a>－3，则a>－6”为真命题，它的逆命题为“若a>－6，则a>－3”，为假命题；它的否命题为“若a≤－3，则a≤－6”，为假命题；它的逆否命题为“若a≤－6，则a≤－3”，为真命题．故真命题的个数为2.3．选B.对于①，否命题是“不全等三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x＝－1，则lgx2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它是假命题．4.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x≥1，,2x－1，0<x<1，,－1，x≤0))其取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，1))，不等式|x|－|x－1|>a的解集为∅，即|x|－|x－1|≤a恒成立，若(1)为真命题，则a≥1，若(2)为真命题，则a2－4≤0，－2≤a≤2，(1)(2)均为真命题，可得1≤a≤2，所以若(1)(2)至少有一个是假命题，则a<1或a>2.答案：(－∞，1)∪(2，＋∞)命题真假的推断方法题组训练二充分条件、必要条件与充要条件1．设p：1<x<2，q：2x>1，则p是q成立的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知△ABC两内角A，B的对边边长分别为a，b，则“A＝B”是“acosA＝bcosB”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知a，b是不共线的向量，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λ1a＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C三点共线的充要条件是()A．λ1＝λ2＝－1 B．λ1＝λ2＝1C．λ1λ2＝1 D．λ1λ2＝－14．已知直线l1：x＋ay＋2＝0和l2：(a－2)x＋3y＋6a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝________．【解析】1.选A.利用充分条件必要条件的定义求解．由2x>1，得x>0，所以p⇒q，但qD⇒/p，所以p是q的充分不必要条件．2．选A.由acosA＝bcosB⇒sin2A＝sin2B，所以A＝B或2A＋2B＝π，可知关系．3．选C.A，B，C三点共线⇔eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))⇔λ1a＋b＝λa＋λλ2b⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ1＝λ，,λλ2＝1))⇔λ1λ2＝1.4.eq\f(1,a－2)＝eq\f(a,3)≠eq\f(2,6a)，得a＝－1(舍去)，a＝3.答案：3条件的充要关系的常用推断方法(1)定义法：干脆推断“若p，则q”，“若q，则p”的真假．(2)等价法：利用A⇒B与B⇒A，B⇒A与A⇒B，A⇔B与B⇔A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系推断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．题组训练三含逻辑联结词的命题1．设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为eq\f(π,2)；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称，则下列推断正确的是()A．p为真 B．q为假C．p∧q为假 D．p∨q为真2．短道速滑队组织6名队员(包括赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员)参与冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p，“乙得其次名”为q，“丙得第三名”为r，若p∨q是真命题，p∧q是假命题，(q)∧r是真命题，则选拔赛的结果为()A．甲得第一名、乙得其次名、丙得第三名B．甲得其次名、乙得第一名、丙得第三名C．甲得第一名、乙得第三名、丙得其次名D．甲得第一名、乙没得其次名、丙得第三名3．已知命题p：m，n为直线，α为平面，若m∥n，n⊂α，则m∥α；命题q：若a>b，则ac>bc，则下列命题为真命题的是()A．p∨q B．(p)∨q C．(p)∧q D．p∧q4．已知命题p：不等式ax2＋ax＋1>0的解集为R，则实数a∈(0，4)，命题q：“x2－2x－8>0”是“x>5”的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∧(q)C．(p)∧(q) D．(p)∧q【解析】1.选C.函数y＝sin2x的最小正周期为eq\f(2π,2)＝π，故命题p为假命题；直线x＝eq\f(π,2)不是y＝cosx的图象的对称轴，命题q为假命题，故p∧q为假．2．选D.(q)∧r是真命题意味着q为真，q为假(乙没得其次名)且r为真(丙得第三名)；p∨q是真命题，由于q为假，只能p为真(甲得第一名)，这与p∧q是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能确定其他队员得其次名，乙没得其次名．3．选B.命题q：若a>b，则ac>bc为假命题，命题p：m，n为直线，α为平面，若m∥n，n⊂α，则m∥α也为假命题，因此只有(p)∨q为真命题．4．选D.命题p：a＝0时，可得1>0恒成立；a≠0时，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝a2－4a<0，))解得0<a<4，综上，可得实数a∈[0，4)，因此p是假命题，则p是真命题；命题q：由x2－2x－8>0解得x>4或x<－2.因此“x2－2x－8>0”是“x>5”的必要不充分条件，是真命题．故(p)∧q是真命题．1．推断含有逻辑联结词的命题的真假的关键关键是对逻辑联结词“且”“或”“非”的含义的理解，应依据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的推断．2．推断命题真假的步骤题组训练四全称命题与特称命题1．命题p：∀x<0，x2≥2x，则命题p为()A．∃x0<0，xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))≥2x0B．∃x0≥0，xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))<2x0C．∃x0<0，xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))<2x0D．∃x0≥0，xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))≥2x02．已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：“∃x0∈R，xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋4x0＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是()A．[e，4] B．[1，4]C．(4，＋∞) D．(－∞，1]3．在下列几个命题中，真命题的个数是()①∀x∈R，x2＋x＋3＞0；②∀x∈Q，eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1是有理数；③∃α0，β0∈R，使sin(α0＋β0)＝sinα0＋sinβ0；④∃x0，y0∈Z，使3x0－2y0＝10.A．1B．2C．3D．44．命题p：∀x∈R，f(x)≥m，则命题p的否定p是________．【解析】1.选C.p：∃x0<0，xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))<2x0.2．选A.p∧q为真⇔p，q都为真．由p为真得出a≥e，由q为真得出a≤4，所以e≤a≤4.3．选D.①中，x2＋x＋3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(11,4)≥eq\f(11,4)＞0，故①为真命题；②中，∀x∈Q，eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋