重点高中数学讲义微04 函数值域的求法

微专题04求函数的值域

作为函数三要素之一，函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透

在各类题目之中，成为解题过程的一部分。所以掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数

的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决。

一、基础知识：

1、求值域的步骤：

(1)确定函数的定义域

(2)分析解析式的特点，并寻找相对应的方法(此为关键步骤)

(3)计算出函数的值域

2、求值域的常用工具：尽管在有些时候，求值域就像神仙施法念口诀一样，一种解析式特点

对应一个求值域的方法，只要掌握每种方法并将所求函数归好类即可操作，但也要掌握一些

常用的思路与工具。

(1)函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。若/(x)为

单调函数，则在边界处取得最值(临界值)。

(2)函数的图像(数形结合)：如果能作出函数的图像，那么值域便一目了然

(3)换元法：/(x)的解析式中可将关于x的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析

式化归为可求值域的形式。

(4)最值法：如果函数“X)在可连续，且可求出/(x)的最大最小值则“X)的

值域为

注：一定在/(X)连续的前提下，才可用最值来解得值域

3、常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值

域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化

归。

(1)一次函数(y="+6)：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来

确定值域

(2)二次函数('=办2+法+。)：二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的

对称轴，然后利用图像进行求解。(关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内)

例：/(x)=x2—2x—3,xe[—1,4]

解：/(%)=(X-1)2-4

二对称轴为：x=l

/./(x)e[-4,5]

(3)反比例函数：y^-\

X

(1)图像关于原点中心对称

(2)当X—>+oo,y-0

当x—>TO,y-0

(4)对勾函数：y=x+—(6f>0)

x

①解析式特点：X的系数为1；a>0

注：因为此类函数的值域与。相关，求。的值时要先保证X的

系数为1,再去确定。的值

4

例：y=2x+—,并不能直接确定4=4,而是先耍变衫力

X

y=+,再求得a=2

②极值点：x=4a,x=-y[aZ|

③极值点坐标：

(后,2夜-祈,-2&)

④定义域：(-00,0)0(0,+°°)

⑤自然定义域下的值域：(-00,—2-VflJ(J+8)

注意与对勾函数进行对比/

(5)函数：y-x——(a>0)

a>0/1/

①解析式特点：X的系数为1；

m/一

②函数的零点：x=：

③值域：R

(5)指数函数(y=a')：其函数图像分为。>1与0<a<l两

种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为「1

(0,+8)

(6)对数函数(y=log〃x)其函数图像分为。>1与

0<。<1两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域“：\f(x)=log；(a>l)

下的值域为(0,+8)

(7)分式函数：分式函数的形式较多，所以在本节最后会对分式函数值域的求法进行详细说

明(见附)

二、典型例题：将介绍求值域的几种方法，并通过例题进行体现

1、换元法：将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元f代替，将解析式

化归为熟悉的函数，进而解出值域

(1)在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值

范围

(2)换元的作用有两个：

①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，

换元后即可"消灭”根式，达到简化解析式的目的

②化归：可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理

(3)换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程，在有些函数解析式中明显每一项

都是与x的某个表达式有关，那么自然将这个表达式视为研究对象。

(4)换元也是将函数拆为两个函数复合的过程。在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常

见的复合函数分为两种

①y=af(x\y=log„[/(x)],y=sin[/(x)]：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，

在求值域时可先确定/(x)的范围，再求出函数的范围

②y=/(a'),y=/(log.x),y=/(sinx)：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项,

所以可利用换元将解析式转为y=/«)的形式，然后求值域即可。当然要注意有些解析式中

的项不是直接给出，而是可作转化：例如^=4*-2.|-8可转化为丁=(2,)2—2-2、—8,

从而可确定研究对象为t=2*

例1：函数〃x)=2x—的值域是()

b、「17)「51「15、

A.[0,+oo)B.三+0cJC.-,+℃ID.y,+°oI

思路：解析式中只含一个根式，所以可将其视为一个整体换元，从而将解析式转为二次函数,

求得值域即可。

解：“X)的定义域为[1,+00)

令r=y/x-l>0,则x=产+1

•.•re[0,+oo)

・•./'(%)的值域为^,+00^

1

例2(1)函数y=3口的值域为()

A.(0,+oo)B.(0,1)U(l,+°°)C.{x|x#l}D.(l,+oo)

⑵函数/(x)=4*-2加一8,xe[-2,2]的值域为

x+1

(3)函数y=In上e二」的值域为

ex

思路：(1)本题可视为y=3,⑴的形式，所以可将指数进行换元，从而转化为指数函数值域

问题：令f=」一，则t€(-oo,0)U(0,”)，所以可得y=3'e(0,l)U(L”)

x-I

(2)如前文所说，/(x)=4V-2v+,-8=(2r)2-2-2X-8,将2,视为一个整体令，=2,,

则可将其转化为二次函数求得值域

xA+IA2v

解：/(X)=4-2-8=(2)-2-2-8

令f=2"vxG[-2,2]

-I/

t£—,4

_4_

y=r2-2r-8=(/-l)2-9

.•./(x)的值域为[—9,0]

(3)所求函数为的形式，所以求得匚♦■的范围，再取对数即可。对三上|进行

x+\2

变形可得：—e—=1+——,从而将产一1视为一个整体，即可转为反比例函数，从而求

e'—1e'—]

得范围

解：定义域：e*-l〉0=>xe(0,+oo)

H=l+-72—

令，=e"-l/.re(0,+oo)

e'—1ex—1

+—G(1,-boo)

y=ln^7^-e(0,+oo)

e—1

答案：(1)B(2)[-9,0](3)(0,4-oo)

例3：已知函数〃%)=3+log2%,X£[l,4],则g(x)=/(巧一[/⑴丁的值域为()

A.[-18,-2]B.[―11,—6]C.[—18,6]D.[—11,—2]

22

思路：依题意可知g(x)=3+k>g2%2-(3+log2x)=-(log2x)-41og2x-6,所以可将

10g2不视为一个整体换元，从而将问题转化为求二次函数值域，但本题要注意的是g(x)的定

r2

义域，由已知/(X)的定义域为[1,4],则g(x)=的定义域为：,][“<；，

解得：xe[l,2],而不是[1,4]

2

解：g(x)=3+log2x-(3+log2x)~

=3+21og,x-(log,A:)-+61og,x+9

2

=-(log2x)-41og2x-6

•."(x)的定义域为[1,4],且g(x)=f(f)一[/(x)了

.•J1-"2-4,解得：xe[1,2]

[l<x<4L1

^-t=Iog2x,则

:.y^-r-4r-6=-(f+2)2-2

ye[-11,-6],即g(x)的值域为[-11,-6]

答案：C

2、数形结合：即作出函数的图像，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常

会考虑进行数形结合

(1)分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但

对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域。

(2)/(x)的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐

标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该/(x)函数的图像，从而利用图像求得函数的

值域

(3)函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形

结合求得值域，如：分式一直线的斜率；被开方数为平方和的根式一两点间距离公式

例4：(1)设函数y=/(x)定义域为R,对给定正数/，定义函数

九(x)=<则称函数fM(x)为/(x)的“挛生函数”,若给定函数

/、2—,—24x<0/、

/(》)={v,M=1,则y=_4(x)的值域为()

2"—l,x>0

A.[—2,1]B.[—1,2]C.(—8,2]D.(―8,—1]

⑵定义min{a,),c}为中的最小值，设〃x)=min{2x+3,x2+1,5-34则/(x)

的最大值是__________

思路：(1)根据“挛生函数”定义不难发现其图像特点，即以y=M为,

分界线，/(x)图像在y=M下方的图像不变，在M上方的图像则变/

为丁=加，通过作图即可得到九(x)的值域为[-2,1]

(2)本题若利用min{a,O,c}的定义将/(x)转为分段函数，则需要对

三个式子两两比较，比较繁琐，故考虑进行数形结合，将三个解析式

的图像作在同一坐标系下，则/(龙)为三段函数图像中靠下的部分，从

而通过数形结合可得/(x)的最大值点为y=/+l与y=5-3x在

第一象限的交点，即/―=>i一，所以“X)=2

y=5-3x[y=2八小

答案：(1)A(2)2

2222

例5：已知函数/(x)=x—2(tz+2)x+c/,<g(x)=—x+2(tz—2)x—tz+8,设

H](x)=max{/(x),g(x)},“2(x)=min{/(x),g(x)},(其中max{p,q}表示p,q中的较

大值，min{p,q}表示p,<7中的较小值)记4(x)的值

域为A,”2(%)的值域为心则An3=

思路：由"/x),"2(x)的定义可想到其图像特点，即若将/(x),g(x)的图像作在同一坐标

系中，那么为/(x),g(x)图像中位于上方的部分，而心口)为/(x),g(x)图像中位

/(%)=[x-(a+2)1-4a-4

于下方的部分。对/(x),g(x)配方可得：其中

^(x)=-[x-(a-2)]"-4a+12

-4a-4<^a+l2,故g(x)的顶点在/(x)顶点的上方。由图像可得：褐色部分为“"x)

的图像，红色部分为“2(x)的图像，其值域与/(x),g(x)的交点有关，即各自的顶点

(a-2,4+12),(a+2,-4a-4),所以耳(力的值域4=[4-4,+8),也(%)的值域

5=(-oo,-4a+12]o从而An8=[-4a-4,-4a+12]

答案：［-4a-4,-4a+12］

例6：(1)函数y=1^9,xe［2,4］的值域为

(2)函数y=Jf+4+Vx2-2x4-10的值域为

思路：(1)函数为分式，但无法用“变形+换元”的方式进行处理，虽然可以用导数，但求导后

需对分子的符号进行进一步研究。那么换一个视角，从分式的特点可联想到直线的斜率，即y

是(x,x如x)与定点(1,一3)连线的斜率,那么只需在坐标系

中作出/(x)=xlnx在［2,4］的图像与定点(1,一3),观察曲

线上的点与定点连线斜率的取值范围即可

解：所求函数y是(x,xlnx)与定点(1,一3)连线的斜率

设/(X)=xlnx

/./(x)=l+lnx,当xe［2,4］时，./恒成立

."./(X)为增函数/(2)=21n2,/(4)=41n4=8In2

设曲线上两点A(2,21n2),3(4,81n2)定点C(l,一3)

81n2+3

k=2In2+3,凝0

AC3

81n2,

ye[kBC,kAC]=21n2+3,----+1

3

(2)思路：y=>/厂+4+x~—2x+10=Jx*"+2"+—1)~+3一，所以y可视为点

(X,0)到点(0,2),(1,3)距离和的取值范围。结合图形可利用对称性

求出其最小值，且当动点向x轴两侧运动时，其距离和趋向无穷大，

进而得到值域。

解：

y=Jf+4+VX2-2X+10=次+(0—2)2+—+(()_,

y为动点P(x,0)到点4(0,2),3(1,3)距离和，即y=|P4|+1PB\

作A点关于x轴的对称点A(0,-2)

:.\P^+\PB\=\PA\+\PB\>\AB\=y/26(等号成立条件:P,A,8共线)

当xf+oo或xf-oo时，|24|+|尸网—>+oo

函数的值域为［后,+oo)

小炼有话说：本题在选择点时要尽量让更少的点参与进来简化问题，所以要抓住两个距离共

同的特点(例如本题中都抓住含根式中的x,0,所以找到了一个共同的动点(x,0))

答案：(1)21n2+3,^^+1(2)［V26,+oo)

3、函数单调性：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性(增、减)即可快速求出

函数的值域

(D判断函数单调性的方法与结论：

①增+增-增减+减—减

(—l)x增.减若函数的符号恒正或恒负，则］一减

②复合函数单调性：复合函数y=/［g(x)］可拆成y=/(f)j=g(x),则若

y=/()r=g(x)的单调性相同，则y=/［g(x)］单调递增；若y=")"=g(x)的单调

性相反，则y=.f［g(x)］单调递减

③利用导数：设图像不含水平线的函数“X)的导数/‘(X)，则/'(x)NO=/(x)单增；

/'(x)WO=/(x)单减

(2)在利用单调性求值域时，若定义域有一侧趋近于+8或-00,则要估计当Xf+8或

XffO时，函数值是向一个常数无限接近还是也趋近于+8或-8(即函数图象是否有水平

渐近线),；同样若/(x)的定义域抠去了某点或有一侧取不到边界，如司，则要确定

当xfa时，/(X)的值是接近与一个常数(即临界值)还是趋向+8或-8(即函数图象是

否有竖直渐近线)，这样可以使得值域更加准确

例7：(1)函数/(x)=Jl-x+\/x+3-l的值域为()

A.[-3,1]B,[-l,+oo)C,[2,2&]D.[1,272-1]

(2)函数/(x)=土=]一：的值域为()

-8,1]C.(0,1]D.[0,1]

(3)函数/(x)=¥-2*+5的值域为

—2+1

思路：(1)函数的定义域为[-3,1],含有双根式，所以很难依靠传统的换元解决问题，但/(x)

的导数/(X)=较易分析出单调性，所以考虑利用导数求出/(无)的单调区

间，从而求得最值

■/\11Jx+3y/\—x

2\J\-x2\jx+3-x-Jx+3

令/(x)>0即解不等式：J舌

x+3>1—x——z*x>—1

.•./(用在(—3,—1)单调减，在(—1,1)单调递增

=2夜-1J(-3)=1J⑴=1

.•./(X)的值域为[1,2血—1]

小炼有话说：本题还可以利用换元解决，但利用的是三角换元：观察到被开方数的和为常数，

//----\2/i-----\2I>/1—x=2sinctIJ1-xN0

所以想到Jl-x+J%+3=4,从而可设《i,由《i____可知

ae0,—,所以原函数的值域转化为求y=2sina+2cosc—1的值域，从而有

y-25/2sinj-1,由ae0,y可求得ye[1,2夜一1]。由此题可知：含双根式的

函数若通过变形可得到被开方数的和为常数，则可通过三角换元转为三角函数值域问题

(2)思路：函数的定义域为xWl,从而发现|1一目=1一%，所以函数的解析式为

/(^)=X-yJl-X,观察可得/(X)为增函数，且XfYO时，/(X)—所以当

XC(-00,1]时，/(X)的值域为(-00,1]

小炼有话说：①本题中函数的定义域对解析式的化简有极大的促进作用。所以在求函数的值

域时，若发现函数解析式较为特殊，则先确定其定义域

②本题也可用换元法，设，=>/二7后即可将函数转为二次函数求值域，但不如观察单调性

求解简便。

(3)思路：先确定函数的定义域：I2>0=>1€1,彳，/(x)为分式且含有根式，求

导则导函数较为复杂。观察分子分母可知：J3—2x+5>0且关于x单减,V2x-2+l>0

jIdCI<~-

且关于X单增，即「=——单减，所以/(x)=,———为减函数，由xw1,—可知

J2--2+1'7V2x-2+lL2J

/(x)的值域为|,6

小炼有话说：在函数单调性的判断中有“增+增一增”，那么如果一个函数可表示为两个函数的

乘法，例如〃(x)=/(x>g(x),则当/(x),g(x)均为增(减)函数，且/(x),g(x)恒大

于0,才能得到〃(x)为增(减)函数

答案：(1)D(2)B(3)-,6

_2_

4、方程思想：本方法是从等式的角度观察函数，将其视为一个含参数y的关于x的方程

E(x,y)=0。由函数的对应关系可知，对于值域中的任一值y,必能在定义域中找到与之对

应的X。这个特点反应在方程中，即为若先在值域中，则关于x的方程/?(%')=0在'=%

时只要有一个根。从而将求值域问题转化为“y取何值时，方程尸(x,y)=0有解''的问题。利

用方程的特点即可列出关于y的条件，进而解出y的范围即值域

2x+4x-7

例8：(1)函数y=/X的值域为()

x+2x+3

（2）函数y=‘ml的值域为

cosx+2

思路：（1）观察分式特点可发现若将去掉分母后可构造为一个关于x的二次方程（其中y为

参数）：（y-2）d+（2y—4）x+3y+7=0,因为函数的定义域为H,所以y的取值要求

只是让方程有解即可，首先对最高次数系数是否为0进行分类讨论：当y=2,方程为13=0,

无解；当yx2时，二次方程有解的条件为AN0,即得到关于y的不等式，求解即可

.,2x~+4x—7_,

解：由y=1-----------可得:

-J+2x+3

x2y+2xy+3y=2x2+4x-7

.•.（y—2）/+（2y-4）x+3y+7=0

・.•/+2x+3=（x+1）?+2〉0函数的定义域为R

y的取值只需让方程有解即可

当y=2时，13=0不成立，故舍去

当yw2时，A=（2y—4）'—4（y—2）（3y+7）＞0

即:（2y+9）（y-2）＜0

—Wy＜2

2

综上所述：函数的值域为-|,2）

小炼有话说：①对于二次分式，若函数的定义域为R,则可像例8这样通过方程思想，将值

域问题转化为“y取何值时方程有解“，然后利用二次方程根的判定△20得到关于y的不等式

从而求解，这种方法也称为“判别式法”

②若函数的定义域不是H,而是一个限定区间（例如可），那么如果也想按方程的思想处

理，那么要解决的问题转化为：“y取何值时，方程在可有根”，对于二次方程就变为了根

分布问题，但因为只要方程有根就行，会按根的个数进行比较复杂的分类讨论，所以此类问

题通常利用分式的变形与换元进行解决(详见附)

(2)本题不易将函数变为仅含sinx或cosx的形式，考虑去分母得：sinx-ycosx=2y+1

则y的取值只要让方程有解即可。观察左侧式子特点可想到俯角公式，从而得到

Jl+Vsin(x+°)=(2y+1)=>sin(x+°)=卒上L,可知方程有解的条件为：

71+/

+：卜1,解出y的范围即为值域

解：丁=sinx-l的定义域为E

cosx+2

rsinx-1-.।

且y=----------=>ycosx+2y=sinx-1

cosx+2

sinx—ycosx=2y+1

.•・J1+y2sin（x+〈）=（2y+l）,BPsin（x-F^）=+其中tan°=-y

Ji+V

因为该方程有解

•••|<l=>（2y+l）2=l+y2

,r4

/.3y~+4j<0=>je,0

小炼有话说：本题除了用方程思想，也可用数形结合进行解决，把分式视为

(cosx,sinx),(—2,1)连线斜率的问题，从而将问题转化为定点(一2,1)与单位圆上点连线斜率

的取值范围。作图求解即可。本类型运用方程思想处理的局限性在于辅角公式与y的取值相

关，不过因为xeR,所以均能保证只要sin(x+e)在中，则必有解。但如果本题对x

的范围有所限制，则用方程的思想不易列出)的不等式，所以还是用数形结合比较方便

「41

答案：(DD(2)—,0

L3J

以上为求值域的四种常见方法，与求函数的理念息息相关，有些函数也许有多种解法，

或是在求值域的过程中需要多种手段综合在一起解决。希望你再遇到函数值域问题时，能迅

速抓住解析式的特点，找到突破口，灵活运用各种方法处理问题。

例9：已知函数丁=怆卜2+2%+/”)的值域为/?,则机的取值范围是()

A.m>\B.m>1C.m<1D.me/?

思路：本题可视为y=Igf/=x?+2x+〃z的复合函数，函数的值域为R,结合对数函数的

性质可知f应取遍所有的正数(定义域可不为R),即若函数/=%2+2%+m的值域为4,则

(0,4w)cA,由二次函数的图像可知，当ANO时，可满足以上要求。所以A=4—4加20

解得m<1

答案：C

例10：在计算机的算法语言中有一种函数[x]叫做取整函数(也称高斯函数)，[x]表示不超

2*I

过x的最大整数，例如：[2]=2,[3.1]=3,[-2.6]=-3,设函数“尢卜二^一相则函数

y=[f(x)]+[/(-%)]的值域为()

A.{0}B.{-1,0}C.{-1,0,1}D.{-2,0}

思路：按[刃的定义可知，若要求出[x],则要将确定里面x的范围，所以若求

y=[/(x)]+[/(-%)]的值域，则要知道/(%),/(-x)的范围。观察到

y="(x)]+[/(-x)]为偶函数，所以只需找到x>0的值域即可，

/(一上』2T一91\/-T’/(上方2X一91品2X-丁1即成

立，所以/(X)为奇函数，只需确定了(X)的范围即可。对/(X)中的分式进行分离常数可得:

=；—当x>。时，2、+142,”)，从而白7d0,；),所以

乙乙III4I■!\J

,由/(-x)=-/(x)ef-1,oj„即[/(切=0,[/(一叫=一1,可得

y--l,再利用偶函数性质可得x<0时，y=-lo当x=0时，f(x)=f(-x)-0,所以

y=0,综上所述：y=[/(x)]+[/(—x)]的值域为{—1,0}

答案：B

小炼有话说：(1)本题在处理值域时，函数奇偶性的运用大量简化了运算。首先判断出所求

函数为偶函数，所以关于y轴对称的两部分值域相同，进而只需考虑x>0的情况。另外从解

析式的特点判断出/(x)为奇函数，从而只需计算/(x)的范围，再利用奇函数的性质推出

/(-X)的范围。所以在求函数值域时，若能通过观察或简单的变形判断出函数具备奇偶的性

质，则解题过程能够达到事半功倍的效果。

⑵本题在判断“X）的奇偶性时，由."2'2很难直接看出了（x）j（r）之

/（%）=—---

I'，1+2'2

间的联系，但通过“通分”即可得到<、,奇偶性立即可见；在求/（X）的范

/（-X）=-7V

八）20+2,）

2X-1

围时，利用/'（*）=、-----7的形式，分式较为复杂，分子分母均含变量，不易确定其范围。

-2（1+2，）

但通过“分离常数''得到/（力=；-5匕则非常便于求其范围。由以上的对比可知，在判断

奇偶性或者分式的符号时，通常一个大分式较为方便；在求得分式函数值域时，往往通过“分

离常数”的手段简化分式中的分子，从而便于求得范围

附：分式函数值域的求法：

分式函数也是高中所学函数的一个重要分支，求解分式函数的值域也考查了学生分式变形

的能力以及能否将分式化归为可求值域的形式，学会求分式函数值域也是处理解析几何中范

围问题的重要工具。求分式函数值域的方法很多，甚至也可以考虑对函数进行求导，但相对

计算量较大，本节主要介绍的方式为如何通过对分式函数进行变形，并用换元的方式将其转

化为熟悉的函数进行求解。

一、所用到的三个函数（其性质已在前文介绍）

1、反比例函数：y=-

X

2、对勾函数：y=x+-（fl>0）

X

3、函数：y=x--（«>0）注意与对勾函数进行对比

x

二、分式函数值域的求法

请看下面这个例子：

求y=3+Lxe[l,2]的值域

思路：此函数可看为工的结果再加上3所得，故可利用反比例函数求出1的范围，再得到值

XX

域

;.y=3+—,4

解：VXG[1,2]—e1

xrX2

问题不难，但观察可发现：y=3+^=2匚匕'，所以当遇到的函数为了=2山，总可以将

XXX

分子的每一项均除以分母，从而转化为y=3+，进行求解。由此得到第一个结论：

X

对于形如"X)=竺土2的函数，总可以变换成=a+々转化为反比例函数进行求解。

注：如果在分式中，分子的表达式可将一部分构造为分母的形式，则可用这部分除以