2024-2025学年湖南省长沙市天心区怡海中学九年级（上）入学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省长沙市天心区怡海中学九年级（上）入学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.−6的相反数是(

)A.−6 B.−16 C.6 2.下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是(

)A.2，3，4 B.1,1,2 C.1,3,2 D.3.我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000，建设和应用规模居世界第一.用科学记数法将数据1290000000表示为(

)A.1.29×108 B.12.9×108 C.4.下列计算正确的是(

)A.x6÷x4=x2 B.5.函数y=−x2+1的图象大致为A. B.

C. D.6.关于二次函数y=2x2+4x−1，下列说法正确的是A.图象与y轴的交点坐标为(0,1) B.图象的对称轴在y轴的右侧

C.当x<0时，y的值随x值的增大而减小 D.y的最小值为−37.将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为(

)A.y=(x+2)2−5 B.y=(x+2)2+58.如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，各彩条的宽度相等，如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一．设彩条的宽为x cm，根据题意可列方程(

)A.(20−2x)(30−2x)=20×30×16

B.(20−2x)(30−2x)=20×30×(1−16)

9.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点.则正确的是(

)A.若AC=BD，则四边形EFGH为矩形

B.若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形

C.若EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分

D.若EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等10.如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是(

)

①∠DCF=12∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2A.①②③ B.①③ C.①②④ D.①②③④二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.为了比较甲、乙、丙三种水稻秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知______种秧苗长势更整齐(填“甲”、“乙”或“丙”)．12.方程3x2+x−10=0的两个根是x1=−2，x2=513.若关于x的一元二次方程(m−2)x2+x+m2−4=0的一个根为14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC=4，DE=1.6，则BE的长为______．15.如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若E为BO的中点，则AE的长为______．

16.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论：①abc<0；②3a+c>0；③(a+c)2−b2<0；三、计算题：本大题共1小题，共9分。17.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不超过45%，

经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y=kx+b，且x=65，y=55；x=75时，y=45，

(1)求出一次函数的解析式；

(2)若该商场获利为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式；

(3)售价定为多少元时，商场可以获利最大，最大利润为多少元？四、解答题：本题共8小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题6分)

计算：−12024+19.(本小题6分)

解下列一元二次方程

(1)x2+6x−7=0；

20.(本小题6分)

已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根．

(1)求m的取值范围；

21.(本小题8分)

2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情.某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：

成绩统计表组别成绩x(分)百分比A组x<605%B组60≤x<7015%C组70≤x<80aD组80≤x<9035%E组90≤x≤10025%根据所给信息，解答下列问题：

(1)本次调查的成绩统计表中a=______%，并补全条形统计图；

(2)这200名学生成绩的中位数会落在______组(填A、B、C、D或E)；

(3)试估计该校1200名学生中成绩在90分以上(包括90分)的人数．22.(本小题8分)

如图直线：y1=kx+b经过点A(−6,0)，B(−1,5)．

(1)求直线AB的表达式；

(2)若直线y2=−2x−3与直线AB相交于点M，与x轴相交于点D.求四边形OBMD的面积；

(3)根据图象，直接写出关于x的不等式23.(本小题9分)

如图，在平行四边形ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F．

(1)求证：AD=AF；

(2)若AD=6，AB=3，∠A=120°，求EF的长．24.(本小题9分)

我们不妨约定：若某函数图象上存在横纵坐标相等的点，则把该函数称为“和谐函数”，其图象上这一点，称为“和谐点”，例如：“和谐函数”y=2x−1，其“和谐点”为(1,1)．

(1)在下列关于x的函数中，是“和谐函数”的，请在相应的题目后面括号中打“√”．

①y=x−3______；

②y=−12x+1______；

③y=x2−2x______．

(2)若点A、点B是“和谐函数”y=x2−(2m+1)x+(m−1)2(其中m>0)上的“和谐点”，且82≤AB≤10225.(本小题11分)

如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)与点B(3,0)，与y轴交于点C(0,3)，点P是抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在点P的运动过程中，是否存在点P，使∠CAP=45°？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)当点P在第一象限时，连接BP，设△ACP的面积为S1，△BCP的面积为S2

参考答案1.C

2.A

3.C

4.A

5.B

6.D

7.A

8.B

9.D

10.C

11.甲

12.(−2,0)、(513.−2

14.415.3

16.②③④

17.解：(1)将x=65y=55，x=75y=45代入y=kx+b中55=65k+b45=75k+b，

解得：k=−1b=120，

∴y=−x+120(60≤x≤87)．

(2)W=(−x+120)(x−60)，

W=−x2+180x−7200，

W=−(x−90)2+900．

(3)又∵60<x≤60×(1+45%)，

即60≤x≤87，

则x=87时获利最多，

将x=8718.解：−12024+(−2)2−(3−π19.解：(1)x2+6x−7=0，

(x−1)(x+7)=0，

∴x−1=0或x+7=0，

解得，x1=1，x2=−7；

(2)3x(2x+1)=4x+2，

6x2+3x=4x+2，

6x2−x−2=0，

(3x−2)(2x+1)=020.解：(1)∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+5=0的两实数根，

∴Δ≥0，

∴[−2(m+1)]2−4(m2+5)≥0，

解得：m≥2；

(2)∵x1+x2=2(m+1)，x1x221(1)20．

补全条形统计图如图所示．

(2)D．

(3)1200×25%=300(人)．

∴估计该校1200名学生中成绩在90分以上(包括90分)的人数约300人．22.解：(1)将A(−6,0)，B(−1,5)代入y1=kx+b得，−6k+b=0−k+b=5，

解得k=1b=6，

∴直线AB的表达式为y1=x+6；

(2)联立y1=x+6y2=−2x−3，

解得x=−3y=3，

∴M(−3,3)，

当y2=0时，−2x−3=0，

解得x=−32，

∴D(−32,0)，

∴S四边形OBMD=S△AOB−S△ADM=12×6×5−1223.(1)证明：∵平行四边形ABCD，

∴AB//CD，

∴∠F=∠CDF，

∵DF平分∠ADC，

∴∠ADF=∠CDF，

∴∠ADF=∠F，

∴AD=AF；

(2)解：∵平行四边形ABCD，

∴CD=AB=3，

∵AD=6，AB=3，

∴AF=6，BF=3=CD，

∵∠F=∠CDE，∠FEB=∠DEC，BF=CD，

∴△FEB≌△DEC(AAS)，

∴DE=EF，

如图，连接AE，

∵AD=AF，

∴AE⊥DF，∠FAE=12∠BAD=60°，∠F=30°，

∴AE=12AF=3，

由勾股定理得，EF=A24.(1)①×，②√，③√；

(2)∵y=x2−(2m+1)x+(m−1)2是“和谐函数”，

∴x=x2−(2m+1)x+(m−1)2，

整理得，x2−(2m+2)x+(m−1)2=0，

∵点A、点B是“和谐函数”上的“和谐点”，

设A(x1,x1)，B(x2,x2)，

∴Δ=16m>0，x1+x2=2m+2，x1⋅x2=(m−1)2，

∴AB=(x1−x2)2+(x1−x2)2

=2|x1−x2|

=2(x1+x2)2−4x1x2

=42m，

∵82≤AB≤102，

∴82≤42m≤102，

∴4≤m≤254；25.解：(1)将A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)代入y=ax2+bx+c得：

a−b+c=09a+3b+c=0c=3，

解得a=−1b=2c=3，

∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；

(2)如图①，连接AC，过A作直线AP，使∠CAP=45°，过C作CD⊥AP于D，过D作EF⊥x轴于E，作CF⊥EF于F，

∴∠ACD=45°=∠CAD，

∴AD=CD，

∵∠DAE+∠ADE=90°=∠ADE+∠CDF，

∴∠DAE=∠CDF，

又∵∠DEA=∠CFD=90°，AD=CD，

∴△DEA≌△CFD(AAS)，

∴AE=DF，DE=CF，

设