2024-2025学年黑龙江省龙东十校高二（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省龙东十校高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知空间向量a=(1,−3,5),b=(2,x,y)，且a//bA.10 B.6 C.4 D.−42.若zi3=2+i，则z=A.1−2i B.−1+2i C.−1−2i D.1+2i3.若向量a=(−1,2),b=(m+1,2)，且(a+A.−8 B.8 C.−2 D.24.某校为了了解学生的体能情况，于6月中旬在全校进行体能测试，统计得到所有学生的体能测试成绩均在[70,100]内.现将所有学生的体能测试成绩按[70,80)，[80,90)，[90,100]分成三组，绘制成如图所示的频率分布直方图.若根据体能测试成绩采用按比例分层随机抽样的方法抽取20名学生作为某项活动的志愿者，则体能测试成绩在[70,80)内的被抽取的学生人数为(

)A.4 B.6 C.8 D.105.已知α，β是两个不同的平面，l，m是α内两条不同的直线，则“l//β，且m//β”是“α//β”的(

)A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件6.已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，则该圆台的体积V=(

)A.29π B.31π C.87π D.93π7.图，在九面体ABCDEFGH中，平面AGF⊥平面ABCDEF，平面AGF//平面HCD，AG=GF=CH=HD=AB，底面ABCDEF为正六边形，下列结论错误的是(

)A.GH//平面ABCDEF B.GH⊥平面AFG

C.平面HCD⊥平面ABCDEF D.平面ABG⊥平面ABCDEF8.如图，在棱长为12的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱CD，B1C1的中点，平面A.10

B.15

C.(5+2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知甲组数据为4，3，2，乙组数据为6，7，8，将甲、乙两组数据混合后得到丙组数据，则(

)A.丙组数据的中位数为5 B.甲组数据的70%分位数是2

C.甲组数据的方差等于乙组数据的方差 D.甲组数据的平均数小于乙组数据的平均数10.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+csinA=5sinA，bc=b+c+1，△ABC的面积为22，则△ABC的周长可能为(

)A.8 B.5+17 C.9 11.已知边长为43的正三角形ABC的三个顶点都在球O的表面上，P为球O表面上一动点，且P不在平面ABC上，当三棱锥P−ABC的体积最大时，直线PA与平面ABC所成角的正切值为2，则下列结论正确的是(

)A.球O的表面积为64π

B.PA的最大值为10

C.三棱锥P−ABC体积的最大值为323

D.当三棱锥P−ABC的体积最大时，若点Q与点P关于点O对称，则三棱锥Q−ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知空间向量a=(1,0,0),b=(0,1,0),c=(1,1,m)，若a,13.已知数据1，1，3，m，4，7的极差为6，且80%分位数为m2−20，则m=___．14.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为2角均为60°，点E，F分别在棱BB1，DD1上，且BE=2B1直线AC1与EF四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

7月23日，第8届中国一南亚博览会暨第28届中国昆明进出口商品交易会在昆明滇池国际会展中心隆重开幕.本届南博会以“团结协作、共谋发展”为主题，会期从23日至28日，共设15个展馆，展览面积15万平方米，吸引82个国家、地区和国际组织参会，2000多家企业进馆参展.某机构邀请了进馆参展的100家企业对此次展览进行评分，分值均在[90,100]内，并将部分数据整理如下表：分数[90,92)[92,94)[94,96)[98,100]频数10102020(1)估计这100家企业评分的中位数(保留小数点后一位)；

(2)估计这100家企业评分的平均数与方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．16.(本小题15分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=2b,b2+c2+2bc=a2．

(1)求B；

17.(本小题15分)

如图，在三棱锥P−ABC中，O为AC的中点，平面POB⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC,AC=PA=2,PB=3．

(1)证明：PA=PC；

18.(本小题17分)

如图，甲船在点M处通过雷达发现在其南偏东60°方向相距20海里的N处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从N处向南偏西60°的方向行驶.甲船立即通知在其正西方向且相距303海里的P处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在H处会合．

(1)求PN的长；

(2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？19.(本小题17分)

将菱形ABCD绕直线AD旋转到AEFD的位置，使得二面角E−AD−B的大小为π3，连接BE，CF，得到几何体ABE−FDC.已知AB=4,∠DAB=π3,M,N分别为AF，BD上的动点且AMAF=BNBD=λ(0<λ<1)．

(1)证明：MN//平面CDF；

(2)求BE的长；

参考答案1.C

2.A

3.B

4.A

5.C

6.B

7.D

8.A

9.ACD

10.AB

11.BCD

12.0

13.5

14.210315.解：(1)由题意得这100家企业评分在[96,98)内的频数为100−10−10−20−20=40，

设这100家企业评分的中位数的估计值为x，

因为评分在[90,96)内的频数之和为10+10+20=40<50，

评分在[90,98)内的频数之和为40+40=80>50，

所以x∈[96,98)，

由50−4040=x−9698−96，

得x=96.5；

(2)这100家企业评分的平均数的估计值为x−=1100(91×10+93×10+95×20+97×40+99×20)=9616.解：(1)由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc=−2bc2bc=−22，

因为A∈(0,π)，所以A=3π4．

因为a=2b，所以sinA=2sinB，解得sinB=12，

因为a=2b>b，所以B=π6．

(2)因为17.解：(1)证明：因为△ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，O为AC的中点，

所以AC⊥OB，AC⊂平面ABC，

又因为平面POB⊥平面ABC，平面POB∩平面ABC=OB，

所以AC⊥平面POB．

因为PO⊂平面POB，所以AC⊥PO，又O为AC的中点，

所以△PAC是等腰三角形，故PA=PC．

(2)在平面POB上，作PD⊥BO，垂足为D，连接DA，DC．

平面POB⊥平面ABC，平面POB∩平面ABC=OB，

又PD⊂平面POB，所以PD⊥平面ABCD．

由(1)PA=PC，又AC=PA=2，则△PAC为等边三角形，

所以OP=AP2−AO2=62，OB=AC2=22，

所以cos∠BOP=OP2+OB2−BP22OP⋅OB=−33，所以cos∠DOP=33，

DO=PO⋅cos∠DOP=22，DP=OP2−DO2=1，

所以AD=DC=AP2−DP2=1，

在等腰直角△ABC中，AB=BC=1，

所以△ABC≌△PAC，

故∠ADC=∠ABC=90°，即DA⊥DC，

以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0,0,1)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，

PA=(1,0,−1),AB=(0,1,0),AC18.解：(1)由题意知，∠PMN=π2+π3=5π6，PM=303海里，MN=20海里，

在△PMN中，由余弦定理得，PN2=PM2+MN2−2PM⋅MNcos∠PMN=2700+400−2×303×20×(−32)=4900，

所以PN=70海里．

(2)在△PMN中，由余弦定理得，cos∠MPN=PM2+PN2−MN22PM⋅PN=2700+4900−4002×3019.(1)证明：在AD上取点H，使得AHAD=AMAF=BNBD=λ(0<λ<1)，连接HM，HN，

如图1：

因为AHAD=AMAF，所以HM//DF，

因为DF⊂平面CDF，HM⊄平面CDF，

所以HM//平面CDF，

因为AHAD=BNBD，所以HN//AB，

又CD//AB，所以HN//CD，

因为CD⊂平面CDF，HN⊄平面CDF，

所以HN//平面CDF，

因为HM∩HN=H且都在面HMN内，所以平面HMN//平面CDF，

因为MN⊂平面HMN，

所以MN//平面CDF；

(2)解：取AD的中点O，连接OE，OB，ED，

如图2：

由题意可得△EAD，△BAD是边长为4的正三角形，

则EO=BO=42−22=23，

且EO⊥AD，BO⊥AD，所以∠EOB为二面角E−AD−B的平面角，

即∠EOB=π3，则△EOB为正三角形，

所以BE=23；

(3)解：取OB的中点G，连接EG，

则EG⊥OB，且EG=(23)2−(3)2=3，

由(2)得EO⊥AD，BO⊥AD，EO∩OB=O，EO，OB⊂平面OBE，

所以A

D⊥平面OBE，因为EG⊂平面OBE，

所以EG⊥AD，

又因为EG⊥OB，AD∩OB=O，AD，OB⊂平面ABCD，

所以EG⊥平面ABCD，

以O为坐标原点，OA