初中数学总复习-《圆》

第一节圆和圆的基本性质

初中数学总复习——《圆》【知识回顾】

【知识结构】1.圆的定义（两种）

有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心

定义2.

圆。

点与圆的位置关系

3.“三点定圆”定理

三点定圆定理

4.垂径定理及其推论

垂径定理及推论

5.“等对等”定理及其推论

圆的有关性质圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

基本性质,【考点分析】

圆周角定理1,确定条件：

圆内接四边形圆心确定位置；半径确定大小。

点的轨迹2、圆的对称性：

反证法圆是轴对称图形也是中心对称图形。

对称轴是直径，对称中心是圆心。

相离3、垂径定理：

、点与圆的位置关系

判定4

直线和圆的位置关系相切

性质设圆的半径为R,一点到圆心的距离为L

相交弦定理及推论

相交点在圆外od>R；点在圆上=d=R；点在圆内

圆切割线定理及推论

外离【典型例题】

外切例1⑴下列语句中正确的有（）

圆和圆的位置关系相交①相等的圆心角所对的弧相等；

内切②平分弦的直径垂直于弦；

内含③长度相等的两条弧是等弧；

④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴：

A.1个B.2个C.3个D.4个

概念

,半径、边心距、中心角计算

正多边形计算⑵如图1,AB为。。的直径，CD是弦，AE1CD尸E点，BF_LCD于F点，BF

边长、面积的计算交00于G点，下面的结论：①EC=DF；②AE+BF=AB；③AE=GF；④

正多边形与圆圆周长、弧长、组合图形周长计算FG•FB=EC•ED,其中正确的结论是（）

画法应用

圆面积、扇形、组合图形面积计算A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④

定义

圆柱和圆锥侧面展开图

侧面积、全面积计算

8、如图9,在G>0中，直径MN_LAB,垂足是C,则下列结论中错误的是（）

A.AC=CBB.AN=BNC.AM=BMD.OC=CN

9、如图10,已知：在OO中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD.

求证：40CD为等腰三角形.

图3

【能力创新】

例2⑴圆弧形桥拱的跨度AB=40cm,拱高CD=8cm,则桥拱的半径是。10、等腰4ABC内接于半径为10cm的圆内，其底边BC的长为16cm,则SAABC

为（）

⑵已知：如图3,。0的半径为5,AB所对的圆心角为120°,则弦AB的长是（）A.32cmB.128cmC.32cm或8cmD.32cm或128cm

A.B.C.5D.811、已知：如图11,在OO中CD过圆心O,且CDJ_AB,垂足为D,过点C任作

一弦CF交OO于F,交AB于E,求证：CB2=CF-CE.

例3已知：。。的半径OA=1,弦AB、AC的长分别是、，

求NBAC的度数。

例4已知：F是以O为圆心、BC为直径的半圆上的•点，A是BF的中点，AD1

BC于点D,求证：AD=BF.

【基础练习】12、如图12,AM是。O的直径，过<30上一点B作BN1AM,垂足为N,其延

1、如图5,乒乓球的最大截口00的直径AB_L弦CD,P为垂足，若CD=32mm,长线交。。于C点，弦CD交AM于点E.⑴如果CD_LAB,求证EN=NM：（2）如果

AP：PB=1：4,贝ljAB=.弦CD交AB于点F,且CD=AB,求证：CE2=EF•ED；⑶如果弦CD、AB的延

2、平面上一点P到。O上一点的距离最长6cm,最短为2cm,则OO的半径为长线交于点F,且CD=AB,那么⑵的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成

_______cm.立，请说明理由。

3、已知：如图6,RtAABC41.ZC=90°,AC=,BC=1.

若以C为圆心，CB长为半径的圆交AB干P,则AP=.

4、已知一个直角三角形的面积为12cm2,周长为12cm,那么这个直角三角形外接

圆的半径是cm.

5、如图7,已知AB是00的直径,D为弦AC的中点,BC=6cm,则OD=cm.

6、如图8,在OO中，弦AB=CD,图中的线段、角、弦分别具有相等关系的

量有（不包括AB=CD）（）

A.6组B.5组C.4组D.3组

7、圆的直径是26cm,圆中一条弦的长是24cm,则这条弦的弦心距是（）

A.5cmB.6cmC.lOcmD.12cm

第二节直线和圆的位置关系

【知识回顾】

1.三种位置及判定与性质：

直线与圆相离

三『｛直线与圆相切

直线与圆相交

例2、如图80304,已知AB是。O的一条直80303径，过A

2.切线的性质（重点）作圆的切线AC,连结OC交＜30于D;连结BD并延长交AC于E,AC=AB

3.切线的判定定理（重点）。圆的切线的判定有⑴…⑵…①求证：CD是AADE外接圆的切线。

4.切线长定理②若CD的延长线交00于F,求证：-赊

【考点分析】UCAD

③若。O的直径AB=2,求tgZCDE的值。

1、直线和圆的位置关系及其数量特征:④若ACKAB结论①还成立吗？

直线和圆相交相切相离

的位置

D与r的d<rd=rd>r

关系

公共点个210

数

公共点名交点切点无

称

.80304

直线名称割线切线无

2、有关定理和概念【基础训练】

切线的判定定理：1、若00的半径为3cm,点P与圆心。的距离为6cm,则过点P和。O相切的两

判定方法：①②③条切线的夹角为度。

切线的性质定理及推论：2、已知圆的直径为13cm,如果直线和圆只有一个公共点，那么直线和圆心的距离

切线长定理：为»

三角形的内切圆和内心：3、已知PA与OO相切于A点，PA=小，NAPO=45°，则PO的长

【典型例题】

例1、如图80303,已知AB是。O的直径，C在AB的延长线上，CD切。0于为。

D,DE_LAB于E,求证：NEDB=NCDB。4、已知AABC中，ZA=70°，点。是内心，则NBOC的度数为。

5、已知OC平分NAOB,D是OC上任意一点，G）D与OA相切于点E且DE=2cm,

则点D到OB的距离为=

6、如图80301,AE、AD和BC分别切。。于E、D、F,如果AD=20,则AABC的周

长为。【优化评价】

7、如图80302,梯形ABCD中，AD〃BC,过A、B、D三点的。。交BC于E,且

1、0O的半径是8,OO的一条弦AB长为8小，以4为半径的同心圆与AB的位置

圆心。在BC上，①四边形ABED是什麽四边形？请证明你的结论。②若N

B=60°,AB：AD：BC=1：1：3则有哪些结论？至少写出两个并加以证明。关系是。

2、在RtAABC中,NC=90°,AC=3,BC=4,若以C为圆心，R为半径新作的圆与斜边

AB只有••个公共点，则R的取值范围是。

3、在直角梯形ABCD中，AD〃BC,NB=90°,以CD为直径的圆切AB于E点，

AD=3,BC=4,则。O的直径为。

4、RtAABC中，ZA=90°,©O分别与AB、AC相切于点E、F,圆心O在BC上，

若AB=a,AC=b,WlJ0O的半径等于（）«

5、如图80306,△ABC是OO的内接三角形，DE切圆于F点，且DE〃BC,那么

图中与NBFD相等的角的个数是（）。

A、5B、3C、4D、2

【发展探究】

1、如图80305,设PMN是。。通过圆心的一条割线，①若PT切。O于点T,求证:

TM2_PM

市二PN

80307

AM・RMPM

②若将PT绕点P逆时针旋转使其与。O相交于A、B两点，试探求AN.BN与需

间的关系。6、如图80307,AB_LBC,且AB=BC以AB为直径作半圆O交AC于D,则图中阴

2、如果上题中的割线PMN不通过圆心，上述结论是否仍然成立？影部分的面积是AABC面积的（）o

A、1倍B、：倍C、1倍D、；倍

7、如图80308,OA和OB是。O的半径，并且OA_LOB,P是OA上的任一点，BP

的延长线交。O于点Q,点R在OA的延长线上，且RP=RQ.

①求证：RQ是。。的切线。

②求证：OB2=PB•PQ+OP%

③当RAWOA时，试确定NB的范围。

8、如图80309,点A在€）0夕卜，射线AO与00交于F,G两点，点H在。。上，【典型例题】

弧FH='MGH,点D是弧FH上一个动点（不运动至F）,BD是＜30的直径，连结例1、⑴已知：A、B、C、D、E、F、G、H顺次是。O的八等分点，则NHDF=.

AB,交。O于点C,连结CD,交AO于点E,且OA=V^OF=1,设AC=x,AB=y。

⑵如图1,AC是。O的直径,BD是OO的弦，EC〃AB交。O于E,则图中与N

①求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。BOC的一半相等的角共有（）

②若DE=2CE,求证：AD是OO的切线。A.2个B.3个C.4个D.5个

③当DE,DC的长是方程x2-ax+2=O的两根时，

求sinZDAB的值。

(1)

例2、⑴下列命题正确的是（）

A.相等的角是对顶角；B.相等的圆周角所对的弧相等;

C.等弧所对的圆周角相等角；D.过任意三点可能确定一个圆。

⑵如图2,经过00上的点A的切线和弦BC的延长线相交于点P.

若NCAP=40°,ZACP=100°,则/BAC所对的弧的度数为（）

A.40°B,100°C.120°D.30°

⑶如图3,AB、AC是00的两条弦，延长CA到D,使AD=AB,若NADB=35°,

则/BOC=____.

第三节与圆有关的角

【知识回顾】

与圆有关的角：⑴圆心角定义（等对等定理）

⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系）

⑶弦切角定义（弦切角定理.）例3、⑴如图4,CD是。O的直径，AE切。0J-B点，DC的延长线交AB于点A,

ZA=20°,贝IJ/DBE=.

【考点分析】

圆心角定理，圆周角定理，弦切角定理，圆内接四边形定理以及相关概念，能熟练⑵如图5,AB是00的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB,CD与00切于C,

地运用这些知识进行有关证明与计算。那么NCAB=度。

例4、已知，如图6,AB是00的直径，C是。0上一点，连结AC,过点C作直

V7453

线CD1AB于D(AD<DB=,点E是DB上任意一点(点D、B除外)，直线

A.3B.3

CE交00于点F,连结AF与直线CD交于点G。⑴求证：AC2=AG•AF；⑵若点C.3D,4

E是AD(点A除外)上任意一点，上述结论是否任然成立？若成立，请画出图形

并给予证明；若不成立，请说明理由。

【基础练习】⑷如图12,AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，半圆O的切线PC

1、填空题：⑴如图7,0A、0B是。0的两条半径，BC是0)0的切线，交AB的延长线于点P,ZPCB=29°,则NADC=()

且NAOB=84°,则NABC的度数为.A.109°B.119°C.120°D.129°

⑵如图8,C是。O上的一点，AB为100°,则NAOB=度，3、如图13,AABC内接于(DO,AB=AC,直线XY切。O于点C,弦BD〃

ZACB=度。XY,AB、BD相交于点E。⑴求证：AABD^AACD；(2)若AB=6cm,BC=4cm,

⑶圆内结四边形ABCD中，如果NA:NB:NC=2：3：4,那么ND=度。求AE的长。

⑷如图9,AABC中，ZC=90°,。。切AB于D,切BC于E,切AC于F,则

ZEDF=。

【能力创新】

(8)

⑺5、如图14,AB是。。的直径，弦CD_LAB于P。⑴已知：CD=8cm,

ZB=30°,求00的半径；⑵如果弦AE交CD于F,求证：AC2=AF•AE.

2、选择题：⑴如图10,四边形ABCD为©O的内接四边形，E为AB延长线上一

点，ZCBE=40°,/AOC等于()

A.20°B.40°C.80°D.100°

(2)AABC内接于OO,ZA=30°,若BC=4cm,则©O的直径为()

A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm

⑶如图11,AB为半圆。的直径，弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,则

tanNBPD等于()

(13)口

8040180402

(14)

第四节与圆有关的比例线段

【知识回顾】

与圆有关的比例线段

1相.交弦定理

2切.割线定理

【考点分析】2、可深化得出的结论：PA-PB为常数。设OO的半径为R,对于相交弦则有PA-PB

1、和圆有关的线段间的比例关系可列表如下:=R2-OP2,对于切割线则有PA•PB=OP2-R2O

相交弦定理及切割线定理及推3、解题方法：①直接应用相交弦定理，切割线定理及其推论；②找相似三角形，

推论1论2当不能直接运用定理和推论时，通常用添加辅助线的方式以证明三角形相似得证。

条弦弦CDPT是©PAB、【典型例析】

件AB,CD±直0的切PCD例1、如图80406,已知AABC是。0的内接三角形，PA是切线，PB交AC于E

相交于径AB线，均为点，交＜30于D点，且PE=PA,NABC=60",PD=1,BD=8。求CE的长。

P点交J-PPAB是。。的

OO的割线例2、如图80407,已知PA切(90于A点,PBC为割线,弦CD〃AP,AD交BC于

割线E点，F在CE上，且ED2=EF•ECo

图图图图图求证：®ZEDF=ZP②求证：CE•EB=EF•EP

形80401804028040380404③若CE：EB=3：2,DE=6,EF=4,求PA的长。

结PA•PPC、PPT2=PAPA•P

论B=PCA-PB•PBB=PC

•PD•PD

5

8040780408

【基础训练】【优化评价】

1、已知：AB•CD为。。得两条弦，AB与CD交于点P且点P为CD得中点，PC1、已知AEB、ADC是。O的两条割线，且AB>AE,AC>AD,AT切。O于T,若

=4,贝ljPA•PB=.AD=4,DE=2,AE=3,AT=6,贝I」BC=。

2、已知RtAABC的两条直角边AC,BC得长分别为3cm,4cm。以AC为直径作圆2、已知P为圆外一点，PA切（DO于A点，PA=8,直线PCB交圆于C、B且PC=4,AD

于斜边AB交于点D,则BD得长为。

3、已知割线PBC与交于点B点C且PB=BC。如果OP与<30交于点A,且_LBC于D点，ZABC=x,ZACB=B，则黑"的值为=

OA=7,AP=2,贝ljPC的长为o

4、已知PA为OO的切线，A为切点，PBC时过点0得割线，PA=10cm,PB=5cm,3、等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比为（）。

则00的半径为o

A、1：y/2：y/3B、1：®2

5、©0的一弦AB=10cm,P是AB上一点，PA=4cm,OP=5cm,则00的直径

为。

C、1：2：3D、1：2：小

6、如图80405,已知△ABC中，AD平分NBAC,过A、B、D作。O,EF切（30

于D点，交AC于E点。求证：CD2=CE-AC。4、已知梯形ABCD外切于。O,AD〃BC,NB=60°,NC=45°,G>0的半径为10,

则梯形的中位线长为（）«

A、10B、yV3+10\/2C、20D、2M

5、在半径为r的。。中，-条弦AB等于r,则以O为圆心，杀为半径的圆与

AB的位置关系是（）。

A、相离B、相切C、相交D、不能确定

804056、如图80409,PT为OO的切线，T为切点，PA为割线，它与G）O的交点是B、

A与直线CT的交点是D,已知DD=2,AD=3,BD=4,求PB的长。

【发展探究】

如图80408,正方形ABCD的边长为2a,H是以BC为直径的半圆上的一点，过H

与半圆相切的直线交AB于点E,交CD尸点F,①当H在半圆上移动时，切线EF

在AB、CD上的两个交点分别在AB、CD上移动（E与A不重合，F与D不重合），

试问四边形AEFD的周长是否也在变化？请证明你的结论；②若/BEF=60。，求

四边形BCFE的周长；③设四边形BCFE的面积为S|,正方形ABCD的面积为S。

当H在什么位置时，S产首So

【考点分析】

1、五种位置关系及其数量特征（注意“数形结合

相切相离

两圆位置相交外切内切外离内含

关系

R-r<d<R+rd=d=d>d<

d与R、r(R>r)R+rR-rR+rR-r

的关系(R>r)(R>r)

公共点个21100

7、如图80410,PA是。。的直径，PC是OO的弦，过弧AC中点H作PC的垂线数

交PC的延长线于点B。若HB=6,BC=4。求00的直径。外公切线22120

条数

8、如图80411,G）O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D是劣弧弧BC中点，连内公切线01020

DPRD2条数

AD并延长与过C点的切线交于点P。①求证：77^

公切线条23140

②当AC=6,AB=10时，求切线PC的长。数

★记忆方法:

0R-rR+r

>★d

内含p外离

2,有关定理：

第五节圆和圆的位置关系连心线的性质:当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆相切时，连心线过

【知识回顾】切点；当两圆外离时，连心线过内（外）公切线的交点且连心线平分两条公切线的

1.五种位置关系及判定与性质：（重点：相切）夹角；当两圆内含时，连心线是对称轴。

d>R+r’外离公切线的性质:两圆的两条外（内）公切线的长相等；两条外（内）公切线的交点

d=R+r外切在连心线上且夹角被连心线平分。

"相交

R-r<d<R+r公切线长的计算公式:

d=R-r内切

1外公切线=便西2

d<R-r、内含

2.相切（交）两圆连心线的性质定理1内公切线力d〈（R+r）2.

3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质.两个圆是轴对称图形，两圆的连心线是它的对称轴。

3、思想方法：

（1）抓住“切点”，明辨圆与圆的相切及圆与直线的相切，并充分、合理地运用有

关“切”的定理。

（2）全面思考问题：如两圆无公共点，则为外离或内含；相切分“外切”和“内A

切”；两个圆心可在公共弦和同侧或异侧。

（3）发现和建立两圆之间的联系，注意有些线段或角具有双重身份，应灵活使用。8

【典型例题】

例1、如图80501,已知001和。02相交于A,B«0102交（301于P,PA,PB的延长P）

线分别是交©02于C,D,求证：AC=BDo

证法一：连AB作02MJ_AC,02N_LBD。

证法二：连AB.80502

【基础训练】

1、若（1）直径分别为6和8,圆心距为10；（2）只有一条公切线；（3）R2+d\2=2Rd

则两圆的位置关系分别为、和。

2、若两圆既有外公切线，又有内公切线，则两圆半径R和r及圆心距d的关系是

（）o

Asd<R+rB、d=R+rC、d>R+rD、d>R+r

3、两圆外切于A.BC是外公切线，则△ABC为（）。

A、锐角三角形B、直角三角形

C、钝角三角形D、等边三角形

4、两个等圆。01和。02相交于A、B两点，且02在。01上。则四边形O1AO2B

是（）。

例