6.2.1随机变量课件高二上学期数学北师大版选择性

2.1随机变量第六章概率北师大版

数学

选择性必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引

课程标准1.通过实例,了解随机变量的概念及含义.2.会用随机变量表示随机事件.基础落实·必备知识一遍过知识点

随机变量的概念在随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示.在这个对应关系下,数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量.随机变量常用字母X,Y,ξ,η等表示.

随机变量是试验结果数量化,变量的一个取值代表一个随机事件名师点睛随机变量可将随机试验的结果数量化所谓的随机变量不过是建立起样本空间与实数的一个对应关系.如设随机变量X表示掷骰子掷出的点数,则X=1,2,3,4,5,6,或者说X的取值范围是{1,2,3,4,5,6}.思考辨析下述现象有哪些共同特点?①某人在射击训练中,射击一次,命中的环数X是1,2,3,…,10中的某一个数;②抛掷一颗骰子,向上的点数Y是1,2,3,4,5,6中的某一个数;③新生婴儿的性别,抽查的结果可能是男,也可能是女.如果将男婴用0表示,女婴用1表示,那么抽查的结果Z是0和1中的某一个数.提示

现象中的X,Y,Z,实际上是把每个随机试验的样本点都对应一个确定的实数,即在试验结果(样本点)与实数之间建立了一个对应关系.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)随机变量的取值可以是有限个,也可以是无限可列个.(

)(2)某加工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差是随机变量.(

)(3)袋中有大小相同的红球6个,白球5个,从袋中无放回地每次任意取出一个球,直到取出的球是白色为止,所需要的取球次数为随机变量X,则X的可能取值为1,2,3,4,5,6.(

)√√×2.[人教A版教材习题]下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示?若能,请写出各随机变量可能的取值,并说明这些值所表示的随机试验的结果.(1)抛掷2枚骰子,所得点数之和;(2)某足球队在5次点球中射进的球数;(3)任意抽取一瓶标有1500mL的饮料,其实际含量与规定含量之差.解

(1)能用离散型随机变量表示.点数之和X可能的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.{X=k}表示掷出的点数之和为k.(2)能用离散型随机变量表示.进球个数Y可能的取值为0,1,2,3,4,5.{Y=k}表示射进k个球.(3)不能用离散型随机变量表示.3.[人教A版教材习题]张同学从学校回家要经过4个红绿灯路口,每个路口可能遇到红灯或绿灯.(1)写出随机试验的样本空间;(2)设他可能遇到红灯的次数为X,写出X的可能取值,并说明这些值所表示的随机事件.解

(1)样本空间={(红,红,红,红),(红,红,红,绿),(红,红,绿,红),(红,绿,红,红),(绿,红,红,红),(红,红,绿,绿),(红,绿,红,绿),(红,绿,绿,红),(绿,绿,红,红),(绿,红,绿,红),(绿,红,红,绿),(红,绿,绿,绿),(绿,红,绿,绿),(绿,绿,红,绿),(绿,绿,绿,红),(绿,绿,绿,绿)},共含16

个样本点.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.事件{X=0}表示4个路口遇到的都不是红灯;事件{X=1}表示路过的4个路口中只有1个路口遇到红灯;事件{X=2}表示路过的4个路口中只有2个路口遇到红灯;事件{X=3}表示路过的4个路口中只有3个路口遇到红灯;事件{X=4}表示4个路口遇到的都是红灯.重难探究·能力素养速提升探究点一随机变量的判定【例1】

判断下列各个量,哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由.(1)某机场候机厅中某日的旅客数量;(2)某路口在某时间段内查处酒驾的人数;(3)某日济南到北京的某次长途汽车到北京站的时间;(4)体积为1000cm3的球的半径长.解

(1)旅客人数可能是0,1,2,…,出现哪一个结果是随机的,因此是随机变量.(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2,…,出现哪一个结果是随机的,因此是随机变量.(3)长途汽车到达的时间可在某一区间内任取一值,是随机的,因此是随机变量.(4)当球的体积为1

000

cm3时,球的半径为定值,不是随机变量.规律方法

随机变量的辨析方法

变式训练1(1)下列变量中,不是随机变量的是(

)A.一名射手射击一次命中的环数B.在标准状态下,水沸腾时的温度C.抛掷两枚骰子,所得点数之和D.某电话总机在时间区间(0,T)内收到的呼叫次数B解析

B选项中标准状态下,水沸腾时的温度是一个确定值.(2)10件产品中有3件次品,从中任取2件,可作为随机变量的是(

)A.取到产品的件数B.取到正品的概率C.取到次品的件数D.取到次品的概率C解析

选项A中取到产品的件数是一个常量不是变量,选项B,D中的量也是一个定值,而选项C中取到次品的件数可能是0,1,2,是随机变量.探究点二用随机变量表示随机事件的结果【例2】

写出下列随机变量可能的取值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.(1)一个袋中装有8个红球,3个白球,从中任取5个球,其中所含白球的个数为X;(2)一个袋中有5个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个球,取出的球的最大号码记为X.解

(1){X=0}表示“取5个球全是红球”;{X=1}表示“取1个白球,4个红球”;{X=2}表示“取2个白球,3个红球”;{X=3}表示“取3个白球,2个红球”.(2){X=3}表示“取出的球编号为1,2,3”;{X=4}表示“取出的球编号为1,2,4;1,3,4或2,3,4”;{X=5}表示“取出的球编号为1,2,5;1,3,5;1,4,5;2,3,5;2,4,5或3,4,5”.变式探究本例(2)中,若将“最大”改为“最小”,其他条件不变,应如何解答.解

{X=1}表示“取出的球的编号为1,2,3;1,2,4;1,2,5;1,3,4;1,3,5或1,4,5”.{X=2}表示“取出的球的编号为2,3,4;2,3,5;2,4,5”.{X=3}表示“取出的球的编号为3,4,5”.规律方法

解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值,以及其取每一个值时对应的意义,即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果,解答过程中不要漏掉某些试验结果.变式训练2写出下列随机变量可能的取值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.(1)从学校回家要经过3个红绿灯路口,可能遇到红灯的次数ξ;(2)电台在每个整点都报时,报时所需时间为0.5分钟,某人随机打开收音机对时间,他所等待的时间为ξ分钟.解

(1)ξ可取0,1,2,3,{ξ=0}表示“遇到红灯的次数为0”;{ξ=1}表示“遇到红灯的次数为1”;{ξ=2}表示“遇到红灯的次数为2”;{ξ=3}表示“遇到红灯的次数为3”.(2)ξ的可能取值为区间[0,59.5]内任何一个值,每一个可能取值表示他所等待的时间.学以致用·随堂检测促达标123456789A级必备知识基础练1.[探究点一]袋中有3个白球、5个黑球,从中任取2个球,下列选项中可以用随机变量表示的是(

)A.至少取到1个白球 B.至多取到1个白球C.取到白球的个数 D.取到球的个数C1234567892.[探究点二]抛掷两枚质地均匀的骰子一次,X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差,则X的所有可能取值为(

)A.0≤X≤5,X∈N B.-5≤X≤0,X∈ZC.1≤X≤6,X∈N D.-5≤X≤5,X∈ZD解析

第一枚的最小值为1,第二枚的最大值为6,差为-5,第一枚的最大值为6,第二枚的最小值为1,差为5,故X的所有可能取值是-5≤X≤5,X∈Z,故选D.1234567893.[探究点二]盒中有9个正品和3个次品零件,每次从中取一个零件,如果取出的是次品,则不再放回,直到取出正品为止,设取得正品前已取出的次品数为ξ.(1)写出ξ的所有可能取值;(2)写出{ξ=1}所表示的事件.解

(1)ξ可能取的值为0,1,2,3.(2){ξ=1}表示“第一次取得次品,第二次取得正品”.1234567894.

[探究点二]某篮球运动员在罚球时,命中1球得2分,不命中得0分,且该运动员在5次罚球中命中的次数ξ是一个随机变量.(1)写出ξ的所有取值及每一个取值所表示的结果;(2)若记该运动员在5次罚球后的得分为η,写出所有η的取值及每一个取值所表示的结果.解

(1)ξ可取0,1,2,3,4,5,表示5次罚球中分别命中0次,1次,2次,3次,4次,5次.(2)η可取0,2,4,6,8,10,表示5次罚球后分别得0分,2分,4分,6分,8分,10分.1234567895.袋中有大小相同的红球6个,白球5个,不放回地从袋中每次任意取出1个球,直到取出的球是白球为止,所需要的取球次数为随机变量X,则X的可能取值为(

)A.1,2,3,…,6 B.1,2,3,…,7C.0,1,2,…,5 D.1,2,…,5BB级关键能力提升练1234567896.(多选题)甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了得0分,共下三局.用ξ表示甲的得分,则{ξ=3}表示的可能结果为(

)A.甲赢三局

B.甲赢一局输两局C.甲、乙平局三次 D.甲赢一局平两局BC1234567897.一用户在打电话时忘记了最后3个号码,只记得最后3个数两两不同,且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同),设他拨到正确号码前拨号的次数为X,随机变量X可能的取值有

个.

241234567898.设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯,ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数,写出ξ所有可能取值,并说明这些值所表示的试验结果.解

ξ可能取值为0,1,2,3,4,5.{ξ=0}表示“第1盏信号灯就停下”;{ξ=1}表示“通过了1盏信号灯,在第2盏信号灯前停下”;{ξ=2}表示“通过了2盏